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2023年湖南省衡阳市蒸湘区育贤中学中考数学模拟试卷（含解析）
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这是一份2023年湖南省衡阳市蒸湘区育贤中学中考数学模拟试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年湖南省衡阳市蒸湘区育贤中学中考数学模拟试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. |−2|的倒数是( )
A. 2 B. −2 C. 12 D. −12
2. 若点M(2,b−3)关于原点对称点N的坐标是(−3−a,2)，则a，b的值为( )
A. a=−1，b=1 B. a=1，b=−1
C. a=1，b=1 D. a=−1，b=−1
3. 已知某圆锥的底面圆的半径r=2cm，将圆锥侧面展开得到一个圆心角θ=120°的扇形，则该圆锥的母线长l为( )
A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm
4. 盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字−2，1，4，随机摸出一个小球，其数字为p(放回)，再随机摸出一个小球，其数字记为q，则满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率是( )
A. 19 B. 13 C. 23 D. 89
5. 如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于( )
A. 50°
B. 65°
C. 75°
D. 80°
6. 一个正三棱柱的三视图如图所示，若这个正三棱柱的侧面积为8 3，则a的值为( )
A. 23 3 B. 2+ 33 C. 32 D. 2
7. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且∠C是锐角，若AB的长等于⊙O的半径长的 2倍，则∠C的度数是( )
A. 60°
B. 45°
C. 30°
D. 22.5°
8. 如图，可以得出不等式组ax+b<0cx+d>0的解集是( )
A. x<−1 B. −14
9. 关于x的二次函数y=x2+2kx+k−1，下列说法正确的是( )
A. 对任意实数k，函数与x轴都没有交点
B. 存在实数n，满足当x≥n时，函数y的值都随x的增大而减小
C. 不存在实数n，满足当x≤n时，函数y的值都随x的增大而减小
D. 对任意实数k，抛物线y=x2+2kx+k−1都必定经过唯一定点
10. 如图，在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在点D处，已知OA= 3,AB=1，则点D的坐标为( )
A. ( 32,32)
B. ( 32,3)
C. (32, 32)
D. (12, 32)
11. 某公司有如图所示的甲、乙、丙、丁四个生产基地．现决定在其中一个基地修建总仓库，以方便公司对各基地生产的产品进行集中存储．已知甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于4：5：4：2，各基地之间的距离之比a：b：c：d：e=2：3：4：3：3(因条件限制，只有图示中的五条运输渠道)，当产品的运输数量和运输路程均相等时，所需的运费相等．若要使总运费最低，则修建总仓库的最佳位置为( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
12. 如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点M从点B出发以3cm/s的速度沿着边BC−CD−DA运动，到达点A停止运动，另一动点N同时从点B出发，以1cm/s的速度沿着边BA向点A运动，到达点A停止运动，设点M运动时间为x(s)，△AMN的面积为y(cm2)，则y关于x的函数图象是( )
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 分解因式：a2b−2ab+b= ．
14. 斜面的坡度为i=1： 3，一物体沿斜面向上推进了20米，那么物体升高了______ 米
.
15. 已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示．若DE=2，则DF=______．
16. 不等式 2x> 3x+1的解集是______．
17. 如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB=3，将纸片沿对角线AC对折，BC边与AD边交于点E，此时，△CDE恰为等边三角形，则图中重叠部分的面积为______．
18. 如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心的坐标为(−2,0)，半径为2，点P为直线y=−34x+6上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是______．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
计算：(12)−1+ 27−2sin60°+(2019−π)0．
20. (本小题8.0分)
先化简2a+2a÷a2+2a+1a2−aa+1，再在−2
国务院办公厅2015年3月16日发布了《中国足球改革的总体方案》，这是中国足球历史上的重大改革．为了进一步普及足球知识，传播足球文化，我市举行了“足球进校园”知识竞赛活动，为了解足球知识的普及情况，随机抽取了部分获奖情况进行整理，得到下列不完整的统计图表：
获奖等次
频数
频率
一等奖
10
0.05
二等奖
20
0.10
三等奖
30
b
优胜奖
a
0.30
鼓励奖
80
0.40
请根据所给信息，解答下列问题：
(1)a=______，b=______，且补全频数分布直方图；
(2)若用扇形统计图来描述获奖分布情况，问获得优胜奖对应的扇形圆心角的度数是多少？
(3)在这次竞赛中，甲、乙、丙、丁四位同学都获得一等奖，若从这四位同学中随机选取两位同学代表我市参加上一级竞赛，请用树状图或列表的方法，计算恰好选中甲、乙二人的概率．
22. (本小题8.0分)
如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D.连接BC并延长，交AD的延长线于点E．
(1)求证：AE=AB；
(2)若AB=10，BC=6，求CD的长．
23. (本小题8.0分)
如图1，研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的“视线角”α约为20°，而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角”β约为100°.图2是其侧面简化示意图，其中视线AB水平，且与屏幕BC垂直．
(1)若屏幕上下宽BC=20cm，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离AB的长；
(2)若肩膀到水平地面的距离DG=100cm，上臂DE=30cm，下臂EF水平放置在键盘上，其到地面的距离FH=72cm.请判断此时β是否符合科学要求的100°？
(参考数据：sin69°≈1415，cos21°≈1415，tan20°≈411，tan43°≈1415，所有结果精确到个位)
24. (本小题8.0分)
为了对回收垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出A型和B型两款垃圾分拣机器人，已知2台A型机器人和5台B型机器人同时工作1小时共分拣垃圾1.8吨，3台A型机器人和2台B型机器人同时工作1小时共分拣垃圾1.6吨．
(1)求1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？
(2)某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批A型和B型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨.设购买A型机器人a台(10≤a≤45)，B型机器人b台，则b= ______ (用含a的代数式表示)；
(3)机器人公司的报价如下表，在(2)的条件下，设购买总费用为w万元，通过计算回答如何购买使得总费用w最少．
型号
原价
购买数量少于30台
购买数量不少于30台
A型
20万元/台
原价购买
打九折
B型
12万元/台
原价购买
打八折
25. (本小题8.0分)
已知抛物线y=ax2+bx−3交x轴于A(−2,0)，B(4,0)两点，交y轴于C点，连接AC、BC.点D在线段BC上(不与点B、点C重合)，DE//AC，交x轴于点E，连接CE．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点D的横坐标为m，△CDE的面积为S.则m为何值时，S取得最大值，并求出这个最大值；
(3)若△ACE为等腰三角形，请直接写出此时点D的坐标．
26. (本小题8.0分)
已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
(1)如图1，连接AF、CE.求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
(2)如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
②若点P、Q的运动路程分别为a、b(单位：cm，ab≠0)，已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵|−2|=2，2的倒数是12，
∴|−2|的倒数是12．
故选：C．
根据绝对值和倒数的定义作答．
一个负数的绝对值是它的相反数．若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2.【答案】A
【解析】解：∵点M(2,b−3)关于原点对称点N的坐标是(−3−a,2)，
∴2=3+a，b−3=−2，
解得：a=−1，b=1．
故选：A．
直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值即可．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．
3.【答案】D
【解析】解：圆锥的底面周长=2π×2=4πcm，
则：120π×l180=4π，
解得R=6．
故选：D．
易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：nπr180．
4.【答案】C
【解析】解：列表如下：
−2
1
4
−2
---
(1,−2)
(4,−2)
1
(−2,1)
---
(4,1)
4
(−2,4)
(1,4)
---
所有等可能的情况有6种，其中满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根，即满足p2−4q≥0的情况有4种，
则P=46=23．
故选：C．
列表得出所有等可能的情况数，找出满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的情况数，即可求出所求的概率．
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5.【答案】B
【解析】解：∵BE//AF，
∴∠DAF=∠DEB=50°，
∵AG为折痕，
∴2∠α+∠DAF=180°，
即2∠α+50°=180°，
解得∠α=65°．
故选：B．
由图形可得BE//AF，可得∠DAF=∠DEB=50°，由于翻折可得两个角是重合的，于是利用平角的定义列出方程可得答案．
本题考查了图形的翻折问题；找到相等的角，利用平角定义列出方程是解答翻折问题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：观察给出的图形可知，正三棱柱的高是2 3，正三棱柱的底面正三角形的高是a，则底面边长为2 33a，
依题意有2 33a×2 3×3=8 3，
解得a=23 3．
故选：A．
观察给出的图形可知，正三棱柱的高是2 3，正三棱柱的底面正三角形的高是a，根据三角函数可得底面边长为2 33a，根据长方形的面积公式和这个正三棱柱的侧面积为8 3，可得关于a的方程，解方程即可求得a的值．
考查了由三视图判断几何体，关键是由三视图得到正三棱柱的高和底面边长．
7.【答案】B
【解析】解：作直径BD，连接AD，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DAB=90°，
∴sinD=ABBD= 22，
∴∠D=45°，
由圆周角定理得，∠C=∠D=45°，
故选：B．
作直径BD，连接AD，根据圆周角定理得到∠DAB=90°，根据正弦的定义求出∠D=45°，根据圆周角定理解答即可．
本题考查的是圆周角定理、正弦的定义，正确作出辅助性、掌握圆周角定理是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了一次函数与一元一次不等式组，属于基础题，关键是正确根据图象解题．
根据直线y=ax+b交x轴于点(4,0)，直线y=cx+d交x轴于点(−1,0)，再结合图象即可得出两不等式的解集，进而得出答案．
【解答】
解：∵直线y=ax+b交x轴于点(4,0)，
∴ax+b<0的解集为：x>4，
∵直线y=cx+d交x轴于点(−1,0)，
∴cx+d>0的解集为：x>−1，
∴不等式组ax+b<0cx+d>0的解集是：x>4．
故选D．
9.【答案】D
【解析】解：∵△=(2k)2−4(k−1)=4(k−12)2+3>0，∴
函数与x轴有两个交点，故A错误；
∵二次函数y=x2+2kx+k−1中a=1>0，
∴当x>−2k2时，函数y的值都随x的增大而增大，x<−2k2时，函数y的值都随x的增大而减小，
当n=−2k2时，当x≥n时，函数y的值都随x的增大而增大，故B错误；
当n=−2k2时，当x≤n时，函数y的值都随x的增大而减小，故C错误；
∵令k=1和k=0，得到方程组：y=x2+2xy=x2−1，解得y=−34x=−12，
将y=−34x=−12代入x2+2kx+k−1得，14−k+k−1=−34，与k值无关，不论k取何值，抛物线总是经过一个定点(−12,−34)，故D正确．
故选D．
A、计算出△，根据△的值进行判断；
B、根据二次函数的性质即可判断；
C、根据二次函数的性质即可判断；
D、令k=1和k=0，得到方程组，求出所过点的坐标，再将坐标代入原式验证即可；
本题考查了二次函数的性质，熟悉函数和函数方程的关系、函数的性质是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵OA= 3，AB=1，
∴tan∠2=ABAO= 31= 3，
∴∠2=30°，
由折叠方法可得∠3=∠2=30°，OD=0A= 3，
∵∠COA=90°，
∴∠1=90°−30°−30°=30°，
作ED⊥y轴于点E，
∴EDOD= sin∠1=sin30°=12，OEOD=cos∠1=cos30°= 32，
∴ED=12OD=12 3，OE= 32OD= 32× 3=32．
故D的坐标为：( 32,32).
故选：A．
本题应先根据题意得出∠2和∠3的角度．进而得出∠1的度数，最后通过作出辅助线ED⊥y轴于点E，根据∠1的三角函数值即可得出D点的坐标
此题主要考查了图形的折叠，以及三角函数定义，解决问题的关键是根据已知条件得到∠1和∠2的角度．
11.【答案】A
【解析】解：∵甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于4：5：4：2，
设甲基地的产量为4x吨，则乙、丙、丁基地的产量分别为5x吨、4x吨、2x吨，
∵各基地之间的距离之比a：b：c：d：e=2：3：4：3：3，
设a=2y千米，则b、c、d、e分别为3y千米、4y千米、3y千米、3y千米，
设运输的运费每吨为z元/千米，
①设在甲处建总仓库，
则运费最少为：(5x·2y+4x·3y+2x·3y)z=28xyz；
②设在乙处建总仓库，
∵a+d=5y，b+c=7y，
∴a+d
③设在丙处建总仓库，
则运费最少为：(4x·3y+5x·3y+2x·4y)z=35xyz；
④设在丁处建总仓库，
则运费最少为：(4x·3y+5x·5y+4x·4y)z=53xyz；
由以上可得建在甲处最合适，
故选：A．
设甲基地的产量为4x吨，则乙、丙、丁基地的产量分别为5x吨、4x吨、2x吨，设a=2y千米，则b、c、d、e分别为3y千米、4y千米、3y千米、3y千米，设运输的运费每吨为z元/千米，
①设在甲处建总仓库，则运费最少为：(5x·2y+4x·3y+2x·3y)z=28xyz；
②设在乙处建总仓库，则运费最少为：(4x·2y+4x·3y+2x·5y)z=30xyz；
③设在丙处建总仓库，则运费最少为：(4x·3y+5x·3y+2x·4y)z=35xyz；
④设在丁处建总仓库，则运费最少为：(4x·3y+5x·5y+4x·4y)z=53xyz；
进行比较运费最少的即可．
本题考查了整式运算的应用；设出未知数，表示出各个运费是解题的关键．
12.【答案】A
【解析】解：由题可得，BN=x，
当0≤x≤1时，M在BC边上，BM=3x，AN=3−x，则
S△ANM=12AN⋅BM，
∴y=12⋅(3−x)⋅3x=−32x2+92x，故C选项错误；
当1≤x≤2时，M点在CD边上，则
S△ANM=12AN⋅BC，
∴y=12(3−x)⋅3=−32x+92，故D选项错误；
当2≤x≤3时，M在AD边上，AM=9−3x，
∴S△ANM=12AM⋅AN，
∴y=12⋅(9−3x)⋅(3−x)=32(x−3)2，故B选项错误；
故选：A．
分三种情况进行讨论，当0≤x≤1时，当1≤x≤2时，当2≤x≤3时，分别求得△ANM的面积，列出函数解析式，根据函数图象进行判断即可．
本题主要考查了动点问题的函数图象，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．利用数形结合，分类讨论是解决问题的关键．
13.【答案】b(a−1)2
【解析】解：a2b−2ab+b
=b(a2−2a+1)(提取公因式)
=b(a−1)2.(完全平方公式)
故答案为b(a−1)2
先提取公因式b，再利用完全平方公式进行二次分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，
注意要分解彻底．
14.【答案】10
【解析】解：∵斜坡的坡度为i=1： 3，
又∵i=tan∠ABC=ACBC
∴ACBC=1 3= 33，
∴∠ABC=30°，
∵某物体沿斜面向上推进了20米，即AB=20，
∴AC=AB=sin30°=10米．
故答案为：10．
运用坡度的定义，即垂直高度与水平距离的比值，所以i=tan∠ABC=ACBC，再结合三角函数关系求出即可．
此题主要考查了坡度的定义，以及锐角三角函数关系，正确的运用坡度的定义是解决问题的关键．
15.【答案】4
【解析】解：过点D作DM⊥OB，垂足为M，如图所示．
∵OC是∠AOB的平分线，
∴DM=DE=2．
在Rt△OEF中，∠OEF=90°，∠EOF=60°，
∴∠OFE=30°，即∠DFM=30°．
在Rt△DMF中，∠DMF=90°，∠DFM=30°，
∴DF=2DM=4．
故答案为：4．
过点D作DM⊥OB，垂足为M，则DM=DE=2，在Rt△OEF中，利用三角形内角和定理可求出∠DFM=30°，在Rt△DMF中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出DF的长，此题得解．
本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理以及含30度角的直角三角形，利用角平分线的性质及30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出DF的长是解题的关键．
16.【答案】x<− 2− 3
【解析】解：移项得： 2x− 3x>1，
合并同类项得：( 2− 3)x>1，
系数化1得：x<1 2− 3，
分母有理化得：x<− 2− 3，
故答案为：x<− 2− 3．
按照一元一次不等式的解法求得不等式的解集即可．
考查了二次根式的应用及解一元一次不等式的知识，解题的关键是正确的分母有理化，难度不大．
17.【答案】94 3
【解析】解：∵△CDE为等边三角形，
∴DE=DC=EC，∠D=60°，
根据折叠的性质，∠BCA=∠B′CA，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=6，AB=CD=3，
∴∠EAC=∠BCA，
∴∠EAC=∠ECA，
∴EA=EC，
∴∠DAC=30°，
∴∠ACD=90°，
∵CD=3，∠ACD=90°，∠DAC=30°，
∴AC=3 3，
∴S△ACE=12S△ACD=12×AC×CD×12=94 3．
故答案为：94 3．
先根据等边三角形的性质可得DF=DC=EC，∠D=60°，根据折叠的性质，∠BCA=∠B′CA，再利用平行四边形的性质证明∠DAC=30°，∠ACD=90°，利用三角函数值计算出AC，然后根据三角形的中线平分三角形的面积可得S△ACE=12S△ACD，进而可得答案．
此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及翻折变换，关键是掌握：平行四边形的对边平行且相等，直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半．
18.【答案】4 2
【解析】解：如图，作AP⊥直线y=−34x+6，垂足为P，作⊙A的切线PQ，切点为Q，此时切线长PQ最小，
∵A的坐标为(−2,0)，
设直线与x轴，y轴分别交于B，C，
∴B(0,6)，C(8,0)，
∴OB=6，AC=，10，
∴BC= OB2+OC2=10，
∴AC=BC，
在△APC与△BOC中，
∠APC=∠OBC=90°∠ACB=∠BCOAC=BC，
∴△APC≌△BOC，
∴AP=OB=6，
∴PQ= 62−22=4 2．
故答案为4 2
连接AP，PQ，当AP最小时，PQ最小，当AP⊥直线y=−34x+6时，PQ最小，根据全等三角形的性质得到AP=6，根据勾股定理即可得到结论．
本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
19.【答案】解：原式=2+3 3−2× 32+1
=3+2 3．
【解析】根据负整数指数幂，零指数幂，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，分别化简得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
20.【答案】解：2a+2a÷a2+2a+1a2−aa+1
=2(a+1)a÷(a+1)2a2−aa+1
=2(a+1)a⋅a2(a+1)2−aa+1
=2aa+1−aa+1
=aa+1，
∵分式要有意义，
∴a≠0a+1≠0，
∴a≠0且a≠−1，
又∵−2
∴原式=12．
【解析】先根据分式的混合计算法则化简，再根据分式有意义的条件以及a是在−2
21.【答案】解：(1)60；0.15；
(2)优胜奖所在扇形的圆心角为0.30×360°=108°；
(3)列表：甲乙丙丁分别用ABCD表示，
A
B
C
D
A
AB
AC
AD
B
BA
BC
BD
C
CA
CB
CD
D
DA
DB
DC
∵共有12种等可能的结果，恰好选中A、B的有2种，
画树状图如下：
∴P(选中A、B)=212=16．
【解析】
【分析】
本题考查了列表与树状图的知识，解题的关键是通过列表将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解，难度不大．
(1)根据公式频率=频数÷样本总数，求得样本总数，再根据公式得出a，b的值即可；
(2)根据公式优胜奖对应的扇形圆心角的度数=优胜奖的频率×360°计算即可；
(3)画树状图或列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．
【解答】
解：(1)样本总数为10÷0.05=200人，
a=200−10−20−30−80=60人，
b=30÷200=0.15，
故答案为60，0.15；
(2)优胜奖所在扇形的圆心角为0.30×360°=108°；
(3)列表：甲乙丙丁分别用ABCD表示，
A
B
C
D
A
AB
AC
AD
B
BA
BC
BD
C
CA
CB
CD
D
DA
DB
DC
∵共有12种等可能的结果，恰好选中A、B的有2种，
画树状图如下：
∴P(选中A、B)=212=16．
22.【答案】(1)证明：连接AC、OC，如图，
∵CD为切线，
∴OC⊥CD，
∵CD⊥AD，
∴OC//AD，
∴∠OCB=∠E，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠B，
∴∠B=∠E，
∴AE=AB；
(2)解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC= 102−62=8，
∵AB=AE=10，AC⊥BE，
∴CE=BC=6，
∵12CD⋅AE=12AC⋅CE，
∴CD=6×810=245．
【解析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．
(1)连接AC、OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，则可判断OC//AD，所以∠OCB=∠E，然后证明∠B=∠E，从而得到结论；
(2)利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则利用勾股定理可计算出AC=8，再根据等腰三角形的性质得到CE=BC=6，然后利用面积法求出CD的长．
23.【答案】解：(1)∵Rt△ABC中，tanA=BCAB，
∴AB=BCtanA=BCtan20∘=20411=55(cm)；
(2)延长FE交DG于点I．
则DI=DG−FH=100−72=28(cm)．
在Rt△DEI中，sin∠DEI=DIDE=2830=1415，
∴∠DEI=69°，
∴∠β=180°−69°=111°≠100°，
∴此时β不是符合科学要求的100°．
【解析】(1)Rt△ABC中利用三角函数即可直接求解；
(2)延长FE交DG于点I，利用三角函数求得∠DEI即可求得β的值，从而作出判断．
此题综合性比较强，解此题的关键是把实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到几何图形中来考虑，就能迎刃而解．
24.【答案】100−2a
【解析】解：(1)设1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾x吨和y吨，
由题意得2x+5y=1.83x+2y=1.6，
解得x=0.4y=0.2
答：1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾0.4吨和0.2吨．
(2)解：由题意得，0.4a+0.2b=20，
∴b=100−2a，
故答案为：100−2a；
(3)解：当10≤a<30时，40
∵0.8>0
当a=10时，w有最小值，w最小=968；
当30≤a≤35时，30≤b≤40，
∴w=0.9×20a+0.8×12(100−2a)=−1.2a+960，
∵−1.2<0，
当a=35时，w有最小值，w最小=918；
当35
∵−6<0，
当a=45时，w有最小值，w最小=930．
∵918<930<968，
∴购买A型机器人35台，B型机器人30台时，总费用w最少．
(1)设1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾x吨和y吨，然后根据2台A型机器人和5台B型机器人同时工作1小时共分拣垃圾1.8吨，3台A型机器人和2台B型机器人同时工作1小时共分拣垃圾1.6吨列出方程组求解即可；
(2)根据这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨进行列式求解即可；
(3)分当10≤a<30时，40
25.【答案】解：(1)由题意得：4a−2b−3=016a+4b−3=0，解得a=38b=−34，
∴抛物线解析式为y=38x2−34x−3；
(2)抛物线与y轴交于点C(0,−3)，A(−2,0)，B(4,0)，
∴OA=2，OC=3，OB=4．
在Rt△OBC中，BC= OC2+OB2=5．
由B(4,0)、C(0,−3)可求直线BC的解析式为y=34x−3，
∵点D的横坐标为m，
∴D(m,34m−3)，
如图，作DF⊥x轴于点F，
∴DF=−34m+3，∠BFD=∠BOC=90°．
∵∠FBD=∠OBC，
∴△BDF∽△BCO．
∴BDBC=DFCO．
∴BD=DF⋅BCCO=(−34m+3)×53=−54m+5．
∵DE//AC，
∴BEAB=BDBC．
∴BE=BA⋅BDBC=6⋅(−54m+5)5=−32m+6．
∴S=S△CEB−S△BDE=12×BE×(OC−DF)=12(−32m+6)(3+34m−3)=−916(m−2)2+94，
∴m=2时，S取得最大值94；
(3)设点E的坐标为(s,0)，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为y=−32x−3，
∵DE//AC，故设DE的表达式为y=−32x+32t，
将点E的坐标代入上式并解得t=32s，
故直线DE的表达式为y=−32x+32s①，
∵BC的表达式为y=34x−3②，
联立①②并解得x=2s+43y=12s−2，
故点E的坐标为(2s+43,12s−2)，
由点A、C、E的坐标得：AC2=22+32=13，
同理可得：AE2=(s+2)2，CE2=s2+9，
当AC=AE时，则AC=AE时，则13=(s+2)2，解得s=−2± 13(舍去负值)；
当AC=CE时，则s2+9=13，解得s=−2(舍去)或2；
当AE=CE时，则(s+2)2=s2+9，解得s=54，
综上，s=−2+ 13或2或54，
∵点E的坐标为(2s+43,12s−2)，
∴点E的坐标为(83,−1)或(2 133, 133−3)或(136,−118).
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)由S=S△CEB−S△BDE=12×BE×(OC−DF)，即可求解；
(3)设点E的坐标为(s,0)，求出点E的坐标为(2s+43,12s−2)，再分AC=AE、AC=CE、AE=CE三种情况，求出s的值，即可求解．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
26.【答案】解：(1)①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，
∵EF垂直平分AC，垂足为O，
∴OA=OC，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE为菱形，
②设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=(8−x)cm，
在Rt△ABF中，AB=4cm，
由勾股定理得42+(8−x)2=x2，
解得x=5，
∴AF=5cm．
(2)①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上或P在BF，Q在CD时，也不能构成平行四边形．
因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
∴PC=5t，QA=CD+AD−4t=12−4t，
∴5t=12−4t，
解得t=43，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=43秒．
②由题意得，四边形APCQ是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上．
分三种情况：
i)如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12−b，得a+b=12；
ii)如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12−b=a，得a+b=12；
iii)如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12−a=b，得a+b=12．
综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12(ab≠0)．
【解析】本题综合性较强，考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质，注意分类思想的应用．
(1)先证明四边形AFCE为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得AF的长；
(2)①分情况讨论可知，当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可；
②分三种情况讨论可知a与b满足的数量关系式．
2023年湖南省衡阳市蒸湘区育贤中学中考数学模拟试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. |−2|的倒数是( )
A. 2 B. −2 C. 12 D. −12
2. 若点M(2,b−3)关于原点对称点N的坐标是(−3−a,2)，则a，b的值为( )
A. a=−1，b=1 B. a=1，b=−1
C. a=1，b=1 D. a=−1，b=−1
3. 已知某圆锥的底面圆的半径r=2cm，将圆锥侧面展开得到一个圆心角θ=120°的扇形，则该圆锥的母线长l为( )
A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm
4. 盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字−2，1，4，随机摸出一个小球，其数字为p(放回)，再随机摸出一个小球，其数字记为q，则满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率是( )
A. 19 B. 13 C. 23 D. 89
5. 如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于( )
A. 50°
B. 65°
C. 75°
D. 80°
6. 一个正三棱柱的三视图如图所示，若这个正三棱柱的侧面积为8 3，则a的值为( )
A. 23 3 B. 2+ 33 C. 32 D. 2
7. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且∠C是锐角，若AB的长等于⊙O的半径长的 2倍，则∠C的度数是( )
A. 60°
B. 45°
C. 30°
D. 22.5°
8. 如图，可以得出不等式组ax+b<0cx+d>0的解集是( )
A. x<−1 B. −1
9. 关于x的二次函数y=x2+2kx+k−1，下列说法正确的是( )
A. 对任意实数k，函数与x轴都没有交点
B. 存在实数n，满足当x≥n时，函数y的值都随x的增大而减小
C. 不存在实数n，满足当x≤n时，函数y的值都随x的增大而减小
D. 对任意实数k，抛物线y=x2+2kx+k−1都必定经过唯一定点
10. 如图，在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在点D处，已知OA= 3,AB=1，则点D的坐标为( )
A. ( 32,32)
B. ( 32,3)
C. (32, 32)
D. (12, 32)
11. 某公司有如图所示的甲、乙、丙、丁四个生产基地．现决定在其中一个基地修建总仓库，以方便公司对各基地生产的产品进行集中存储．已知甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于4：5：4：2，各基地之间的距离之比a：b：c：d：e=2：3：4：3：3(因条件限制，只有图示中的五条运输渠道)，当产品的运输数量和运输路程均相等时，所需的运费相等．若要使总运费最低，则修建总仓库的最佳位置为( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
12. 如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点M从点B出发以3cm/s的速度沿着边BC−CD−DA运动，到达点A停止运动，另一动点N同时从点B出发，以1cm/s的速度沿着边BA向点A运动，到达点A停止运动，设点M运动时间为x(s)，△AMN的面积为y(cm2)，则y关于x的函数图象是( )
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 分解因式：a2b−2ab+b= ．
14. 斜面的坡度为i=1： 3，一物体沿斜面向上推进了20米，那么物体升高了______ 米
.
15. 已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示．若DE=2，则DF=______．
16. 不等式 2x> 3x+1的解集是______．
17. 如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB=3，将纸片沿对角线AC对折，BC边与AD边交于点E，此时，△CDE恰为等边三角形，则图中重叠部分的面积为______．
18. 如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心的坐标为(−2,0)，半径为2，点P为直线y=−34x+6上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是______．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
计算：(12)−1+ 27−2sin60°+(2019−π)0．
20. (本小题8.0分)
先化简2a+2a÷a2+2a+1a2−aa+1，再在−2
国务院办公厅2015年3月16日发布了《中国足球改革的总体方案》，这是中国足球历史上的重大改革．为了进一步普及足球知识，传播足球文化，我市举行了“足球进校园”知识竞赛活动，为了解足球知识的普及情况，随机抽取了部分获奖情况进行整理，得到下列不完整的统计图表：
获奖等次
频数
频率
一等奖
10
0.05
二等奖
20
0.10
三等奖
30
b
优胜奖
a
0.30
鼓励奖
80
0.40
请根据所给信息，解答下列问题：
(1)a=______，b=______，且补全频数分布直方图；
(2)若用扇形统计图来描述获奖分布情况，问获得优胜奖对应的扇形圆心角的度数是多少？
(3)在这次竞赛中，甲、乙、丙、丁四位同学都获得一等奖，若从这四位同学中随机选取两位同学代表我市参加上一级竞赛，请用树状图或列表的方法，计算恰好选中甲、乙二人的概率．
22. (本小题8.0分)
如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D.连接BC并延长，交AD的延长线于点E．
(1)求证：AE=AB；
(2)若AB=10，BC=6，求CD的长．
23. (本小题8.0分)
如图1，研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的“视线角”α约为20°，而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角”β约为100°.图2是其侧面简化示意图，其中视线AB水平，且与屏幕BC垂直．
(1)若屏幕上下宽BC=20cm，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离AB的长；
(2)若肩膀到水平地面的距离DG=100cm，上臂DE=30cm，下臂EF水平放置在键盘上，其到地面的距离FH=72cm.请判断此时β是否符合科学要求的100°？
(参考数据：sin69°≈1415，cos21°≈1415，tan20°≈411，tan43°≈1415，所有结果精确到个位)
24. (本小题8.0分)
为了对回收垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出A型和B型两款垃圾分拣机器人，已知2台A型机器人和5台B型机器人同时工作1小时共分拣垃圾1.8吨，3台A型机器人和2台B型机器人同时工作1小时共分拣垃圾1.6吨．
(1)求1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？
(2)某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批A型和B型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨.设购买A型机器人a台(10≤a≤45)，B型机器人b台，则b= ______ (用含a的代数式表示)；
(3)机器人公司的报价如下表，在(2)的条件下，设购买总费用为w万元，通过计算回答如何购买使得总费用w最少．
型号
原价
购买数量少于30台
购买数量不少于30台
A型
20万元/台
原价购买
打九折
B型
12万元/台
原价购买
打八折
25. (本小题8.0分)
已知抛物线y=ax2+bx−3交x轴于A(−2,0)，B(4,0)两点，交y轴于C点，连接AC、BC.点D在线段BC上(不与点B、点C重合)，DE//AC，交x轴于点E，连接CE．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点D的横坐标为m，△CDE的面积为S.则m为何值时，S取得最大值，并求出这个最大值；
(3)若△ACE为等腰三角形，请直接写出此时点D的坐标．
26. (本小题8.0分)
已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
(1)如图1，连接AF、CE.求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
(2)如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
②若点P、Q的运动路程分别为a、b(单位：cm，ab≠0)，已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵|−2|=2，2的倒数是12，
∴|−2|的倒数是12．
故选：C．
根据绝对值和倒数的定义作答．
一个负数的绝对值是它的相反数．若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2.【答案】A
【解析】解：∵点M(2,b−3)关于原点对称点N的坐标是(−3−a,2)，
∴2=3+a，b−3=−2，
解得：a=−1，b=1．
故选：A．
直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值即可．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．
3.【答案】D
【解析】解：圆锥的底面周长=2π×2=4πcm，
则：120π×l180=4π，
解得R=6．
故选：D．
易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：nπr180．
4.【答案】C
【解析】解：列表如下：
−2
1
4
−2
---
(1,−2)
(4,−2)
1
(−2,1)
---
(4,1)
4
(−2,4)
(1,4)
---
所有等可能的情况有6种，其中满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根，即满足p2−4q≥0的情况有4种，
则P=46=23．
故选：C．
列表得出所有等可能的情况数，找出满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的情况数，即可求出所求的概率．
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5.【答案】B
【解析】解：∵BE//AF，
∴∠DAF=∠DEB=50°，
∵AG为折痕，
∴2∠α+∠DAF=180°，
即2∠α+50°=180°，
解得∠α=65°．
故选：B．
由图形可得BE//AF，可得∠DAF=∠DEB=50°，由于翻折可得两个角是重合的，于是利用平角的定义列出方程可得答案．
本题考查了图形的翻折问题；找到相等的角，利用平角定义列出方程是解答翻折问题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：观察给出的图形可知，正三棱柱的高是2 3，正三棱柱的底面正三角形的高是a，则底面边长为2 33a，
依题意有2 33a×2 3×3=8 3，
解得a=23 3．
故选：A．
观察给出的图形可知，正三棱柱的高是2 3，正三棱柱的底面正三角形的高是a，根据三角函数可得底面边长为2 33a，根据长方形的面积公式和这个正三棱柱的侧面积为8 3，可得关于a的方程，解方程即可求得a的值．
考查了由三视图判断几何体，关键是由三视图得到正三棱柱的高和底面边长．
7.【答案】B
【解析】解：作直径BD，连接AD，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DAB=90°，
∴sinD=ABBD= 22，
∴∠D=45°，
由圆周角定理得，∠C=∠D=45°，
故选：B．
作直径BD，连接AD，根据圆周角定理得到∠DAB=90°，根据正弦的定义求出∠D=45°，根据圆周角定理解答即可．
本题考查的是圆周角定理、正弦的定义，正确作出辅助性、掌握圆周角定理是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了一次函数与一元一次不等式组，属于基础题，关键是正确根据图象解题．
根据直线y=ax+b交x轴于点(4,0)，直线y=cx+d交x轴于点(−1,0)，再结合图象即可得出两不等式的解集，进而得出答案．
【解答】
解：∵直线y=ax+b交x轴于点(4,0)，
∴ax+b<0的解集为：x>4，
∵直线y=cx+d交x轴于点(−1,0)，
∴cx+d>0的解集为：x>−1，
∴不等式组ax+b<0cx+d>0的解集是：x>4．
故选D．
9.【答案】D
【解析】解：∵△=(2k)2−4(k−1)=4(k−12)2+3>0，∴
函数与x轴有两个交点，故A错误；
∵二次函数y=x2+2kx+k−1中a=1>0，
∴当x>−2k2时，函数y的值都随x的增大而增大，x<−2k2时，函数y的值都随x的增大而减小，
当n=−2k2时，当x≥n时，函数y的值都随x的增大而增大，故B错误；
当n=−2k2时，当x≤n时，函数y的值都随x的增大而减小，故C错误；
∵令k=1和k=0，得到方程组：y=x2+2xy=x2−1，解得y=−34x=−12，
将y=−34x=−12代入x2+2kx+k−1得，14−k+k−1=−34，与k值无关，不论k取何值，抛物线总是经过一个定点(−12,−34)，故D正确．
故选D．
A、计算出△，根据△的值进行判断；
B、根据二次函数的性质即可判断；
C、根据二次函数的性质即可判断；
D、令k=1和k=0，得到方程组，求出所过点的坐标，再将坐标代入原式验证即可；
本题考查了二次函数的性质，熟悉函数和函数方程的关系、函数的性质是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵OA= 3，AB=1，
∴tan∠2=ABAO= 31= 3，
∴∠2=30°，
由折叠方法可得∠3=∠2=30°，OD=0A= 3，
∵∠COA=90°，
∴∠1=90°−30°−30°=30°，
作ED⊥y轴于点E，
∴EDOD= sin∠1=sin30°=12，OEOD=cos∠1=cos30°= 32，
∴ED=12OD=12 3，OE= 32OD= 32× 3=32．
故D的坐标为：( 32,32).
故选：A．
本题应先根据题意得出∠2和∠3的角度．进而得出∠1的度数，最后通过作出辅助线ED⊥y轴于点E，根据∠1的三角函数值即可得出D点的坐标
此题主要考查了图形的折叠，以及三角函数定义，解决问题的关键是根据已知条件得到∠1和∠2的角度．
11.【答案】A
【解析】解：∵甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于4：5：4：2，
设甲基地的产量为4x吨，则乙、丙、丁基地的产量分别为5x吨、4x吨、2x吨，
∵各基地之间的距离之比a：b：c：d：e=2：3：4：3：3，
设a=2y千米，则b、c、d、e分别为3y千米、4y千米、3y千米、3y千米，
设运输的运费每吨为z元/千米，
①设在甲处建总仓库，
则运费最少为：(5x·2y+4x·3y+2x·3y)z=28xyz；
②设在乙处建总仓库，
∵a+d=5y，b+c=7y，
∴a+d
③设在丙处建总仓库，
则运费最少为：(4x·3y+5x·3y+2x·4y)z=35xyz；
④设在丁处建总仓库，
则运费最少为：(4x·3y+5x·5y+4x·4y)z=53xyz；
由以上可得建在甲处最合适，
故选：A．
设甲基地的产量为4x吨，则乙、丙、丁基地的产量分别为5x吨、4x吨、2x吨，设a=2y千米，则b、c、d、e分别为3y千米、4y千米、3y千米、3y千米，设运输的运费每吨为z元/千米，
①设在甲处建总仓库，则运费最少为：(5x·2y+4x·3y+2x·3y)z=28xyz；
②设在乙处建总仓库，则运费最少为：(4x·2y+4x·3y+2x·5y)z=30xyz；
③设在丙处建总仓库，则运费最少为：(4x·3y+5x·3y+2x·4y)z=35xyz；
④设在丁处建总仓库，则运费最少为：(4x·3y+5x·5y+4x·4y)z=53xyz；
进行比较运费最少的即可．
本题考查了整式运算的应用；设出未知数，表示出各个运费是解题的关键．
12.【答案】A
【解析】解：由题可得，BN=x，
当0≤x≤1时，M在BC边上，BM=3x，AN=3−x，则
S△ANM=12AN⋅BM，
∴y=12⋅(3−x)⋅3x=−32x2+92x，故C选项错误；
当1≤x≤2时，M点在CD边上，则
S△ANM=12AN⋅BC，
∴y=12(3−x)⋅3=−32x+92，故D选项错误；
当2≤x≤3时，M在AD边上，AM=9−3x，
∴S△ANM=12AM⋅AN，
∴y=12⋅(9−3x)⋅(3−x)=32(x−3)2，故B选项错误；
故选：A．
分三种情况进行讨论，当0≤x≤1时，当1≤x≤2时，当2≤x≤3时，分别求得△ANM的面积，列出函数解析式，根据函数图象进行判断即可．
本题主要考查了动点问题的函数图象，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．利用数形结合，分类讨论是解决问题的关键．
13.【答案】b(a−1)2
【解析】解：a2b−2ab+b
=b(a2−2a+1)(提取公因式)
=b(a−1)2.(完全平方公式)
故答案为b(a−1)2
先提取公因式b，再利用完全平方公式进行二次分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，
注意要分解彻底．
14.【答案】10
【解析】解：∵斜坡的坡度为i=1： 3，
又∵i=tan∠ABC=ACBC
∴ACBC=1 3= 33，
∴∠ABC=30°，
∵某物体沿斜面向上推进了20米，即AB=20，
∴AC=AB=sin30°=10米．
故答案为：10．
运用坡度的定义，即垂直高度与水平距离的比值，所以i=tan∠ABC=ACBC，再结合三角函数关系求出即可．
此题主要考查了坡度的定义，以及锐角三角函数关系，正确的运用坡度的定义是解决问题的关键．
15.【答案】4
【解析】解：过点D作DM⊥OB，垂足为M，如图所示．
∵OC是∠AOB的平分线，
∴DM=DE=2．
在Rt△OEF中，∠OEF=90°，∠EOF=60°，
∴∠OFE=30°，即∠DFM=30°．
在Rt△DMF中，∠DMF=90°，∠DFM=30°，
∴DF=2DM=4．
故答案为：4．
过点D作DM⊥OB，垂足为M，则DM=DE=2，在Rt△OEF中，利用三角形内角和定理可求出∠DFM=30°，在Rt△DMF中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出DF的长，此题得解．
本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理以及含30度角的直角三角形，利用角平分线的性质及30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出DF的长是解题的关键．
16.【答案】x<− 2− 3
【解析】解：移项得： 2x− 3x>1，
合并同类项得：( 2− 3)x>1，
系数化1得：x<1 2− 3，
分母有理化得：x<− 2− 3，
故答案为：x<− 2− 3．
按照一元一次不等式的解法求得不等式的解集即可．
考查了二次根式的应用及解一元一次不等式的知识，解题的关键是正确的分母有理化，难度不大．
17.【答案】94 3
【解析】解：∵△CDE为等边三角形，
∴DE=DC=EC，∠D=60°，
根据折叠的性质，∠BCA=∠B′CA，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=6，AB=CD=3，
∴∠EAC=∠BCA，
∴∠EAC=∠ECA，
∴EA=EC，
∴∠DAC=30°，
∴∠ACD=90°，
∵CD=3，∠ACD=90°，∠DAC=30°，
∴AC=3 3，
∴S△ACE=12S△ACD=12×AC×CD×12=94 3．
故答案为：94 3．
先根据等边三角形的性质可得DF=DC=EC，∠D=60°，根据折叠的性质，∠BCA=∠B′CA，再利用平行四边形的性质证明∠DAC=30°，∠ACD=90°，利用三角函数值计算出AC，然后根据三角形的中线平分三角形的面积可得S△ACE=12S△ACD，进而可得答案．
此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及翻折变换，关键是掌握：平行四边形的对边平行且相等，直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半．
18.【答案】4 2
【解析】解：如图，作AP⊥直线y=−34x+6，垂足为P，作⊙A的切线PQ，切点为Q，此时切线长PQ最小，
∵A的坐标为(−2,0)，
设直线与x轴，y轴分别交于B，C，
∴B(0,6)，C(8,0)，
∴OB=6，AC=，10，
∴BC= OB2+OC2=10，
∴AC=BC，
在△APC与△BOC中，
∠APC=∠OBC=90°∠ACB=∠BCOAC=BC，
∴△APC≌△BOC，
∴AP=OB=6，
∴PQ= 62−22=4 2．
故答案为4 2
连接AP，PQ，当AP最小时，PQ最小，当AP⊥直线y=−34x+6时，PQ最小，根据全等三角形的性质得到AP=6，根据勾股定理即可得到结论．
本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
19.【答案】解：原式=2+3 3−2× 32+1
=3+2 3．
【解析】根据负整数指数幂，零指数幂，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，分别化简得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
20.【答案】解：2a+2a÷a2+2a+1a2−aa+1
=2(a+1)a÷(a+1)2a2−aa+1
=2(a+1)a⋅a2(a+1)2−aa+1
=2aa+1−aa+1
=aa+1，
∵分式要有意义，
∴a≠0a+1≠0，
∴a≠0且a≠−1，
又∵−2
∴原式=12．
【解析】先根据分式的混合计算法则化简，再根据分式有意义的条件以及a是在−2
21.【答案】解：(1)60；0.15；
(2)优胜奖所在扇形的圆心角为0.30×360°=108°；
(3)列表：甲乙丙丁分别用ABCD表示，
A
B
C
D
A
AB
AC
AD
B
BA
BC
BD
C
CA
CB
CD
D
DA
DB
DC
∵共有12种等可能的结果，恰好选中A、B的有2种，
画树状图如下：
∴P(选中A、B)=212=16．
【解析】
【分析】
本题考查了列表与树状图的知识，解题的关键是通过列表将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解，难度不大．
(1)根据公式频率=频数÷样本总数，求得样本总数，再根据公式得出a，b的值即可；
(2)根据公式优胜奖对应的扇形圆心角的度数=优胜奖的频率×360°计算即可；
(3)画树状图或列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．
【解答】
解：(1)样本总数为10÷0.05=200人，
a=200−10−20−30−80=60人，
b=30÷200=0.15，
故答案为60，0.15；
(2)优胜奖所在扇形的圆心角为0.30×360°=108°；
(3)列表：甲乙丙丁分别用ABCD表示，
A
B
C
D
A
AB
AC
AD
B
BA
BC
BD
C
CA
CB
CD
D
DA
DB
DC
∵共有12种等可能的结果，恰好选中A、B的有2种，
画树状图如下：
∴P(选中A、B)=212=16．
22.【答案】(1)证明：连接AC、OC，如图，
∵CD为切线，
∴OC⊥CD，
∵CD⊥AD，
∴OC//AD，
∴∠OCB=∠E，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠B，
∴∠B=∠E，
∴AE=AB；
(2)解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC= 102−62=8，
∵AB=AE=10，AC⊥BE，
∴CE=BC=6，
∵12CD⋅AE=12AC⋅CE，
∴CD=6×810=245．
【解析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．
(1)连接AC、OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，则可判断OC//AD，所以∠OCB=∠E，然后证明∠B=∠E，从而得到结论；
(2)利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则利用勾股定理可计算出AC=8，再根据等腰三角形的性质得到CE=BC=6，然后利用面积法求出CD的长．
23.【答案】解：(1)∵Rt△ABC中，tanA=BCAB，
∴AB=BCtanA=BCtan20∘=20411=55(cm)；
(2)延长FE交DG于点I．
则DI=DG−FH=100−72=28(cm)．
在Rt△DEI中，sin∠DEI=DIDE=2830=1415，
∴∠DEI=69°，
∴∠β=180°−69°=111°≠100°，
∴此时β不是符合科学要求的100°．
【解析】(1)Rt△ABC中利用三角函数即可直接求解；
(2)延长FE交DG于点I，利用三角函数求得∠DEI即可求得β的值，从而作出判断．
此题综合性比较强，解此题的关键是把实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到几何图形中来考虑，就能迎刃而解．
24.【答案】100−2a
【解析】解：(1)设1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾x吨和y吨，
由题意得2x+5y=1.83x+2y=1.6，
解得x=0.4y=0.2
答：1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾0.4吨和0.2吨．
(2)解：由题意得，0.4a+0.2b=20，
∴b=100−2a，
故答案为：100−2a；
(3)解：当10≤a<30时，40
∵0.8>0
当a=10时，w有最小值，w最小=968；
当30≤a≤35时，30≤b≤40，
∴w=0.9×20a+0.8×12(100−2a)=−1.2a+960，
∵−1.2<0，
当a=35时，w有最小值，w最小=918；
当35
∵−6<0，
当a=45时，w有最小值，w最小=930．
∵918<930<968，
∴购买A型机器人35台，B型机器人30台时，总费用w最少．
(1)设1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾x吨和y吨，然后根据2台A型机器人和5台B型机器人同时工作1小时共分拣垃圾1.8吨，3台A型机器人和2台B型机器人同时工作1小时共分拣垃圾1.6吨列出方程组求解即可；
(2)根据这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨进行列式求解即可；
(3)分当10≤a<30时，40
25.【答案】解：(1)由题意得：4a−2b−3=016a+4b−3=0，解得a=38b=−34，
∴抛物线解析式为y=38x2−34x−3；
(2)抛物线与y轴交于点C(0,−3)，A(−2,0)，B(4,0)，
∴OA=2，OC=3，OB=4．
在Rt△OBC中，BC= OC2+OB2=5．
由B(4,0)、C(0,−3)可求直线BC的解析式为y=34x−3，
∵点D的横坐标为m，
∴D(m,34m−3)，
如图，作DF⊥x轴于点F，
∴DF=−34m+3，∠BFD=∠BOC=90°．
∵∠FBD=∠OBC，
∴△BDF∽△BCO．
∴BDBC=DFCO．
∴BD=DF⋅BCCO=(−34m+3)×53=−54m+5．
∵DE//AC，
∴BEAB=BDBC．
∴BE=BA⋅BDBC=6⋅(−54m+5)5=−32m+6．
∴S=S△CEB−S△BDE=12×BE×(OC−DF)=12(−32m+6)(3+34m−3)=−916(m−2)2+94，
∴m=2时，S取得最大值94；
(3)设点E的坐标为(s,0)，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为y=−32x−3，
∵DE//AC，故设DE的表达式为y=−32x+32t，
将点E的坐标代入上式并解得t=32s，
故直线DE的表达式为y=−32x+32s①，
∵BC的表达式为y=34x−3②，
联立①②并解得x=2s+43y=12s−2，
故点E的坐标为(2s+43,12s−2)，
由点A、C、E的坐标得：AC2=22+32=13，
同理可得：AE2=(s+2)2，CE2=s2+9，
当AC=AE时，则AC=AE时，则13=(s+2)2，解得s=−2± 13(舍去负值)；
当AC=CE时，则s2+9=13，解得s=−2(舍去)或2；
当AE=CE时，则(s+2)2=s2+9，解得s=54，
综上，s=−2+ 13或2或54，
∵点E的坐标为(2s+43,12s−2)，
∴点E的坐标为(83,−1)或(2 133, 133−3)或(136,−118).
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)由S=S△CEB−S△BDE=12×BE×(OC−DF)，即可求解；
(3)设点E的坐标为(s,0)，求出点E的坐标为(2s+43,12s−2)，再分AC=AE、AC=CE、AE=CE三种情况，求出s的值，即可求解．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
26.【答案】解：(1)①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，
∵EF垂直平分AC，垂足为O，
∴OA=OC，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE为菱形，
②设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=(8−x)cm，
在Rt△ABF中，AB=4cm，
由勾股定理得42+(8−x)2=x2，
解得x=5，
∴AF=5cm．
(2)①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上或P在BF，Q在CD时，也不能构成平行四边形．
因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
∴PC=5t，QA=CD+AD−4t=12−4t，
∴5t=12−4t，
解得t=43，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=43秒．
②由题意得，四边形APCQ是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上．
分三种情况：
i)如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12−b，得a+b=12；
ii)如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12−b=a，得a+b=12；
iii)如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12−a=b，得a+b=12．
综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12(ab≠0)．
【解析】本题综合性较强，考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质，注意分类思想的应用．
(1)先证明四边形AFCE为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得AF的长；
(2)①分情况讨论可知，当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可；
②分三种情况讨论可知a与b满足的数量关系式．
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