2023年山东省泰安市东平县中考数学三模试卷（含解析）

2023年山东省泰安市东平县中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  某市冬季中的一天，中午时的气温是，经过小时气温下降了，那么当天时的气温是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决按时接送学生困难的重要举措．据统计，全国义务教育学校共有万名学生参加了课后服务．将万用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，是等腰三角形，，将一个含的直角三角板如图放置，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，是甲、乙两位同学五次体育测试成绩的折线统计图，下列说法正确的是(    )

A. 甲同学成绩的众数是 B. 乙同学成绩的中位数是
C. 甲同学成绩的方差更大 D. 乙同学成绩的平均数更大

7.  如图，是的直径，弦于，连接，过点作于，若，，则的长度是(    )

 

A.   B.   C.   D.

8.  如图，点是半圆圆心，是半圆的直径，点，在半圆上，且，，，过点作于点，则阴影部分的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知二次函数的部分对应值如表：

同学们讨论得出了下列结论：抛物线的开口向上；抛物线的对称轴为直线；当时，；是方程的一个根．其中正确的结论有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

10.  为了研究吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地抽查了人，并进行统计分析．结果显示：在吸烟者中患肺癌的比例是，在不吸烟者中患肺癌的比例是，吸烟者患肺癌的人数比不吸烟者患肺癌的人数多人．如果设这人中，吸烟者患肺癌的人数为，不吸烟者患肺癌的人数为，根据题意，下面列出的方程组正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

11.  如图所示，在菱形中，，点，分别为边，上的点，且，连接，交于点，连接交于点，则下列结论：≌；；；其中正确结论有(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，直角三角形顶点在矩形的对角线上运动，连接，，，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13.  计算的结果为______．

14.  如图，点的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为，则点的坐标为______．

15.  如图，在中，切于点，连接交于点，过点作交于点，连接若，则的度数等于          ．

16.  在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸，小聪在河岸上点处用测角仪测得河对岸小树位于东北方向，然后沿河岸走了米，到达处，测得河对岸电线杆位于北偏东方向，此时，其他同学测得米．请根据这些数据求出河的宽度为______米．结果保留根号

17.  如图，将从开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第行第列的数为，则位于第行第列的数是          ．

18.  四边形是边长为的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处点对应点为，且：：，则的长是______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
先化简再求值：，其中．
解不等式组：．

20.  本小题分
“端午节”所示我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗，我市某食品厂为了解市民对去年销售较好的肉馅棕、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽以下分别用、、、表示这四种不用口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图尚不完整．

请根据以上信息回答：
本次参加抽样调查的居民有多少人？
将两幅不完整的图补充完整；
若居民区有人，请估计爱吃粽的人数；
若有外型完全相同的、、、粽各一个，煮熟后，小王吃了两个，用列表或画树状图的方法，求他第二个恰好吃到的是粽的概率．

21.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知点，，反比例函数的图象经过点，动直线，与反比例函数的图象交于点，与直线交于点．
求的值；
求面积的最大值．

22.  本小题分
绵阳人民商场准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少元，其用元购进甲种牛奶的数量与用元购进乙种牛奶的数量相同．
求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元？
若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的倍少件，两种牛奶的总数不超过件，该商场甲种牛奶的销售价格为元，乙种牛奶的销售价格为每件元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润利润售价进价超过元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方案？

23.  本小题分
如图，在矩形中，是上的一点，平分，，是上一点，是的中点．
求证：；
求证：；
若，，求的长．

24.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且．
试求抛物线的解析式；
直线与轴交于点，与抛物线交于点，与直线交于点，记，试求的最大值及此时点的坐标；
在的条件下，点是轴上的一个动点，点是坐标平面内的一点，是否存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

 

25.  本小题分
定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
如图，是中的遥望角，若，请用含的代数式表示．
如图，四边形内接于，，四边形的外角平分线交于点，连结并延长交的延长线于点求证：是中的遥望角．
如图，在的条件下，连结，，若是的直径．
求的度数；
若，，求的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
本题考查了有理数的减法，掌握有理数的减法法则是解答本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、原式不能合并，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，符合题意；
D、原式，不符合题意．
故选：．
各式计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了完全平方公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及多项式乘多项式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．
【解答】
解：将万用科学记数法表示为．
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
．
故选：．
根据平行线的性质可求，根据等腰三角形的性质可求，再根据角的和差关系即可求解．
本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，关键是求出．
 

6.【答案】 

【解析】解：甲同学成绩的众数是和，故本选项不合题意；
B.乙同学成绩的中位数是，故本选项不合题意；
C.甲同学成绩成绩波动较小，即方差比乙小，故本选项不合题意；
D.乙同学成绩的平均数更大，说法正确，故本选项符合题意；
故选：．
根据折线统计图，可得甲次的成绩，乙次的成绩，根据众数、中位数，方差以及平均数的定义可得答案．
本题考查了折线统计图，利用折线统计图获得有效信息是解题关键，又利用了众数、中位数的定义．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了垂径定理，勾股定理及中位线定理．
连接，，根据垂径定理得出的长，再利用勾股定理求出的长，进而利用中位线定理得出即可．
【解答】
解：连接，，

是的直径，弦于，，，
，
在中，，
即，
，，
，
．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

，，
是等边三角形，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
与与是等底等高的三角形，

故选：．
连接、，根据已知条件可得，是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形的面积求解即可．
本题考查了扇形面积的计算，判断出与与是等底等高的三角形，且是等边三角形，利用扇形的面积公式求解是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：时，，时，，
函数的对称轴为直线，在对称轴的右侧，随的增大而增大，故抛物线的开口向上，
故正确，符合题意；错误，不合题意；
当时，，根据函数的对称性，则时，，
故当时，，
故正确，符合题意；
由表格知，当时，，即，
则是方程的一个根，
故正确，符合题意．
故选：．
在对称轴的右侧，随的增大而增大，即可求解；
根据表格中数据的对称性即可求解；
根据函数的对称性，则时，，即可求解；
根据表格中数据即可得出结论．
本题考查了二次函数的最值，抛物线与轴的交点，仔细分析表格数据，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设吸烟者患肺癌的人数为，不吸烟者患肺癌的人数为，根据题意得：
．
故选：．
根据“吸烟者患肺癌的人数比不吸烟者患肺癌的人数多人，以及在吸烟者中患肺癌的比例是，在不吸烟者中患肺癌的比例是，”分别得出等式方程组成方程组，即可得出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据吸烟与不吸烟中患肺癌的比例得出正确的等量关系是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：菱形中，
，
，
是等边三角形，
，，
，
≌，
，，
，
；
，
，
；
，，
∽，
：：，
，
，
．
正确的是．
故选：．
由菱形的性质得到：，又，得到是等边三角形，由即可证明≌，得到，，由三角形外角的性质推出；由平行线的性质推出，由∽，得到，又，因此．
本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，关键是证明≌，∽．
 

12.【答案】 

【解析】解：过点作于点，连接，如图所示：
，
、、、四点共圆，
，
，，
，
，
定值，
点在射线上运动，
当时，的值最小，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
即，
，
在中，由勾股定理得：，
的最小值．
故选：．
过点作于点，连接，由，推出、、、四点共圆，再证定值，推出点在射线上运动，当时，的值最小，然后求出与，即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质、锐角三角函数的定义、勾股定理、四点共圆、圆周角定理、轨迹、三角形面积以及最小值问题等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质，利用垂线段最短解决最值问题是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
先利用最简二次根式和分母有理化的方法进行化简，再合并同类二次根式即可．
本题考查了二次根式的混合运算，明确最简二次根式和分母有理化的方法是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：把沿轴向右平移到，
四边形是平行四边形，
，和的纵坐标相同，
四边形的面积为，点的坐标为，
，
，
，
故答案为．
根据平移的性质得出四边形是平行四边形，从而得和的纵坐标相同，根据四边形的面积求得的长，即可求得的坐标．
本题考查了坐标与图形的变换平移，平移的性质，平行四边形的性质，求得平移的距离是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，如图，

切于点，
．
，
，
．
，
，
故答案为：．
连接，由切线的性质得出，结合，得出，由圆周角的性质得出，再由平行线的性质得出．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，掌握切线的性质，直角三角形的性质，圆周角定理，平行线的性质是解决问题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图作，，垂足分别为、，则四边形是矩形，

设，
，，
，
，，
，
在中，，，
，
，
解得．
河的宽度为米．
如图作，，垂足分别为、，则四边形是矩形，设，根据列出方程即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用、方向角、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，学会利用三角函数的定义，列出方程解决问题，属于中考常考题型．
 

17.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查规律型的数字变化类，基本技巧是标出序列号，再结合题目中已知的量找出一般规律．
先由题意得出位于第行方阵中所有的数，由方阵的排列顺序可知第行第列的数就是行方阵中所有的数再加个数．
【解答】
解：由题意可知：
行数为的方阵内包含“”，共个数；
行数为的方阵内包含“、、、”，共个数；
行数为的方阵内包含“、、、、、、、、”，共个数；
行数为的方阵内包含“、、、、”共个数，即共个数，
位于第行第列的数是连续奇数的第个，
位于第行第列的数是：．
故答案为：．  

18.【答案】 

【解析】解：设，，
由折叠的性质得，，，
，
，
，
∽，
，
与的相似比是，
，，
，，，
，
，
，
即：，
解得：，舍去，
，
，
即，
解得：，
．
故答案为：．
设，，由折叠的性质得，，，推出∽，求出与的相似比是，于是得到，，然后根据勾股定理列方程即可得到结果．
本题考查了图形翻折变换的性质，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：原式


，
，
，
则原式；
，
解不等式，得，
解不等式，得，
则不等式组的解集为：． 

【解析】利用异分母分式的加法法则把原式化简，根据题意得到，代入计算即可；
分别解出两个不等式，再确定不等式组的解集．
本题考查的是分式的化简求值、一元一次不等式组的解法，掌握分式的混合运算法则、解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．
 

20.【答案】解：人．
答：本次参加抽样调查的居民由人；
，，；
补全统计图如图所示：

人．
答：该居民区有人，估计爱吃粽的人有人；
如图：

第二次吃到粽．
答：他第二个恰好吃到的是粽的概率为 

【解析】本题主要考查的是条形统计图、扇形统计图以及概率的计算，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键．
利用频数百分比总数，求得总人数；
根据条形统计图先求得类型的人数，然后根据百分比频数总数，求得百分比，从而可补全统计图；
用居民区的总人数即可；
首先画出树状图，然后求得所有的情况以及他第二个恰好吃到的是粽的情况，然后利用概率公式计算即可．
 

21.【答案】解：把点代入反比例函数得：
，，
；
设直线的解析式为：，
根据题意得：，
解得：，，
直线的解析式为：；
设，，
则，
的面积，
的面积是的二次函数，
，
有最大值，
当时，的面积的最大值为． 

【解析】把点坐标代入，即可求出的值；
先求出直线的解析式，利用表示出和的纵坐标，则的面积即可利用表示，即的面积是的二次函数，即可得出面积的最大值．
本题是反比例函数一次函数和二次函数的综合应用，正确利用表示出三角形的面积是关键．
 

22.【答案】解：设乙种牛奶的进价为每件元，则甲种牛奶的进价为每件元，
由题意得，，解得．
经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义，
故乙种牛奶的进价是元，甲种牛奶的进价是元；
设购进乙种牛奶件，则购进甲种牛奶件，
由题意得，
解得．
为整数，
或，
共有两种方案：
方案一：购进甲种牛奶件，乙种牛奶件；
方案二：购进甲种牛奶件，乙种牛奶件． 

【解析】本题考查的是分式方程及一元一次不等式组的应用，分析题意，找到合适的等量及不等量关系是解决问题的关键．
设乙种牛奶的进价为每件元，则甲种牛奶的进价为每件元，由题意列出关于的方程，求出的值即可；
设购进乙种牛奶件，则购进甲种牛奶件，根据题意列出关于的不等式组，求出的整数解即可得出结论．
 

23.【答案】证明：过点作，垂足为，

，
四边形是矩形，
，
平分，
，
，
≌，
，．
，
，
，
又，，
≌，
，
．
由得，，，
∽，
，
．
解：，
．
，
，，
，
，
．
，
，
，
，
，
∽，
，
即，
． 

【解析】过点作，垂足为，四边形是矩形和平分，可得，，可证≌，，，同理可证≌，进而可证的结论．
由得，，可证∽，然后根据相似三角形的性质即可证得结论．
由的结论可得，根据题意，可求得，，易证∽，然后根据，即可求得答案．
本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质．相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、勾股定理等，熟练掌握全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：因为抛物线经过、两点，
所以可以假设，
，，
，代入抛物线的解析式得到，
或或．

如图中，由题意，点在轴的右侧，作轴于，交于．

，
∽，
，
直线与轴交于点，则，
的解析式为，
设，则，
，
，
，
当时，有最大值，最大值为，此时．

存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形．
当是矩形的边时，有两种情形，
、如图中，四边形是矩形时，

有可知，代入中，得到，
直线的解析式为，可得，，
由∽可得，
，
，
，
．
根据矩形的性质，将点向右平移个单位，向下平移个单位得到点，
，即
、如图中，四边形是矩形时，

直线的解析式为，，
直线的解析式为，
，
根据矩形的性质可知，将点向右平移个单位，向下平移个单位得到点，
，即．
当是对角线时，设，则，，，
是直角顶点，
，
，
整理得，方程无解，此种情形不存在，
综上所述，满足条件的点坐标为或． 

【解析】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、平行线的性质．相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
因为抛物线经过、两点，所以可以假设，求出点坐标代入求出即可；
由∽，可得，根据关于关于的二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；
存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形．分两种情形分别求解即可：当是矩形的边时，有两种情形；当是对角线时．
 

25.【答案】解：平分，平分，
，
如图，延长到点，

四边形内接于，
，
又，
，
平分，
，
，
，
是的平分线，
，
，
，，
，
，
是的外角平分线，
是中的遥望角．
如图，连接，

是中的遥望角，
，
，
，
，
，
，
，
又，，
≌，
，
，
是的直径，
，
，
，
如图，过点作于点，过点作于点，

是的直径，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
在中，，
在中，，
，
在中，，
设，，则有，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】本题是圆的综合题，考查了角平分线的定义，圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
由角平分线的定义可得出结论；
由圆内接四边形的性质得出，得出，证得，证出，则是的外角平分线，可得出结论；
连接，由条件得出，则，得出，证明≌，由全等三角形的性质得出，则，得出，则可求出答案；
过点作于点，过点作于点，证得∽，得出，求出，设，，则有，解得，求出，的长，求出，由等腰直角三角形的性质求出，根据三角形的面积公式可得出答案．