2023年山东省泰安市东平县中考数学模拟试卷（含解析）

2023年山东省泰安市东平县中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  如图，其中轴对称图形的个数是(    )

 

A.  B.  C.  D.

4.  射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中为子弹的加速度，为枪筒的长．如果，，那么子弹射出枪口时的速度用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，五边形是正五边形，若，则(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，是的内接三角形，，，作，并与相交于点，连接，则的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  小红在“养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长”读书大赛活动中，随机调查了本校初二年级名同学，在近个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示：

则阅读课外书数量的中位数和众数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

8.  如图，将半径为，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，在旋转过程中，点落在扇形的弧的点处，点的对应点为点，则阴影部分的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知关于的不等式组仅有三个整数解，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，抛物线的对称轴为，经过点，下列结论：
；；；点，在抛物线上，当时，；为任意实数，都有其中正确结论有(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

11.  如图，四边形是边长为的正方形，点是边上一动点不与点，重合，，且交正方形外角的平分线于点，交于点，连接，有下列结论：∽；；；的面积的最大值为其中正确的结论有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

12.  如图，抛物线与轴交于、两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接则线段的最大值是(    )

 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13.  设，是一元二次方程的两个根，则 ______ ．

14.  如图，在平面直角坐标系中，平移至的位置．若顶点的对应点是，则点的对应点的坐标是______．

15.  如图，中，，过点作的平行线交过点的圆的切线于点，若，则的度数是______ ．

16.  如图是一座独塔双索结构的斜拉索大桥，主塔采用倒“”字形设计某学习小组利用课余时间测量主塔顶端到桥面的距离勘测记录如表：根据表中提供的信息，主塔顶端到的距离为______ ．

17.  如图，点在直线上，过点分别作轴、轴的平行线交直线于点，，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，，按照此规律进行下去，则点的横坐标为______．

18.  如图，矩形中，，，为中点，为上一点，将沿折叠后，点恰好落到上的点处，则折痕的长是______．

 

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
先化简：，再从不等式组的解集中选一个合适的整数的值代入求值．

20.  本小题分
中国共产党的助手和后备军中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务成立一百周年之际，各中学持续开展了：青年大学习；：青年学党史；：中国梦宣传教育；：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加为了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图请根据图中提供的信息，解答下列问题：
在这次调查中，一共抽取了______ 名学生；
补全条形统计图：
若该校共有学生名，请估计参加项活动的学生数；
小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率．

 

21.  本小题分
如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴相交于点．
分别求直线和双曲线对应的函数表达式；
连接，，求的面积；
直接写出当时，关于的不等式的解集．

22.  本小题分
为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低，水果店用元购进甲种水果比用元购进乙种水果的重量多千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为元千克和元千克．
求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
若水果店购进这两种水果共千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？

23.  本小题分
如图，点是的边上一点，以点为圆心，为半径作，与相切于点，交于点，连接，连接并延长交的延长线于点，．
连接，求证：是的切线；
若，，求的长．

24.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，与轴的另一个交点为．
求抛物线的解析式；
为直线上方抛物线上一动点连接交于点，若：：，求点的坐标；是否存在点，使得的度数恰好是的倍？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

 

25.  本小题分
如图，四边形、都是正方形．

如图，若，，求的长；
如图，正方形绕点逆时针旋转，使点正好落在上，求证：；
如图，在条件下，，，点为直线上一动点，连接，过点作，垂足为点，直接写出的最小值______ ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：原式
．
故选：．
根据有理数的乘法法则计算即可．
本题考查了有理数的乘法，掌握两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数与相乘都得是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故本选项错误；
B、，故本选项正确；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项错误．
故选B．
根据合并同类项的法则、单项式乘以单项式的法则、以及整式的混合运算法则计算即可．
本题主要考查合并同类项的法则以及整式的运算法则，牢记法则是关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：第一、二、四个图形中都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
第三个图中不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
把，代入公式，再根据二次根式的性质化简即可．
此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

5.【答案】 

【解析】解：延长交于，
，
，
正五边形的每个外角相等，
，
，
，
．
故选：．
延长交于，由平行线的性质，得到，求出正五边形的外角的度数，由三角形外角的性质即可解决问题．
本题考查平行线的性质，多边形，三角形的外角，关键是作辅助线应用三角形外角的性质．
 

6.【答案】 

【解析】解：、，
，，
，
，
又，
，
故选：．
根据等腰三角形性质知，，由平行线的性质及圆周角定理得，从而得出答案．
本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、圆周角定理、平行线的性质．
 

7.【答案】 

【解析】解：中位数为第个和第个的平均数，众数为．
故选：．
利用中位数，众数的定义即可解决问题．
本题考查了中位数和众数，解答本题的关键是掌握中位数和众数的概念．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接，过作于，则，如图，

将半径为，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，使点落在扇形的弧上的点处，点的对应点为点，
扇形和扇形的面积相等，，
是等边三角形，
，
，
，由勾股定理得：，
阴影部分的面积

，
故选：．
连接，过作于，根据旋转的性质得出扇形和扇形的面积相等，，求出是等边三角形，求出，解直角三角形求出和，再根据阴影部分的面积求出答案即可．
此题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：如果扇形的圆心角为，扇形的半径为，那么扇形的面积．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
根据解不等式组，可得不等式组的解集，根据不等式组仅有三个整数解，可得答案．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，利用不等式的解得出关于的不等式是解题关键．
【解答】
解：解不等式组得：，
由关于的不等式组仅有三个整数：
可得：，
解得，
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向上，与轴交于负半轴，
，，
抛物线的对称轴为：，
，
，
正确，正确；
抛物线过点．
，
，
，
，
正确．
抛物线开口向上，对称轴是直线，
当时，随的增大而增大，
错误；
抛物线开口向上，对称轴为，
当时，函数有最小值，
对任意实数，当时的函数值不小于时的函数值，
，即，
，
正确，
正确结论有，共个，
故选：．
根据二次函数的图象和性质依次判断．
本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，
，
，
，
∽，故正确；
在上取，连接，

则，
，
，
是正方形外角的平分线，
，
，
≌，
，故正确；
，
，
，
，故正确；
作于，

，，，
≌，
，
设，则，
，
当时，的最大值为，故正确，
故选：．
根据两个角相等可得∽，故正确；在上取，连接，利用证明≌，得，故正确；根据，，得，故正确；作于，根据≌，得，设，则，则，即可求出的最大面积，进而得出答案．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质等知识，熟练掌握一线三等角基本模型是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【解答】
解：如图，连接，
当时，，解得，，
则，，
则，即是线段的中点，
是线段的中点，
为的中位线，
，
当最大时，最大，
而过圆心时，最大，如图，点运动到位置时，最大，
，
，
则，
线段的最大值是．
故选：．
【分析】
本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系，也考查了三角形中位线．
如图，连接，先解方程，得，，再判断为的中位线得到，利用点与圆的位置关系，过圆心时，最大，如图，点运动到位置时，最大，然后计算出即可得到线段的最大值．  

13.【答案】 

【解析】解：，是一元二次方程的两个根，
，，
，
，
故答案为：．
由，是一元二次方程的两个根，得出，，再把变形为，即可求出答案．
此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．
 

14.【答案】 

【解析】解：点的对应点是，
点的对应点的坐标是．
故答案为：．
根据点的对应点是，可得点向右平移个单位，向上平移个单位至，进而可以解决问题．
本题考查了坐标与图形变化平移，解决本题的关键是掌握平移的性质．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，
，


，
，
，，
，，
，
，
，
是圆的切线，
，
，
，
，
．
故答案为：．
连接，由圆周角定理求出，由切线的性质求出，由平行线的性质可求出答案．
本题考查了平行线的性质，切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：延长交于点，
，
，
，
点，分别与点，关于直线对称，
，
，，
，
，
在中，，，
，
解得，
即主塔顶端到的距离约为．
故答案为：
根据题意和表格中的信息，可以得到的长，再根据锐角三角函数即可求得的长，本题得以解决．
本题考查解直角三角形的应用、轴对称，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
 

17.【答案】 

【解析】解：轴，
．
当时，，
点的坐标为，
，．
，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
点的坐标为，点的坐标为
同理，可得：点的坐标为
故答案为：．
由点的横坐标可求出点的坐标，进而可得出、的长度，由可得出点、的坐标，同理可求出点、的坐标，此题得解．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、解直角三角形以及规律型中点的坐标，通过解直角三角形找出点、、、的坐标是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

四边形为矩形，
，，，
为中点，
，
由翻折知≌，
，，，
，
在和中，

，
，，
，
，
又，
∽，
，
，
，
，
故答案为．
本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，以及翻折变换．
首先连接，利用矩形的性质，求出，的长度，再证明，最后证∽，利用相似三角形的性质即可求出的长度．
 

19.【答案】解：，
由得：，
由得：，
该不等式组的解集为：，
整数解为，，，，
原式


，
，，，
，，
当时，
原式
． 

【解析】先求出不等式组的解集，得到整数解，再对原代数式进行化简，确定合适的的值代入求解即可．
本题考查了解一元一次不等式组和分式的化简求值，涉及到了分式的加减乘除混合运算，解题关键是掌握解不等式的方法和分式的运算法则等知识．
 

20.【答案】 

【解析】解：在这次调查中，一共抽取的学生为：名，
故答案为：；
的人数为：名，
补全条形统计图如下：

名，
答：估计参加项活动的学生为名；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有种，
小杰和小慧参加同一项活动的概率为．
由的人数除以所占的比例即可；
求出的人数，补全条形统计图即可；
由该校共有学生乘以参加项活动的学生所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．掌握公式：概率所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
 

21.【答案】解：将，代入，
得，
解得：，
直线的解析式为，
将代入，
得，
双曲线的解析式为；
直线的解析式为与轴交点，
点的坐标为，
直线：与双曲线：相交于，两点，
，
，，
点的坐标为，
的面积；
观察图象，
，，
当时，关于的不等式的解集是． 

【解析】将已知点坐标代入函数表达式，即可求解；
直线：与双曲线：相交于，两点，联立方程组，求出点的坐标为，根据割补法即可以解决问题；
根据图象即可解决问题．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、三角形面积等；解题时着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
 

22.【答案】解：设乙种水果的进价为元，则甲种水果的进价为元，
由题意得：
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
则元，
答：甲种水果的进价为元，则乙种水果的进价为元；
设购进甲种水果千克，则乙种水果千克，利润为元，
由题意得：，
甲种水果的重量不低于乙种水果重量的倍，
，
解得：，
，则随的增大而减小，
当时，最大，最大值，
则，
答：购进甲种水果千克，乙种水果千克才能获得最大利润，最大利润为元． 

【解析】设乙种水果的进价为元，则甲种水果的进价为元，由题意：用元购进甲种水果比用元购进乙种水果的重量多千克，列出分式方程，解方程即可；
设购进甲种水果千克，则乙种水果千克，利润为元，由题意得，再由甲种水果的重量不低于乙种水果重量的倍，得，然后由一次函数的性质即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
 

23.【答案】证明：在和中，
，
≌，
，
与相切，
，
，
即，
是的半径，
是的切线；
解：在中，，，，
，
，，
∽，
，
设的半径为，则，
解得，
在中，，，，
，
，
即的长为． 

【解析】根据证≌，得出，即可得出结论；
根据勾股定理求出，证∽，设圆的半径为，根据线段比例关系列方程求出，利用勾股定理求出，最后根据求出即可．
本题主要考查切线的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：在中，
令时，解得：，
，
令时，，解得：，
；
把，代入中得：
，
解得：，
抛物线的函数解析式为：；

如图，过点作轴于，交于点，

设点，，
，
轴，
，
，
∽，
，
：：，
，即：，
，
解得：，，
点为直线上方抛物线上的点，
的坐标为或；

存在点，使得，理由如下：

如图，过点作轴，交抛物线于点，过点作轴，交于点，
，
，
，
在中，，，
，
，
设点，
则，，
，
解得：，
点的坐标为；
存在点，使得，此时点． 

【解析】分别令和代入中可得点和点的坐标，利用待定系数法求抛物线的函数解析式；
过点作轴于，交于点，证明∽，设点，，根据相似三角形性质建立方程求解即可；
过点作轴，交抛物线于点，过点作轴，交于点，先证明，然后设点，应用三角函数定义建立方程求解．
本题是二次函数的综合题，属于中考压轴题，考查了待定系数法求函数解析式的知识、相似三角形判定与性质、平行线的性质、三角函数定义以及两函数的交点问题．熟练掌握二次函数的性质，相似三角形性质与判定以及正确添加辅助线是解答此题的关键．
 

25.【答案】解：四边形是正方形，
，，
在中，，，
，
四边形为正方形，
，，
在中，，，
．
证明四边形和四边形均为正方形，
，，，
，
，
，，
≌，
，
在中，，
，
．
 

【解析】见答案；
见答案；
解：的最小值，
将线段关于直线对称的．
作于点，如图，

四边形为正方形，是对角线，
，
，
．
由可知≌，
，
线段关于直线对称的，
，
，
，
，
点、点、点三点共线，
此时点到直线的最短距离为，即最短距离为，
在中，，，
，
，
解得．
即最短距离为．
故答案为：．
在中和在中利用勾股定理解题．
利用和全等，实现线段转化求解．
构建最短距离模型，将关于直线对称，点到该对称线的最短距离即为最小值．
本题主要考查正方形的性质，勾股定理和图形的旋转，在求线段长度时，勾股定理是常用的方法，图形旋转时要明确在旋转过程中边和角的对应关系，最短距离需要构建最短距离的原型，在本题中是借助点到直线的最短距离进行求解．解题关键是利用勾股定理求线段长，三角形全等将线段转化．