2021福州福清西山学校高中部高二12月月考数学试题含答案

福清西山学校高中部2020-2021学年第一学期12月份月考

高二数学试卷

一、单选题（每题只有一个答案，每题5分，一共8题，共40分）

1.设，则“”是“”的（  ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

2.已知命题

A.     B.    C.     D. 

3.椭圆的焦点坐标为（   ）

A．   B．   C．   D．

4.准线方程为的抛物线的标准方程为（ ）

A.  B.  C.  D.

5．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（    ）

A．    B．    C．    D．

6．设分别是椭圆的左、右焦点,点在椭圆上,线段的中点在轴上,若,则椭圆的离心率为（    ）

A．    B．    C．    D．

7.已知平行六面体中，，，，，．则的长为（   ）

A．    B．    C．     D．

8．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则（    ）

A．    B．    C．    D．

二、多选题（每题5分，一共4题，共20分。每题有多个选项符合要求，全对5分，部分选对得3分，有选错的0分。）

9. 若是空间任意三个向量，，下列关系中，不成立的是（   ）

A．        B．

C．       D．

10.已知平面上一点，若直线上存在点，使，则称该直线为“点M相关直线”，下列直线中是“点M相关直线”的是（   ）

A．   B．  C．  D．

11已知抛物线上一点P到准线的距离为d1，到直线的距离为d2，则d1+d2的取值可以为（    ）

A．3    B．4    C．    D．

12.已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是（    ）

A. 的方程为 B. 的离心率为

C. 曲线经过的一个焦点 D. 直线与有两个公共点

三、填空题（每题5分，一共4题，共20分。）

13.过点的等轴双曲线的标准方程为________．

14.若中，，，，，则的值=_____．

15．已知，是椭圆的左、右焦点，点在上，线段与轴交于点，为坐标原点，若为的中位线，且，则_______.

16．分别为椭圆的左、右焦点，P是C上的任意一点，则的最大值为________，若，则的最小值为________．

四、解答题（17题10分，其他每题12分，一共6题，共70分。解答题要写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．①经过两点 

② 一条渐近线方程是，且经过点  

③与椭圆同焦点，且经过点

在以上三个条件中任选一个，补充下面的问题并做答。

已知双曲线的标准方程满足              ，求该双曲线方程和离心率。

注：如果多个条件解答，按照第一个解答计分

18.过抛物线的焦点F的直线交地物线于点A．B（其中点A在第一象限），交其准线l于点C，同时点F是AC的中点

（1）求直线AB的倾斜角；   （2）求线段AB的长．

19．已知椭圆的焦点为和，长轴长为，设直线交椭圆于两点．

（1）求椭圆的标准方程；    （2）求弦的中点坐标及．

20．已知抛物线,抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为.

（1）求抛物线的方程及其准线方程;

（2）过的直线交抛物线于不同的两点,交直线于点,直线交直线于点. 是否存在这样的直线,使得? 若不存在,请说明理由;若存在,求出直线的方程.

21.(本小题满分12分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,,,D是棱AC的中点,且AB=BC=BB1=2.

(1)求证:;

(2)求异面直线AB1与BC1所成的角.

22．已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1的直线与椭圆C交于M，N两点，且△MNF2的周长为8．

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线m过点（-1，0），且与椭圆C交于P，Q两点，求△PQF2面积的最大值．

福清西山学校高中部2020-2021学年第一学期12月份月考

高二数学试卷答案

一、单选题（每题只有一个答案，每题5分，一共8题，共40分）

ADCBD    DAA

二、多选题（每题5分，一共4题，共20分。每题有多个选项符合要求，全对5分，部分选对得3分，有选错的0分。）

9.ABD   10.BC   11.ABD   12.AC

三、填空题（每题5分，一共4题，共20分。）

13.    14.         15.   6        16.    9   4

四、解答题（17题10分，其他每题12分，一共6题，共70分。解答题要写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17解：双曲线的标准方程 .............................................................6分

 ，则..............................................................8分

..............................................................10分

18.解：（1）由题可知，准线l的方程为，...................................................1分

设A，B在准线上的投影分别为，准线与轴交于点，则，

因为F是AC的中点，所以,

所以点A的横坐标为3，

当时，，由于点A在第一象限，

所以点A的坐标为，

设直线AB的倾斜角为，则，...........................................................5分

因为，所以，...........................................................6分

（2）直线AB的方程为，

由，得，...........................................................9分

解得，

所以点B的横坐标为，

所以.......................................................12分

方法二：也可以用直线方程与抛物线方程联立求解

19.（1）依题意，椭圆的焦点在轴上，设其方程为．.....2分

易知

又， ...................4分

故椭圆的标准方程为．............................................................6分

（2）设，且的中点为，

由消去，得．...................8分

故，...................9分

则，

所以弦的中点的坐标为

．.............................12分

20.（1）因为横坐标为的点到焦点的距离为,所以,解得, ................2分

所以 .............................3分

所以准线方程为. ............................4分

（2）显然直线的斜率存在,设直线的方程为,.

联立得  消去得. .............................6分

由,解得. 所以且.

由韦达定理得,..............................8分

方法一:

直线的方程为,

又,所以,所以, .............................9分

因为,所以直线与直线的斜率相等

又,所以. .............................10分

整理得,即,

化简得,,即.

所以,整理得,

解得. 经检验,符合题意..............................11分

所以存在这样的直线,直线的方程为或 .................12分

方法二:

因为,所以,所以.

整理得,即, 整理得.

解得,经检验,符合题意.

所以存在这样的直线,直线的方程为或.

21.(1)证明如图,连接B1C交BC1于点O,连接OD.

因为O为B1C的中点,D为AC的中点,所以OD∥AB1.

因为AB1⊄平面BC1D,OD⊂平面BC1D,

所以AB1∥平面BC1D..............................5分

也可以用向量法证明,第一问用向量法就变成7分

(2)解建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz,

则B(0,0,0),A(0,2,0),C1(2,0,2),B1(0,0,2),

因此=(0,-2,2),=(2,0,2).

所以cos<>==,

设异面直线AB1与BC1所成的角为θ,则cos θ=,由于θ∈,   故θ=............12分

22（1）由题意知，4a=8，则a=2，由椭圆离心率，则c=1，b2=3，

则椭圆C的方程．.............................5分

（2）由题意知直线m的斜率不为0，设直线m的方程为x=y-1，，，

则，.............................7分

所以

.........9分

令，则t≥1，所以，.............................10分

而在上单调递增，则的最小值为4，.............................11分

所以，当t=1时取等号，即当k=0时，△PQF2的面积最大值为3．......12分