2023年湖南省邵阳市新宁县中考数学一模试卷（含答案）

这是一份2023年湖南省邵阳市新宁县中考数学一模试卷（含答案），共24页。
2023年湖南省邵阳市新宁县中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）在﹣1，，0，﹣3这四个数中，比﹣2小的是（　　）
A．﹣1 B． C．0 D．﹣3
2．（3分）在下列运算中，正确的是（　　）
A．a3•a4＝a12 B．（ab2）3＝a6b6
C．（a3）4＝a7 D．a4÷a3＝a
3．（3分）已知某种新型感冒病毒的直径为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（　　）
A．8.23×10﹣6 B．8.23×10﹣7 C．8.23×106 D．8.23×107
4．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x＞3 B．x＝3 C．x≠0 D．x≠3
5．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则cosB的值是（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）若y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的另一个解为（　　）

A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
7．（3分）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）

A．k＞0 B．b＝2
C．y随x的增大而增大 D．x＝3时，y＝0
8．（3分）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（3分）若一次函数y＝ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2+bx的图象只可能是（　　）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于M、N，连接EN、EF，有以下结论：
①AN＝EN
②当AE＝AF时，＝2﹣
③BE+DF＝EF
④存在点E、F，使得NF＞DF
其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．
12．（3分）如图，直线a∥b，将含有45°角的三角形板ABC的直角顶点C放在直线b上，若∠1＝27°，则∠2的度数为　 　．

13．（3分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（m+2）x2﹣3x+m开口向下，那么m的取值范围是 　 　．
14．（3分）已知﹣1是一元二次方程2x2﹣mx﹣3＝0的一个根，那么该方程的另一个根是 　 　．
15．（3分）如图，已知⊙O的直径AB为10，弦CD＝8，CD⊥AB于点E，则sin∠OCE的值为 　 　．

16．（3分）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成两部分，S△ADE：S四边形BDEC＝4：5，则的值是 　 　．

17．（3分）如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，点A在反比例函数y＝的图象上，若点B在反比例函数y＝的图象上，则k＝　 　．

18．（3分）如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处，若DE＝5，AB＝8，则S△ABF：S△FCE＝　 　．

三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）计算：2sin60°++|﹣5|﹣（﹣2023）0．
20．（8分）先化简÷+，然后从0，1，2，3中选一个合适的a值代入求解．
21．（8分）为了解某地区中学生一周课外阅读时长的情况，随机抽取部分中学生进行调查，根据调查结果，将阅读时长分为四类：2小时以内，2～4小时（含2小时），4～6小时（含4小时），6小时及以上，并绘制了如图所示尚不完整的统计图．

（1）本次调查共随机抽取了　 　名中学生，其中课外阅读时长“2～4小时”的有　 　人；
（2）扇形统计图中，课外阅读时长“4～6小时”对应的圆心角度数为　 　°；
（3）若该地区共有20000名中学生，估计该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的人数．
22．（8分）为满足市场需求，某服装超市在六月初购进一款短袖T恤衫，每件进价是80元；超市规定每件售价不得少于90元，根据调查发现：当售价定为90元时，每周可卖出600件，一件T恤衫售价每提高1元，每周要少卖出10件．若设售价为x（x≥90）元，每周所获利润为Q（元），请解答下列问题：
（1）每周短袖T恤衫销量为y（件），则y＝　 　（含x的代数式表示），并写出Q与x的函数关系式；
（2）当售价x定为 　 　元时，该服装超市所获利润最大，最大利润为 　 　元；
（3）该服装超市每周想从这款T恤衫销售中获利8500元，又想尽量给客户实惠，该如何给这款T恤衫定价？
23．（8分）如图，四边形ABCD是某水库大坝的横截面示意图，坝高8米，背水坡的坡角为45°，现需要对大坝进行加固，使上底加宽2米，且加固后背水坡的坡度i＝1：2，求加固后坝底增加的宽度AF的长．

24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点F、C在⊙O上且＝，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若∠CAD＝30°，CD＝，求的长．

25．（10分）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋转90°得到AG，连接GC，HB．
（1）证明：△AHB≌△AGC；
（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q．
①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°；
②若AB＝AC＝4，当EH的长度为多少时△AQG为等腰三角形？

26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x＝1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．


2023年湖南省邵阳市新宁县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：∵|﹣1|＝1，|﹣|＝，|﹣2|＝2，|﹣3|＝3，而，
∴，
故选：D．
2． 解：A、底数不变指数相加，即a3•a4＝a7，故A错误；
B、积得乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即（ab2）3＝a3b6，故B错误；
C、底数不变指数相乘，即（a3）4＝a12，故C错误；
D、底数不变指数相减，即a4÷a3＝a，故D正确；
故选：D．
3． 解：0.000000823＝8.23×10﹣7．
故选：B．
4． 解：依题意得：3﹣x≠0．
解得x≠3．
故选：D．
5． 解：如图．

∵∠C＝90°，AC＝2BC＝x，
∴AB＝．
∴cosB＝．
故选：B．
6． 解：∵根据图示知，抛物线与x轴的一个交点是（3，0）对称轴为直线x＝1，
∴根据对称性，抛物线与x轴的另一交点为（﹣1，0），
∴令y＝0，即ax2+bx+c＝0，
∴方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝3．
即方程的另一解为﹣1．
故选：B．
7． 解：观察一次函数图象发现，图象过第一、二、四象限，
∴k＜0，A错误；
∴函数值y随x的增大而减小，C错误；
∵图象与y轴的交点为（0，2）
∴b＝2，B正确；
∵图象与x轴的交点为（4，0）
∴x＝4时，y＝0，D错误．
故选：B．
8． 解：由题意可得，
，
故选：A．
9． 解：∵一次函数y＝ax+b的图象经过第二、三、四象限，
∴a＜0，b＜0，
∴二次函数y＝ax2+bx的开口向下，对称轴在y轴左侧，
故选：C．
10． 解：①如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EBM＝∠ADM＝∠FDN＝∠ABD＝45°，
∵∠MAN＝∠EBM＝45°，∠AMN＝∠BME，
∴△AMN∽△BME，
∴，
∵∠AMB＝∠EMN，
∴△AMB∽△NME，
∴∠AEN＝∠ABD＝45°
∴∠NAE＝∠AEN＝45°，
∴△AEN是等腰直角三角形，
∴AN＝EN，
故①正确；
②在△ABE和△ADF中，
∵，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，
∵BC＝CD，
∴CE＝CF，
假设正方形边长为1，设CE＝x，则BE＝1﹣x，
如图2，连接AC，交EF于O，

∵AE＝AF，CE＝CF，
∴AC是EF的垂直平分线，
∴AC⊥EF，OE＝OF，
Rt△CEF中，OC＝EF＝x，
△EAF中，∠EAO＝∠FAO＝22.5°＝∠BAE＝22.5°，
∴OE＝BE，
∵AE＝AE，
∴Rt△ABE≌Rt△AOE（HL），
∴AO＝AB＝1，
∴AC＝＝AO+OC，
∴1+x＝，
x＝2﹣，
∴＝＝＝；
故②不正确；
③如图3，

∴将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，则AF＝AH，∠DAF＝∠BAH，
∵∠EAF＝45°＝∠DAF+∠BAE＝∠HAE，
∵∠ABE＝∠ABH＝90°，
∴H、B、E三点共线，
在△AEF和△AEH中，
，
∴△AEF≌△AEH（SAS），
∴EF＝EH＝BE+BH＝BE+DF，
故③正确；
④△ADN中，∠FND＝∠ADN+∠NAD＞45°，
∠FDN＝45°，
∴DF＞FN，
故不存在点E、F，使得NF＞DF，
故④不正确；
故选：B．

二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11． 解：由题意得，≥0，
则或，
解得，x＞2或x≤1，
故答案为：x＞2或x≤1．
12．
解：过B作BE∥直线a，
∵直线a∥b，
∴a∥b∥BE，
∴∠2＝∠ABE，∠1＝∠CBE＝27°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠2＝∠ABE＝45°﹣27°＝18°，
故答案为：18°．
13． 解：∵抛物线y＝（m+2）x2﹣3x+m开口向下，
∴m+2＜0，
∴m＜﹣2．
故答案为：m＜﹣2．
14． 解：设方程另一根为x2，
则﹣1×x2＝﹣，
解得：x2＝．
故方程的另一个根是．
故答案为：．
15． 解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE＝CD＝×8＝4，OC＝AB＝×10＝5，
∴OE＝＝＝3，
∴sin∠OCE＝＝．
故答案为：．
16． 解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴．
∵S△ADE：S四边形BDEC＝4：5，
∴．
∴，
∴．
故答案为：．
17． 解：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．
设点A的坐标是（m，n），则AC＝n，OC＝m．
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°．
∵∠DBO+∠BOD＝90°，
∴∠DBO＝∠AOC．
∵∠BDO＝∠ACO＝90°，
∴△BDO∽△OCA．
∵∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，
∴＝，
∴＝＝＝，
设A（m，n），则B（﹣n，m），
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴mn＝2，
∴﹣n•m＝﹣3×2＝﹣6，
∴k＝﹣6．
故答案为：﹣6．

18． 解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝8
∵DE＝5，
∴EC＝3
∵折叠
∴DE＝EF＝5，∠D＝∠AFE＝90°
在Rt△EFC中，FC＝＝4
∵∠AFE＝90°，∠C＝90°
∴∠AFB+∠EFC＝90°，∠EFC+∠FEC＝90°
∴∠AFB＝∠FEC，且∠B＝∠C＝90°
∴△ABF∽△FCE
∴＝（）2＝4
故答案为：4
三．解答题（共8小题，满分66分）
19． 解：原式＝2×+2+5﹣1
＝+2+5﹣1
＝3+4．
20． 解：原式＝•+
＝a+a
＝2a，
∵a＝0，1，2时分式无意义，
∴a＝3，
当a＝3时，原式＝2×3＝6．
21． 解：（1）本次调查共随机抽取了：50÷25%＝200（名）中学生，
其中课外阅读时长“2～4小时”的有：200×20%＝40（人），
故答案为：200，40；
（2）扇形统计图中，课外阅读时长“4～6小时”对应的圆心角度数为：360°×（1﹣﹣20%﹣25%）＝144°，
故答案为：144；
（3）20000×（1﹣﹣20%）＝13000（人），
答：估计该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的有13000人．
22． 解：（1）每周短袖T恤衫销量为y＝600﹣10×（x﹣90）＝﹣10x+1500，
∴y＝﹣10x+1500，
故答案为：﹣10x+1500；
根据题意得：Q＝（x﹣80）y＝（x﹣80）（﹣10x+1500）＝﹣10x2+2300x﹣120000，
∴Q与x的函数关系式为Q＝﹣10x2+2300x﹣120000；
（2）Q＝﹣10x2+2300x﹣120000＝﹣10（x﹣115）2+12250，
∵﹣10＜0，
∴当x＝115时，Q有最大值，最大值为12250，
故答案为：115，12250；
（3）当Q＝8500时，﹣10（x﹣115）2+12250＝8500，
解得x1＝95，x2＝135，
∵尽量给客户实惠，
∴x＝95．
答：这款T恤衫定价为95元/件．
23． 解：分别过点E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H，

∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，
∴DH平行且等于EG，
故四边形EGHD是矩形，
∴ED＝GH，
在Rt△ADH中，AH＝DH÷tan∠DAH＝8÷tan45°＝8（米），
在Rt△FGE中，i＝1：2＝，
∴FG＝2EG＝16（米），
∴AF＝FG+GH﹣AH＝16+2﹣8＝10（米）．
答：加固后坝底增加的宽度AF的长是10米．
24． （1）证明：∵＝，
∴∠FAC＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠FAC＝∠OCA，
∴OC∥AF，
∵CD⊥AF，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接BC，

∵∠CAD＝30°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2∠CAD＝60°，
∴∠AOC＝180°﹣60°＝120°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝AB，
∵CD⊥AD，∠CAD＝30°，CD＝，
∴AC＝2CD＝2，
∴AB2﹣＝，
∴AB＝4或AB＝﹣4（舍去），
∴OA＝2，
∴的长＝＝π．
25． （1）证明：如图1，

由旋转得：AH＝AG，∠HAG＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAH＝∠CAG，
∵AB＝AC，
∴△ABH≌△ACG（SAS）；
（2）①证明：如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵点E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，AE＝AB，AF＝AC，
∴AE＝AF，∠AEF＝∠ABC＝45°，∠AFE＝∠ACB＝45°，
∵∠EAH＝∠FAG，AH＝AG，
∴△AEH≌△AFG（SAS），
∴∠AFG＝∠AEH＝45°，
∴∠HFG＝45°+45°＝90°；
②分两种情况：
i）如图3，AQ＝QG时，

∵AQ＝QG，
∴∠QAG＝∠AGQ，
∵∠HAG＝∠HAQ+∠QAG＝∠AHG+∠AGH＝90°，
∴∠QAH＝∠AHQ，
∴AQ＝QH＝QG，
∵AH＝AG，
∴AQ⊥GH，
∵∠AFG＝∠AFH＝45°，
∴∠FGQ＝∠FHQ＝45°，
∴∠HFG＝∠AGF＝∠AHF＝90°，
∴四边形AHFG是正方形，
∵AC＝4，
∴AF＝2，
∴FG＝EH＝，
∴当EH的长度为时，△AQG为等腰三角形；
ii）如图4，当AG＝QG时，∠GAQ＝∠AQG，

∵∠AEH＝∠AGQ＝45°，∠EAH＝∠GAQ，
∴∠AHE＝∠AQG＝∠EAH，
∴EH＝AE＝2，
∴当EH的长度为2时，△AQG为等腰三角形；
综上，当EH的长度为或2时，△AQG为等腰三角形．
26． 方法一：
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点C（0，4），
∴c＝4 ①．
∵对称轴x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a②．
∵抛物线过点A（﹣2，0），
∴0＝4a﹣2b+c③，
由①②③解得，a＝﹣，b＝1，c＝4，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；

（2）假设存在满足条件的点F，如图所示，连接BF、CF、OF，过点F作FH⊥x轴于点H，FG⊥y轴于点G．
设点F的坐标为（t，﹣t2+t+4），其中0＜t＜4，
则FH＝﹣t2+t+4，FG＝t，
∴S△OBF＝OB•FH＝×4×（﹣t2+t+4）＝﹣t2+2t+8，
S△OFC＝OC•FG＝×4×t＝2t，
∴S四边形ABFC＝S△AOC+S△OBF+S△OFC＝4﹣t2+2t+8+2t＝﹣t2+4t+12．
令﹣t2+4t+12＝17，
即t2﹣4t+5＝0，
则△＝（﹣4）2﹣4×5＝﹣4＜0，
∴方程t2﹣4t+5＝0无解，
故不存在满足条件的点F；

（3）设直线BC的解析式为y＝kx+n（k≠0），
∵B（4，0），C（0，4），
∴，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．
由y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣1）2+，
∴顶点D（1，），
又点E在直线BC上，则点E（1，3），
于是DE＝﹣3＝．
若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，因为DE∥PQ，只须DE＝PQ，
设点P的坐标是（m，﹣m+4），则点Q的坐标是（m，﹣m2+m+4）．
①当0＜m＜4时，PQ＝（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，
由﹣m2+2m＝，
解得：m＝1或3．
当m＝1时，线段PQ与DE重合，m＝1舍去，
∴m＝3，P1（3，1）．
②当m＜0或m＞4时，PQ＝（﹣m+4）﹣（﹣m2+m+4）＝m2﹣2m，
由m2﹣2m＝，
解得m＝2±，经检验适合题意，
此时P2（2+，2﹣），P3（2﹣，2+）．
综上所述，满足题意的点P有三个，分别是P1（3，1），P2（2+，2﹣），P3（2﹣，2+）．
方法二：
（1）略．
（2）∵B（4，0），C（0，4），
∴lBC：y＝﹣x+4，
过F点作x轴垂线，交BC于H，设F（t，﹣t2+t+4），
∴H（t，﹣t+4），
∵S四边形ABFC＝S△ABC+S△BCF＝17，
∴（4+2）×4+（﹣t2+t+4+t﹣4）×4＝17，
∴t2﹣4t+5＝0，
∴△＝（﹣4）2﹣4×5＜0，
∴方程t2﹣4t+5＝0无解，故不存在满足条件的点F．

（3）∵DE∥PQ，
∴当DE＝PQ时，以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
∵y＝﹣x2+x+4，
∴D（1，），
∵lBC：y＝﹣x+4，
∴E（1，3），
∴DE＝﹣3＝，
设点F的坐标是（m，﹣m+4），则点Q的坐标是（m，﹣m2+m+4），
∴|﹣m+4+m2﹣m﹣4|＝，
∴m2﹣2m＝或m2﹣2m＝﹣，
∴m＝1，m＝3，m＝2+，m＝2﹣，
经检验，当m＝1时，线段PQ与DE重合，故舍去．
∴P1（3，1），P2（2+，2﹣），P3（2﹣，2+）．