2022年湖南省邵阳市绥宁县中考数学一模试卷（含答案）

这是一份2022年湖南省邵阳市绥宁县中考数学一模试卷（含答案），共20页。试卷主要包含了如图，已知△ABC是等边三角形等内容，欢迎下载使用。
2022年湖南省邵阳市绥宁县中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）“一方有难，八方支援”，在2020年新冠疫情期间，全国共有346支医疗队，约42600人支援湖北，其中42600用科学记数法表示为（　　）
A．4.26×103 B．42.6×103 C．4.26×104 D．0.426×105
3．（3分）不等式3x﹣2＞4的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．（a+b）2＝a2+b2 B．（﹣3x3）2＝9x6
C．4a6÷2a2＝2a3 D．（a﹣b）2＝a2﹣ab+b2
5．（3分）已知一组数据：20、30、40、50、50、50、60、70、80，其中平均数、中位数、众数的大小关系是（　　）
A．平均数＞中位数＞众数 B．平均数＜中位数＜众数
C．中位数＜众数＜平均数 D．平均数＝中位数＝众数
6．（3分）世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按净胜球排序，一个队要保证出线，这个队至少要积（　　）
A．6分 B．7分 C．8分 D．9分
7．（3分）如图所示，一次函数y＝kx+b（k，b是常数k≠0）与正比例函数y＝mx（m是常数，m≠0）的图象相交于点M（1，2），下列判断错误的是（　　）

A．关于x的方程mx＝kx+b的解是x＝1
B．关于x的不等式mx＜kx+b的解集是x＞1
C．当x＜0时，函数y＝kx+b的值比函数y＝mx的值大
D．关于x，y的方程组的解是
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N，分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在△ABC的内部相交于点P，画射线BP，交AC于点D，若AD＝BD，则∠ADB的度数是（　　）

A．36° B．54° C．72° D．108°
9．（3分）如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC＝θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（　　）

A．cosθ（1+cosθ） B．cosθ（1+sinθ）
C．sinθ（1+sinθ） D．sinθ（1+cosθ）
10．（3分）如图，已知△ABC是等边三角形．点D、E分别在边BC、AC上，且CD＝CE．连结DE并延长至点F，使EF＝AE．连接AF、CF．连接BE并延长交CF于点G．下列结论：
①△ABE≌△ACF；②BC＝DF；③S△ABC＝S△ACF+S△DCF；④若BD＝2DC，则GF＝2EG．其中正确的个数是（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知，则＝　 　．
12．（3分）在一个不透明的盒子中，装有绿色、黑色、白色的小球共有60个，除颜色外其他完全相同，一同学通过多次摸球试验后发现其中摸到绿色球、黑色球的频率稳定在30%和40%，盒子中白色球的个数可能是 　 　．
13．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，∠ABC的平分线BF交DE于点F，若AB＝6，BC＝8，则EF的长为 　 　．

14．（3分）若去分母解分式方程+1＝会产生增根，则m的值为 　 　．
15．（3分）如图，点O是平行四边形ABCD的对称中心，点E、F分别为边BC、AD上任意一点，且O、E、F三点在一条直线上，连接AO，BO，EO，FO．若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，则图中阴影部分的面积是 　 　．

16．（3分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＞0）的图象分别交矩形OABC的边AB、BC于点D、E，且BE＝2CE，若四边形ODBE的面积为7，则k的值为　 　．

三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）计算：|﹣1|+﹣6sin60°﹣（﹣π）0．
18．（7分）先化简，再从﹣1，2，3中选择一个合适的数代入求值．
19．（7分）如图三角形ABC，D为BC的延长线上一点．
（1）用尺规作图的方法在AC右边作∠ACE，使∠ACE＝∠B；
（2）在（1）的条件下，若∠A＝55°，CE恰好平分∠ACD，求∠ACB的度数．

20．（8分）游泳是一项深受青少年喜爱的体育活动，学校为了加强学生的安全意识，组织学生观看了纪实片“孩子，请不要私自下水”，并于观看后在本校的2000名学生中作了抽样调查．请根据下面两个不完整的统计图回答以下问题：
（1）这次抽样调查中，共调查了　 　名学生；
（2）补全两个统计图；
（3）根据抽样调查的结果，估算该校2000名学生中大约有多少人“一定会下河游泳”？

21．（8分）如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数的图象交于点B（m，2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点D（2，n）也在反比例函数图象上，求△DOB的面积．

22．（8分）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i＝1：，且AB＝26米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡．
（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长．
（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）．

23．（9分）望谟火龙果是望谟县的特产之一，为铺开销售渠道，当地政府引导果农进行网络销售．在试销售期间发现，该种火龙果的月销售量y（单位：千克）与销售单价x（单位：元）成一次函数关系，函数图象如图所示，已知该种火龙果的销售成本为5元/千克．
（1）求y关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
（2）求销售该种火龙果每月可获得的最大利润；
（3）在销售过程中发现，该种火龙果每千克还需要支付1元的保鲜成本，若月销售量y与销售单价x保持（1）中的函数关系不变，当该种火龙果的月销售利润是105000元时，在最大限度减少库存的条件下，求x的值．

24．（9分）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦BC平分∠PBD，且BD⊥PD于点D．
（1）求证：PD是⊙O的切线．
（2）若AB＝8cm，BD＝6cm，求弧AC的长．

25．（10分）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，连接BC．若在第四象限的抛物线上取一点M，过点M作MD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）试探究抛物线上是否存在点M，使ME有最大值？若存在，求出点M的坐标和ME的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）连接CM，试探究是否存在点M，使得以M，C，E为顶点的三角形和△BDE相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．



2022年湖南省邵阳市绥宁县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
2． 解：42600用科学记数法表示为4.26×104．
故选：C．
3． 解：不等式移项得：3x＞6，
解得：x＞2，
表示在数轴上得：，
故选：B．
4． 解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴选项A不符合；
∵（﹣3x3）2＝9x6，
∴选项B符合；
∵4a6÷2a2＝2a4，
∴选项C不符合；
∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴选项D不符合，
故选：B．
5． 解：从小到大数据排列为20、30、40、50、50、50、60、70、80，
50出现了3次，为出现次数最多的数，故众数为50；共9个数据，第5个数为50，故中位数是50；
平均数＝（20+30+40+50+50+50+60+70+80）÷9＝50．
∴平均数＝中位数＝众数．
故选：D．
6． 解：4个队单循环比赛共比赛4×3÷2＝6场，每场比赛后两队得分之和或为2分（即打平），或为3分（有胜负），所以6场后各队的得分之和不超过18分，
①若一个队得7分，剩下的3个队得分之和不超过11分，不可能有两个队得分之和大于或等于7分，所以这个队必定出线，
②如果一个队得6分，则有可能还有两个队均得6分，而净胜球比该队多，该队仍不能出线．
故选：B．
7． 解：∵一次函数y＝kx+b（k，b是常数k≠0）与正比例函数y＝mx（m是常数，m≠0）的图象相交于点M（1，2），∴关于x的方程，mx＝kx+b的解是x＝1，选项A判断正确，不符合题意；
关于x的不等式mx＜kx+b的解集是x＜1，选项B判断错误，符合题意；
当x＜0时，函数y＝kx+b的值比函数y＝mx的值大，选项C判断正确，不符合题意；
关于x，y的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意．
故选：B．
8． 解：由题意可得BP为∠ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∴∠A＝∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABC＝2∠A，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝2∠A，
∴∠A+∠ABC+∠C＝∠A+2∠A+2∠A＝180°，
解得∠A＝36°．
∴∠ADB＝180°﹣2∠A＝180°﹣72°＝108°．
故选：D．
9． 解：当△ABC的高AD经过圆的圆心时，此时△ABC的面积最大，
如图所示，

∵A′D⊥BC，
∴BC＝2BD，∠BOD＝∠BA′C＝θ，
在Rt△BOD中，
sinθ＝，cosθ＝
∴BD＝sinθ，OD＝cosθ，
∴BC＝2BD＝2sinθ，
A′D＝A′O+OD＝1+cosθ，
∴A′D•BC＝×2sinθ（1+cosθ）＝sinθ（1+cosθ）．
故选：D．
10． 解：①正确．∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵DE＝DC，
∴△DEC是等边三角形，
∴ED＝EC＝DC，∠DEC＝∠AEF＝60°，
∵EF＝AE，
∴△AEF是等边三角形，
∴AF＝AE，∠EAF＝60°，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS），故①正确．
②正确．∵△ABC与△DEC都是等边三角形，
∴∠ABC＝∠FDC＝60°，
∴AB∥DF，
∵△ABC与△AEF都是等边三角形，
∴∠EAF＝∠ACB＝60°，
∴AF∥BC，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF＝AB＝BC，故②正确．
③正确．∵△ABE≌△ACF，
∴BE＝CF，S△ABE＝S△AFC，
在△BCE和△FDC中，
，
∴△BCE≌△FDC（SSS），
∴S△BCE＝S△FDC，
∴S△ABC＝S△ABE+S△BCE＝S△ACF+S△DCF，故③正确．
④正确．∵△BCE≌△FDC，
∴∠DBE＝∠EFG，∵∠BED＝∠FEG，
∴△BDE∽△FGE，
∴，
∴，
∵BD＝2DC，DC＝DE，
∴＝2，
∴GF＝2EG．故④正确．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11． 解：∵，
∴＝+1＝+1＝，
∴＝，
故答案为：．
12． 解：由题意可得，
盒子中白色球的有：60×（1﹣30%﹣40%）＝60×30%＝18（个），
故答案为：18．
13． 解：∵点D、E分别为边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC＝4，
∴∠DFB＝∠HBF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠CBF，
∴∠DFB＝∠DBF，
∴DB＝DF＝AB＝3，
∴EF＝DE﹣DF＝1，
故答案为：1．
14． 解：去分母，得x﹣2+x﹣3＝m，
根据题意，将增根x＝3代入x﹣2+x﹣3＝m，
得3﹣2+3﹣3＝m，
解得m＝1，
故答案为：1．
15． 解：如图所示，连接CO，过A作AH⊥BC于H，
∵AB＝4，∠ABC＝60°，∠AHB＝90°，
∴∠BAH＝30°，BH＝AB＝2，
∴AH＝2，
∴S△ABC＝BC×AH＝＝6，
又∵点O是平行四边形ABCD的对称中心，
∴O是AC的中点，
∴S△BOC＝S△ABC＝×6＝，
∵点O是平行四边形ABCD的对称中心，且O、E、F三点在一条直线上，
∴AO＝CO，FO＝EO，∠AOF＝∠COE，
∴△AOF≌△COE（SAS），
∴S△AOF＝S△COE，
∴S阴影部分＝S△BOC＝3，
故答案为：．

16． 解：连接OB，如图所示：
∵四边形OABC是矩形，
∴∠OAD＝∠OCE＝∠DBE＝90°，△OAB的面积＝△OBC的面积，
∵D、E在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴△OAD的面积＝△OCE的面积，
∴△OBD的面积＝△OBE的面积＝四边形ODBE的面积＝，
∵BE＝2EC，
∴△OCE的面积＝△OBE的面积＝，
∴k＝；
故答案为．

三．解答题（共9小题，满分72分）
17． 解：原式＝1+3﹣6×﹣1
＝1+3﹣3﹣1
＝0．
18． 解：原式＝÷
＝÷
＝•
＝•
＝﹣a﹣1，
当a＝3时，
原式＝﹣3﹣1
＝﹣4．
19． 解：（1）如图，∠ACE为所作；

（2）∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ACD，
∵∠ACE＝∠B，
∴∠B＝∠ACD，
∵∠ACD＝∠A+∠B，
即∠ACD＝55°+∠ACD，
∴∠ACD＝110°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ACD＝180°﹣110°＝70°．
20． 解：（1）总人数是：20÷5%＝400（人）；

（2）一定不会的人数是400﹣20﹣50﹣230＝100（人），
家长陪同的所占的百分百是×100%＝57.5%，
补图如下：


（3）根据题意得：
2000×5%＝100（人）．
答：该校2000名学生中大约有多少人“一定会下河游泳”有100人．
21． 解：（1）∵点B（m，2）在直线y＝x+1上，
∴2＝m+1，得m＝1，
∴点B的坐标为（1，2），
∵点B（1，2）在反比例函数的图象上，
∴k＝1×2＝2，
即反比例函数的表达式是y＝；
（2）∵点D（2，n）也在反比例函数图象上，
∴n＝＝1，
∴D（2，1），
作BM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N，则S△BOM＝S△DON＝|k|，
∵S△BOD＝S△BOM+S梯形BMND﹣S△DON＝S梯形BMND，
∴S△BOD＝（BM+DN）•MN＝（2+1）×（2﹣1）＝．

22． 解：（1）∵斜坡AB的坡比为i＝1：，
∴BE：EA＝12：5，
设BE＝12x，则EA＝5x，
由勾股定理得，BE2+EA2＝AB2，即（12x）2+（5x）2＝262，
解得，x＝2，
则BE＝12x＝24，AE＝5x＝10，
答：改造前坡顶与地面的距离BE的长为24米；
（2）作FH⊥AD于H，
则tan∠FAH＝，
∴AH＝≈18，
∴BF＝18﹣10＝8，
答：BF至少是8米．

23． 解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
由题意得，，
解得，
即y与x的函数解析式是y＝﹣20000x+220000；
（2）设销售火龙果的月利润为W元，由题意可得，
W＝（x﹣5）（﹣20000x+220000）
＝﹣20000x2+320000x﹣1100000
＝﹣20000（x﹣8）2+180000，
∵﹣20000＜0，
∴当x＝8时，W最大是180000，
∴最大利润是180000元；
（3）由题意得，（x﹣5﹣1）（﹣20000x+220000）＝105000，
解得x1＝7.5，x2＝9.5．
∵单价最低销量最大，
∴在最大限度减少库存的条件下，x＝7.5．
24． （1）证明：连接OC，如图，

∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC．
∵弦BC平分∠PBD，
∴∠OBC＝∠DBC，
∴∠OCB＝∠DBC．
∴OC∥BD，
∵BD⊥PD，
∴OC⊥PD．
∵OC为⊙O的半径，
∴PD是⊙O的切线；
（2）解：连接OC，如图，

由（1）知：OC∥BD，
∴△PCO∽△PDB，
∴，
∴，
∴PA＝4．
∴PO＝PA+OA＝8．
在Rt△OCP中，
∵cos∠COP＝，
∴∠COP＝60°．
∴弧AC的长＝＝．
25． 解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
则y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
即﹣3a＝﹣4，
解得：a＝，
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣4；

（2）存在，理由：
设BC的表达式为：y＝kx﹣4，
将点B的坐标代入上式得：0＝3k﹣4，
解得：k＝，
则直线BC的表达式为：y＝x﹣4，
设点E（x，x﹣4），则点M（x，x2﹣x﹣4），
则ME＝（x﹣4）﹣（x2﹣x﹣4）＝﹣x2+4x，
∵﹣＜0，故ME有最大值，
当x＝时，ME的最大值为3，此时，点M（，﹣5）；

（3）存在，理由：
∵∠DEB＝∠CEM，M，C，E为顶点的三角形和△BDE相似，
则∠CEM（∠ECM）＝∠BDE＝90°
当∠CME为直角时，
则点C、M关于抛物线对称轴对称，
而抛物线的对称轴为x＝，
则点M（3，﹣4）；
当∠ECM＝90°时，如下图：

过点M作MH⊥y轴于点H，
∴∠OCB+∠MCH＝90°，
∵∠OCB+∠OBC＝90°，
∴∠MCH＝∠OBC，
∴tan∠MCH＝tan∠OBC＝，
∴tan∠CMH＝，
故直线CM的表达式为：y＝﹣x﹣4，
联立抛物线表达式和上式得：x2﹣x﹣4＝﹣x﹣4，
解得：x＝0（舍去）或，
即点M（，﹣）；
综上，点M的坐标为：（，﹣）或（3，﹣4）．