2023年广西钦州市中考数学一模试卷(含答案)

2023年广西钦州市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是一个几何体的主视图和俯视图，则该几何体为(    )

A.
B.
C.
D.

3.  彩民李大叔购买张彩票中奖．这个事件是(    )

A. 必然事件 B. 确定性事件 C. 不可能事件 D. 随机事件

4.  第十四届全国人大一次会议的政府工作报告用了一系列数字勾勒出今年中国发展主要预期目标根据政府工作报告，今年中国城镇新增就业人左右，将数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，直线，直线与直线，相交，若，则的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  不透明的袋子中装有个球，其中有个红球和个黑球，它们除颜色外都相同从袋子中随机取出个球，它是黑球的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，若一个正六边形的对角线的长为，则正六边形的周长(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，一次函数为常数，且的图象与直线都经过点，当时，的取值范围是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，点，，，在上，于点，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

11.  高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过的最大整数例如：，，若，则的值为(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，，

12.  如图，已知在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在第一象限内，反比例函数的图象经过的顶点和边的中点，如果的面积为，那么的值是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）

13.  若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是        ．

14.  分解因式： ______ ．

15.  在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为______．

16.  如图，小球站在自家阳台处，看对面一栋楼顶部处的仰角为看这栋楼底部处的俯角为，已知两楼之间的水平距离为参考数据：，，，则这栋楼的高度为______ 结果保留一位小数
 

17.  一种商品每件的进价为元，在某段时间内以每件元的价格出售，可卖出件若要使利润最大，则商品的定价为______ 元
 

18.  如图，在正方形中，点在边的延长线上，点在边上，以点为中心，将绕点顺时针旋转后与恰好完全重合，连接交于点，连接交于点，连接，若，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
解方程组．

21.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．
将向右平移个单位长度得到，请画出；
尺规作图：作的角平分线，交轴于点不写作法，保留作图痕迹．

22.  本小题分
如图，在▱中，点，分别是，边上的点，且．
求证：≌；
若，求证：四边形为矩形．

23.  本小题分
“学习强国”是由中共中央宣传部主管的学习平台，为了解某单位员工登录“学习强国”学习的情况，随机抽取两个组，记为甲组和乙组，并从这两组中各随机抽取名员工，统计他们该日登录“学习强国”学习获得积分单位：分，收集数据如下：
甲：
乙：
整理数据：

分析数据：

直接写出表格中，，，的值；
比较这两组样本数据的平均数、中位数和众数，你认为哪组学习比较积极？请说明理由；
若单位员工共人，请估计该单位该日登录“学习强国”学习获得积分不低于分的人数是多少？

24.  本小题分
素材：某公司计划生产个装饰品，该公司有、两个车间，由于车间的设备和人数不同，车间每天生产总数量是车间每天生产总数量的倍，车间单独完成生产任务所需的时间比车间单独完成少天．
素材：经调查，车间每生产一个装饰品的成本是元，车间每生产一个装饰品的成本是元．
问题解决：
确定生产效率：求、车间每天分别生产多少个装饰品？
确定生产方案；若、两车间工作的天数均为正整数，如何安排、两车间工作的天数，使得公司在完成该生产任务时所需成本最低？成本最低时是多少元？

25.  本小题分
如图，点是以为直径的上一点，连接并延长至点，连接，过点作于点，延长交的延长线于点．
求证：是的切线；
若，，求的值．

26.  本小题分
定义：由两条与轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”如图，抛物线：与抛物线：组成一个开口向下的“月牙线”，抛物线与抛物线与轴有相同的交点，点在点左侧，与轴的交点分别为点，．
求出点，的坐标和抛物线的解析式；
点是轴上方抛物线上的点，过点作轴于点，交抛物线于点，试证明：的值为定值，并求出该定值；
如图，点是点关于抛物线对称轴的对称点，连接，在轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是．
故选：．
乘积是的两数互为倒数，由此即可得到答案．
本题考查倒数，关键是掌握倒数的意义．
 

2.【答案】 

【解析】解：该几何体的主视图是三角形，故本选项不符合题意；
B.该几何体的主视图是一行相邻的矩形，俯视图是三角形，故本选项符合题意；
C.该几何体的俯视图是矩形，故本选项不符合题意；
D.该几何体的主视图是等腰三角形，俯视图是圆带圆心，故本选项不符合题意．
故选：．
根据该几何体的主视图和俯视图，结合四个选项的几何体判断即可．
本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力，本题较简单．
 

3.【答案】 

【解析】解：彩民李大叔购买张彩票中奖．这个事件是随机事件，
故选：．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义，即可判断．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的定义是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，

直线，，
，
．
故选：．
由平行线的性质可得，再由邻补角的定义即可求解．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
 

6.【答案】 

【解析】解：、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用同底数幂的除法的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

7.【答案】 

【解析】解：从袋中任意摸出一个球共有种等可能结果，其中是黑球的有种结果，
所以从袋中任意摸出一个球是黑球的概率为．
故选：．
从袋中任意摸出一个球共有种等可能结果，其中是黑球的有种结果，再根据概率公式求解即可得出答案．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，连接、，则点是正六边形的中心，
正六边形，
，
，
是正三角形，
，
正六边形的周长为，
故选：．
根据正六边形的性质得出正六边形的边长等于对角线长的一半，求出边长，再求出周长．
本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质是正确解答的前提．
 

9.【答案】 

【解析】解：一次函数、为常数，且的图象与直线都经过点，
由图象可知，当时，的取值范围是，
故选：．
结合图象即可确定的取值范围．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
，
的长为，
故选：．
根据圆周角定理得出，再根据弧长公式求出答案即可．
本题考查了圆周角定理和弧长公式，能根据圆周角定理求出的度数是解此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：当时，，
或，或，
所以的值为，，
故选：．
根据表示不超过的最大整数，即可解答．
本题考查了新定义以及解一元一次不等式组，解决本题的关键是明确表示不超过的最大整数．
 

12.【答案】 

【解析】解：过作于，

点在反比例函数的图象上，
设，
的面积为，
，
，
点是的中点，
，
点在反比例函数的图象上，
，
，
，
故选：．
过作于，设，根据三角形的面积公式得到，则，求得，列方程即可得到结论．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，三角形的面积公式，中点坐标的求法，正确的理解题意是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得，
故答案为：．
根据二次根式的被开平方数是非负数进行求解．
此题考查了二次根式概念的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
 

14.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
利用平方差公式分解即可求得答案．
此题考查了平方差公式分解因式的知识．题目比较简单，解题需细心．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据平面内关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，
故点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
根据平面内关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，结合题意易得答案．
本题考查了关于原点对称的点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：过点作于点，

由题意可知，四边形是矩形，
，
在中，
，
，
在中，
，
，
，
故答案为：．
过点作于点，先确定的长，分别在和中，利用三角函数关系求出，，由即可求出．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角，解题的关键是构造直角三角形，利用三角函数关系求解．
 

17.【答案】 

【解析】解：设利润为元，
由题意得：


，
，，
当时，，
商品的定价为元时，利润最大，
故答案为：．
设利润为元，一件的利润为元，可卖出件，利润等于二者之积，列出二次函数关系式，求最值即可得到结果．
本题考查了二次函数的实际应用，根据利润售价进价卖的件数，列出函数关系式再求最值是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：连接，
在正方形中，，，，，
根据旋转的性质，可得，，
，
，
、、、四点共圆，
，
，
点是的中点，
，
，
，
，，
，
∽，
：：，
，
，
，
设，
根据勾股定理，得，
，
或舍去，
，
，是的中点，
，
故答案为：．
连接，根据正方形的性质可得，，，，根据旋转的性质，可得，，进一步可得，可证、、、四点共圆，进一步可知，从而可得点是的中点，再根据两个角对应相等的两个三角形相似可证明∽，根据相似三角形的性质可得：：，进一步可得，设，根据勾股定理可得的长，进一步列方程，求出的长，再根据，是的中点，可得．
本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，四点共圆，添加合适的辅助线是解决本题的关键，本题综合性较强，难度较大．
 

19.【答案】解：原式

． 

【解析】先计算乘方和括号内的运算，再计算乘法，最后计算减法即可．
本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．
 

20.【答案】解：，
，得，
解得：，
把代入，得，
解得：，
所以方程组的解是． 

【解析】得出，求出，再把代入求出即可．
本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
 

21.【答案】解：如图所示，即为所求；

如图所示，射线即为所求． 

【解析】根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
根据角平分线的作法作出图形即可．
本题考查了平移变换的性质，角平分线的作法，熟练掌握平移变换的性质，角平分线的作法是解题的关键．
 

22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
在和中，
，
≌；
四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
四边形是平行四边形；
，
四边形是矩形． 

【解析】根据证明≌即可；
根据平行四边形的性质得到，，求得，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形；根据矩形的判定定理即可得到结论．
本题考查了矩形的判定、全等三角形的判定、平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：由题意知，，
将甲组的积分重新排列为：，，，，，，，，，，
其中位数，
乙组的积分中出现的次数最多，
；
乙组学习比较积极，理由如下：
这两组样本数据的平均数相等，乙组的众数和中位数均大于甲组的众数和中位数，
乙组学习比较积极答案不唯一，合理即可；


人．
故估计该单位该日登录“学习强国”学习获得积分不低于分的人数是人． 

【解析】根据已知数据及中位数和众数的概念求解可得；
答案不唯一，合理均可；
利用样本估计总体思想求解可得．
本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键．
 

24.【答案】解：设车间每天生产个装饰品，则车间每天生产个装饰品，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：车间每天生产个装饰品，车间每天生产个装饰品；
设车间工作天，则车间工作的天数为天，
设总成本为元，
由题意得：，
、均为正整数，
，
，且为偶数，
，，，，，，，
，
随的增大而增大，
时，的值最小，
此时，，的最小值，
答：安排车间工作天，车间工作天，使得公司在完成该生产任务时所需成本最低，成本最低时是元． 

【解析】设车间每天生产个装饰品，则车间每天生产个装饰品，由题意：车间单独完成生产任务所需的时间比车间单独完成少天．列出分式方程，解方程即可；
设车间工作天，则车间工作天，设总成本为元，由题意得出关于的一次函数，再求出，且为偶数，然后由一次函数的性质即可解决问题．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．
 

25.【答案】证明：连接，如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
解：连接，如图，
为直径，
．
，
设，则，
，
，
，
，．
，，
．
由知：，
，
．
在中，
，
设，则，
，
，
，
，
．
，
∽，
，
，
．
，
． 

【解析】连接，利用等腰三角形的性质，同圆的半径相等，等量代换和平行线的判定与性质得到，再利用圆的切线的判定定理解答即可；
连接，利用圆周角定理，直角三角形的边角关系定理和勾股定理求得，的长度，利用等腰三角形的性质得到，利用同样的方法求得，的长，利用勾股定理求得，再利用相似三角形的判定与性质求得，利用勾股定理求得，则结论可求．
本题主要考查了圆的有关性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
 

26.【答案】解：在中，令得：
，
解得：或，
，；
把，代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为；
证明：设，则，
，
，
，
的值为定值，该定值为；
解：在轴上存在点，使得是以为腰的等腰三角形，理由如下：
，
抛物线的对称轴为直线，
点是点关于抛物线对称轴的对称点，
，
在中，令得，
，
设，
，，，
当，为腰时，，
方程无实数解，
这种情况不存在；
当，为腰时，，
解得或；
或． 

【解析】在中，令可得，；再用待定系数法得抛物线的解析式为；
设，则，可得，，故；
由，知抛物线的对称轴为直线，故D，设，可得，，，分两种情况：当，为腰时，，当，为腰时，，解方程即可得到答案．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，对称变换等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．