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2023年山东省泰安市东平县东岳中学中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2023年山东省泰安市东平县东岳中学中考数学二模试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年山东省泰安市东平县东岳中学中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −2的相反数是( )
A. 2 B. −2 C. −12 D. 12
2. 下列等式成立的是( )
A. 3a⋅4a=12a B. (ab2)−2=a2b4 C. (a−3b)2=a−6b2 D. (a3b2)0=0
3. 下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4. 不等式组x+2>03−x≥0的解在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 将一副三角板(∠EDF=30°,∠C=45°)按如图所示的方式摆放，使得点D在三角板的一边AC上，且DE//AB，则∠DMC等于( )
A. 60°
B. 75°
C. 90°
D. 105°
6. 若关于x的方程3−2xx−3−mx−23−x=−1的解为非负数，则m的取值范围是( )
A. m≥1 B. m>1且m≠53 C. m>1 D. m≥1且m≠5
7. 在2021年初中毕业生体育测试中，某校随机抽取了10名男生的引体向上成绩，将这组数据整理后制成如下统计表：
成绩(次)
12
11
10
9
人数(名)
1
3
4
2
关于这组数据的结论不正确的是( )
A. 中位数是10.5 B. 平均数是10.3 C. 众数是10 D. 方差是0.81
8. 某学校有x间男生宿舍和y个男生，若每间宿舍住8个人，则还多4个人无法安置；若每间宿舍安排10个人，则还多6张空床位，据此信息列出方程，下列4个方程中正确的是( )
①8x−4=10x+6；②y−48=y+610；③y+48=y−610；④8x+4=10x−6．
A. ①③ B. ②④ C. ①② D. ③④
9. 如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径.若∠CAD=∠B，AD=8，则AC的长为( )
A. 5
B. 4 2
C. 5 2
D. 4 3
10. 如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB⊥BD，AB=5，BD=4，CD=3，点E是AC的中点，则BE的长为( )
A. 2
B. 52
C. 5
D. 3
11. 如图，二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线x=−1，有下列结论：
①abc<0；②4ac−b2<0；③c−a>0；④当x=−n2−2时，y≥c；⑤若x1，x2(x1x2；其中，正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
12. 如图，正方形ABCD中，AB=2 5，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF.则线段OF长的最小值( )
A. 2 5 B. 5+2 C. 2 10−2 D. 5 2−2
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13. 《2021年国民经济和社会发展统计公报》显示，2021年我国经济规模突破110万亿元，达到114.4万亿元.稳居全球第二大经济体，将114.4万亿用科学记数法表示为______ ．
14. 如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，2小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是______海里．(结果保留根号)
15. 如图，在扇形AOB中，∠AOB=120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥AO，若OA=6，则阴影部分的面积为______．
16. 如图，点A，B在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，OA⊥AB，则k的值为______．
17. 如图，∠BOD=45°，BO=DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于点E，连接OE交AD于点F.下列4个判断：①OE⊥BD；②∠ADB=30°；③DF= 2AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形，其中，判断正确的是______ .(填序号)
18. 如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由正整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为1n(n≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：11=12+12，12=13+16，13=14+112…，那么第7行第3个数字是______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题10.0分)
(1)先化简，再求值：a−1a+2⋅a2−4a2−2a+1÷1a2−1，其中a满足a2−a=0；
(2)解不等式1+x2−2x+13≤1．
20. (本小题10.0分)
我区某中学根据《德州市中小学生课后服务实施意见》，积极开展课后延时服务活动，提供了以下课后社团活动项目：A：篮球；B：乒乓球；C：长绳；D：舞蹈．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
(1)这次被调查的学生共有______人；
(2)请你将条形统计图(2)补充完整；
(3)七年级三班的甲、乙、丙、丁四位同学都喜欢乒乓球，但是每个社团给同一个班级只有两个名额，现决定从这四名同学中任选两名加入乒乓球社团，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．(用树状图或列表法解答)
21. (本小题10.0分)
如图，已知直线y=kx+b(k≠0)与双曲线y=6x相交于A(m,3)、B(3,n)两点．
(1)求直线AB的解析式；
(2)连接AO并延长交双曲线于点C，连接BC交x轴于点D，连接AD，求△ABD的面积．
22. (本小题12.0分)
某书店在图书批发中心选购A，B两种科普书，A种科普书每本进价比B种科普书每本进价多10元，若用4800元购进A种科普书的数量是用2000元购进B种科普数量的2倍．
(1)求A、B两种科普书每本进价各是多少元；
(2)该书店计划A种科普书每本售价为90元，B种科普书每本售价为58元，购进A种科普书的数量比购进B种科普书的数量的13还多4本，若A，B两种科普书全部售出，使总获利超过1500元，则至少购进B种科普书多少本？
23. (本小题12.0分)
如图所示，AB是△ABC外接圆⊙O的直径，过⊙O外一点D作BC的平行线分别交AC，AB于点G，E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠BAC=∠D．
(1)求证：BD是⊙O的切线；
(2)若点E是OA的中点，CF平分∠ACB，设BD=18，求DE的长．
24. (本小题12.0分)
抛物线y=ax2+bx+3过点A(−1,0)，点B(3,0)，顶点为C，与y轴相交于点D.点P是该抛物线上一动点，设点P的横坐标为m(0
(2)如图1，连接BD，PB，PD，若△PBD的面积为3，求m的值；
(3)连接AC，过点P作PM⊥AC于点M，是否存在点P，使得PM=2CM.如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
25. (本小题12.0分)
某校数学兴趣学习小组在一次活动中，对一些特殊几何图形具有的性质进行了如下探究：
(1)发现问题：如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，点M是边BC上任意一点，连接AM，以AM为腰作等腰△AMN，使AM=AN，∠MAN=∠BAC，连接CN.求证：∠ACN=∠ABM；
(2)类比探究：如图2，在等腰△ABC中，∠B=30°，AB=BC，AC=8，点M是边BC上任意一点，以AM为腰作等腰△AMN，使AM=MN，∠AMN=∠B.在点M运动过程中，AN是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由；
(3)拓展应用：如图3，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，以DE为边作正方形DEFG，H是正方形DEFG的中心，连接CH，DH.若正方形DEFG的边长为8，CH=3 2，求△CDH的面积．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0.不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号，求解即可．
【解答】
解：−2的相反数是：−(−2)=2，
故选：A．
2.【答案】C
【解析】解：A、原式=12a2，不合题意；
B、原式=a−2b−4，不合题意；
C、原式=a−6b2，符合题意；
D、原式=1，不合题意；
故选：C．
A、根据单项式乘单项式的运算法则计算解答判断即可；
B、根据幂的乘方与积的乘方的运算法则计算判断即可；
C、根据幂的乘方与积的乘方的运算法则计算判断即可；
D、根据零指数幂的运算法则计算判断即可．
此题考查的是单项式乘单项式的运算、幂的乘方与积的乘方的运算、零指数幂的运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B.既是轴对称图形又是中心对称图形，故B选项符合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项不合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意；
故选：B．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
4.【答案】A
【解析】解：由x+2>0得x>−2，
由3−x≥0得x≤3，
所以不等式组的解集为−2
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵DE//AB，
∴∠1=∠B=45°，
∵∠EDF=30°，
∴∠DMC=∠EDF+∠1=30°+45°=75°，
故选：B．
根据平行线的性质得出∠1=45°，进而利用三角形外角性质解答即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
6.【答案】B
【解析】解：3−2xx−3−mx−23−x=−1，
分式变形得，3−2xx−3+mx−2x−3=−1，
分式加减得，mx−2x+1x−3=−1，
合并同类项得，(m−2)x+1x−3=−1，
去分母得，(m−2)x+1=3−x且x≠3，
移项得，(m−1)x=2，
∴x=2m−1，且m−1≠0，即m≠1，
∵解为非负数，
∴x=2m−1≥0，
∴m−1>0，
∴m>1，
∵x≠3，
∴2m−1≠3，解得：m≠53，
∴m>1且m≠53，
故选：B．
根据解分式方程的方法，用含m的式子表示x的值，再根据解为非负数即可求解．
本题主要考查解分式方程，及根据分式方程的根求参数，掌握分式方程的解法是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：根据题目给出的数据，可得：
中位数是10+102=10(分)，
平均数为：12×1+11×3+10×4+9×21+3+4+2=10.3，
∵10出现了4次，出现的次数最多，
∴众数是10；
方差是：110[(12−10.3)2+3×(11−10.3)2+4×(10−10.3)2+2×(9−10.3)2]=0.81．
这组数据的结论不正确的是A．
故选：A．
根据中位数，平均数，众数，方差的性质分别计算出结果，然后判判断即可．
本题考查的是平均数，众数，中位数和方差，熟练掌握平均数，众数，中位数，方差的计算公式是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：按照男生人数不变列出方程8x+4=10x−6；
按照男生宿舍间数不变列出方程y−48=y+610．
∴正确的方程是②④．
故选：B．
分别按照男生人数不变(男生宿舍间数不变)，可列出关于x(y)的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠ADC+∠CAD=90°，
∵∠CAD=∠B，
∴∠ADC+∠B=90°，
∵AC=AC，
∴∠ADC=∠B，
∴∠ADC=45°=∠B，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AC=AD 2=8 2=4 2，
故选：B．
连接CD，由AD是⊙O的直径，得∠ACD=90°，又∠CAD=∠B，可得∠ADC+∠B=90°，而∠ADC=∠B，故△ACD是等腰直角三角形，即可求出答案．
本题考查圆的性质及应用，解题的关键是掌握圆周角定理和等腰直角三角形三边的关系．
10.【答案】C
【解析】解：过点C作CF⊥AB的延长线于点F，如图所示：
∵AB//CD，AB⊥BD，
∴CD⊥BD，
∵CF⊥AB，
∴CF⊥CD，
∴BD//CF，
∴四边形BFCD是矩形，
∴BF=CD=3，CF=BD=4，
在Rt△BCF中，BC= CF2+BF2= 32+42=5，
在Rt△AFC中，AC= AF2+CF2= (AB+BF)2+CF2=4 5，
∴BC=AB=5，
∴△ABC是等腰三角形，
∵点E是AC的中点，
∴BE⊥AC，
∵12AB⋅CF=12AC⋅BE，
∴12×5×4=12×4 5BE，
解得：BE= 5．
故选：C．
过点C作CF⊥AB的延长线于点F，根据题意可判断四边形BFCD是矩形，则有BF=CD=3，CF=BD=4，再由勾股定理求得BC=5，AC=4 5，从而可判断△ABC是等腰三角形，则有BE⊥AC，利用三角形的面积可求解．
本题主要考查矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解答的关键是求得AC的长度．
11.【答案】C
【解析】解：①∵开口向上，对称轴在y轴左侧，函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴a>0，b>0，c>0，
∴abc>0，故①错误，不符合题意；
②∵函数图象与x轴有2个交点，
∴b2−4ac>0，
∴4ac−b2<0，故②正确，符合题意；
③∵对称轴为x=−1，
∴−b2a=−1，
∴b=2a，
∵当x=−1时，y=a−b+c<0，
∴a−b+c=a−2a+c=c−a<0，
∴c
∴x=−2时，y=c，当x<−1时，y随x的增大为减小，
∵−n2−2≤−2，得到当x=−n2−2时，y≥c，故④正确，符合题意；
⑤∵x1，x2(x1
∴函数y=ax2+bx+c与直线y=1的交点横坐标位m，n，
∵函数图象开口向上，
∴x1>m，x2
故选：C．
①由开口向上得到a>0，由对称轴在y轴左侧得到b>0，由函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴上得到c>0，进而得到abc的正负情况；
②由函数图象与x轴的交点个数得到b2−4ac的正负；
③由对称轴为x=−1得到b=2a，然后由当x=−1时，y<0得到c−a的正负；
④由对称轴为x=−1和x=0时，y=c，得到x=−2时，y=c，再由−n2−2≤−2，得到当x=−n2−2时，y≥c；
⑤由方程的根得到函数与x轴的交点横坐标分别为x1，x2(x1
12.【答案】D
【解析】解：如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，
∵∠EDF=∠ODM=90°，
∴∠EDO=∠FDM，
∵DE=DF，DO=DM，
∴△EDO≌△FDM(SAS)，
∴FM=OE=2，
∵正方形ABCD中，AB=2 5，O是BC边的中点，
∴OC= 5，
∴OD= (2 5)2+( 5)2=5，
∴OM= 52+52=5 2，
∵OF+MF≥OM，
∴OF≥5 2−2．
故选：D．
连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，证明△EDO≌△FDM，可得FM=OE=2，由条件可得OM=5 2，根据OF+MF≥OM，即可得出OF的最小值．
本题考查图形的旋转，正方形的性质，勾股定理．解题的关键是掌握图形旋转的性质．
13.【答案】1.144×1014
【解析】解：114.4万亿=114400000000000=1.144×1014．
故答案为：1.144×1014．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14.【答案】20 6
【解析】解：作BD⊥AC于点D．
∵∠CBA=25°+50°=75°，∠CAB=(90°−70°)+(90°−50°)=20°+40°=60°，
∴∠ABD=90°−∠DAB=30°，
∴∠CBD=∠CBA−∠ABD=75°−30°=45°．
在Rt△ABD中，∠CAB=60°，AB=2×20=40，
BD=AB⋅sin∠CAB=40⋅sin60°=40× 32=20 3．
在Rt△BCD中，∠CBD=45°，cosC=BDBC，
∴∠C=90−∠CBD=45°，
则BC=20 3 22BD=20 6(海里)．
故答案为：20 6．
作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，利用三角函数求得BD的长，然后在Rt△BCD中，利用三角函数即可求得BC的长．
本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，正确求得∠CBD以及∠CAB的度数是解决本题的关键．
15.【答案】3 3+3π
【解析】解：∵∠AOB=120°，OA=OB，
∴∠A=∠OBA=30°，
∵OC⊥AO，
∴∠AOD=90°，
∴∠BOD=30°，
∴DO=DB，
在Rt△AOD中，OD= 33OA=6 33，OD=12AD，
∴BD=12AD，
∵S△AOD=12×6×6 33=6 3，
∴S△BOD=12S△AOD=3 3，
∴阴影部分的面积=S△AOD+S扇形BOC−S△BOD
=6 3+30⋅π×62360−3 3
=3 3+3π．
故答案为3 3+3π．
根据等腰三角形的性质得到∠A=∠OBA=30°，得到DO=DB，根据直角三角形的性质得到BD=12AD，根据三角形的面积公式得到S△BOD=12S△AOD=3 3，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了扇形面积计算，求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
16.【答案】8
【解析】解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥AM于N，
∵∠OAB=90°，
∴∠OAM+∠BAN=90°，
∵∠AOM+∠OAM=90°，
∴∠BAN=∠AOM，
∴△AOM∽△BAN，
∴AMBN=OMAN，
∵点A，B在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，
∴A(2,k2)，B(k,1)，
∴OM=2，AM=k2，AN=k2−1，BN=k−2，
∴k2k−2=2k2−1，
解得k1=2(舍去)，k2=8，
∴k的值为8，
故答案为：8．
过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥AM于N，通过证得△AOM∽△BAN，即可得到关于k的方程，解方程即可求得．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，表示出点的坐标是解题的关键．
17.【答案】①③④
【解析】解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴EB=ED，
∵BO=DO，
∴OE⊥BD，故①正确；
②∵∠BOD=45°，BO=DO，
∴∠ABD=12(180°−45°)=67.5°，
∴∠ADB=90°−27.5°=22.5°，故②错误；
③∵OE⊥BD，
∴∠BOE+∠OBE=90°，
∴∠BOE=∠BDA，
∵∠BOD=45°，∠OAD=∠DAB=90°，
∴∠ADO=45°，
∴AO=AD，
∴△AOF≌△ADB(ASA)，
∴AF=AB，
连接BF，如图1，
∴BF= 2AF，
∵BE=DE，OE⊥BD，
∴OE是BE的垂直平分线，DF=BF，
∴DF= 2AF，故③正确；
④根据题意作出图形，如图2，
∵G是OF的中点，∠OAF=90°，
∴AG=OG，
∴∠AOG=∠OAG，
∵∠AOD=45°，OE平分∠AOD，
∴∠AOG=∠OAG=22.5°，
∴∠FAG=67.5°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴EA=ED，
∴∠EAD=∠EDA=22.5°，
∴∠EAG=90°，
∵∠AGE=∠AOG+∠OAG=45°，
∴∠AEG=45°，
∴AE=AG，
∴△AEG为等腰直角三角形，故④正确；
∴判断正确的是①③④．
故答案为：①③④．
由矩形得EB=ED，再由等腰三角形的三线合一性质可判断①的正误；根据矩形的性质可得∠ADB=22.5°，便可判断②的正误；证明△AOF≌△ADB，得AF=AB，连接BF，由线段的垂直平分线得BF=DF，进而便可判断③的正误；由直角三角形斜边上的中线定理得AG=OG，进而求得∠AGE=45°，由矩形性质得ED=EA，进而得∠EAD=22.5°，再得∠EAG=90°，便可判断④的正误．
本题属于四边形的综合题，主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，关键是熟记这些图形的性质．
18.【答案】1105
【解析】解：设第n行第m个数为a(n,m)，
由题意知a(6,1)=16，a(7,1)=17，
∴a(7,2)=a(6,1)−a(7,1)=16−17=142，
a(6,2)=a(5,1)−a(6,1)=15−16=130，
a(7,3)=a(6,2)−a(7,2)=130−142=1105，
故答案为：1105．
根据每个数是它下一行相邻两数的和，求出第5、6、7三行的第二个数，继而可得第7行的第3个数．
此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．
19.【答案】解：(1)a−1a+2⋅a2−4a2−2a+1÷1a2−1
=a−1a+2⋅(a+2)(a−2)(a−1)2×(a+1)(a−1)1
=(a−2)(a+1)
=a2−a−2，
∵a2−a=0，
∴原式=a2−a−2=−2；
(2)1+x2−2x+13≤1
3(1+x)−2(2x+1)≤6
3+3x−4x−2≤6，
3x−4x≤6−3+2，
−x≤5，
x≥−5．
【解析】(1)根据分式的混合运算法则即可化简，再将a2−a=0整体代入即可求解；
(2)去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1即可．
本题考查了分式的化简求值，求解不等式解集的知识，掌握分式的混合运算法则以及不等式的解法，是解答本题的关键．
20.【答案】200
【解析】解：(1)这次被调查的学生共有：20÷36°360∘=200(人)，
故答案为：200；
(2)喜欢C的学生有：200−20−80−40=60(人)，
补全的条形统计图如右图所示；
(3)树状图如下所示：
由上可得，一共有12种可能性，其中恰好选中甲、乙两位同学的可能性有2种，
∴恰好选中甲、乙两位同学的概率为：212=16．
(1)根据A的度数和人数，可以计算出这次被调查的学生人数；
(2)根据(1)中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出选择C的人数，然后即可将条形统计图补充完整；
(3)根据题意可以画出相应的树状图，然后即可计算出恰好选中甲、乙两位同学的概率．
本题考查列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
21.【答案】解：(1)∵直线y=kx+b(k≠0)与双曲线y=6x相交于A(m,3)、B(3,n)两点．
∴3m=3n=6，
∴m=n=2，
∴A(2,3)，B(3,2)，
把A(2,3)，B(3,2)代入y=kx+b得2k+b=33k+b=2，
解得k=−1b=5，
∴直线AB的解析式为y=−x+5；
(2)∵AC经过原点O，且点A，C均在反比例函数的图象上，
∴A、C关于原点对称，
∵A(2,3)，
∴C(−2,−3)，
设直线BC的解析式为y=mx+n，
∴−2m+n=−33m+n=2，解得m=1n=−1，
∴直线BC为y=x−1，
令y=0，则x=1，
∴D(1,0)，
∴S△ACD=S△AOD+S△COD=2×12×1×3=3，
∵BC= (3+2)2+(2+3)2=5 2，BD= (3−1)2+22=2 2，
∴CD=BC−BD=3 2，
∴CDBD=32，
∴S△ABD=23S△ACD=2．
【解析】(1)由反比例函数解析式求得A、B点的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式；
(2)根据反比例函数的对称性求得C的坐标，即可根据待定系数法求得直线BC的解析式，从而求得D的坐标，利用三角形面积公式求得S△ACD=S△AOD+S△COD=3，根据勾股定理求得BC、BD的长，即可根据同高三角形面积的比等于底边的比求得△ABD的面积．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的对称性，三角形的面积以及勾股定理的应用等，求得交点坐标是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设B种科普书每本进价为x元，则A种科普书每本进价为(x+10)元，
依题意，得：4800x+10=2×2000x，
解得：x=50，
经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，
∴x+10=60．
答：A种科普书每本进价为60元，B种科普书每本进价为50元．
(2)设购进B种科普书m本，则购进A种科普书(13m+4)本，
依题意，得：(90−60)(13m+4)+(58−50)m>1500，
解得：m>7623，
又∵m为正整数，且为3的倍数，
∴m的最小值为78．
答：至少购进B种科普书78本．
【解析】(1)设B种科普书每本进价为x元，则A种科普书每本进价为(x+10)元，根据数量=总价÷单价结合用4800元购进A种科普书的数量是用2000元购进B种科普数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)设购进B种科普书m本，则购进A种科普书(13m+4)本，根据总利润=每本的利润×销售数量结合总获利超过1500元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数且为3的倍数，即可找出m的最小值．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵DG//BC，
∴∠AGE=∠ACB=90°，
∴∠A+∠AEG=90°，
又∵∠A=∠D，∠AEG=∠DEB，
∴∠D+∠DEB=90°，
∴∠DBE=90°，
∴AB⊥BD，且AB为直径，
∴BD与⊙O相切．
(2)解：如图，连接OF，
∵CF平分∠ACB，
∴∠ACF=∠BCF，
∴AF=BF，
∵∠ACB=90°
∴∠AOF=∠BOF=90°，
∴OF⊥AB，
又∵AB⊥BD，
∴OF//BD，
∴△EOF∽△EBD，
∴OFBD=OEBE，
∵点E是OA的中点，
∴OE=12AO，
∴OEEB=13，
∴OF18=13，
∴OF=6，
∴OA=OB=OF=6，
∴BE=OE+OB=3+6=9，
∴DE= BD2+BE2= 182+92=9 5．
【解析】(1)证明∠ABD=90°，根据切线的判定可得BD与⊙O相切；
(2)连接OF，先根据垂径定理证明OF⊥AB，再证明△EFO∽△EDB，列比例式可得OF=6，即⊙O的半径为6，根据勾股定理可得DE的长．
此题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定，垂径定理，勾股定理等知识，解答本题需要我们熟练掌握切线的判定，第2问关键是证明△EFO∽△EDB．
24.【答案】解：(1)将点A(−1,0)，点B(3,0)代入y=ax2+bx+3得：
a−b+3=09a+3b+3=0，
解得a=−1b=2．
∴抛物线的表达式为y=−x2+2x+3．
∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴顶点C(1,4)；
(2)∵y=−x2+2x+3，令x=0，则y=4，
∴点D(0,3)，
设直线BD的解析式为y=sx+t，
∵点B(3,0)，
∴3s+t=0t=3，
解得s=−1t=3．
∴直线BD解析式为y=−x+3，
过点P作PQ//y轴交BD于点Q，
设点P(m,−m2+2m+3)，点Q(m,−m+3)，
∴S△PBD=12×PQ×OB=12×3(−m2+2m+3+m−3)=−32m2+92m，
∵△PBD的面积为3，
∴−32m2+92m=3，
∴m1=1，m2=2，
∴m的值为1或2；
(3)∵在Rt△CMP中，PM=2CM，
∴tan∠MCP=PMCM=2，
设AC交y轴于点F，延长CP交x轴于G，连接GF，过点C作CE⊥x轴于点E，如图3，
∵A(−1,0)，C(1,4)，
∴AE=2，CE=4，
∴OA=1，OE=1，CE=4．
∴OA=OE，AC= AE2+CE2=2 5．
Rt△AEC中，tan∠CAE=2，tan∠ACE=12，
∵tan∠MCP=tan∠CAE，
∴∠MCP=∠CAE，
∴GA=GC，
∴△GAC是等腰三角形，
∵FO⊥AB，CE⊥AB，
∴FO//CE，
∴OF=12CE=2，F为AC的中点．
∵△GAC是等腰三角形，GA=GC，
∴GF⊥AC．
∵FO⊥AG，
∴△AFO∽△FGO．
∴AOFO=OFOG，
∴12=2OG，
∴OG=4．
∴G(4,0)，
设直线CG的解析式为y=kx+n，
∴k+n=44k+n=0，
解得k=−43n=163．
∴直线CG的解析式为y=−43x+163．
∴y=−43x+163y=−x2+2x+3，
解得x1=1y1=4，x2=73y2=209，
∴P(73,209).
【解析】(1)利用待定系数法可以确定抛物线的解析式，利用配方法可得抛物线的顶点坐标；
(2)利用待定系数法求出直线BD解析式为y=−x+3，过点P作PQ//y轴交BD于点Q，设点P(m,−m2+2m+3)，点Q(m,−m+3)，根据△PBD的面积为3，可得出关于m的方程，解方程即可得到m的值；
(3)设AC交y轴于点F，延长CP交x轴于G，连接GF，过点C作CE⊥x轴于点E，可得tan∠MCP=tan∠CAE，则∠MCP=∠CAE，△GAC是等腰三角形，证明△AFO∽△FGO，根据相似三角形的性质可得OG=4，G(4,0)，求出直线CG的解析式为为y=−43x+163，联立得方程组，解方程组即可求得点P的坐标．
本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法确定函数的解析式，配方法求抛物线的顶点坐标，三角形的面积，等腰三角形的判定和性质，三角形相似的判定与性质．熟练掌握二次函数图象和性质，灵活运用数形结合思想，方程思想是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵∠BAC=∠MAN，
∴∠BAC−∠CAM=∠MAN−∠CAM，即∠BAM=∠CAN，
∵AB=AC，AM=AN，
∴△ABM≌△ACN(SAS)，
∴∠ACN=∠ABM；
(2)解：AN存在最小值，理由如下：
如图2，连接CN，
∵AM=MN，AB=BC，
∴AMMN=ABBC，
又∵∠AMN=∠B，
∴△ABC∽△AMN，
∴AMAB=ANAC，∠BAC=∠MAN，
∴∠BAC−∠MAC=∠MAN−∠MAC，即∠BAM=∠CAN，
∴△ABM∽△ACN，
∴∠ACN=∠B=30°，
如图2，连接CN，过点A作AH⊥CN，交CN延长线于点H，
此时AN最小，最小值为AH，
Rt△ACH中，∠ACN=30°，
∴AH=12AC=12×8=4，
故AN存在最小值，最小值为4；
(3)解：连接BD，EH，过H作HQ⊥CD于Q，
∵H为正方形DEFG的中心，
∴DH=EH，∠DHE=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=CD，∠BCD=90°，
∴∠BDE+∠CDE=∠CDH+∠CDE=45°，
∴∠BDE=∠CDH，
∵BDCD=DEDH= 2，
∴△BDE∽△CDH，
∴∠DCH=∠DBC=45°，BE= 2CH=6，
设CE=x，则CD=x+6，
∵DE=8，
由勾股定理得：x2+(x+6)2=82，
解得：x= 23−3或x=− 23−3(舍)，
∴CD= 23+3，
在Rt△CDH中，CQ=QH=3，
∴△CDH的面积为12×( 23+3)×3=3 23+92．
【解析】(1)证明△BAM≌△CAN(SAS)，即可得出结论；
(2)证△ABC∽△AMN，得比例式，再证△ABM∽△ACN，得∠ABM=∠ACN=30°，则点N在∠ACN的边CN上运动，当AN⊥CN时，AN最小，进而得出结论；
(3)连接BD，证△DBE∽△DCH，得DBDC=BECH= 2，设EC=x，则BC=DC=6+x，在Rt△DCE中，由勾股定理得出方程，可得x的值，最后根据三角形的面积公式即可解决问题．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及最小值问题等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
2023年山东省泰安市东平县东岳中学中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −2的相反数是( )
A. 2 B. −2 C. −12 D. 12
2. 下列等式成立的是( )
A. 3a⋅4a=12a B. (ab2)−2=a2b4 C. (a−3b)2=a−6b2 D. (a3b2)0=0
3. 下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4. 不等式组x+2>03−x≥0的解在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 将一副三角板(∠EDF=30°,∠C=45°)按如图所示的方式摆放，使得点D在三角板的一边AC上，且DE//AB，则∠DMC等于( )
A. 60°
B. 75°
C. 90°
D. 105°
6. 若关于x的方程3−2xx−3−mx−23−x=−1的解为非负数，则m的取值范围是( )
A. m≥1 B. m>1且m≠53 C. m>1 D. m≥1且m≠5
7. 在2021年初中毕业生体育测试中，某校随机抽取了10名男生的引体向上成绩，将这组数据整理后制成如下统计表：
成绩(次)
12
11
10
9
人数(名)
1
3
4
2
关于这组数据的结论不正确的是( )
A. 中位数是10.5 B. 平均数是10.3 C. 众数是10 D. 方差是0.81
8. 某学校有x间男生宿舍和y个男生，若每间宿舍住8个人，则还多4个人无法安置；若每间宿舍安排10个人，则还多6张空床位，据此信息列出方程，下列4个方程中正确的是( )
①8x−4=10x+6；②y−48=y+610；③y+48=y−610；④8x+4=10x−6．
A. ①③ B. ②④ C. ①② D. ③④
9. 如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径.若∠CAD=∠B，AD=8，则AC的长为( )
A. 5
B. 4 2
C. 5 2
D. 4 3
10. 如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB⊥BD，AB=5，BD=4，CD=3，点E是AC的中点，则BE的长为( )
A. 2
B. 52
C. 5
D. 3
11. 如图，二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线x=−1，有下列结论：
①abc<0；②4ac−b2<0；③c−a>0；④当x=−n2−2时，y≥c；⑤若x1，x2(x1
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
12. 如图，正方形ABCD中，AB=2 5，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF.则线段OF长的最小值( )
A. 2 5 B. 5+2 C. 2 10−2 D. 5 2−2
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13. 《2021年国民经济和社会发展统计公报》显示，2021年我国经济规模突破110万亿元，达到114.4万亿元.稳居全球第二大经济体，将114.4万亿用科学记数法表示为______ ．
14. 如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，2小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是______海里．(结果保留根号)
15. 如图，在扇形AOB中，∠AOB=120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥AO，若OA=6，则阴影部分的面积为______．
16. 如图，点A，B在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，OA⊥AB，则k的值为______．
17. 如图，∠BOD=45°，BO=DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于点E，连接OE交AD于点F.下列4个判断：①OE⊥BD；②∠ADB=30°；③DF= 2AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形，其中，判断正确的是______ .(填序号)
18. 如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由正整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为1n(n≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：11=12+12，12=13+16，13=14+112…，那么第7行第3个数字是______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题10.0分)
(1)先化简，再求值：a−1a+2⋅a2−4a2−2a+1÷1a2−1，其中a满足a2−a=0；
(2)解不等式1+x2−2x+13≤1．
20. (本小题10.0分)
我区某中学根据《德州市中小学生课后服务实施意见》，积极开展课后延时服务活动，提供了以下课后社团活动项目：A：篮球；B：乒乓球；C：长绳；D：舞蹈．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
(1)这次被调查的学生共有______人；
(2)请你将条形统计图(2)补充完整；
(3)七年级三班的甲、乙、丙、丁四位同学都喜欢乒乓球，但是每个社团给同一个班级只有两个名额，现决定从这四名同学中任选两名加入乒乓球社团，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．(用树状图或列表法解答)
21. (本小题10.0分)
如图，已知直线y=kx+b(k≠0)与双曲线y=6x相交于A(m,3)、B(3,n)两点．
(1)求直线AB的解析式；
(2)连接AO并延长交双曲线于点C，连接BC交x轴于点D，连接AD，求△ABD的面积．
22. (本小题12.0分)
某书店在图书批发中心选购A，B两种科普书，A种科普书每本进价比B种科普书每本进价多10元，若用4800元购进A种科普书的数量是用2000元购进B种科普数量的2倍．
(1)求A、B两种科普书每本进价各是多少元；
(2)该书店计划A种科普书每本售价为90元，B种科普书每本售价为58元，购进A种科普书的数量比购进B种科普书的数量的13还多4本，若A，B两种科普书全部售出，使总获利超过1500元，则至少购进B种科普书多少本？
23. (本小题12.0分)
如图所示，AB是△ABC外接圆⊙O的直径，过⊙O外一点D作BC的平行线分别交AC，AB于点G，E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠BAC=∠D．
(1)求证：BD是⊙O的切线；
(2)若点E是OA的中点，CF平分∠ACB，设BD=18，求DE的长．
24. (本小题12.0分)
抛物线y=ax2+bx+3过点A(−1,0)，点B(3,0)，顶点为C，与y轴相交于点D.点P是该抛物线上一动点，设点P的横坐标为m(0
(2)如图1，连接BD，PB，PD，若△PBD的面积为3，求m的值；
(3)连接AC，过点P作PM⊥AC于点M，是否存在点P，使得PM=2CM.如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
25. (本小题12.0分)
某校数学兴趣学习小组在一次活动中，对一些特殊几何图形具有的性质进行了如下探究：
(1)发现问题：如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，点M是边BC上任意一点，连接AM，以AM为腰作等腰△AMN，使AM=AN，∠MAN=∠BAC，连接CN.求证：∠ACN=∠ABM；
(2)类比探究：如图2，在等腰△ABC中，∠B=30°，AB=BC，AC=8，点M是边BC上任意一点，以AM为腰作等腰△AMN，使AM=MN，∠AMN=∠B.在点M运动过程中，AN是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由；
(3)拓展应用：如图3，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，以DE为边作正方形DEFG，H是正方形DEFG的中心，连接CH，DH.若正方形DEFG的边长为8，CH=3 2，求△CDH的面积．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0.不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号，求解即可．
【解答】
解：−2的相反数是：−(−2)=2，
故选：A．
2.【答案】C
【解析】解：A、原式=12a2，不合题意；
B、原式=a−2b−4，不合题意；
C、原式=a−6b2，符合题意；
D、原式=1，不合题意；
故选：C．
A、根据单项式乘单项式的运算法则计算解答判断即可；
B、根据幂的乘方与积的乘方的运算法则计算判断即可；
C、根据幂的乘方与积的乘方的运算法则计算判断即可；
D、根据零指数幂的运算法则计算判断即可．
此题考查的是单项式乘单项式的运算、幂的乘方与积的乘方的运算、零指数幂的运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B.既是轴对称图形又是中心对称图形，故B选项符合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项不合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意；
故选：B．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
4.【答案】A
【解析】解：由x+2>0得x>−2，
由3−x≥0得x≤3，
所以不等式组的解集为−2
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵DE//AB，
∴∠1=∠B=45°，
∵∠EDF=30°，
∴∠DMC=∠EDF+∠1=30°+45°=75°，
故选：B．
根据平行线的性质得出∠1=45°，进而利用三角形外角性质解答即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
6.【答案】B
【解析】解：3−2xx−3−mx−23−x=−1，
分式变形得，3−2xx−3+mx−2x−3=−1，
分式加减得，mx−2x+1x−3=−1，
合并同类项得，(m−2)x+1x−3=−1，
去分母得，(m−2)x+1=3−x且x≠3，
移项得，(m−1)x=2，
∴x=2m−1，且m−1≠0，即m≠1，
∵解为非负数，
∴x=2m−1≥0，
∴m−1>0，
∴m>1，
∵x≠3，
∴2m−1≠3，解得：m≠53，
∴m>1且m≠53，
故选：B．
根据解分式方程的方法，用含m的式子表示x的值，再根据解为非负数即可求解．
本题主要考查解分式方程，及根据分式方程的根求参数，掌握分式方程的解法是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：根据题目给出的数据，可得：
中位数是10+102=10(分)，
平均数为：12×1+11×3+10×4+9×21+3+4+2=10.3，
∵10出现了4次，出现的次数最多，
∴众数是10；
方差是：110[(12−10.3)2+3×(11−10.3)2+4×(10−10.3)2+2×(9−10.3)2]=0.81．
这组数据的结论不正确的是A．
故选：A．
根据中位数，平均数，众数，方差的性质分别计算出结果，然后判判断即可．
本题考查的是平均数，众数，中位数和方差，熟练掌握平均数，众数，中位数，方差的计算公式是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：按照男生人数不变列出方程8x+4=10x−6；
按照男生宿舍间数不变列出方程y−48=y+610．
∴正确的方程是②④．
故选：B．
分别按照男生人数不变(男生宿舍间数不变)，可列出关于x(y)的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠ADC+∠CAD=90°，
∵∠CAD=∠B，
∴∠ADC+∠B=90°，
∵AC=AC，
∴∠ADC=∠B，
∴∠ADC=45°=∠B，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AC=AD 2=8 2=4 2，
故选：B．
连接CD，由AD是⊙O的直径，得∠ACD=90°，又∠CAD=∠B，可得∠ADC+∠B=90°，而∠ADC=∠B，故△ACD是等腰直角三角形，即可求出答案．
本题考查圆的性质及应用，解题的关键是掌握圆周角定理和等腰直角三角形三边的关系．
10.【答案】C
【解析】解：过点C作CF⊥AB的延长线于点F，如图所示：
∵AB//CD，AB⊥BD，
∴CD⊥BD，
∵CF⊥AB，
∴CF⊥CD，
∴BD//CF，
∴四边形BFCD是矩形，
∴BF=CD=3，CF=BD=4，
在Rt△BCF中，BC= CF2+BF2= 32+42=5，
在Rt△AFC中，AC= AF2+CF2= (AB+BF)2+CF2=4 5，
∴BC=AB=5，
∴△ABC是等腰三角形，
∵点E是AC的中点，
∴BE⊥AC，
∵12AB⋅CF=12AC⋅BE，
∴12×5×4=12×4 5BE，
解得：BE= 5．
故选：C．
过点C作CF⊥AB的延长线于点F，根据题意可判断四边形BFCD是矩形，则有BF=CD=3，CF=BD=4，再由勾股定理求得BC=5，AC=4 5，从而可判断△ABC是等腰三角形，则有BE⊥AC，利用三角形的面积可求解．
本题主要考查矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解答的关键是求得AC的长度．
11.【答案】C
【解析】解：①∵开口向上，对称轴在y轴左侧，函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴a>0，b>0，c>0，
∴abc>0，故①错误，不符合题意；
②∵函数图象与x轴有2个交点，
∴b2−4ac>0，
∴4ac−b2<0，故②正确，符合题意；
③∵对称轴为x=−1，
∴−b2a=−1，
∴b=2a，
∵当x=−1时，y=a−b+c<0，
∴a−b+c=a−2a+c=c−a<0，
∴c
∴x=−2时，y=c，当x<−1时，y随x的增大为减小，
∵−n2−2≤−2，得到当x=−n2−2时，y≥c，故④正确，符合题意；
⑤∵x1，x2(x1
∴函数y=ax2+bx+c与直线y=1的交点横坐标位m，n，
∵函数图象开口向上，
∴x1>m，x2
故选：C．
①由开口向上得到a>0，由对称轴在y轴左侧得到b>0，由函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴上得到c>0，进而得到abc的正负情况；
②由函数图象与x轴的交点个数得到b2−4ac的正负；
③由对称轴为x=−1得到b=2a，然后由当x=−1时，y<0得到c−a的正负；
④由对称轴为x=−1和x=0时，y=c，得到x=−2时，y=c，再由−n2−2≤−2，得到当x=−n2−2时，y≥c；
⑤由方程的根得到函数与x轴的交点横坐标分别为x1，x2(x1
12.【答案】D
【解析】解：如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，
∵∠EDF=∠ODM=90°，
∴∠EDO=∠FDM，
∵DE=DF，DO=DM，
∴△EDO≌△FDM(SAS)，
∴FM=OE=2，
∵正方形ABCD中，AB=2 5，O是BC边的中点，
∴OC= 5，
∴OD= (2 5)2+( 5)2=5，
∴OM= 52+52=5 2，
∵OF+MF≥OM，
∴OF≥5 2−2．
故选：D．
连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，证明△EDO≌△FDM，可得FM=OE=2，由条件可得OM=5 2，根据OF+MF≥OM，即可得出OF的最小值．
本题考查图形的旋转，正方形的性质，勾股定理．解题的关键是掌握图形旋转的性质．
13.【答案】1.144×1014
【解析】解：114.4万亿=114400000000000=1.144×1014．
故答案为：1.144×1014．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14.【答案】20 6
【解析】解：作BD⊥AC于点D．
∵∠CBA=25°+50°=75°，∠CAB=(90°−70°)+(90°−50°)=20°+40°=60°，
∴∠ABD=90°−∠DAB=30°，
∴∠CBD=∠CBA−∠ABD=75°−30°=45°．
在Rt△ABD中，∠CAB=60°，AB=2×20=40，
BD=AB⋅sin∠CAB=40⋅sin60°=40× 32=20 3．
在Rt△BCD中，∠CBD=45°，cosC=BDBC，
∴∠C=90−∠CBD=45°，
则BC=20 3 22BD=20 6(海里)．
故答案为：20 6．
作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，利用三角函数求得BD的长，然后在Rt△BCD中，利用三角函数即可求得BC的长．
本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，正确求得∠CBD以及∠CAB的度数是解决本题的关键．
15.【答案】3 3+3π
【解析】解：∵∠AOB=120°，OA=OB，
∴∠A=∠OBA=30°，
∵OC⊥AO，
∴∠AOD=90°，
∴∠BOD=30°，
∴DO=DB，
在Rt△AOD中，OD= 33OA=6 33，OD=12AD，
∴BD=12AD，
∵S△AOD=12×6×6 33=6 3，
∴S△BOD=12S△AOD=3 3，
∴阴影部分的面积=S△AOD+S扇形BOC−S△BOD
=6 3+30⋅π×62360−3 3
=3 3+3π．
故答案为3 3+3π．
根据等腰三角形的性质得到∠A=∠OBA=30°，得到DO=DB，根据直角三角形的性质得到BD=12AD，根据三角形的面积公式得到S△BOD=12S△AOD=3 3，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了扇形面积计算，求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
16.【答案】8
【解析】解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥AM于N，
∵∠OAB=90°，
∴∠OAM+∠BAN=90°，
∵∠AOM+∠OAM=90°，
∴∠BAN=∠AOM，
∴△AOM∽△BAN，
∴AMBN=OMAN，
∵点A，B在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，
∴A(2,k2)，B(k,1)，
∴OM=2，AM=k2，AN=k2−1，BN=k−2，
∴k2k−2=2k2−1，
解得k1=2(舍去)，k2=8，
∴k的值为8，
故答案为：8．
过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥AM于N，通过证得△AOM∽△BAN，即可得到关于k的方程，解方程即可求得．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，表示出点的坐标是解题的关键．
17.【答案】①③④
【解析】解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴EB=ED，
∵BO=DO，
∴OE⊥BD，故①正确；
②∵∠BOD=45°，BO=DO，
∴∠ABD=12(180°−45°)=67.5°，
∴∠ADB=90°−27.5°=22.5°，故②错误；
③∵OE⊥BD，
∴∠BOE+∠OBE=90°，
∴∠BOE=∠BDA，
∵∠BOD=45°，∠OAD=∠DAB=90°，
∴∠ADO=45°，
∴AO=AD，
∴△AOF≌△ADB(ASA)，
∴AF=AB，
连接BF，如图1，
∴BF= 2AF，
∵BE=DE，OE⊥BD，
∴OE是BE的垂直平分线，DF=BF，
∴DF= 2AF，故③正确；
④根据题意作出图形，如图2，
∵G是OF的中点，∠OAF=90°，
∴AG=OG，
∴∠AOG=∠OAG，
∵∠AOD=45°，OE平分∠AOD，
∴∠AOG=∠OAG=22.5°，
∴∠FAG=67.5°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴EA=ED，
∴∠EAD=∠EDA=22.5°，
∴∠EAG=90°，
∵∠AGE=∠AOG+∠OAG=45°，
∴∠AEG=45°，
∴AE=AG，
∴△AEG为等腰直角三角形，故④正确；
∴判断正确的是①③④．
故答案为：①③④．
由矩形得EB=ED，再由等腰三角形的三线合一性质可判断①的正误；根据矩形的性质可得∠ADB=22.5°，便可判断②的正误；证明△AOF≌△ADB，得AF=AB，连接BF，由线段的垂直平分线得BF=DF，进而便可判断③的正误；由直角三角形斜边上的中线定理得AG=OG，进而求得∠AGE=45°，由矩形性质得ED=EA，进而得∠EAD=22.5°，再得∠EAG=90°，便可判断④的正误．
本题属于四边形的综合题，主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，关键是熟记这些图形的性质．
18.【答案】1105
【解析】解：设第n行第m个数为a(n,m)，
由题意知a(6,1)=16，a(7,1)=17，
∴a(7,2)=a(6,1)−a(7,1)=16−17=142，
a(6,2)=a(5,1)−a(6,1)=15−16=130，
a(7,3)=a(6,2)−a(7,2)=130−142=1105，
故答案为：1105．
根据每个数是它下一行相邻两数的和，求出第5、6、7三行的第二个数，继而可得第7行的第3个数．
此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．
19.【答案】解：(1)a−1a+2⋅a2−4a2−2a+1÷1a2−1
=a−1a+2⋅(a+2)(a−2)(a−1)2×(a+1)(a−1)1
=(a−2)(a+1)
=a2−a−2，
∵a2−a=0，
∴原式=a2−a−2=−2；
(2)1+x2−2x+13≤1
3(1+x)−2(2x+1)≤6
3+3x−4x−2≤6，
3x−4x≤6−3+2，
−x≤5，
x≥−5．
【解析】(1)根据分式的混合运算法则即可化简，再将a2−a=0整体代入即可求解；
(2)去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1即可．
本题考查了分式的化简求值，求解不等式解集的知识，掌握分式的混合运算法则以及不等式的解法，是解答本题的关键．
20.【答案】200
【解析】解：(1)这次被调查的学生共有：20÷36°360∘=200(人)，
故答案为：200；
(2)喜欢C的学生有：200−20−80−40=60(人)，
补全的条形统计图如右图所示；
(3)树状图如下所示：
由上可得，一共有12种可能性，其中恰好选中甲、乙两位同学的可能性有2种，
∴恰好选中甲、乙两位同学的概率为：212=16．
(1)根据A的度数和人数，可以计算出这次被调查的学生人数；
(2)根据(1)中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出选择C的人数，然后即可将条形统计图补充完整；
(3)根据题意可以画出相应的树状图，然后即可计算出恰好选中甲、乙两位同学的概率．
本题考查列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
21.【答案】解：(1)∵直线y=kx+b(k≠0)与双曲线y=6x相交于A(m,3)、B(3,n)两点．
∴3m=3n=6，
∴m=n=2，
∴A(2,3)，B(3,2)，
把A(2,3)，B(3,2)代入y=kx+b得2k+b=33k+b=2，
解得k=−1b=5，
∴直线AB的解析式为y=−x+5；
(2)∵AC经过原点O，且点A，C均在反比例函数的图象上，
∴A、C关于原点对称，
∵A(2,3)，
∴C(−2,−3)，
设直线BC的解析式为y=mx+n，
∴−2m+n=−33m+n=2，解得m=1n=−1，
∴直线BC为y=x−1，
令y=0，则x=1，
∴D(1,0)，
∴S△ACD=S△AOD+S△COD=2×12×1×3=3，
∵BC= (3+2)2+(2+3)2=5 2，BD= (3−1)2+22=2 2，
∴CD=BC−BD=3 2，
∴CDBD=32，
∴S△ABD=23S△ACD=2．
【解析】(1)由反比例函数解析式求得A、B点的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式；
(2)根据反比例函数的对称性求得C的坐标，即可根据待定系数法求得直线BC的解析式，从而求得D的坐标，利用三角形面积公式求得S△ACD=S△AOD+S△COD=3，根据勾股定理求得BC、BD的长，即可根据同高三角形面积的比等于底边的比求得△ABD的面积．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的对称性，三角形的面积以及勾股定理的应用等，求得交点坐标是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设B种科普书每本进价为x元，则A种科普书每本进价为(x+10)元，
依题意，得：4800x+10=2×2000x，
解得：x=50，
经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，
∴x+10=60．
答：A种科普书每本进价为60元，B种科普书每本进价为50元．
(2)设购进B种科普书m本，则购进A种科普书(13m+4)本，
依题意，得：(90−60)(13m+4)+(58−50)m>1500，
解得：m>7623，
又∵m为正整数，且为3的倍数，
∴m的最小值为78．
答：至少购进B种科普书78本．
【解析】(1)设B种科普书每本进价为x元，则A种科普书每本进价为(x+10)元，根据数量=总价÷单价结合用4800元购进A种科普书的数量是用2000元购进B种科普数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)设购进B种科普书m本，则购进A种科普书(13m+4)本，根据总利润=每本的利润×销售数量结合总获利超过1500元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数且为3的倍数，即可找出m的最小值．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵DG//BC，
∴∠AGE=∠ACB=90°，
∴∠A+∠AEG=90°，
又∵∠A=∠D，∠AEG=∠DEB，
∴∠D+∠DEB=90°，
∴∠DBE=90°，
∴AB⊥BD，且AB为直径，
∴BD与⊙O相切．
(2)解：如图，连接OF，
∵CF平分∠ACB，
∴∠ACF=∠BCF，
∴AF=BF，
∵∠ACB=90°
∴∠AOF=∠BOF=90°，
∴OF⊥AB，
又∵AB⊥BD，
∴OF//BD，
∴△EOF∽△EBD，
∴OFBD=OEBE，
∵点E是OA的中点，
∴OE=12AO，
∴OEEB=13，
∴OF18=13，
∴OF=6，
∴OA=OB=OF=6，
∴BE=OE+OB=3+6=9，
∴DE= BD2+BE2= 182+92=9 5．
【解析】(1)证明∠ABD=90°，根据切线的判定可得BD与⊙O相切；
(2)连接OF，先根据垂径定理证明OF⊥AB，再证明△EFO∽△EDB，列比例式可得OF=6，即⊙O的半径为6，根据勾股定理可得DE的长．
此题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定，垂径定理，勾股定理等知识，解答本题需要我们熟练掌握切线的判定，第2问关键是证明△EFO∽△EDB．
24.【答案】解：(1)将点A(−1,0)，点B(3,0)代入y=ax2+bx+3得：
a−b+3=09a+3b+3=0，
解得a=−1b=2．
∴抛物线的表达式为y=−x2+2x+3．
∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴顶点C(1,4)；
(2)∵y=−x2+2x+3，令x=0，则y=4，
∴点D(0,3)，
设直线BD的解析式为y=sx+t，
∵点B(3,0)，
∴3s+t=0t=3，
解得s=−1t=3．
∴直线BD解析式为y=−x+3，
过点P作PQ//y轴交BD于点Q，
设点P(m,−m2+2m+3)，点Q(m,−m+3)，
∴S△PBD=12×PQ×OB=12×3(−m2+2m+3+m−3)=−32m2+92m，
∵△PBD的面积为3，
∴−32m2+92m=3，
∴m1=1，m2=2，
∴m的值为1或2；
(3)∵在Rt△CMP中，PM=2CM，
∴tan∠MCP=PMCM=2，
设AC交y轴于点F，延长CP交x轴于G，连接GF，过点C作CE⊥x轴于点E，如图3，
∵A(−1,0)，C(1,4)，
∴AE=2，CE=4，
∴OA=1，OE=1，CE=4．
∴OA=OE，AC= AE2+CE2=2 5．
Rt△AEC中，tan∠CAE=2，tan∠ACE=12，
∵tan∠MCP=tan∠CAE，
∴∠MCP=∠CAE，
∴GA=GC，
∴△GAC是等腰三角形，
∵FO⊥AB，CE⊥AB，
∴FO//CE，
∴OF=12CE=2，F为AC的中点．
∵△GAC是等腰三角形，GA=GC，
∴GF⊥AC．
∵FO⊥AG，
∴△AFO∽△FGO．
∴AOFO=OFOG，
∴12=2OG，
∴OG=4．
∴G(4,0)，
设直线CG的解析式为y=kx+n，
∴k+n=44k+n=0，
解得k=−43n=163．
∴直线CG的解析式为y=−43x+163．
∴y=−43x+163y=−x2+2x+3，
解得x1=1y1=4，x2=73y2=209，
∴P(73,209).
【解析】(1)利用待定系数法可以确定抛物线的解析式，利用配方法可得抛物线的顶点坐标；
(2)利用待定系数法求出直线BD解析式为y=−x+3，过点P作PQ//y轴交BD于点Q，设点P(m,−m2+2m+3)，点Q(m,−m+3)，根据△PBD的面积为3，可得出关于m的方程，解方程即可得到m的值；
(3)设AC交y轴于点F，延长CP交x轴于G，连接GF，过点C作CE⊥x轴于点E，可得tan∠MCP=tan∠CAE，则∠MCP=∠CAE，△GAC是等腰三角形，证明△AFO∽△FGO，根据相似三角形的性质可得OG=4，G(4,0)，求出直线CG的解析式为为y=−43x+163，联立得方程组，解方程组即可求得点P的坐标．
本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法确定函数的解析式，配方法求抛物线的顶点坐标，三角形的面积，等腰三角形的判定和性质，三角形相似的判定与性质．熟练掌握二次函数图象和性质，灵活运用数形结合思想，方程思想是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵∠BAC=∠MAN，
∴∠BAC−∠CAM=∠MAN−∠CAM，即∠BAM=∠CAN，
∵AB=AC，AM=AN，
∴△ABM≌△ACN(SAS)，
∴∠ACN=∠ABM；
(2)解：AN存在最小值，理由如下：
如图2，连接CN，
∵AM=MN，AB=BC，
∴AMMN=ABBC，
又∵∠AMN=∠B，
∴△ABC∽△AMN，
∴AMAB=ANAC，∠BAC=∠MAN，
∴∠BAC−∠MAC=∠MAN−∠MAC，即∠BAM=∠CAN，
∴△ABM∽△ACN，
∴∠ACN=∠B=30°，
如图2，连接CN，过点A作AH⊥CN，交CN延长线于点H，
此时AN最小，最小值为AH，
Rt△ACH中，∠ACN=30°，
∴AH=12AC=12×8=4，
故AN存在最小值，最小值为4；
(3)解：连接BD，EH，过H作HQ⊥CD于Q，
∵H为正方形DEFG的中心，
∴DH=EH，∠DHE=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=CD，∠BCD=90°，
∴∠BDE+∠CDE=∠CDH+∠CDE=45°，
∴∠BDE=∠CDH，
∵BDCD=DEDH= 2，
∴△BDE∽△CDH，
∴∠DCH=∠DBC=45°，BE= 2CH=6，
设CE=x，则CD=x+6，
∵DE=8，
由勾股定理得：x2+(x+6)2=82，
解得：x= 23−3或x=− 23−3(舍)，
∴CD= 23+3，
在Rt△CDH中，CQ=QH=3，
∴△CDH的面积为12×( 23+3)×3=3 23+92．
【解析】(1)证明△BAM≌△CAN(SAS)，即可得出结论；
(2)证△ABC∽△AMN，得比例式，再证△ABM∽△ACN，得∠ABM=∠ACN=30°，则点N在∠ACN的边CN上运动，当AN⊥CN时，AN最小，进而得出结论；
(3)连接BD，证△DBE∽△DCH，得DBDC=BECH= 2，设EC=x，则BC=DC=6+x，在Rt△DCE中，由勾股定理得出方程，可得x的值，最后根据三角形的面积公式即可解决问题．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及最小值问题等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
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