2022-2023学年福建省莆田重点中学高一（下）期中数学试卷-普通用卷

2022-2023学年福建省莆田重点中学高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  复数为虚数单位的共轭复数的虚部等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知，均为单位向量，它们的夹角为，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在中，、是、所对的边，已知，则的形状是(    )

A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形

5.  要得到函数的图象，只需将的图象(    )

A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位

6.  设与的夹角为，则在上的投影向量为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  圣索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．犇犇同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点三点共线处测得楼顶、教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则犇犇估算索菲亚教堂的高度约为结果保留整数(    )

 

A.  B.  C.  D.

8.  已知函数满足对于恒成立，则函数(    )

A. 一定是奇函数 B. 一定是偶函数
C. 一定是奇函数 D. 一定是偶函数

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知向量，，则(    )

A.
B. 与向量共线的单位向量是
C.
D. 向量在向量上的投影向量是

10.  若复数满足，则(    )

A.
B. 是纯虚数
C. 复数在复平面内对应的点在第三象限
D. 若复数在复平面内对应的点在角的终边上，则

11.  已知函数其中，，的部分图象如图所示，则下列结论正确的是(    )

A. 函数的图象关于直线对称
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在区间上单调递增
D. 函数与的图象的所有交点的横坐标之和为
 

12.  在中，角，，所对的边分别是，，，且，则下列说法正确的是(    )

A.
B. 若，且有两解，则的取值范围为
C. 若，且为锐角三角形，则的取值范围为
D. 若，且，为的内心，则

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知非零向量与满足，则向量与夹角的余弦值为______ ．

14.  已知，则的值等于______ ．

15.  若函数是周期为的奇函数，且在上的解析式为，则 ______ ．

16.  在复平面内，已知复数满足为虚数单位，记对应的点为点，对应的点为点，则点与点之间距离的最小值        ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
平面内给定三个向量，，．
求，；
求；
若，求实数．

18.  本小题分
已知，计算下列各式的值．
；
．

19.  本小题分
已知、，是虚数单位，若复数与互为共轭复数．
判断复平面内对应的点在第几象限；
若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围．

20.  本小题分
已知向量，，．
若，求的值；
若，且，求的值．

21.  本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知．
若，求的值；
若，求周长的最大值．

22.  本小题分
为解决社区老年人“一餐热饭”的问题，某社区与物业、第三方餐饮企业联合打造了社区食堂，每天为居民提供品种丰富的饭菜，还可以提供送餐上门服务，既解决了老年人的用餐问题，又能减轻年轻人的压力，受到群众的一致好评如图，送餐人员小夏从处出发，前往，，三个地点送餐已知，，，且，．
求的长度．
假设，，，均为平坦的直线型马路，小夏骑着电动车在马路上以的速度匀速行驶，每到一个地点，需要分钟的送餐时间，到第三个地点送完餐，小夏完成送餐任务若忽略电动车在马路上损耗的其他时间例如：等红绿灯，电动车的启动和停止，求小夏完成送餐任务的最短时间．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
复数的共轭复数为，
复数的共轭复数的虚部为，
故选：．
利用复数的运算求出，再结合共轭复数的定义求解．
本题主要考查了复数的运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
根据条件可求出，然后根据进行数量积的运算即可求出答案．
本题考查了单位向量的定义，向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
利用数量积的坐标运算结合三角恒等变换求解，即可得出答案．
本题考查平面向量的坐标运算和两角和差的三角函数，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：在中，，
，又由正弦定理可得 ，
，，．
由得，，
则为等腰三角形，
故选：．
应用正弦定理和已知条件可得 ，进而得到，故有，得到为等腰三角形．
本题考查了三角形的形状判断，涉及的知识有正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的图象与性质，根据三角函数值求角的大小，推出是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查两角和与差的公式和三角函数的平移，三角函数平移时一定要遵循左加右减上加下减的原则．
先根据两角和与差的公式将化简，再根据左加右减的原则进行平移从而可得到答案．
【解答】
解：．
根据左加右减的原则，要得到函数的图象只要将的图象向左平移个单位，
故选D．  

6.【答案】 

【解析】解：与的夹角为，
，
在上的投影向量为：．
故选：．
直接根据投影向量的公式计算即可．
本题主要考查了投影向量的定义，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了正弦定理，以及实际应用题与解三角形的综合应用．
在，由边角关系得出，再由正弦定理计算出中的，最后根据直角三角形算出即可．

【解答】

解：由题意知：，，所以，
在中，，
在中，由正弦定理得，所以，
在中，，
故选：．

8.【答案】 

【解析】解：由题意可知
．
故选D
先确定的值，再由正弦函数的性质可得到，的关系式，然后代入到根据诱导公式进行化简，对选项进行验证即可．
本题主要考查三角函数的奇偶性．三角函数的基本性质要熟练掌握．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，则有，故，A正确；
对于，向量，，则与向量共线的单位向量是或，B错误；
对于，，则，C正确；
对于，向量在向量上的投影向量，D正确；
故选：．
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直、共线的判断，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了复数的四则运算，考查了共轭复数的定义，考查了复数在复平面对应的点的坐标，是基础题．
先求出复数，进而判定选项AB的正误，再利用复数在复平面内对应的点的坐标判定选项CD的正误．

【解答】

解：，，
，选项A正确，
，为纯虚数，选项B正确，
复数在复平面内对应的点为，在第一象限，选项C错误，
复数在复平面内对应的点为，，选项D错误，
故选：．

11.【答案】 

【解析】解：由函数的部分图象知，
，且，
所以，解得；
又，
所以，
即，；
又，所以；
所以
对于：当时，可得的值为，则不关于直线对称；不对；
对于：当时，可得的值为，则关于点对称；对；
对于：令，可得，则在区间上是单调递增，对；
对于：由上，可得
结合正弦函数，可得函数与有个交点；
它们横坐标分别关于，和，
可得交点的横坐标之和，对
故选：．
根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质，逐次判断个选项即可得到结论．
本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于选项，因为，
所以由正弦定理，得，即 ，
因为，所以，且，所以，选项正确；
对于选项，由余弦定理得，
将此式看作关于的二次方程，由题意得此方程有两个正解，
故，解得，所以选项B错误；
对于选项，由正弦定理，得，即，
因为为锐角三角形，
所以，即，解得，
所以，故选项C正确；
对于选项，因为，所以，
因为，所以，
所以由正弦定理，得，即，
所以，
即，
因为，所以，即，
又因为，
所以，，，，即是直角三角形，
所以内切圆的半径满足，即，
所以的面积为，选项D正确．
故选：．
选项A：根据条件求出；选项B：由余弦定理得，将此式看作关于的二次方程，由题意得此方程有两个正解，求得的取值范围；选项C：根据正弦定理得，利用为锐角三角形求角的范围，从而求边的范围；选项D：利用正弦定理求出角，从而判断出是直角三角形，利用等面积法求的内切圆半径，从而求的面积．
本题综合考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，，
所以，
所以，
故向量与夹角的余弦值为．
故答案为：．
利用向量数量积的运算律和向量的夹角公式计算即可．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：把两边平方得：
，
即，
．
故答案为：
把已知的等式左右两边平方，左边利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，右边计算出结果，整理后即可求出的值．
此题考查了二倍角的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意，函数是周期为的奇函数，
则，，
又由函数在上的解析式为，
则，，
则，
故答案为：．
通过函数的奇偶性以及函数的周期性，分析可得，，由函数的解析式可得与的值，将其相加即可得答案．
本题考查函数的周期性以及函数奇偶性的性质，关键是计算出与的值．
 

16.【答案】 

【解析】解：设复数，
则，，
，
，
化简得：，
即对应的点的轨迹方程为：，
又对应的点为点，
则点与点之间距离的最小值为：．
故答案为：．
设出复数，由已知等式列方程得出对应的点的轨迹方程，则点与点之间距离的最小值即点与点所在直线的点线距，列方程求解即可．
本题考查复数的几何意义，考查复数的模，考查点线距公式，属于基础题．
 

17.【答案】解：因为，
所以，
所以；
因为，所以，
所以；
因为，
又，
所以，解得． 

【解析】根据平面向量夹角的坐标公式即可求解；
根据平面向量模长公式的坐标表示即可求解；
根据平面向量垂直的坐标表示即可求解．
本题考查了平面向量数量积的计算，属于中档题．
 

18.【答案】解：已知，化简得，
所以．
． 

【解析】根据同角三角函数的商数关系，利用已知条件即可求出；
根据同角三角函数的平方关系构造齐次式，再利用商数关系化简，代入求值即可．
本题主要考查三角函数的同角公式，属于基础题．
 

19.【答案】解：因为、，是虚数单位，若复数与互为共轭复数，
则，所以，，复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．
由可得，
，
因为复数在复平面内对应的点在第二象限，
则，解得．
因此，实数的取值范围是． 

【解析】根据共轭复数的定义可求出、的值，利用复数的几何意义可得出结论；
利用复数的四则运算化简复数，利用复数的几何意义可出关于实数的不等式组，解之即可．
本题主要考查的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
 

20.【答案】解：因为所以，所以，
由于，所以．
由．
所以，即．
而，
所以． 

【解析】根据题意得到，再结合即可得到答案．
首先根据题意得到，从而得到，再根据求解即可．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
 

21.【答案】解：由正弦定理知，所以，
解得，
因为为钝角，所以；
由余弦定理得，
又由，，则，
所以，
所以，当且仅当时，等号成立，即的最大值为，
所以周长的最大值为． 

【解析】由正弦定理求得，进而求得的大小；
由余弦定理化简得到，结合基本不等式，求得的最大值，进而求得周长的最大值．
本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查了基本不等式的应用，属于中档题．
 

22.【答案】解：因为，，所以，
在中，由余弦定理得：

；
在中，由余弦定理得：
，
所以，
所以，
在中，由余弦定理得
，解得．
假设小夏先去地，走路线，路长，
假设小夏先去地，因为，所以走路线，路长，
假设小夏先去地，走路线，路长，
由于，
所以小夏走路线，且完成送餐任务的最短时间为． 

【解析】根据余弦定理即可求解；
根据余弦定理求解，进而得，由两角和与差的余弦公式可得，进而由余弦定理求解，根据三种不同的送餐路线，计算路程的大小，即可比较求解．
本题考查解三角形问题，余弦定理的应用，化归转化思想，方程思想，属中档题．