福建省福清西山学校高中部2021届高三上学期期中考试数学试题 Word版含答案

福清西山学校高中部2020-2021学年第一学期期中考试

高三数学试卷

第I卷(共60分)

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|3x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（  ）

A．–2      B．–3         C．2 D．3

2.设，则“”是“”的（  ）

A．充分不必要条件                 B．充要条件   

C．必要不充分条件                 D．既不充分也不必要条件

A. 1             B. −1           C.     D.

4.我国古代数学家刘徽用“割圆术” 将的值精确到小数点后七位，

其结果领先世界1000 多年 ．“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，如图所示，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小。当圆的内接正多边形的边数为12时，由“割圆术”可得圆周率的近似值为（  ）

A.   12sin15°      B. 12cos15°　　　C. 12sin30°　　　　　D. 6sin 30°

5.若a>b，则（  ）

A．ln(a−b)>0       B．3a<3b              C．a3−b3>0       D．│a│>│b│

6.函数的图象大致为（  ）

A                                   B

C                                    D

7. 设函数在[−π，π]的图像大致如右图，则f（）=（   ）

A．     B．     C．     D．

，记，则数列

A．有最大项，有最小项      B．无最大项，无最小项

C．无最大项，有最小项            D．有最大项，无最小项

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于函数的判断正确的是（   ）

A．在区间(2，4)内单调递减       B．在区间(-3，-2)内单调递减

C．是极小值点        D．是极大值点

10.若x>0，y>0，且＋＝1，则(　　)

A．xy有最大值64 B．xy有最小值64

C．x+y有最小值18 D．x+y有最小值16.

11.关于函数有下述四个结论：

A.f(x)是周期函数               B.f(x)在区间（0，）单调递减

C.f(x)在有无数个零点        D.f(x)的值域为

12.已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16，则

A．                    B．OA与平面ABC所成的角为

C．O到平面ABC的距离为1        D．二面角O-AB-C的大小为 

第II卷(共90分)

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13.设为单位向量，且，则______________

14.若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是_____________________

15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．

16.我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列．则数列的前100项和是____________________,

数列前n项和是_______________

四、解答题：本大题共6小题，共70分．

17．(本小题满分10分)在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：

（Ⅰ）a的值：

（Ⅱ）和的面积．

条件①：；

条件②：．

18.(本小题满分12分)

已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，，.

（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；

（2）求{an}和{bn}的通项公式.

19. (本小题满分12分)已知函数.

（1）时，在区间的最小值为，求的值

（2）讨论的单调性；

20.(本小题满分12分)佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器．生产这种机器的月固定成本为 400 万元，每生产 x 台，另需投入成本 p(x) (万元），当月产量不足 70 台时，p(x)=+40x(万元）；当月产量不小于70台时，p(x)=(万元）． 若每台机器售价 100 万元，且该机器能全部卖完.

(I)求月利润y (万元）关千月产量 x (台）的函数关系式；

(II)月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润．

21.(本小题满分12分)如图，平面，，．

（1）求证：平面；

（2）若二面角的余弦值为，求线段的长．

22..(本小题满分12分)设函数为的导函数．

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）当时，证明

2020-2021学年高三年级上学期期中质量检测

数学试题参考答案

一、单项选择题(40分）

二、多项选择题(20分）

三.填空题(20分)

13.             14. 

15.            16.      

四．解答题(70分)

17.在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：

（Ⅰ）a的值：

（Ⅱ）和的面积．

条件①：；

条件②：．

【解析】选择条件①（Ⅰ）

（Ⅱ）

由正弦定理得：

选择条件②（Ⅰ）

由正弦定理得：

（Ⅱ）

18.已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，，.

（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；

（2）求{an}和{bn}的通项公式.

【解析】（1）由题设得，即．

又因为a1+b1=l，所以是首项为1，公比为的等比数列．

由题设得，即．

又因为a1–b1=l，所以是首项为1，公差为2的等差数列．

（2）由（1）知，，．

所以，

．

19.已知函数.

（1）时，在区间的最小值为，求的值

（2）讨论的单调性；

【解析】（1）b=1

（2）．

令，得x=0或.

若a>0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减；

若a=0，在单调递增；

若a<0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减.

20.佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器．生产这种机器的月固定成本为 400 万元，每生产 x 台，另需投入成本 p(x) (万元），当月产量不足 70 台时，p(x)=+40x(万元）；当月产量不小于70台时，p(x)=(万元）． 若每台机器售价 100 万元，且该机器能全部卖完．

(I)求月利润y (万元）关千月产量 x (台）的函数关系式；

(II)月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润．

21. 如图，平面，，

．

（1）求证：平面；

（2）若二面角的余弦值为，求线段的长．

【解析】依题意，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得，．设，则．

（1）依题意，是平面的法向量，

又，可得，又因为直

线平面，所以平面．

（2）设为平面的法向量，则即

不妨令，可得．

同理可求得平面BDE的法向量

由题意，有，解得．经检验，符合题意．

所以，线段的长为．

22.设函数为的导函数．

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）当时，证明；

【解析】（Ⅰ）由已知，有．因此，当时，有，得，则单调递减；当时，有，得，则单调递增．

所以，的单调递增区间为的单调递减区间为．

（Ⅱ）证明：记．依题意及（Ⅰ），有，从而．当时，，故

．

因此，在区间上单调递减，进而．

所以，当时，．