2022-2023学年海南省海口重点中学高一（下）期中数学试卷-普通用卷

2022-2023学年海南省海口重点中学高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  集合，集合，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若复数，则的共轭复数(    )

A.  B.  C.  D.

3.  向量，向量，满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知，，，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在中，角、、的对边为、、，则“”成立的必要不充分条件为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的值可能为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知函数，若关于的函数有个不同的零点，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  关于复数是虚数单位的结论中正确的是(    )

A. 的虚部为
B.
C. 在复平面所对应的点位于第四象限
D. 若，则的最大值为

10.  已知函数，则(    )

A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图像关于直线对称
C. 函数为偶函数
D. 函数的图像向左平移个单位后关于轴对称，则可以为

11.  下列命题为真命题的是(    )

A. 幂函数的图像过点，则
B. 函数的定义域为，则的定义域为
C. ，是奇函数，是偶函数，则
D. 关于的方程与的根分别为，，则

12.  下列命题为真命题的是(    )

A. 是边长为的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为
B. 已知的三个内角分别为、、，动点；满足，，则动点的轨迹一定经过的重心
C. 在中，若，则为锐角三角形
D. 为内部一点，，则，，的面积比为：：

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  函数的定义域为______ ．

14.  如图，两点在河的两岸，在同侧的河岸边选取点，测得的距离，，，则，两点间的距离为______ 米
 

15.  在中，内角、、的对边分别为，，，且满足，若为边上中线，，，则 ______ ．

16.  ，都有，且，，，，，使得成立，则的范围是______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期及对称轴；
若，求函数的值域．

18.  本小题分
已知在直角三角形中，，，．
若以为轴，直角三角形旋转一周，求所得几何体的表面积；
一只蚂蚁在问题形成的几何体上从点绕着几何体的侧面爬行一周回到点，求蚂蚁爬行的最短距离．

19.  本小题分
在中，角，，的对边分别是，，，满足．
求；
若角的平分线交于点，且，求的最小值．

20.  本小题分
已知在中，是边的中点，且，设与交于点记，．
用，表示向量，；
若，且，求的余弦值．

21.  本小题分
长春某日气温是时间，单位：小时的函数，该曲线可近似地看成余弦型函数的图象．
根据图像，试求的表达式；
大数据统计显示，某种特殊商品在室外销售可获倍于室内销售的利润，但对室外温度要求是气温不能低于根据中所得模型，一个小时营业的商家想获得最大利润，应在什么时间段用区间表示将该种商品放在室外销售，单日室外销售时间最长不能超过多长时间？忽略商品搬运时间及其它非主要因素，理想状态下
 

22.  本小题分
已知函数，．
若，求函数在的值域；
若，求的值；
尽，则，已知函数在区间有零点，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：集合，集合，则．
故选：．
根据集合的交集运算的定义求解即可．
本题考查集合的交集运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：复数，
的共轭复数．
故选：．
利用复数的运算法则求出，由此能求出的共轭复数．
本题考查复数的运算法则和共轭复数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：向量，向量，满足，
，
解得．
故选：．
利用向量平行的性质直接求解．
本题考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查对数式与指数式的大小比较，属基础题．
本题可根据相应的对数式与指数式与整数、进行比较即可得出结果．

【解答】

解：由题意，可知：
，
，
，
．
故选：．

5.【答案】 

【解析】解：等价于，
等价于，排除、；
由及正弦定理可得，
，得，排除；
故选：．
根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
根据二倍角的正弦公式和将变成，然后代入即可求出答案．
本题考查了同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：将函数的图象向左平移个单位，
得到函数，
又在区间上单调递增，
所以，即：，
则的值可能为，故A正确，
又，故B错误，，故C错误，，故D错误．
故选：．
由题意利用函数的图象变换得到函数的表达式，然后利用在区间上单调递增，说明，利用周期公式，求出的不等式，得到的范围即可得解．
本题是基础题，考查由的部分图象确定其解析式，注意函数的周期与单调增区间的关系，考查计算能力，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：作出函数的大致图像，如图所示：
设，则当或时，方程只有个解，
当时，方程有个解，
当时，方程有个解，
当时，方程无解，
关于的函数有个不同的零点，
关于的方程在上有两个不相等的根，
，解得：，
即实数的取值范围是，
故选：．
作出函数的大致图像，设，由图像可知关于的函数有个不同的零点，等价于关于的方程在上有两个不相等的根，再利用二次函数的根的分布列出不等式组，解出的取值范围即可．
本题主要考查了函数图像的变换，考查了函数的零点与方程根的关系，同时考查了数形结合的数学思想，是中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：的虚部为，故A错误；
，故B正确；
在复平面所对应的点的坐标为，位于第四象限，故C正确；
满足的点位于复平面内以为圆心，为半径的圆上，如图：

则的最大值为，故D正确．
故选：．
由复数的定义判断；由虚数单位的运算性质判断；由复数的几何意义判断，由复数模的几何意义判断．
本题考查复数的概念与复数模的求法，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于函数，它的最小正周期为，故A错误；
令，求得，为最大值，可得函数的图像关于直线对称，故B正确；
由于，为非奇非偶函数，故C错误；
把函数的图像向左平移个单位后，可得的图像，根据所得图像关于轴对称，
则当时，可得，为偶函数的图像，故D满足条件，故D正确．
故选：．
由题意，利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于，设幂函数，图像过点，则，解得，所以，选项A正确；
对于，函数的定义域为，所以，即的定义域为；
令，解得，所以的定义域为，选项B错误；
对于，，是奇函数，所以的图象关于原点对称，且；
又因为是偶函数，所以函数的图象关于直线对称，
所以，即，
由为奇函数，得，
所以，所以，所以，
所以，即的周期为，
所以，选项C正确；
对于，因为方程与的根分别为，，所以，；
由得，所以；设，则，所以，即；
对照知，，即，所以，选项D正确．
综上，正确的命题是．
故选：．
中，利用待定系数法求出幂函数的解析式即可；
中，根据函数的定义域求出的定义域，再求的定义域；
中，根据是定义域上的奇函数得出的图象关于原点对称，且；又因为是偶函数得出的图象关于直线对称，由此判断的周期为，求出的值；
中，由方程的根分别为得出，可化为；设，得，对照，得出，由此求得的值．
本题考查了幂函数、抽象函数以及指数函数和对数函数的应用问题，也考查了推理与判断能力，是中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，建立平面直角坐标系，如图所示：以中点为坐标原点，
则，，，
设，则，，，
则，
所以且时，取得最小值为，选项A正确；
对于，设的中点为，连接，如图所示：
由正弦定理得，所以，
所以，所以，所以与共线，
即动点的轨迹一定经过的重心，选项B正确；
对于，中，，则为锐角，不一定是锐角三角形，因为、的大小不确定，选项C错误；
对于，中，，所以，化简得，
即，延长交于点，则是边上的中线，所以是的中点，
所以，所以，，的面积比为：：，选项D正确．
故选：．
中，建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，设出点坐标，计算的最小值；
中，利用正弦定理得出，判断与中线共线，即可得出点过的重心；
中，时能判断为锐角，不能判断、是否为锐角；
中，由得出，由此得出，求出，，的面积比．
本题考查了平面向量的数量积应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：函数，
，即，解得：，
故函数的定义域是，
故答案为：，
根据对数函数的性质解不等式，求出函数的定义域即可．
本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质以及不等式问题，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，，
在中由正弦定理可得：
，又，
，
解得．
故答案为：．
根据正弦定理，方程思想，即可求解．
本题考查解三角形问题，正弦定理的应用，方程思想，属基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
又为边上中线，，，
所以，两边平方，可得，
可得，整理可得，
解得或舍去．
故答案为：．
由已知利用诱导公式可求，利用三角形中线的性质可得，两边平方，利用平面向量的运算可求得，解方程即可得解的值．
本题考查了诱导公式，三角形中线的性质，平面向量的运算在解三角形中的综合应用，考查了方程思想，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：，都有，所以函数为偶函数，
所以，
即，
所以，故，
所以，
因为，，使得成立，
所以函数在上的最小值不小于函数在上的最小值，
因为函数在上单调递增，
所以当时，函数有最小值为，
又的对称轴为，，
当时，函数在区间上单调递增，可得，
由题意，且，所以；
当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
可得，由题意，且，所以；
当时，函数在区间上单调递减，可得，
由题意，且，所以；
综上可知，实数的取值范围为．
故答案为：．
先通过偶函数性质求出函数及的解析式，再求在区间上的最小值，最后对分类讨论，结合的最小值求得的取值范围．
本题考查了函数的恒成立问题，属于中档题．
 

17.【答案】解：，最小正周期为，
根据，，求得对称轴为，．
当时，则，
，，
故函数的值域为． 

【解析】由题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性和对称轴，得出结论．
由题意，利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和对称轴，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．
 

18.【答案】解：在中，，，
所以，解得，
若以为轴旋转一周，则形成的几何体为以为半径，高为的圆锥，
则，
所以圆锥的表面积为；
由问题的圆锥，要使蚂蚁爬行的距离最短，
则沿点的母线把圆锥侧面展开为平面图形，最短距离就是点到点的距离，
因为，在中，由余弦定理得，
即蚂蚁爬行的最短距离为． 

【解析】若以为轴，直角三角形旋转一周，结合旋转体可知形成的几何体为圆锥，然后求所得几何体的表面积；
利用侧面展开图，通过扇形转化求解即可．
本题考查旋转体的简单性质，圆锥的表面积以及侧面展开图的应用，属于中档题．
 

19.【答案】解：，
在中，由正弦定理得，即，
，
又，则，
，
又，则；
由得，
角的平分线交于点，
，
又，
则，即，
，
则，当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为． 

【解析】利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理结合两角和的正弦公式化简，即可得出答案；
利用等面积法求出，的关系，再利用基本不等式，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：，

，
；
，，三点共线，又，
，
，即，
，
，的余弦值为． 

【解析】根据平面向量的基底与三角形法则即可用，表示向量，；
由得，代入向量数量积公式即可求得的余弦值．
本题考查向量的线性运算，向量数量积的运算，属中档题．
 

21.【答案】解：根据函数的图象可得，
所以解得，，
根据函数的图象可得，
所以解得，
所以，
又因为时，
所以，
解得，即，，
所以，，
由，
解得，
所以，；
令，解得，
解得，，
解得，，
所以当时，，即小时营业商家想获得最大利润，应在时间段将该种商品放在室外销售，且单日室外销售时间最长不能超过小时． 

【解析】由题意可得，解得，的值，利用周期公式可求，由时，即，结合，可求的值，即可得解函数解析式．
由题意令，得，利用余弦函数的性质可得，，即可求解．
本题考查了由的部分图象确定其解析式以及余弦函数性质的应用，考查了数形结合思想和函数思想的应用，属于中档题．
 

22.【答案】解：
，
当上函数为增函数，
则函数的最大值为，函数的最小值为，
则函数的值域为；
由题意得，
则，
设，
则，
两式相加得，
即，则，
故；
，
设，当，则，
则函数等价为，
若函数在区间有零点，
则等价为在上有零点，
即在上有解，
即在上有解，
即，
设，则，则，
则在上递增，
则当时，，当时，，
，即，
即实数的取值范围是 

【解析】先求出，然后判断的单调性，结合函数单调性可求；
先求出，求出，从而可求；
利用换元法，问题转化为二次函数在上有零点，分离参数后，结合对勾函数的性质可求．
本题主要考查函数最值的求解，函数值的求解，还考查了二次函数实根分布及分离常数法的应用，属于中档题．