2023届福建省福州第三中学高三第二十次质量检测数学试题含答案

2023届福建省福州第三中学高三第二十次质量检测数学试题

一、单选题

1．已知集合，若集合满足，则可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】解指数不等式得到集合N，根据交集运算性质得，逐项判断即可.

【详解】因为，又，即，

因为，所以A与D选项集合不符合，

因为，所以B选项集合不符合，所以C正确.

故选：C

2．若复数满足为纯虚数，且，则的虚部为（    ）

A．1 B． C． D．1

【答案】B

【分析】设，利用复数除法运算和向量模长运算可构造方程求得的值，即为所求虚部.

【详解】设，

为纯虚数，，，

又，，解得：，

的虚部为.

故选：B.

3．已知，，则(    )

A．2 B．4 C． D．

【答案】B

【分析】由求得，再由即可求得答案.

【详解】∵，

∴，则.

∴，故.

故选：B.

4．如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且，则该圆台的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据给定条件，求出圆台的上下底面圆的半径，再求出圆台的高并结合圆台的体积公式求解作答.

【详解】设圆台上底面圆半径为，下底面圆半径为，依题意，，且，解得，

而圆台的母线长，因此圆台的高，

所以圆台的体积.

故选：C

5．某国军队计划将5艘不同的军舰全部投入到甲，乙，丙三个海上区域进行军事演习，要求每个区域至少投入一艘军舰，且军舰A必须安排在甲区域，则甲区域还有其它军舰的安排方案共有（    ）

A．14种 B．24种 C．36种 D．50种

【答案】C

【分析】按甲区域还有其它几艘军舰进行分情况讨论求解.

【详解】依题意，甲区域除军舰A外至少还有一艘军舰，至多还有两艘军舰.

若甲区域除军舰A外还有一艘军舰，则安排方案共有种；

若甲区域除军舰A外还有两艘军舰，则安排方案共有种；

所以甲区域还有其它军舰的安排方案共有种.

故选：C

6．2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽脱贫攻坚取得重大胜利！为进步巩固脱贫攻坚成果，接续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金500万元，资金年平均增长率可达到20%．每年年底扣除下一年必须的消费资金后，剩余资金全部投入再生产为了实现5年后投入再生产的资金达到800万元的目标，每年应扣除的消费资金至多为（    ）（单位：万元，结果精确到万元）（参考数据：，）

A．83 B．60 C．50 D．44

【答案】B

【分析】由题可知5年后投入再生产的资金为：，即求.

【详解】设每年应扣除的消费资金为万元，则

1年后投入再生产的资金为：，

2年后投入再生产的资金为：

，

5年后投入再生产的资金为：

∴，

∴.

故选：B

7．已知椭圆，为其左焦点，直线与椭圆交于点，，且．若，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设椭圆的右焦点为，连接，，设，根据余弦定理得到，计算得到离心率.

【详解】设椭圆的右焦点为，连接，，故四边形为平行四边形，

设，，则，，

，，

中，，

整理得到，即，故.

故选：A

8．已知a，b，c均为负实数，且，，，则（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】对变形，构造，则，，，求导得到函数单调性，数形结合得到.

【详解】由，得，于是．

同理由，可得．

对于，可得，

两边同时取对数得，于是．

构造函数，则，，．

因为，

所以当时，，在内单调递减，

当时，，在内单调递增，

所以，

又，，，

如图所示，故．

故选：A

【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中变形得到，，及，从而达到构造出适当函数的目的.

二、多选题

9．某调查机构对我国若干大型科技公司进行调查统计，得到了从事芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼形图和“90后”从事这两个行业的岗位分布雷达图，则下列说法中一定正确的是（    ）

A．芯片、软件行业从业者中，“90后”占总人数的比例超过

B．芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数超过总人数的

C．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多

D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”的总人数多

【答案】ABD

【分析】根据饼形图和“90后”从事这两个行业的岗位分布雷达图，对四个选项一一进行计算，得到答案.

【详解】A选项，从饼形图可看出芯片、软件行业从业者中，“90后”占总人数的比例为，超过，A正确；

B选项，芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数比例为，超过总人数的，B正确；

C选项，芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”人数占比为，

芯片、软件行业从业者中“80后”占总人数的，但不知道从事技术岗位的比例，故无法确定两者人数的多少，C错误；

D选项，芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数占比为，“80前”占总人数的，故D正确.

故选：ABD

10．已知函数，则（    ）

A．为的一个周期 B．的图像关于直线对称

C．在上单调递增 D．的值域为

【答案】ABD

【分析】利用验证法选项AB，在定义区间内化简函数解析式，判断单调性并求值域.

【详解】因为，所以为的一个周期，故A正确；

因为，所以的图像关于直线对称，故B正确；

因为当时，，

，

故在上单调递减，故C错误；

因为在上单调递减，所以在上的取值范围为，

因为关于直线对称，所以在上的取值范围为，

又的周期为，所以在整个定义域上的值域为，故D正确．

故选：ABD．

11．如图，在矩形AEFC中，，EF=4，B为EF中点，现分别沿AB、BC将△ABE、△BCF翻折，使点E、F重合，记为点P，翻折后得到三棱锥P-ABC，则（    ）

A．三棱锥的体积为 B．直线PA与直线BC所成角的余弦值为

C．直线PA与平面PBC所成角的正弦值为 D．三棱锥外接球的半径为

【答案】BD

【分析】证明平面，再根据即可判断A；先利用余弦定理求出，将用表示，利用向量法求解即可判断B；利用等体积法求出点到平面的距离，再根据直线PA与平面PBC所成角的正弦值为即可判断C；利用正弦定理求出的外接圆的半径，再利用勾股定理求出外接球的半径即可判断D.

【详解】由题意可得，

又平面，

所以平面，

在中，，边上的高为，

所以，故A错误；

对于B，在中，，

，

所以直线PA与直线BC所成角的余弦值为，故B正确；

对于C，，

设点到平面的距离为，

由，得，解得，

所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为，故C错误；

由B选项知，，则，

所以的外接圆的半径，

设三棱锥外接球的半径为，

又因为平面，

则，所以，

即三棱锥外接球的半径为，故D正确.

故选：BD.

12．设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式可得.

【详解】对于A：，，

所以，故A错误；

对于B：，，∴，

，故B正确；

对于C：，，∴，故C正确.

对于D：，

，∴，∴，

∴，所以D正确.

故选：BCD.

三、填空题

13．已知按从小到大顺序排列的两组数据：

甲组：27，30，37，a，40，50；乙组：24，b，33，44，48，52．

若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数分别对应相等，则a，b的平均数等于__________．

【答案】35

【分析】分别求出甲组、乙组第30百位数、第50百分位数分别对应相等，可得、，再求平均数即可.

【详解】因为甲乙两组都有6个数据，，，

甲组第30百位数为，第50百分位数为，

乙组第30百位数为，第50百分位数为，

因为这两组数据的第30百分位数、第50百分位数分别对应相等，

所以，，即，

所以.

故答案为：.

14．写出曲线与曲线的公切线的一个方向向量______.

【答案】（与共线的非零向量均可）

【分析】先利用导数求得曲线与曲线的公切线方程，进而求得该公切线的一个方向向量.

【详解】设曲线上的切点为，

曲线上的切点为，

则，两式相减整理得，

代入上式得，解之得，则，

则曲线与曲线的公切线的公切点为，

则切线斜率为1，切线方程为，

则公切线的一个方向向量为

故答案为：

15．已知抛物线与圆，过抛物线的焦点作斜率为的直线与抛物线交于两点，与圆交于两点（在轴的同一侧），若，则的值是___________．

【答案】8

【分析】根据给定条件，写出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理并结合圆的性质及向量等式求解作答.

【详解】抛物线的焦点，准线方程为，于是直线：，显然，

由消去y得：，设，

则，又圆的圆心为，半径为1，

由，得，即，

于是，整理得，又，解得，

则，解得，

所以的值是8.

故答案为：8

四、双空题

16．将函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数的图象关于点对称，且在区间上单调递增，则__________,实数m的取值范围是__________.

【答案】     /    

【分析】由题意利用函数的图象变换规律，得到的表达式，根据其对称中心可求得，再利用其单调区间，分类讨论，求出m的范围，即可确定答案.

【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，

得到的函数的图象关于点对称，

，即，

因为，则，

若，则，

在区间上单调递增，，

当，，

，且，

即，且，；

若，则，

在区间上单调递增，，

当，，

，且，

即且，故；

综上可得，，.

故答案为：；

【点睛】难点点睛：根据三角函数的平移变换可得到平移后的函数解析式，根据对称中心可求得，难点就在于这两个值的取舍，要根据函数的单调区间求得参数m的范围，即可确定答案.

五、解答题

17．设为数列的前n项积．已知．

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用给定的递推公式，结合前n项积的意义求解作答.

（2）由（1）的结论求出，再利用裂项相消法求解作答.

【详解】（1）依题意，是以1为首项，2为公差的等差数列，则，

即，当时，有，两式相除得，，

显然，即，因此当时，，即，

所以数列的通项公式.

（2）设的前项和为，由（1）得，，于是，

因此，

则，

所以数列前项和为.

18．的内角、、的对边分别为、、，已知，且的面积.

(1)求；

(2)若内一点满足，，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用三角形的面积公式以及余弦定理可求得的值，可求得角的值，由结合正弦定理求出的值，结合角的取值范围可求得角的值；

（2）设，可得出，，在、分别利用正弦定理可求得的值，结合的取值范围可求得角的值.

【详解】（1）解：由余弦定理得，

因为，所以，

因为，则，所以，所以，

因为，所以，

因为，所以.

（2）解：由（1）知，，所以，所以，

设，因为，所以，

因为，所以，

因为在中，由正弦定理

可得，

在中，，则，则，

由正弦定理，即，所以，，

因为，所以.

19．某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次数学知识竞赛.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩（单位：分），并以此为样本绘制了如下频率分布直方图.

(1)求该100名学生竞赛成绩的中位数；（结果保留整数）

(2)从竞赛成绩在的两组的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记竞赛成绩在的学生人数为，求的分布列和数学期望；

(3)以样本的频率估计概率，从随机抽取20名学生，用表示这20名学生中恰有名学生竞赛成绩在内的概率，其中．当最大时，求.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

(3)或

【分析】（1）利用给定的频率分布直方图，由中位数的意义以及计算公式，代入计算即可得到结果；

（2）利用分层抽样求出成绩在，内的人数，再求出X的可能值及对应概率，列出分布列并求出期望作答；

（3）随机抽一名学生，求出成绩在的概率，再利用独立重复试验的概率公式，列出不等式求解作答.

【详解】（1）由直方图可知成绩在，，，的频率和为，而成绩在的频率为，

则抽取的100名学生成绩的中位数在内，设中位数为x，则，

解得，所以该100名学生竞赛成绩的中位数约为；

（2）由频率分布直方图可得：竞赛成绩在，两组的频率之比为，

则10人中竞赛成绩在的人数为人；在的人数为人；

则X所有可能的取值为0，1，2，3，

于是，，

，，

所以X的分布列为：

数学期望为；

（3）用频率估计概率，竞赛成绩在内的概率，

则，

．

令，解得，

当且仅当时取等号，即，

当时，，当时，，

所以当或，最大.

20．如图，在三棱柱中，，侧面为菱形，为等边三角形．

(1)求证：；

(2)若，点E是侧棱上的动点，且平面与平面的夹角的余弦值为，求点B到平面的距离．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）先证明平面,再根据线面垂直的性质定理即可证明结论；

（2）建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，设，求出平面的一个法向量，根据平面与平面的夹角的余弦值求得参数，根据空间距离的向量求法，即可求得答案.

【详解】（1）连接与相交于点，连接，如图所示：

∵四边形为菱形，∴为的中点，则．

为等边三角形，有，平面，

，∴平面,

平面，∴，

又，平面，，

∴平面,∵平面，∴．

（2）由（1）知，，且平面，

故平面，而平面，故平面平面，

分别取的中点，连接，

则，∴平面，为等边三角形，，

而平面平面，平面，故平面，

以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

设，则，

∴，，

设平面的一个法向量，则有，

令，则，，即，

又∵平面的法向量为，

∴平面与平面的夹角的余弦值为,

∴，∴或（舍），

此时，又，

∴点到平面的距离为：．

21．如图，双曲线的中心在原点，焦点到渐近线的距离为，左、右顶点分别为A、B．曲线C是以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴，且离心率为的椭圆，设P在第一象限且在双曲线上，直线BP交椭圆于点M，直线AP与椭圆交于另一点N．

(1)求椭圆及双曲线的标准方程；

(2)设MN与x轴交于点T，是否存在点P使得(其中，为点P，T的横坐标)，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】(1)双曲线方程：，椭圆方程为：；

(2)存在，

【分析】（1）设双曲线方程为，椭圆方程，根据焦点到渐近线的距离和离心率求出可得答案；

（2）设，，， 根据P、A、N三点共线，P、B、M三点共线可得，令得直线的方程，与椭圆方程联立利用韦达定理代入上式化简可得，若存在，即代入可得答案；

法二：，，设直线AP：与椭圆方程联立可得，、，若存在，则可得答案.

【详解】（1）由已知可设双曲线方程为，椭圆方程，则双曲线的一条渐近线方程为，即，故，即，又，

解得，所以双曲线方程：，

椭圆方程为：；

（2）设，，，，，

P、A、N三点共线，，

P、B、M三点共线，，

相除：，

令，则设：，

联立椭圆方程：，

由在椭圆内，故，所以，

∴，

，

若存在，即，

，得，

又P在第一象限，所以，；

法二：，，，，，

直线AP：，

，显然，

由，又因为P在双曲线上，满足，即，

所以，

即，

同理BP：，可得，所以，

若存在，即，

而P在第一象限，所以，即.

【点睛】思路点睛：本题第二问主要是利用韦达定理代入进行化简运算，考查了学生的思维能力和运算能力.属于难题.

22．设，函数．

(1)判断的零点个数，并证明你的结论；

(2)若，记的一个零点为，若，求证：．

【答案】(1)零点个数=1，证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）求导，根据a的取值范围确定函数的单调性，从而判断零点的个数；

（2）将不等式理解为当两函数值相等时对应的自变量的大小关系即可.

【详解】（1），令，则，

当时，单调递增，当时，单调递减，，

在处取得极小值也是最小值，，，即单调递增，

当x趋于0时，趋于，，

在内存在唯一的零点，即的零点个数为1；

（2）令是减函数，，

即当时， ，当时，，

由知：；

由（1）的讨论知存在唯一的零点，

当时，，，

，

又，…①，其中，

令，，则；

式即为 ，不等式等价于，

其意义为：当函数与函数 的函数值相等时，比较对应的自变量之间的大小关系；

设 ，

，当时，，当时，，是减函数，

又，时， ，即，

时，当且仅当时等号成立；

即

【点睛】本题第二问的难点在于对不等式的几何解释，即当与的函数值相等时，对应的自变量的大小关系，如此构造函数并判断单调性就顺理成章了，其中对于导函数中有三角函数时，往往采用分区间 讨论符号.