2023年山东省泰安市中考数学模拟试卷（四）（含答案）

这是一份2023年山东省泰安市中考数学模拟试卷（四）（含答案），共31页。

2023年山东省泰安市中考数学模拟试卷（四）
一．选择题（每题4分，本大题共12小题，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1．（4分）9的算术平方根是（　　）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．81
2．（4分）下列计算错误的是（　　）
A．（a3b）•（ab2）＝a4b3 B．xy2﹣xy2＝xy2
C．a5÷a2＝a3 D．（﹣mn3）2＝m2n5
3．（4分）如图所示的几何体，它的左视图是（　　）

A． B．
C． D．
4．（4分）新冠肺炎疫情暴发以来，口罩成为需求最为迫切的防护物资．在这个关键时刻，我国某企业利用自身优势转产口罩，更是我国人民团结一心抗击疫情的决心据悉该企业3月份的口罩日产能已达到500万只，预计今后数月内都将保持同样的产能（按31天计算）该企业生产的口罩总数量用科学记数法表示为（　　）
A．1.55×107只 B．1.55×108只
C．0.155×109只 D．5×106只
5．（4分）如图，AB∥CD，∠B＝85°，则∠D的度数为（　　）

A．45° B．48° C．50° D．58°
6．（4分）小莹同学10个周综合素质评价成绩统计如下：
成绩（分）
94
95
97
98
99
100
周数（个）
1
2
2
3
1
1
这10个周的综合素质评价成绩的中位数和众数分别是（　　）
A．97.5 97 B．97 97 C．97.5 98 D．97 98
7．（4分）如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，过点E作EF∥BC，分别交BD，F两点．若M，N分别是DG，则MN的长为（　　）

A．3 B． C． D．4
8．（4分）如图，在半径为4.5的⊙O内有两条互相垂直的弦AB和CD，AB＝8，垂足为E，则tan∠OEA的值是（　　）

A． B． C． D．
9．（4分）如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，交CD于点F，连接AE、AF．若AB＝6，则阴影部分的面积为（　　）

A．9﹣3π B．9﹣2π C．18﹣9π D．18﹣6π
10．（4分）如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD，小明在斜坡上B处测得标识牌顶部C的仰角为45°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB＝AE＝10米．则标识牌CD的高度是（　　）

A．15﹣5 B．20﹣10 C．10﹣5 D．5﹣5
11．（4分）如图，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，圆锥的侧面积为15πcm2，则sin∠ABC的值为（　　）

A． B． C． D．
12．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），下列结论：（1）2a+b＝0；（2）；（3）5a+7b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）＝c的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2，其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，只要求填写最后结果）
13．（4分）关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2＝0有实根，则m的最大整数解是 　 　．
14．（4分）将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，点A、O在三角板上所对应的刻度分别是8cm、2cm，重叠阴影部分的量角器弧，若用该扇形AOB 围成一个圆锥的侧面（接缝处不重叠），则该圆锥的底面半径为　 　cm．

15．（4分）如图，直线l与⊙相切于点D，过圆心O作EF∥l交⊙O于E、F两点，连接AE，AF；若⊙的半径R＝5，BD＝12　 　．

16．（4分）如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点．且AM＝BN，点O是正五边形的中心　 　度．

17．（4分）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则cos∠B′CB的值为　 　．

18．（4分）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，分别连接A′C，A′D，则A′C+B′C的最小值为 　 　．

三、解答（共7小题，满分41分.解谷应写出必要的文字说明、证明过翟或推演步骤.）
19．（8分）先化简，再求值：，其中|x|＝（）﹣1．
20．（10分）“校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：

（1）接受问卷调查的学生共有　 　人，条形统计图中m的值为　 　；
（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为　 　；
（3）若该中学共有学生1800人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为　 　人；
（4）若从对校园安全知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的A（3，5），B（a，﹣3），与x轴交于点C．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）直接写出当y1＞y2时，x的取值范围；
（3）在y轴上找一点P使PB﹣PC最大，求PB﹣PC的最大值及点P的坐标．

22．如图，在▱ABCD中，点E是BC边的一点，使得∠AFC＝DEC，连接CF
（1）求证：四边形DECF是平行四边形；
（2）如果AB＝13，DF＝14，tan∠DCB＝

23．（11分）为满足市场需求，某超市在中秋节来临前夕，购进一种品牌月饼；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每天要少卖出20盒．
（1）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
（2）为稳定物价，有关管理部门限定：这种月饼的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得6000元的利润，那么超市每天销售月饼多少盒？
24．在平面直角坐标系中有Rt△AOB，O为原点，OB＝1，将此三角形绕点O顺时针旋转90°得到Rt△COD，抛物线y＝﹣x2+bx+c过A，B，C三点．
（1）求此抛物线的解析式及顶点P的坐标；
（2）直线l：y＝kx﹣k+3与抛物线交于M，N两点，若S△PMN＝2，求k的值；
（3）抛物线的对称轴上是否存在一点Q使得△DCQ为直角三角形，若存在请求出Q点的坐标，若不存在

25．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，G为DF中点，连接EG
（1）求证：EG＝CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立；若不成立，请说明理由；
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）（均不要求证明）．


2023年山东省泰安市中考数学模拟试卷（四）
（参考答案）
一．选择题（每题4分，本大题共12小题，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1．（4分）9的算术平方根是（　　）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．81
【解答】解：∵＝3，
∴8的算术平方根是3．
故选：B．
2．（4分）下列计算错误的是（　　）
A．（a3b）•（ab2）＝a4b3 B．xy2﹣xy2＝xy2
C．a5÷a2＝a3 D．（﹣mn3）2＝m2n5
【解答】解：选项A，单项式×单项式3b）•（ab2）＝a7•a•b•b2＝a4b7，原计算正确，故此选项不符合题意；
选项B，合并同类项2﹣xy2＝xy2﹣xy2＝xy2，原计算正确，故此选项不符合题意；
选项C，同底数幂的除法，a5÷a7＝a5﹣2＝a6，原计算正确，故此选项不符合题意；
选项D，积的乘方3）2＝m2n6，原计算错误，故此选项符合题意；
故选：D．
3．（4分）如图所示的几何体，它的左视图是（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：C．
4．（4分）新冠肺炎疫情暴发以来，口罩成为需求最为迫切的防护物资．在这个关键时刻，我国某企业利用自身优势转产口罩，更是我国人民团结一心抗击疫情的决心据悉该企业3月份的口罩日产能已达到500万只，预计今后数月内都将保持同样的产能（按31天计算）该企业生产的口罩总数量用科学记数法表示为（　　）
A．1.55×107只 B．1.55×108只
C．0.155×109只 D．5×106只
【解答】解：500万×31＝5000000×31＝155000000＝1.55×108（只），
故选：B．
5．（4分）如图，AB∥CD，∠B＝85°，则∠D的度数为（　　）

A．45° B．48° C．50° D．58°
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1＝85°，
∵∠E＝27°，
∴∠D＝85°﹣27°＝58°，
故选：D．
6．（4分）小莹同学10个周综合素质评价成绩统计如下：
成绩（分）
94
95
97
98
99
100
周数（个）
1
2
2
3
1
1
这10个周的综合素质评价成绩的中位数和众数分别是（　　）
A．97.5 97 B．97 97 C．97.5 98 D．97 98
【解答】解：把这些数从小到大排列，中位数是第5和第6个数的平均数，
则中位数是＝97.5（分）；
∵98出现了3次，出现的次数最多，
∴众数是98分；
故选：C．
7．（4分）如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，过点E作EF∥BC，分别交BD，F两点．若M，N分别是DG，则MN的长为（　　）

A．3 B． C． D．4
【解答】解：解法一：如图1，过M作MK⊥CD于K，过M作MH⊥PN于H，
则MK∥EF∥NP，
∵∠MKP＝∠MHP＝∠HPK＝90°，
∴四边形MHPK是矩形，
∴MK＝PH，MH＝KP，
∵NP∥EF，N是EC的中点，
∴，，
∴PF＝FC＝，NP＝，
同理得：FK＝DK＝1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BDC＝45°，
∴△MKD是等腰直角三角形，
∴MK＝DK＝6，NH＝NP﹣HP＝3﹣1＝4，
∴MH＝2+1＝3，
在Rt△MNH中，由勾股定理得：MN＝＝＝；
解法二：如图2，连接FM、CM，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，BC＝CD，
∵EF∥BC，
∴∠GFD＝∠BCD＝90°，EF＝BC，
∴EF＝BC＝DC，
∵∠BDC＝∠ADC＝45°，
∴△GFD是等腰直角三角形，
∵M是DG的中点，
∴FM＝DM＝MG，FM⊥DG，
∴∠GFM＝∠CDM＝45°，
∴△EMF≌△CMD，
∴EM＝CM，
过M作MH⊥CD于H，
由勾股定理得：BD＝＝6，
EC＝＝2，
∵∠EBG＝45°，
∴△EBG是等腰直角三角形，
∴EG＝BE＝4，
∴BG＝4，
∴DM＝
∴MH＝DH＝1，
∴CH＝6﹣4＝5，
∴CM＝EM＝＝，
∵CE3＝EM2+CM2，
∴∠EMC＝90°，
∵N是EC的中点，
∴MN＝EC＝；
故选C．
方法三：连EM，延长EM于H，连DH，可证△EGM≌HDM，利用中位线可证MN＝×8＝．
故选：C．


8．（4分）如图，在半径为4.5的⊙O内有两条互相垂直的弦AB和CD，AB＝8，垂足为E，则tan∠OEA的值是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，OD，

由垂径定理得：BM＝AM＝AB＝8CD＝6，
由勾股定理得：OM＝＝＝，
同理：ON＝＝＝，
∵弦AB、CD互相垂直，ON⊥CD，
∴∠MEN＝∠OME＝∠ONE＝90°，
∴四边形MONE是矩形，
∴ME＝ON＝，
∴tan∠OEA＝＝．
故选：D．
9．（4分）如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，交CD于点F，连接AE、AF．若AB＝6，则阴影部分的面积为（　　）

A．9﹣3π B．9﹣2π C．18﹣9π D．18﹣6π
【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝6，
∵∠B＝60°，E为BC的中点，
∴CE＝BE＝3＝CF，△ABC是等边三角形，
∵∠B＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣∠B＝120°，
由勾股定理得：AE＝＝3，
∴S△AEB＝S△AEC＝×6×2×＝S△AFC，
∴阴影部分的面积S＝S△AEC+S△AFC﹣S扇形CEF＝4.6+4.2﹣﹣3π，
故选：A．
10．（4分）如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD，小明在斜坡上B处测得标识牌顶部C的仰角为45°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB＝AE＝10米．则标识牌CD的高度是（　　）

A．15﹣5 B．20﹣10 C．10﹣5 D．5﹣5
【解答】解：过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N．
在Rt△ABM中，AB＝10米，
∴AM＝AB•cos∠BAM＝5米，BM＝AB•sin∠BAM＝7米．
在Rt△ADE中，AE＝10米，
∴DE＝AE•tan∠DAE＝10米．
在Rt△BCN中，BN＝AE+AM＝（10+5，∠CBN＝45°，
∴CN＝BN•tan∠CBN＝（10+5）米，
∴CD＝CN+EN﹣DE＝10+3+5﹣10）米．
故选：A．

11．（4分）如图，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，圆锥的侧面积为15πcm2，则sin∠ABC的值为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：设圆锥的母线长为R，由题意得
15π＝π×3×R，
解得R＝5．
∴圆锥的高为5，
∴sin∠ABC＝＝，
故选：C．
12．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），下列结论：（1）2a+b＝0；（2）；（3）5a+7b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）＝c的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2，其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：（1）﹣＝2，
∴2a+b＝0，
所以此选项不正确；

（2）由图象可知：当x＝﹣3时，y＜8，
即9a﹣3b+c＜2，
9a+c＜3b，
所以此选项不正确；

（3）∵抛物线开口向下，
∴a＜7，
∵4a+b＝0，
∴b＝﹣2a，
把（﹣1，0）代入y＝ax6+bx+c得：a﹣b+c＝0，
a+4a+c＝4，
c＝﹣5a，
∴5a+6b+2c＝5a+5×（﹣4a）+2×（﹣5a）＝﹣33a＞0，
∴所以此选项正确；

（4）由对称性得：点C（，y3）与（0.5，y3）对称，
∵当x＜2时，y随x的增大而增大，
且﹣2＜﹣＜5.5，
∴y1＜y6＜y3；
所以此选项正确；

（5）∵a＜0，c＞5，
∵方程a（x+1）（x﹣5）＝c的两根为x7和x2，
故x1＞﹣3且x2＜5，
所以此选项不正确；
∴正确的有4个，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，只要求填写最后结果）
13．（4分）关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2＝0有实根，则m的最大整数解是 　m＝4　．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+3x+2＝0有实根，
∴Δ＝2﹣8（m﹣5）≥8，且m﹣5≠0，
解得m≤2.5，且m≠5，
则m的最大整数解是m＝8．
故答案为：m＝4．
14．（4分）将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，点A、O在三角板上所对应的刻度分别是8cm、2cm，重叠阴影部分的量角器弧，若用该扇形AOB 围成一个圆锥的侧面（接缝处不重叠），则该圆锥的底面半径为　2　cm．

【解答】解：∵三角板上所对应的刻度分别是8cm、2cm，
∴圆锥的母线长为6﹣2＝6cm，
∵弧所对的扇形圆心角∠AOB＝120°，
∴扇形AOB的弧长＝＝4π，
设圆锥的半径为r，
则2πr＝5π，
解得r＝2cm，
故答案为2．
15．（4分）如图，直线l与⊙相切于点D，过圆心O作EF∥l交⊙O于E、F两点，连接AE，AF；若⊙的半径R＝5，BD＝12　　．

【解答】解：连接OD，作EH⊥BC，
∵EF为直径，
∴∠A＝90°，
∵∠B+∠C＝90°，∠B+∠BEH＝90°，
∴∠BEH＝∠C，
∵直线l与⊙相切于点D，
∴OD⊥BC，
而EH⊥BC，EF∥BC，
∴四边形EHOD为正方形，
∴EH＝OD＝OE＝HD＝5，
∴BH＝BD﹣HD＝7，
在Rt△BEH中，tan∠BEH＝＝，
∴tan∠ACB＝．
故答案为．

16．（4分）如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点．且AM＝BN，点O是正五边形的中心　72　度．

【解答】解：连接OA、OB，
∠AOB＝＝72°，
∵∠AOB＝∠BOC，OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBC，
在△AOM和△BON中，

∴△AOM≌△BON，
∴∠BON＝∠AOM，
∴∠MON＝∠AOB＝72°，
故答案为：72．

17．（4分）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则cos∠B′CB的值为　　．

【解答】解：如图所示：连接BD，BB′，
由网格利用勾股定理得：BC＝，CD＝，
∴CD3+BD2＝BC2，
∴△CDB是直角三角形，
则BD⊥B′C，
∴cos∠B′CB＝＝＝，
故答案为．

18．（4分）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，分别连接A′C，A′D，则A′C+B′C的最小值为 　　．

【解答】解：在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，
∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，
∴A′B′＝AB＝2，A′B′∥AB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAD＝120°，
∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，
∴四边形A′B′CD是平行四边形，
∴A′D＝B′C，
∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，
∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上，
∴作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′，
则CE的长度即为A'C+B'C的最小值，
在Rt△AHD中，∠A′AD＝∠ADB＝30°，
∴∠ADE＝60°，DH＝EH＝，
∴DE＝1，
∴DE＝CD，
∵∠CDE＝∠EDB′+∠CDB＝90°+30°＝120°，
∴∠E＝∠DCE＝30°，
∴CE＝6×CD＝．
故答案为：．

三、解答（共7小题，满分41分.解谷应写出必要的文字说明、证明过翟或推演步骤.）
19．（8分）先化简，再求值：，其中|x|＝（）﹣1．
【解答】解：原式＝÷[﹣]
＝÷
＝•
＝，
∵|x|＝（）﹣1＝2，
又∵根据分式x﹣7≠0，
∴x只能为﹣2，
当x＝﹣3时，原式＝．
20．（10分）“校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：

（1）接受问卷调查的学生共有　60　人，条形统计图中m的值为　10　；
（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为　96°　；
（3）若该中学共有学生1800人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为　1020　人；
（4）若从对校园安全知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【解答】解：（1）接受问卷调查的学生共有30÷50%＝60（人），m＝60﹣4﹣30﹣16＝10；
故答案为：60，10；
（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数＝360°×＝96°；
故答案为：96°；
（3）该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为：1800×＝1020（人）；
故答案为：1020；
（4）由题意列树状图：

由树状图可知，所有等可能的结果有12 种，
∴恰好抽到8名男生和1名女生的概率为＝．
21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的A（3，5），B（a，﹣3），与x轴交于点C．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）直接写出当y1＞y2时，x的取值范围；
（3）在y轴上找一点P使PB﹣PC最大，求PB﹣PC的最大值及点P的坐标．

【解答】解：（1）把A（3，5）代入，
∴反比例函数的解析式为；
把点B（a，﹣6）代入，
∴B（﹣5，﹣6）．
把A（3，5），﹣8）代入y1＝x+b，可得，
解得，
∴一次函数的解析式为y1＝x+6；
（2）当y1＞y2时，﹣2＜x＜0或x＞3．
（3）一次函数的解析式为y6＝x+2，令x＝0，
∴一次函数与y轴的交点为P（2，2），
此时，PB﹣PC＝BC最大，
令y＝0，则x＝﹣2，
∴C（﹣2，0），
∴．
22．如图，在▱ABCD中，点E是BC边的一点，使得∠AFC＝DEC，连接CF
（1）求证：四边形DECF是平行四边形；
（2）如果AB＝13，DF＝14，tan∠DCB＝

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵∠AFC＝∠DEC，
∴∠AFC＝∠ADE，
∴DE∥CF，
∵AD∥BC，
∴DF∥CE，
∴四边形DECF是平行四边形；
（2）解：如图，过D作DM⊥EC于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB＝13，∠DCB＝∠CDF，
∵tan∠DCB＝＝，
设DM＝12x，则CM＝5x，
由勾股定理得：（12x）4+（5x）2＝136，
解得：x＝1，
即CM＝5，DM＝12，
∵CE＝14，
∴EM＝14﹣6＝9，
在Rt△DME中，由勾股定理得：DE＝，
∵四边形DECF是平行四边形，
∴CF＝DE＝15．

23．（11分）为满足市场需求，某超市在中秋节来临前夕，购进一种品牌月饼；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每天要少卖出20盒．
（1）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
（2）为稳定物价，有关管理部门限定：这种月饼的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得6000元的利润，那么超市每天销售月饼多少盒？
【解答】解：（1）由题意得销售量＝700﹣20（x﹣45）＝﹣20x+1600，
P＝（x﹣40）（﹣20x+1600）＝﹣20x2+2400x﹣64000＝﹣20（x﹣60）2+8000，
∵x≥45，a＝﹣20＜4，
∴当x＝60时，P最大值＝8000元
即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大；
（2）由题意，得﹣20（x﹣60）2+8000＝6000，
解得x1＝50，x4＝70．
∵每盒售价不得高于58元，
∴x2＝70（舍去），
∴﹣20×50+1600＝600（盒）．
答：如果超市想要每天获得6000元的利润，那么超市每天销售月饼600盒．
24．在平面直角坐标系中有Rt△AOB，O为原点，OB＝1，将此三角形绕点O顺时针旋转90°得到Rt△COD，抛物线y＝﹣x2+bx+c过A，B，C三点．
（1）求此抛物线的解析式及顶点P的坐标；
（2）直线l：y＝kx﹣k+3与抛物线交于M，N两点，若S△PMN＝2，求k的值；
（3）抛物线的对称轴上是否存在一点Q使得△DCQ为直角三角形，若存在请求出Q点的坐标，若不存在

【解答】解：（1）∵Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，3），
∴点C的坐标为（3，3），
∵B点坐标为（0，﹣1）3+bx+c经过点A、B、C，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3），
∴此抛物线的解析式为：y＝﹣x5+2x+3，
∴点P（4，4）；
（2）直线l：y＝kx﹣k+3与抛物线的对称轴交点F的坐标为（5，3），
交抛物线于M（xM，yM），N（xN，yN），
∴PF＝1
由得：x2+（k﹣2）x﹣k＝4，
∴xM+xN＝2﹣k，xMxN＝﹣k，
∵S△PMN＝2，
∴|xM﹣1|+|xN﹣1|＝3
∴1﹣xM+xN﹣1＝8，
∴xM﹣xN＝﹣4，
∴（xM+xN）2﹣3xMxN＝16，
∴k＝±2；
（3）存在t＝﹣6或t＝2或t＝4或t＝﹣3；
理由如下：
设点Q（1，t），
∴CD2＝10，CQ8＝22+t3，DQ2＝17+（t﹣1）2，
若∠DQC＝90°，则有32+t2+72+（t﹣1）4＝10，
∴t＝﹣1或t＝2；
若∠QDC＝90°，则有52+t2＝42+（t﹣1）8+10，
∴t＝4；
若∠DCQ＝90°，则有25+t2+10＝14+（t﹣1）2，
∴t＝﹣6；
综上所述：t＝﹣1或t＝2或t＝3或t＝﹣6．
25．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，G为DF中点，连接EG
（1）求证：EG＝CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立；若不成立，请说明理由；
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）（均不要求证明）．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCF＝90°，
在Rt△FCD中，
∵G为DF的中点，
∴CG＝FD，
同理，在Rt△DEF中，
EG＝FD，
∴CG＝EG．

（2）解：（1）中结论仍然成立，即EG＝CG．
证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M．
在△DAG与△DCG中，
∵AD＝CD，∠ADG＝∠CDG，
∴△DAG≌△DCG（SAS），
∴AG＝CG；
在△DMG与△FNG中，
∵∠DGM＝∠FGN，FG＝DG，
∴△DMG≌△FNG（ASA），
∴MG＝NG；
∵∠EAM＝∠AEN＝∠AMN＝90°，
∴四边形AENM是矩形，
在矩形AENM中，AM＝EN，
在△AMG与△ENG中，
∵AM＝EN，∠AMG＝∠ENG，
∴△AMG≌△ENG（SAS），
∴AG＝EG，
∴EG＝CG．

证法二：延长CG至M，使MG＝CG，
连接MF，ME，
在△DCG与△FMG中，
∵FG＝DG，∠MGF＝∠CGD，
∴△DCG≌△FMG．
∴MF＝CD，∠FMG＝∠DCG，
∴MF∥CD∥AB，
∴EF⊥MF．
在Rt△MFE与Rt△CBE中，
∵MF＝CB，∠MFE＝∠EBC，
∴△MFE≌△CBE
∴∠MEF＝∠CEB．
∴∠MEC＝∠MEF+∠FEC＝∠CEB+∠CEF＝90°，
∴△MEC为直角三角形．
∵MG＝CG，
∴EG＝MC，
∴EG＝CG．

（3）解：（1）中的结论仍然成立．
理由如下：
过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM，过F作FN垂直于AB于N．
由于G为FD中点，
∵∠GCD＝∠GMF，∠CGD＝∠MGF，
∴△CDG≌△MFG（AAS），
∴CD＝FM，
又因为BE＝EF，易证∠EFM＝∠EBC，
∴△EFM≌△EBC（SAS），
∴∠FEM＝∠BEC，EM＝EC
∵∠FEC+∠BEC＝90°，∴∠FEC+∠FEM＝90°，
∴△MEC是等腰直角三角形，
∵G为CM中点，
∴EG＝CG，EG⊥CG．