2022-2023学年海南省海口市第一中学高一下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年海南省海口市第一中学高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．集合，集合，则（        ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据交集的定义求解即可.

【详解】因为集合，集合，

所以.

故选：C.

2．若复数，则的共轭复数（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据复数的除法运算和共轭复数的概念可得结果.

【详解】，

.

故选：A

3．向量，向量，满足，则（    ）

A．6 B． C． D．

【答案】A

【分析】根据平面向量平行的坐标表示列式可得结果.

【详解】因为，，，

所以，得.

故选：A

4．已知，，，则的大小关系为

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用利用等中间值区分各个数值的大小．

【详解】；

；

．

故．

故选A．

【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待．

5．在中，角的对边为，则“”成立的必要不充分条件为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据必要不充分条件的定义可逐项分析排除可得答案.

【详解】在中，

对与A，当时，所以；当时，由得到，是“”成立的充要条件，错误；

对于B，当时，所以；当时，由得到，是“”成立的充要条件，错误；

对于C，当时，，得到；当时，由正弦定理得到，即，所以，由于，得到，所以是“”成立的充要条件，错误；

对于D，当时，，得到；当时，由正弦定理得，即，由于，所以或，即或者，所以是“”成立的必要不充分条件，正确.

故选：D.

【点睛】结论点睛：本题考查必要不充分条件的判断，一般可根据如下规则判断：

（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；

（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．

6．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据二倍角的正弦公式变形后，再弦化切可得结果.

【详解】.

故选：B

7．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的值可能为（    ）

A． B． C．3 D．4

【答案】A

【分析】先利用平移变换得到，再根据函数在区间上单调递增，利用正弦函数的性质求解.

【详解】由已知可得，.

因为，，所以.

因为函数在区间上单调递增，

所以，所以，又，所以，

所以的值可能为，

故选：A

8．已知函数，若关于的函数有6个不同的零点，则实数的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据的图象判断的解的情况，从而得出关于的方程的根的分布情况，根据二次函数的性质列不等式组解出的范围.

【详解】作出的函数图象如下：

设，

则当或时，方程只有1解，

当时，方程有2解，

当时，方程有3解，

当时，方程无解.

因为关于的函数有6个不同的零点，

所以关于的方程在上有两解，

所以，解得.

故选：B．

二、多选题

9．关于复数（是虚数单位）的结论中正确的是（    ）

A．的虚部为

B．

C．在复平面所对应的点位于第四象限

D．若，则的最大值为

【答案】BCD

【分析】根据复数的概念可得A不正确；根据复数的乘法运算可得B正确；根据复数的几何意义可得C正确；D正确.

【详解】的虚部为，故A不正确；

，故B正确；

在复平面所对应的点为位于第四象限，故C正确；

若， 则复数对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，

所以，故D正确.

故选：BCD

10．已知函数则（    ）

A．函数的最小正周期为

B．函数的图像关于直线对称

C．函数为偶函数

D．函数的图像向左平移个单位后关于轴对称，则可以为

【答案】BD

【分析】利用最小正周期公式判断A，利用代入检验法判断B，根据偶函数的定义判断C，根据函数图象变换结论及诱导公式判断D.

【详解】对选项A：因为，所以的最小正周期为，错误；

对选项B：当时，，

所以是的一条对称轴，正确；

对选项C：易知函数的定义域为，

又，

所以函数不是偶函数，错误；

对选项D：函数的图像向左平移个单位后得到，

由题意，函数的图像关于轴对称，

所以，即，

当时，，

即函数的图像向左平移个单位后关于轴对称，则可以为，D正确.

故选：BD

11．下列命题为真命题的是（    ）

A．幂函数的图像过点，则

B．函数的定义域为，则的定义域为

C．，是奇函数，是偶函数，则

D．关于的方程与的根分别为，，则

【答案】ACD

【分析】对于A，用待定系数法求解即可；对于B，根据复合函数定义域的求法求解即可；对于C，利用奇偶性推出周期，根据周期求解即可；对于D，利用、、的图象的对称性即可.

【详解】对于A，设，则，得，所以，故A正确；

对于B，因为函数的定义域为，即，所以，

由，得，即的定义域为，故B不正确；

对于C，因为是奇函数，所以，因为是偶函数，所以，所以，即，

所以，所以，

所以，，则的一个周期为，

所以，故C正确；

对于D，依题意得，，

所以分别为函数、的图象与函数的图象的交点的横坐标，

又因为、的图象都关于直线对称，自身关于直线对称，

所以函数、的图象与函数的图象的交点也关于对称，

联立，得，得，

因为的中点为，所以，故D正确.

故选：ACD

12．下列命题为真命题的是（    ）

A．是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为

B．已知的三个内角分别为，动点满足，，则动点的轨迹一定经过的重心

C．在中，若，则为锐角三角形

D．为内部一点，，则，，的面积比为

【答案】ABD

【分析】对于A，建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算求出的最小值可判断A正确；对于B，取的中点为，过作直线的垂线，垂足为，将化为，可得B正确；对于C，推出为锐角，根据锐角三角形的定义可判断C不正确；对于D，取的中点为，的中点为，由，推出为的中点，可判断D正确.

【详解】对于A，取的中点，以为原点，为轴建立平面直角坐标系，如图：

则，，，设，

则，，，则，

所以

，当且仅当时，等号成立.

故的最小值为，故A正确；

对于B，取的中点为，过作直线的垂线，垂足为，

则，，

因为，

所以，

所以，

所以与共线，因为，所以动点的轨迹为射线（不含点），一定经过三角形的重心，故B正确；

对于C，在中，若，则，则，

则为锐角，一个锐角不能推出三角形为锐角三角形，故C不正确；

对于D，取的中点为，的中点为，连接，如图：

因为，所以，

所以，所以，

所以，所以，即，

所以为的中点，

所以，，，

所以，故D正确.

故选：ABD

三、填空题

13．函数的定义域为______.

【答案】

【分析】由函数式有意义，即对数的真数大于0，解一元二次不等式可得.

【详解】由题意由，即，解得，

所以函数的定义域为.

故答案为：

14．如图，两点在河的两岸，在同侧的河岸边选取点，测得的距离，，，则，两点间的距离为______米

【答案】

【分析】求出，应用正弦定理，即可求解.

【详解】由题意，，

由正弦定理得，

故两点间的距离为米.

故答案为：

15．在中，内角的对边分别为，，，且满足，若为边上中线，，，则______.

【答案】

【分析】根据诱导公式求出，利用两边平方可求出结果.

【详解】因为，所以，

因为，所以，

因为为边上中线，所以，

所以，

所以，

所以，化简得，

解得或（舍）.

故答案为：.

16．，都有，且，，，，使得成立，则的范围是______.

【答案】

【分析】先通过偶函数性质求出函数及的解析式，再求在区间上的最小值，最后对分类讨论，结合的最小值求得的取值范围.

【详解】，都有，所以函数为偶函数，

所以，

即，

所以，故，

所以，

因为，，使得成立，

所以函数在上的最小值不小于函数在上的最小值，

因为函数在上单调递增，

所以当时，函数有最小值为，

又的对称轴为，，

当时，函数在区间上单调递增，可得，

由题意，且，所以；

当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

可得，由题意，且，所以；

当时，函数在区间上单调递减，可得，

由题意，且，所以；

综上可知，实数的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：恒成立问题或者存在性问题都是转化为最值问题，动轴定区间上二次函数的最值问题要注意讨论完整性.

四、解答题

17．已知函数．

(1)求函数的最小正周期及对称轴；

(2)若，求函数的值域．

【答案】(1)，，

(2)

【分析】（1）利用三角恒等变换得到，由求出最小正周期，并利用整体法求出对称轴；

（2）由得到，利用正弦函数的性质得到函数值域.

【详解】（1），故最小正周期，

对称轴满足：，，故对称轴为，．

（2）由（1）可知，

，则，，

故．

故函数的值域为．

18．已知在直角三角形中，，（如图所示）

(1)若以为轴，直角三角形旋转一周，求所得几何体的表面积.

(2)一只蚂蚁在问题（1）形成的几何体上从点绕着几何体的侧面爬行一周回到点，求蚂蚁爬行的最短距离.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）若以为轴，直角三角形旋转一周，形成的几何体为以为半径，高的圆锥，由圆锥的表面积公式，即可求出结果．

（2）利用侧面展开图，要使蚂蚁爬行的最短距离，则沿点B的母线把圆锥侧面展开为平面图形（如图）最短距离就是点B到点的距离，代入数值，即可求出结果．

【详解】（1）在直角三角形中，由

即，得，若以为轴旋转一周，

形成的几何体为以为半径，高的圆锥，

则，其表面积为.

（2）由问题（1）的圆锥，要使蚂蚁爬行的最短距离，

则沿点的母线把圆锥侧面展开为平面图形，

最短距离就是点到点的距离，，

在中，由余弦定理得.

19．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足.

(1)求C；

(2)若角C的平分线交AB于点D，且，求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理结合两角和的正弦公式化简即可得解；

（2）利用等面积法求出的关系，再利用基本不等式即可得解.

【详解】（1）因为，

由正弦定理得，

即，

所以，

又，则，

所以，

又因，所以；

（2）因为角C的平分线交AB于点D，

所以，

由，得，

即，所以，

则，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为.

20．已知在中，是边的中点，且，设与交于点．记，．

(1)用，表示向量，；

(2)若，且，求的余弦值．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据平面向量的基底与三角形法则即可用，表示向量，；

（2）由得，代入向量数量积公式即可求得的余弦值.

【详解】（1）

（2）∵三点共线，由得，

，即，

∴，

∴，∴的余弦值为.

21．长春某日气温y（℃）是时间t（，单位：小时）的函数，该曲线可近似地看成余弦型函数的图象．

(1)根据图像，试求（，，）的表达式；

(2)大数据统计显示，某种特殊商品在室外销售可获3倍于室内销售的利润，但对室外温度要求是气温不能低于23℃．根据（1）中所得模型，一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在什么时间段（用区间表示）将该种商品放在室外销售，单日室外销售时间最长不能超过多长时间？（忽略商品搬运时间及其它非主要因素，理想状态下！）

【答案】(1)，

(2)应在时间段将该种商品放在室外销售，单日室外销售时间最长不能超过（小时）

【分析】（1）结合函数图象，由求得A，b，再由求得T，再将，代入求解；

（2）由（1）得到解析式，令求解.

【详解】（1）解：根据以上数据知，，

解得，；

由，解得，

所以；

由时，，即，

解得，即，；

所以，；

由，解得；

所以，；

（2）令，

得，

即，；

解得，；

当时，，

所以24小时营业商家想获得最大利润，应在时间段将该种商品放在室外销售，

且单日室外销售时间最长不能超过（小时）．

22．已知函数，.

(1)若，求函数在的值域；

(2)若，求的值；

(3)令，则，已知函数在区间有零点，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3).

【分析】（1）化简可得，利用二次函数单调性，即得解；

（2）由已知可得的解析式，根据指数函数的运算可得，利用倒序相加即可求值；

（3）由已知可得，令，函数等价为在上有零点，参变分离即得解.

【详解】（1）若

，

当上函数为增函数，

则函数的最大值为，函数的最小值为，则函数的值域为.

（2）若，则，

则

，

设，

则，

两式相加得，即，

则，

故.

（3），

设，当，则，

则函数等价为，

若函数在区间有零点，

则等价为在上有零点，

即在上有解，

即在上有解，

即，

设，则，则，

则在上递增，

则当时，，当时，，

∴，即，

即实数的取值范围是.