2023年湖南省邵阳市隆回县中考数学一模试卷(含答案)

这是一份2023年湖南省邵阳市隆回县中考数学一模试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年湖南省邵阳市隆回县中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）2023的相反数的倒数是（　　）
A．2023 B．﹣2023 C． D．
2．（3分）下列商标图案中，既不是轴对称图形又不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．3a+b＝3ab B．a2+a2＝a4
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（﹣3a）2＝9a2
4．（3分）红细胞是血液中数量最多的一种血细胞，它将氧气从肺送到身体各个组织，它的直径约为0.0000078m，将0.0000078用科学记数法表示为（　　）
A．78×10﹣7 B．7.8×10﹣7 C．7.8×10﹣6 D．0.78×10﹣6
5．（3分）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，下列结论错误的是（　　）

A．∠AOP＝∠BOP B．OC＝OD C．∠CPO＝∠AOB D．PC＝PD
6．（3分）不等式组的解集在数轴上可以表示为（　　）
A． B．
C． D．
7．（3分）在同一坐标系中，函数和y＝kx+2的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）一元二次方程x2+6x+9＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
9．（3分）如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1＝100°，则∠2等于（　　）

A．70° B．80° C．90° D．100°
10．（3分）某工厂现在平均每天比原计算多生产30台机器，现在生产800台机器所需时间与原计划生产600台机器所需时间相同，设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）因式分解：ax2﹣10ax+25a＝　 　．
12．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．
13．（3分）一个底面半径为6cm，高为8cm的圆锥，这个圆锥的侧面积为 　 　cm2．
14．（3分）一个等腰三角形的腰和底分别是方程x2﹣9x+18＝0两根，则此三角形的周长为 　 　．
15．（3分）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，BE，CD相交于点O，AB＝AC，要使△ABE≌△ACD，需添加一个条件是 　 　（只需填一个即可）．
​

16．（3分）如图，在⊙O中，弦，点B是圆上一点，且∠ABC＝45°，则⊙O的直径为 　 　．

17．（3分）冬冬在离路灯底部3m处测得自己的影子长为1m，他的身高为1.5m，则路灯的高度为 　 　m．
18．（3分）在平面直角坐标系内，一束光线从点P（4，4）射向x轴上的点M，经x轴反射后反射光线经过点Q（0，2），则点M的坐标为 　 　．
三、解答题（本大题共8个小题，第19～25题每小题8分，第26题10分，共66分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：﹣cos245°．
20．（8分）先化简，再在2、﹣2、﹣6中选择一个合适的x值代入求值．
．
21．（8分）如图，已知点E是菱形ABCD对角线BD上一点，连接EA、EC．
（1）求证：EA＝EC；
（2）若∠EAB＝90°，菱形的周长等于16，BE＝5，求tan∠ABE．
​

22．（8分）2023年3月5日，某校团委向全校3000名学生发起了“爱心一日捐”学雷锋捐款活动，为了了解捐款情况，团委随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图统计图．
①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）求本次接受随机抽样调查的学生人数和图①中m的值；
（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为20元的学生人数．​
23．（8分）阳光服装店平均每天可销售衬衫40件，每件盈利40元．为了扩大销售增加盈利，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出1件．
（1）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1750元？
（2）该商店每天销售利润能不能达到1900元？请说明理由．
24．（8分）如图，在贺龙体育馆通道的建设中，建设工人将坡长AB＝20m、坡角∠BAC＝20.5°的斜坡通道改造成坡角为12.5°（∠BDC＝12.5°）斜坡通道，使坡的起点从点A向左平移至点D处，求改造后的斜坡通道BD的长（精确到1m）（参考数据：sin12.5°≈0.21，sin20.5°≈0.35，sin69.5°≈0.94）．

25．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线的一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C，过点C作 CE⊥DF，垂足为点E．
（1）猜想直线CE与⊙O有怎样的位置关系？并证明你的猜想；
（2）若AE＝1，CE＝2，求⊙O的半径和AD的长．

26．（10分）如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y＝x﹣2交于B，C两点．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）求证：△ABC是直角三角形；
（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．


2023年湖南省邵阳市隆回县中考数学一模试卷
（参考答案）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）2023的相反数的倒数是（　　）
A．2023 B．﹣2023 C． D．
【解答】解：2023的相反数是﹣2023，
﹣2023的倒数是，
∴2023的相反数的倒数是，
故选D．
2．（3分）下列商标图案中，既不是轴对称图形又不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，
故选：C．
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．3a+b＝3ab B．a2+a2＝a4
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（﹣3a）2＝9a2
【解答】解：A.3a和b不是同类项，不能合并，故不符合题意；
B．a2+a2＝2a2，故不符合题意；
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故不符合题意；
D．（﹣3a）2＝（﹣3）2×a2＝9a2，故符合题意；
故选：D．
4．（3分）红细胞是血液中数量最多的一种血细胞，它将氧气从肺送到身体各个组织，它的直径约为0.0000078m，将0.0000078用科学记数法表示为（　　）
A．78×10﹣7 B．7.8×10﹣7 C．7.8×10﹣6 D．0.78×10﹣6
【解答】解：0.0000078＝7.8×10﹣6，
故选：C．
5．（3分）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，下列结论错误的是（　　）

A．∠AOP＝∠BOP B．OC＝OD C．∠CPO＝∠AOB D．PC＝PD
【解答】解：∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC＝PD，∠OCP＝∠ODP＝90°，∠AOP＝∠BOP，
故A，D正确；
在Rt△OCP和Rt△ODP中，
，
∴Rt△OCP≌Rt△ODP（HL），
∴OC＝OD，∠CPO＝∠DPO，
故B正确、C错误，
故选：C．
6．（3分）不等式组的解集在数轴上可以表示为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：由﹣2x≤﹣2得x≥1，
由3x﹣9＜0得x＜3，
则不等式组的解集为1≤x＜3，
将解集表示在数轴上如下：

故选：B．
7．（3分）在同一坐标系中，函数和y＝kx+2的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵两个函数的比例系数均为k，
∴两个函数图象必有交点，
y＝kx+2交y轴的正半轴，符合这两个条件的选项只有C，
故选：C．
8．（3分）一元二次方程x2+6x+9＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【解答】解：∵Δ＝62﹣4×1×9＝0，
∴一元二次方程x2+6x+9＝有两个相等的实数根．
故选：A．
9．（3分）如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1＝100°，则∠2等于（　　）

A．70° B．80° C．90° D．100°
【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝100°，
∴∠2＝∠1＝100°，
故选：D．
10．（3分）某工厂现在平均每天比原计算多生产30台机器，现在生产800台机器所需时间与原计划生产600台机器所需时间相同，设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
【解答】解：设原计划平均每天生产x台机器，
根据题意得：＝，
故选：A．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）因式分解：ax2﹣10ax+25a＝　a（x﹣5）2　．
【解答】解：ax2﹣10ax+25a
＝a（x2﹣10x+25）﹣﹣（提取公因式）
＝a（x﹣5）2．﹣﹣（完全平方公式）
故答案为：a（x﹣5）2．
12．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是　x＞2或x≤1　．
【解答】解：由题意得，≥0，
则或，
解得，x＞2或x≤1，
故答案为：x＞2或x≤1．
13．（3分）一个底面半径为6cm，高为8cm的圆锥，这个圆锥的侧面积为 　60π　cm2．
【解答】解：∵圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，
∴圆锥的母线长为：＝10（cm），
圆锥的侧面积为：×2π×6×10＝60π（cm2），
故答案为：60π．
14．（3分）一个等腰三角形的腰和底分别是方程x2﹣9x+18＝0两根，则此三角形的周长为 　15　．
【解答】解：解方程x2﹣9x+18＝0，得x1＝3，x2＝6；
∵当底为6，腰为3时，由于3+3＝6，不符合三角形三边关系，不能构成三角形；
∴等腰三角形的底为3，腰为6；
∴三角形的周长为6+6+3＝15．
故答案为：15．
15．（3分）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，BE，CD相交于点O，AB＝AC，要使△ABE≌△ACD，需添加一个条件是 　∠ADC＝∠AEB或∠B＝∠C或AE＝AE或∠BDO＝∠CEO或DB＝EC　（只需填一个即可）．
​

【解答】解：∵∠A＝∠A，AB＝AC，
添加：∠ADC＝∠AEB（ASA），∠B＝∠C（AAS），AE＝AE（SAS），∠BDO＝∠CEO（ASA），DB＝EC（SAS），
∴△ABE≌△ACD．
故填：∠ADC＝∠AEB或∠B＝∠C或AE＝AD或∠BDO＝∠CEO或DB＝EC．
16．（3分）如图，在⊙O中，弦，点B是圆上一点，且∠ABC＝45°，则⊙O的直径为 　10　．

【解答】解：∵∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝90°，
设⊙O的半径为R，
∵OA＝OC＝R，
∴R2+R2＝（5）2，
解得R＝5．
∴⊙O的直径为 10．
故答案为：10．
17．（3分）冬冬在离路灯底部3m处测得自己的影子长为1m，他的身高为1.5m，则路灯的高度为 　6　m．
【解答】解：如图，AB＝1.5m，DB＝3m，BE＝1m，

∵AB⊥DE，CD⊥DE，
∴AB∥CD
∴△EAB∽△ECD，
∴＝，
∵AB＝1.5m，DB＝3m，BE＝1m，
∴，
解得：CD＝6，
故答案为：6．
18．（3分）在平面直角坐标系内，一束光线从点P（4，4）射向x轴上的点M，经x轴反射后反射光线经过点Q（0，2），则点M的坐标为 　（，0）　．
【解答】解：作PN⊥x轴于N，
由题意得∠PMN＝∠QMO，
∵∠PNM＝∠QOM＝90°，

∴△PMN∽△QMO，
∴＝2，
∴MN＝2OM，
∴OM＝，
∵ON＝4，
∴OM＝＝，
∴M（，0）．
故答案为：（，0）．
三、解答题（本大题共8个小题，第19～25题每小题8分，第26题10分，共66分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：﹣cos245°．
【解答】解：﹣cos245°
＝﹣1﹣1+×﹣（）2+4
＝﹣1﹣1+1﹣+4
＝2．
20．（8分）先化简，再在2、﹣2、﹣6中选择一个合适的x值代入求值．
．
【解答】解：
＝•﹣
＝﹣
＝
＝
＝，
∵当x＝2或﹣2时，原分式无意义，
∴x＝﹣6，
当x＝﹣6时，原式＝＝﹣1．
21．（8分）如图，已知点E是菱形ABCD对角线BD上一点，连接EA、EC．
（1）求证：EA＝EC；
（2）若∠EAB＝90°，菱形的周长等于16，BE＝5，求tan∠ABE．
​

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB，AD＝CD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴EA＝EC．
（2）解：∵菱形ABCD的周长为16，
∴AB＝×16＝4，
∵∠EAB＝90°，BE＝5，
∴AE＝＝＝3，
∴tan∠ABE＝＝．
22．（8分）2023年3月5日，某校团委向全校3000名学生发起了“爱心一日捐”学雷锋捐款活动，为了了解捐款情况，团委随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图统计图．
①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）求本次接受随机抽样调查的学生人数和图①中m的值；
（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为20元的学生人数．​
【解答】解：（1）调查的学生数是：4÷8%＝50（人），
m＝×100＝32；
（2）平均数是：＝16（元），众数是：10元，中位数是：15元；
（3）该校本次活动捐款金额为10元的学生人数大约有：3000×32%＝960（人）．
23．（8分）阳光服装店平均每天可销售衬衫40件，每件盈利40元．为了扩大销售增加盈利，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出1件．
（1）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1750元？
（2）该商店每天销售利润能不能达到1900元？请说明理由．
【解答】解：（1）设当每件商品降价x元时，该商店每天销售利润为1750元．由题意得，
（40﹣x）（40+2x）＝1750，
∴x1＝15，x2＝5（舍去）．
答：当每件商品降价15元时，该商店每天销售利润为1750元．
（2）该商店每天的利润不能达到1900元，
理由如下：
设当每件商品降价n元时，商店每天销售利润为y元，由题意得，
y＝（40﹣n）（40+2n）
＝﹣2（n﹣10）2+1800．
∵a＝﹣2＜0，
∴当n＝10时，y有最大值是1800，
∵1800＜1900．
∴该商店每天的利润不能达到1900元．
24．（8分）如图，在贺龙体育馆通道的建设中，建设工人将坡长AB＝20m、坡角∠BAC＝20.5°的斜坡通道改造成坡角为12.5°（∠BDC＝12.5°）斜坡通道，使坡的起点从点A向左平移至点D处，求改造后的斜坡通道BD的长（精确到1m）（参考数据：sin12.5°≈0.21，sin20.5°≈0.35，sin69.5°≈0.94）．

【解答】解：在Rt△ABC中，
∵AB＝20m，∠BAC＝20.5°，
sin∠BAC＝，
∴BC＝AB•sin∠BAC＝20sin20.5°≈20×0.35＝7（m），
在Rt△DBC中，
∵BC＝7m，∠BDC＝12.5°，
sin∠BDC＝，
∴BD＝（m）．
答：改造后的斜坡通道BD的长约为33m．
25．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线的一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C，过点C作 CE⊥DF，垂足为点E．
（1）猜想直线CE与⊙O有怎样的位置关系？并证明你的猜想；
（2）若AE＝1，CE＝2，求⊙O的半径和AD的长．

【解答】解：（1）CE是⊙O的切线．
证明：连接CO，

∵OA＝OC．
∴∠OCA＝∠OAC，
∵AC平分∠FAB，
∴∠OCA＝∠CAE，
∴OC∥FD，
∵CE⊥DF，
∴半径OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；

（2）连接BC，

在Rt△ACE中，AC＝＝＝，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA＝90°，
∴∠BCA＝∠CEA，
∵∠CAE＝∠CAB，
∴△ABC∽△ACE，
∴＝，
∴，
∴AB＝5，
∴AO＝2.5；即⊙O的半径为2.5．
作OH⊥AD于H，
∴AD＝2AH，
∴四边形COHE是矩形，
∴OH＝EC，OC＝OA＝EH，AH＝EH＝﹣EA，
∴AH＝2.5﹣1＝1.5，
∴AD＝2AH＝3．
∴⊙O的半径为2.5，AD的长为3．
26．（10分）如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y＝x﹣2交于B，C两点．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）求证：△ABC是直角三角形；
（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：
（1）∵顶点坐标为（1，1），
∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+1，
又抛物线过原点，
∴0＝a（0﹣1）2+1，解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+1，
即y＝﹣x2+2x，
联立抛物线和直线解析式可得，解得或，
∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；
（2）如图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，

则AD＝OD＝BD＝1，BE＝OB+OE＝2+1＝3，EC＝3，
∴∠ABO＝∠CBO＝45°，即∠ABC＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，﹣x2+2x），
∴ON＝|x|，MN＝|﹣x2+2x|，
由（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分别求得AB＝，BC＝3，
∵MN⊥x轴于点N
∴∠ABC＝∠MNO＝90°，
∴当△ABC和△MNO相似时有＝或＝，
①当＝时，则有＝，即|x||﹣x+2|＝|x|，
∵当x＝0时M、O、N不能构成三角形，
∴x≠0，
∴|﹣x+2|＝，即﹣x+2＝±，解得x＝或x＝，
此时N点坐标为（，0）或（，0）；
②当＝时，则有＝，即|x||﹣x+2|＝3|x|，
∴|﹣x+2|＝3，即﹣x+2＝±3，解得x＝5或x＝﹣1，
此时N点坐标为（﹣1，0）或（5，0），
综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．