高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词教案

《全称量词与存在量词》教学设计

1．通过对一些语句与命题之间关系的分析，抽象出全称量词，全称量词命题，存在量词，存在量词命题的概念，并能用数学符号表示含有量词的命题，在这个过程中提升数学抽象素养．

2．通过具体问题的分析解决，掌握判断全称量词命题、存在量词命题真假的方法，在这个过程提升逻辑推理、直观想象素养．

教学重点：全称量词和存在量词的意义；

教学难点：判断全称量词和存在量词命题的真假．

PPT课件

（一）整体概览

问题1：阅读教科书第26页第一段，本节将要研究哪些内容？请你罗列出来，如果让你来设计本节内容及其研究思路，你将会如何展开？

师生活动：学生自主阅读教科书，独立梳理，展示交流，老师板书．

预设的答案：研究内容及思路：通过具体实例，了解什么是全称量词和存在量词？因为加上量词的限定，使得语句成为一个命题，所以接下来要学习含有一个量词的命题的真假判断．进而研究对含有一个量词的命题的否定．

设计意图：通过阅读教科书，梳理本节的研究内容及研究过程，初步构建本节学习内容的框架，让学生对将要学习的内容有一个初步的整体认识和把握，同时有利于提高学生研究问题的能力和抽象概括能力．

（二）问题导入

问题2：下列语句是命题吗？为什么？

（1）；

（2）是整数．

师生活动：学生独立作出判断，回答问题，互相更正．

预设的答案：（1）（2）都不是命题，因为在这两个语句中，不知道变量x代表什么数，无法判断真假，所以它们不是命题．

设计意图：从学生熟悉的问题出发，为后续引出量词、认识量词的作用做好铺垫．

（三）新知探究

1．形成概念

问题3：语句（3）（4）是命题吗？比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？

（1）；

（2）是整数；

（3）对所有的x∈R，；

（4）对任意一个x∈Z，是整数．

师生活动：学生独立思考，回答问题，展示交流，互相更正．

预设的答案：（3）（4）是命题．（3）在（1）的基础上增加了短语“所有的”对变量x进行限定；（4）在（2）的基础上增加了短语“任意一个”对变量x进行限定，从而使（3）（4）成为可以判断真假的陈述句，所以（3）（4）是命题．

设计意图：借助具体例子，通过对比认识量词，体会量词的作用，由此引出全称量词的概念、符号以及全称量词命题的概念．

老师讲解：用一个短语对变量的取值范围进行限定，可以使类似“”“是整数”的开语句成为一个命题，我们把这样的短语称为量词．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．

通常，将含有变量的语句用，表示，变量的取值范围用表示．那么，全称量词命题“对中任意一个，成立”可用符号简记为：．

2．辨析理解

问题4：你还能说出哪些全称量词？全称量词的含义是什么？并试着举出几个全称量词命题．

师生活动：学生独立思考，小组讨论，展示交流，互相修正，老师将学生举出的例子板书在黑板上．

预设的答案：常见的全称量词：“每一个”“一切”“任给”等．

全称量词的含义：在指定范围内，表示整体或者全部的含义．

全称量词命题举例：

（1）对任意的x∈R，；

（2）对任意一个无理数，也是无理数；

（3）所有的一元二次方程都有实根；

……

追问：全称量词命题可以简记为“”．在上述命题中，“M”，“p（x）”分别指的是什么？

师生活动：学生独立思考，回答问题，老师或者同伴更正．

预设的答案：

（1）“M”指的是R，“p（x）”指的是“”；

（2）“M”指的是“所有无理数”，“p（x）”指的是“也是无理数”；

（3）“M”指的是“所有一元二次方程”，“p（x）”指的是“方程都有实根”；

……

设计意图：通过举例，进一步加深学生对全称量词的认识，熟悉全称量词命题的概念和符号表示．

问题5：请判断上述全称命题的真假，并说明理由．

师生活动：学生独立判断，写出判断结果及理由，展示交流．老师帮助学生规范过程．

预设的答案：

（1）是真命题；

对于∀x∈R，总有．所以，全称量词命题“对任意的x∈R，”为真命题；

（2）是假命题；

因为是无理数，是有理数．所以，全称量词命题“对任意一个无理数，也是无理数”是假命题；

（3）是假命题；

一元二次方程没有实根．所以，全称量词命题“所有的一元二次方程都有实根”是假命题．

追问：对给定的全称量词命题，如何判断它的真假？

师生活动：学生独立思考，自主总结，展示交流，教师引导，形成方法．

预设的答案：

如果对集合M中的每一个x，p（x）都成立，那么“”为真命题；

如果在集合M中存在一个x0，使得p（x0）不成立，那么“”为假命题．

设计意图：通过对具体的全称量词命题真假的判断，使学生进一步理解全称量词的意义．学会全称量词命题真假的判断，并经过总结形成方法．

3．形成概念

问题6：下列语句是命题吗？比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？

（1）；

（2）能被2和3整除；

（3）存在一个x∈R，使；

（4）至少有一个x∈Z，能被2和3整除．

师生活动：学生独立思考，回答问题，展示交流，互相更正．

预设的答案：（1）（2）不是命题，（3）（4）是命题．（3）在（1）的基础上增加了短语“存在一个”对变量进行限定；（4）在（2）的基础上增加了短语“至少有一个”对变量进行限定，从而使（3）（4）成为可以判断真假的陈述句，所以（3）（4）是命题．

设计意图：借助具体例子，通过对比认识量词，体会量词的作用，由此引出存在量词的概念、符号以及存在量词命题的概念．

老师讲授：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．

类比全称量词命题的符号表示，存在量词命题“存在中的元素，成立”可用符号简记为．

4．辨析理解

问题7：你还能说出哪些存在量词？存在量词的含义是什么？并试着举出几个存在量词命题．

师生活动：学生独立思考，小组讨论，展示交流，互相修正．

预设的答案：

常见的存在量词：“有些”“有一个”“对某些”“有的”等．

存在量词的含义：在指定范围内，表示个别或一部分的含义．

存在量词命题：（1）有一个实数，使；

（2）存在一个无理数，也是无理数；

（3）有些平行四边形是菱形；

……

设计意图：通过举例，进一步加深学生对存在量词的认识，熟悉存在量词命题的概念．

问题8：你能判断上述存在命题的真假吗？说明理由，并类比全称量词命题总结出存在量词命题真假的判断方法．

师生活动：学生独立判断，写出判断结果、理由、总结，展示交流．老师帮助学生规范过程．

预设的答案：（1）是假命题；对于∀x∈R，总有，即不存在x∈R，使得．所以，存在量词命题“有一个实数，使”为假命题；

（2）是真命题；因为是无理数，是无理数．所以，存在量词命题“存在一个无理数，也是无理数”是真命题；

（3）是真命题；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．所以，存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题．

方法：如果在集合M中存在一个x0，使得p（x0）成立，那么“”为真命题；

如果对集合M中每一个x，p（x）都不成立，那么“”为假命题．

设计意图：通过对具体的存在量词命题真假的判断，使学生进一步理解存在量词的意义．学会存在量词命题真假的判断，并经过总结形成方法．

（四）归纳小结 布置作业

问题9：本节课我们学习了全称量词和存在量词，全称量词和存在量词的意义分别是什么？常用的表述形式分别有哪些？什么是全称量词命题和存在量词命题？它们的符号表示分别是什么？如何判断它们的真假？回顾本节学习过程，与你在问题1中设计的研究过程和思路是否一致？

师生活动：学生自己先总结，然后师生补充完善．并将实际的研究过程和思路与一开始的设计进行对照，改进补充，提升学生研究问题的能力．

预设的答案：

研究思路体现了研究一个概念的基本路径：具体例子→形成概念→表示→判断．

设计意图：通过梳理本节课的内容，让学生对全称量词、存在量词的意义以及全称量词命题和存在量词命题有一个整体的认知，并进一步总结它们的研究思路．

作业布置：教科书第28页练习第1，2题；习题1.5第1，2题．

（五）目标检测设计

1．下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题．用符号“∀”或“∃”表示下面的命题，并判断其真假．

（1）对所有的实数a，b，关于x的方程ax＋b＝0恰有唯一解；

（2）所有的矩形都是平行四边形；

（3）至少有一个偶数是素数；

（4）存在x∈R，使．

设计意图：考查全称量词与存在量词的意义，全称量词命题和存在量词命题的概念、符号表示及真假判断．

2．（1）将语句“x+y∈Z（整数集）”修改成全称量词命题，并使得该命题为真命题．

（2）将语句“a能被2整除”修改成存在量词命题，并使得该命题为假命题．

设计意图：考查全称量词命题与存在量词命题的概念及其真假判断的方法．

参考答案：

1．（1）全称量词命题；∀a，b∈R，关于x的方程ax＋b＝0恰有唯一解；假命题；因为当时，方程无解，所以其为假命题；

（2）全称量词命题；的矩形都是平行四边形；真命题；根据矩形的定义可知其为真命题；

（3）存在量词命题；是偶数，是素数；真命题；2是偶数，2也是素数，所以“至少有一个偶数是素数”是真命题；

（4）存在量词命题；∈R，使；假命题；因为“∀x∈R，”，所以为假命题．

2．（1）对于，y∈Z，x+y∈Z；（2）奇数，a能被2整除．