2023年湖南省衡阳市中考数学模拟试卷（二）

这是一份2023年湖南省衡阳市中考数学模拟试卷（二），共32页。试卷主要包含了下列选项中，﹣2的倒数是，已知点M等内容，欢迎下载使用。

1．下列选项中，﹣2的倒数是（ ）
A．12B．−12C．2D．﹣2
2．我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2m3+m3＝3m6B．m3•m2＝m6
C．（﹣m4）3＝m7D．（﹣2m2）2＝4m4
4．（3分）如图所示的几何体，其主视图是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）将不等式组2x−5＜1−3x≤3的解集表示在数轴上正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知点M（a，b）在第二象限内，且|a|＝1，|b|＝2，则该点关于原点对称点的坐标是（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣1，2）C．（2，﹣1）D．（1，﹣2）
7．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．要了解沈阳市市民的燃气安全意识，应选用普查方式
B．如果天气预报明天降雪的概率是12，那么明天有一半的时间都在下雪
C．若A、B两组数据的平均数相同，sA2＝0.01，sB2＝0.04，则B组数据较稳定
D．早上的太阳从东方升起是必然事件
8．若x＝﹣2是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（ ）
A．0，﹣2B．0，0C．﹣2，﹣2D．﹣2，0
9．（3分）为执行“均衡教育”政策，某区2018年投入教育经费2500万元，预计到2020年底三年累计投入1.2亿元，若每年投入教育经费的平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．2500（1+2x）＝12000
B．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝12000
C．2500+（1+x）2＝12000
D．2500+2500（1+x）+2500（1+2x）＝12000
10．（3分）关于二次函数y＝（x﹣1）2+5，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的顶点坐标是（﹣1，5）
C．该函数的最大值是5
D．当x≥1时，y随x的增大而增大
11．（3分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝10，用尺规作图的方法作线段AD和线段DE，保留作图痕迹如图所示，认真观察作图痕迹，则△BDE的周长是（ ）
A．8B．52C．1522D．10
12．（3分）如图1，已知A，B是反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C，过P作PM⊥x轴，垂足为M．设三角形OMP的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致如图2，则k的值为（ ）
A．8B．6C．4D．2
二．填空题（共6小题）
13．函数y=1x−1的自变量x的取值范围是 ．
14．因式分解：（m+n）2﹣6（m+n）+9＝ ．
15．化简：5xx+1+5x+1= ．
16．如图，四边形ABCD中，∠B＝60°，∠C＝90°，AB＝6，AD=27，E在BC上，连AE、DE，若∠EAD＝∠ADE，BE＝2，则DC＝ ．
17．如图，P为平行四边形ABCD边BC上一点，E，F分别为PA，PD上的点，且DF＝3PF，AE＝3PE，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1，S2，若S＝3，则S1+S2＝ ．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝x+1和双曲线y=−1x，在直线上取一点，记为A1，过A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过B1作y轴的垂线交直线于点A2，过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交直线于点A3，…，依次进行下去，记点An的横坐标为an，若a1＝2，则a2023＝ ．
三．解答题（共8小题，满分32分）
19．计算：(14)−1−3tan30°+|1−3|−(3.14−π)0．
20．（6分）先化简，再求值：[（4x﹣y）2﹣（4x+y）（4x﹣y）]÷（﹣2y），其中x=−14，y＝2．
21．已知：如图，AB＝DC，AC＝DB，AC和BD相交于点O．点E是BC的中点，连接OE．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）求∠BEO的度数．
22．（8分）2021年12月9日“天宫课堂”第一课正式开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站进行太空授课，神奇的太空实验堪称宇宙级精彩!某校为了培养学生对航天知识的学习兴趣，组织全校800名学生进行了“航天知识竞赛”．教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为x分）分成四组，A组：60≤x＜70；B组：70≤x＜80；C组：80≤x＜90；D组：90≤x≤100，并得到如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）n的值为 ，a的值为 ，b的值为 ．
（2）请补全频数分布直方图并计算扇形统计图中表示“C”的扇形圆心角的度数为 °．
（3）若规定学生竞赛成绩x≥80为优秀，请估算全校竞赛成绩达到优秀的学生人数．
（4）竞赛结束后，九年级一班从本班获得优秀（x≥80）的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两名宣讲航天知识．请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．
23．在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图MN是装订机的底座，AB是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆DE的D点固定，点E从A向B处滑动，压柄BC可绕着转轴B旋转．已知BC＝AB＝12cm，BD＝5cm．
（1）当托板与压柄夹角∠ABC＝37°时，如图①，点E从A点滑动了2cm，求连接杆DE的长度；
（2）当压柄BC从（1）中的位置旋转到与底座AB的夹角∠ABC＝127°，如图②．求这个过程中点E滑动的距离．（答案保留根号）（参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8．tan37°≈0.75）
24．（8分）如图，在△ABC中，AC＝AB，AC是⊙O的弦，D为AC的中点，连接OD，OA，分别交CB于点E，点F，OE＝OF．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若OE＝3，sin∠AOD=35，求BF的长．
25．（10分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作EF⊥CE，交AB于点F．
（1）求证：△AEF∽△DCE；
（2）如图2，连接CF，过点B作BG⊥CF，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM．
①求AG+GM的最小值；
②当AG+GM取最小值时，求线段DE的长．
26．如图，已知抛物线y＝x2﹣5x+4与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状，并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
湖南省衡阳市2023年中考数学模拟试卷（二）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分24分）
1．下列选项中，﹣2的倒数是（ ）
A．12B．−12C．2D．﹣2
【考点】倒数．
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．
【解答】解：﹣2的倒数是：−12．
故选：B．
2．我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】中心对称图形．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形．故错误；
B、是中心对称图形．故正确；
C、不是中心对称图形．故错误；
D、不是中心对称图形．故错误．
故选：B．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2m3+m3＝3m6B．m3•m2＝m6
C．（﹣m4）3＝m7D．（﹣2m2）2＝4m4
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、以及幂的乘方与积的乘方分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、2m3+m3＝3m3，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、m3•m2＝m5，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、（﹣m4）3＝﹣m12，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、（﹣2m2）2＝4m4，原计算正确，故此选项符合题意．
故选：D．
4．（3分）如图所示的几何体，其主视图是（ ）
A．B．C．D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据主视图即从物体的正面观察进而得出答案．
【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层右边是一个小正方形，
故选：A．
5．（3分）将不等式组2x−5＜1−3x≤3的解集表示在数轴上正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来即可．
【解答】解：2x−5＜1①−3x≤3②，
由①得，x＜3，
由②得，x≥﹣1，
故此不等式组的解集为：﹣1≤x＜3，
在数轴上表示为：
故选：D．
6．已知点M（a，b）在第二象限内，且|a|＝1，|b|＝2，则该点关于原点对称点的坐标是（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣1，2）C．（2，﹣1）D．（1，﹣2）
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【分析】根据M（a，b）在第二象限内可以判断a，b的符号，再根据|a|＝1，|b|＝2就可以确定点M的坐标，进而确定点M关于原点的对称点的坐标．
【解答】解：∵M（a，b）在第二象限内，
∴a＜0，b＞0，
又∵|a|＝1，|b|＝2，
∴a＝﹣1，b＝2，
∴点M（﹣1，2），
∴点M关于原点的对称点的坐标是（1，﹣2）．
故选：D．
7．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．要了解沈阳市市民的燃气安全意识，应选用普查方式
B．如果天气预报明天降雪的概率是12，那么明天有一半的时间都在下雪
C．若A、B两组数据的平均数相同，sA2＝0.01，sB2＝0.04，则B组数据较稳定
D．早上的太阳从东方升起是必然事件
【考点】概率的意义；全面调查与抽样调查；方差；随机事件．
【分析】根据概率的意义，全面调查与抽样调查，方差，随机事件，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、要了解沈阳市市民的燃气安全意识，应选用抽样调查方式，故A不符合题意；
B、如果天气预报明天降雪的概率是12，那么明天降雪的可能性是12，故B不符合题意；
C、若A、B两组数据的平均数相同，sA2＝0.01，sB2＝0.04，则A组数据较稳定，故C不符合题意；
D、早上的太阳从东方升起是必然事件，故D符合题意；
故选：D．
8．若x＝﹣2是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（ ）
A．0，﹣2B．0，0C．﹣2，﹣2D．﹣2，0
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
【分析】设方程的另一根为a，由根与系数的关系可得到a的方程，可求得m的值，即可求得方程的另一根．
【解答】解：设方程的另一根为a，
∵x＝﹣2是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个根，
∴4﹣4+m＝0，
解得m＝0，
则﹣2a＝0，
解得a＝0．
故选：B．
9．（3分）为执行“均衡教育”政策，某区2018年投入教育经费2500万元，预计到2020年底三年累计投入1.2亿元，若每年投入教育经费的平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．2500（1+2x）＝12000
B．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝12000
C．2500+（1+x）2＝12000
D．2500+2500（1+x）+2500（1+2x）＝12000
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】设每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，根据题意可得，2018年投入教育经费+2018年投入教育经费×（1+增长率）+2018年投入教育经费×（1+增长率）2＝1.2亿元，据此列方程．
【解答】解：设每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，
由题意得，2500+2500×（1+x）+2500（1+x）2＝12000．
故选：B．
10．（3分）关于二次函数y＝（x﹣1）2+5，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的顶点坐标是（﹣1，5）
C．该函数的最大值是5
D．当x≥1时，y随x的增大而增大
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．
【分析】通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标、最值以及增减性即可求解．
【解答】解：y＝（x﹣1）2+5中，
x2的系数为1，1＞0，函数图象开口向上，A错误；
函数图象的顶点坐标是（1，5），B错误；
函数图象开口向上，有最小值为5，C错误；
函数图象的对称轴为x＝1，x＜1时y随x的增大而减小；x＞1时，y随x的增大而增大，D正确．
故选：D．
11．（3分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝10，用尺规作图的方法作线段AD和线段DE，保留作图痕迹如图所示，认真观察作图痕迹，则△BDE的周长是（ ）
A．8B．52C．1522D．10
【考点】等腰直角三角形；作图—基本作图．
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到∠B＝45°，根据尺规作图可知AD平分∠CAB，根据角平分线的性质定理解答即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠B＝45°，
由尺规作图可知，AD平分∠CAB，DE⊥AB又，∠ACB＝90°，
∴DE＝DC，又∠B＝45°，
∴DE＝BE，
∴△BDE的周长＝BD+BE+DE＝BD+CD+BE＝BC+BE＝AC+BE＝AE+BE＝AB＝10，
故选：D．
12．（3分）如图1，已知A，B是反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C，过P作PM⊥x轴，垂足为M．设三角形OMP的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致如图2，则k的值为（ ）
A．8B．6C．4D．2
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】由图2可得出点P从点A到点B的过程中，S＝4，再结合反比例函数中k的几何意义，建立方程求解即可．
【解答】解：由图1可知，点P从点到点B的过程中，三角形OMP的面积S是定值12|k|，
由图2可知：点P从点A到点B的过程中，S＝4，
∴12|k|＝4，
解得：k＝±8，
∵k＞0，
∴k＝8
故选：A．
二．填空题（共6小题）
13．函数y=1x−1的自变量x的取值范围是 x＞1 ．
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据a（a≥0），以及分母不能为0，可得x﹣1＞0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
x﹣1＞0，
解得：x＞1，
故答案为：x＞1．
14．因式分解：（m+n）2﹣6（m+n）+9＝ （m+n﹣3）2 ．
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【分析】将m+n看作整体，利用完全平方公式即可得出答案．
【解答】解：原式＝（m+n）2﹣2•（m+n）•3+32
＝（m+n﹣3）2．
故答案为：（m+n﹣3）2．
15．化简：5xx+1+5x+1= 5 ．
【考点】分式的加减法．
【分析】按照同分母分式的加法运算法则写成一个分式，再约分即可．
【解答】解：5xx+1+5x+1
=5x+5x+1
=5(x+1)x+1
＝5．
故答案为：5．
16．如图，四边形ABCD中，∠B＝60°，∠C＝90°，AB＝6，AD=27，E在BC上，连AE、DE，若∠EAD＝∠ADE，BE＝2，则DC＝ 3 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
【分析】过点E作EF⊥AB于点F，利用含30°角的直角三角形的性质求得BF，则AE的值可求，再用勾股定理求得EF、AE和AD的值，然后判定△ADE为等边三角形，之后判定△DEC≌△EAF（AAS），由全等三角形的性质可得答案．
【解答】解：过点E作EF⊥AB于点F，
∵∠B＝60°，∠C＝90°，
∴∠BEF＝30°，
∵BE＝2，
∴BF＝1，
∴由勾股定理得：EF=22−12=3，
∵AB＝6，
∴AF＝6﹣1＝5，
∴由勾股定理得：AE=AF2+EF2=52+(3)2=27；
∵∠EAD＝∠ADE，
∴ED＝AE＝27，
又∵AD=27，
∴ED＝AE＝AD，
∴△ADE为等边三角形，
∴∠AED＝60°，
∴∠DEC+∠AEF＝180°﹣∠AED﹣∠BEF＝90°，
又∵∠EAF+AEF＝90°，
∴∠DEC＝∠EAF，
∴在△DEC和△EAF，
∠AFE=∠C=90°∠EAF=∠DECAE=AD
∴△DEC≌△EAF（AAS）．
∴DC＝EF=3．
故答案为：3．
17．如图，P为平行四边形ABCD边BC上一点，E，F分别为PA，PD上的点，且DF＝3PF，AE＝3PE，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1，S2，若S＝3，则S1+S2＝ 48 ．
【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形的面积．
【分析】利用相似三角形的性质求出△PAD的面积即可解决问题．
【解答】解：∵DF＝3PF，AE＝3PE，
∴DP＝4PF，AP＝4PE
∴PEPA=PFPD=14，
∴EF∥AD，
∴△PEF∽△PAD，
∴S△PEFS△PAD=(14)2=116，
∵S△PEF＝3，
∴S△PAD＝3×16＝48，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△PAD=12S平行四边形ABCD，
∴S1+S2＝S△PAD＝48，
故答案为：48．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝x+1和双曲线y=−1x，在直线上取一点，记为A1，过A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过B1作y轴的垂线交直线于点A2，过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交直线于点A3，…，依次进行下去，记点An的横坐标为an，若a1＝2，则a2023＝ 2 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；规律型：点的坐标．
【分析】根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出A1、B1、A2、B2、A3、B3…，从而得到每3次变化为一个循环组依次循环，用2021除以3，根据商的情况确定出a2023即可．
【解答】解：当a1＝2时，B1的横坐标与A1的横坐标相等为a1＝2，
A2的纵坐标和B1的纵坐标相同为y2=−1a1=−12，
B2的横坐标和A2的横坐标相同为a2=−32，
A3的纵坐标和B2的纵坐标相同为y3=−1a2=23，
B3的横坐标和A3的横坐标相同为a3=−13，
A4的纵坐标和B3的纵坐标相同为y4=−1a3=3，
B4的横坐标和A4的横坐标相同为a4＝2＝a1，
…
由上可知，a1，a2，a3，a4，a5，…，3个为一组依次循环，
∵2023÷3＝674…1，
∴a2023＝a1＝2，
故答案为：2．
三．解答题（共8小题，满分32分）
19．计算：(14)−1−3tan30°+|1−3|−(3.14−π)0．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简，进而计算得出答案．
【解答】解：原式＝4﹣3×33+3−1﹣1
＝4−3+3−1﹣1
＝2．
20．（6分）先化简，再求值：[（4x﹣y）2﹣（4x+y）（4x﹣y）]÷（﹣2y），其中x=−14，y＝2．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【分析】根据整式的四则运算顺序（先乘除，后加减）及整式的运算法则对代数式进行化简，然后将x、y的值代入．
【解答】解：[（4x﹣y）2﹣（4x+y）（4x﹣y）]÷（﹣2y）
＝[16x2﹣8xy+y2﹣16x2+y2]÷（﹣2y）
＝（﹣8xy+2y2）÷（﹣2y）
＝4x﹣y．
当x=−14，y＝2时，原式＝4×(−14)−2＝﹣1﹣2＝﹣3．
21．已知：如图，AB＝DC，AC＝DB，AC和BD相交于点O．点E是BC的中点，连接OE．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）求∠BEO的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据“SSS”可以进行证明；
（2）由（1）得∠OBC＝∠OCB，得到△BOC 是等腰三角形，再利用等腰三角形三线合一可得结论．
【解答】（1）证明：在△ABC和△DCB中，
AB=DCAC=DBCB=BC，
∴△ABC≌△DCB（SSS）．
（2）解：由（1）得：∠OBC＝∠OCB，
∴△BOC 是等腰三角形．
∵点E是BC的中点，
∴OE⊥BC，
∴∠BEO＝90°．
22．（8分）2021年12月9日“天宫课堂”第一课正式开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站进行太空授课，神奇的太空实验堪称宇宙级精彩!某校为了培养学生对航天知识的学习兴趣，组织全校800名学生进行了“航天知识竞赛”．教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为x分）分成四组，A组：60≤x＜70；B组：70≤x＜80；C组：80≤x＜90；D组：90≤x≤100，并得到如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）n的值为 60 ，a的值为 6 ，b的值为 12 ．
（2）请补全频数分布直方图并计算扇形统计图中表示“C”的扇形圆心角的度数为 144 °．
（3）若规定学生竞赛成绩x≥80为优秀，请估算全校竞赛成绩达到优秀的学生人数．
（4）竞赛结束后，九年级一班从本班获得优秀（x≥80）的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两名宣讲航天知识．请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．
【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；扇形统计图．
【分析】（1）由B的人数除以所占百分比得出n的值，即可求出a、b的值；
（2）由（1）的结果补全频数分布直方图，再由360°乘以“C”所占的比例即可；
（3）由全校总人数乘以达到优秀的学生人数所占的比例即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）n＝18÷30%＝60，
∴a＝60×10%＝6，
∴b＝60﹣6﹣18﹣24＝12，
故答案为：60，6，12；
（2）补全频数分布直方图如下：
扇形统计图中表示“C”的扇形圆心角的度数为：360°×2460=144°，
故答案为：144；
（3）估算全校竞赛成绩达到优秀的学生人数为：800×24+1260=480（人）；
（4）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为212=16．
23．在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图MN是装订机的底座，AB是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆DE的D点固定，点E从A向B处滑动，压柄BC可绕着转轴B旋转．已知BC＝AB＝12cm，BD＝5cm．
（1）当托板与压柄夹角∠ABC＝37°时，如图①，点E从A点滑动了2cm，求连接杆DE的长度；
（2）当压柄BC从（1）中的位置旋转到与底座AB的夹角∠ABC＝127°，如图②．求这个过程中点E滑动的距离．（答案保留根号）（参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8．tan37°≈0.75）
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】（1）作DH⊥BE于H，在Rt△BDH中用三角函数算出DH和BH，再求出EH，在三角形DEH中用勾股定理即可求得DE；
（2）作DH⊥AB的延长线于点H，在Rt△DBH和Rt△DEH中，用三角函数分别求出BH，DH，EB的长，从而可求得 点E滑动的距离．
【解答】解：（1）如图①，作DH⊥BE于H，
在Rt△BDH中，∠DHB＝90°，BD＝5，∠ABC＝37°，
∴DH5=sin37°，BH5=cs37°，
∴DH＝5sin37°≈5×0.6＝3（cm），BH＝5cs37°≈5×0.8＝4（cm）．
∵AB＝BC＝12cm，AE＝2cm，
∴EH＝AB﹣AE﹣BH＝12﹣2﹣4＝6（cm），
∴DE=DH2+EH2=32+62=35（cm）．
答：连接杆DE的长度为35cm；
（2）如图②，作DH⊥AB的延长线于点H，
∵∠ABC＝127°，
∴∠DBH＝53°，∠BDH＝37°，
在Rt△DBH中，BHBD=BH5=sin37°≈0.6，
∴BH＝3cm，
∴DH＝4cm，
在Rt△DEH中，EH2+DH2＝DE2，
∴（EB+3）2+16＝45，
∴EB＝（29−3）（cm），
∴点E滑动的距离为：12﹣（29−3）﹣2＝（13−29）（cm）．
答：这个过程中点E滑动的距离为（13−29）cm．
24．（8分）如图，在△ABC中，AC＝AB，AC是⊙O的弦，D为AC的中点，连接OD，OA，分别交CB于点E，点F，OE＝OF．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若OE＝3，sin∠AOD=35，求BF的长．
【考点】切线的判定与性质；解直角三角形；等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠CED＝∠AFB，∠ACB＝∠B，∠DCE+∠DEC＝90°，进而推出∠AFB+∠B＝90°，根据切线的判定即可得出结论；
（2）在Rt△AOD中，设AD＝3x，OA＝5x，则OD＝4x，根据tan∠ACB＝tanB列出关于x的方程，求出x＝1，进而求出由AF＝2，AB＝6，在Rt△ABF中，根据勾股定理可得出BF．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OC＝OA，D为AC的中点，
∴OD⊥AC，
∴∠DCE+∠DEC＝90°，
∵AC＝AB，
∴∠ACB＝∠B，
∵OE＝OF，
∴∠OEF＝∠OFE，
∵∠DEC＝∠OEF，∠AFB＝∠OFE，
∴∠DEC＝∠AFB，
∴∠AFB+∠B＝90°，
∴∠OAB＝90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△AOD中，
∵sin∠AOD=35，
∴ADOA=35，
设AD＝3x，OA＝5x，
∴OD=OA2−AD2=(5x)2−(3x)2=4x，
∵OE＝OF＝3，
∴DE＝4x﹣3，AF＝5x﹣3，
∴AC＝2AD＝6x，
∴AB＝6x，
∵∠ACB＝∠B，
∴tan∠ACB＝tanB，
∴DECD=AFAB，
∴4x−33x=5x−36x，
解得x＝1，
∴AF＝2，AB＝6，
在Rt△ABF中，
∴BF=AF2+AB2=22+62=210．
25．（10分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作EF⊥CE，交AB于点F．
（1）求证：△AEF∽△DCE；
（2）如图2，连接CF，过点B作BG⊥CF，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM．
①求AG+GM的最小值；
②当AG+GM取最小值时，求线段DE的长．
【考点】相似形综合题．
【分析】（1）由矩形的性质及直角三角形的性质证出∠DCE＝∠AEF，根据相似三角形的判定可得出结论；
（2）①连接AM，由直角三角形的性质得出MB＝CM＝GM=12BC=3，则点G在以点M为圆心，3为半径的圆上，当A，G，M三点共线时，AG+GM＝AM，此时，AG+GM取得最小值，由勾股定理求出AM＝5，则可得出答案；
②方法一：过点M作MN∥AB交FC于点N，证明△CMN∽△CBF，由相似三角形的性质得出MNBF=CMCB=12，设AF＝x，则BF＝4﹣x，得出MN=12BF=12（4+x），证明△AFG∽△MNG，得出比例线段AFMN=AGGM，列出方程x12(4−x)=23，解得x＝1，求出AF＝1，由（1）得AFDE=AEDC，设DE＝y，则AE＝6﹣y，得出方程1y=6−y4，解得y＝3+5或y＝3−5，则可得出答案．
方法二：过点G作GH∥AB交BC于点H，证明△MHG∽△MBA，由相似三角形的性质得出GMAM=GHAB=MHMB，求出GH=125，MH=95，证明△CHG∽△CBF，得出GHFB=CHCB，求出FB＝3，则可得出AF＝1，后同方法一可求出DE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠CED+∠DCE＝90°，
∵EF⊥CE，
∴∠CED+∠AEF＝90°，
∴∠DCE＝∠AEF，
∴△AEF∽△DCE；
（2）解：①连接AM，如图2，
∵BG⊥CF，
∴△BGC是直角三角形，
∵点M是BC的中点，
∴MB＝CM＝GM=12BC=3，
∴点G在以点M为圆心，3为半径的圆上，
当A，G，M三点不共线时，由三角形两边之和大于第三边得：AG+GM＞AM，
当A，G，M三点共线时，AG+GM＝AM，
此时，AG+GM取得最小值，
在Rt△ABM中，AM=AB2+BM2=42+32=5，
∴AG+GM的最小值为5．
②方法一：
如图3，过点M作MN∥AB交FC于点N，
∴△CMN∽△CBF，
∴MNBF=CMCB=12，
设AF＝x，则BF＝4﹣x，
∴MN=12BF=12（4﹣x），
∵MN∥AB，
∴△AFG∽△MNG，
∴AFMN=AGGM，
由（2）可知AG+GM的最小值为5，
即AM＝5，
又∵GM＝3，
∴AG＝2，
∴x12(4−x)=23，
解得x＝1，
即AF＝1，
由（1）得AFDE=AEDC，
设DE＝y，则AE＝6﹣y，
∴1y=6−y4，
解得：y＝3+5或y＝3−5，
∵0＜3+5＜6，0＜3−5＜6，
∴DE＝3+5或DE＝3−5．
方法二：
如图4，过点G作GH∥AB交BC于点H，
∴△MHG∽△MBA，
∴GMAM=GHAB=MHMB，
由（2）可知AG+MG的最小值为5，
即AM＝5，
又∵GM＝3，
∴35=GH4=MH3，
∴GH=125，MH=95，
由GH∥AB得△CHG∽△CBF，
∴GHFB=CHCB，
即125FB=3+956，
解得FB＝3，
∴AF＝AB﹣FB＝1．
由（1）得AFDE=AEDC，
设DE＝y，则AE＝6﹣y，
∴1y=6−y4，
解得：y＝3+5或y＝3−5，
∵0＜3+5＜6，0＜3−5＜6，
∴DE＝3+5或DE＝3−5．
26．如图，已知抛物线y＝x2﹣5x+4与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状，并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）令x＝0和y＝0，解方程可求解；
（2）设点P的坐标为（x，﹣x+4），则点Q的坐标为（x，x2﹣5x+4），则PQ＝（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）＝﹣x2+4x，进而求解；
（3）当∠DQE＝2∠ODQ，则∠HQA＝∠HQE，则直线AQ和直线QE关于直线QH对称，进而求出点E的坐标为（5，4），再分BE＝BF、BE＝EF、BF＝EF三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）对于y＝x2﹣5x+4，令y＝0，则0＝x2﹣5x+4，
∴x1＝4，x2＝1，
∴点A（1，0），点B（4，0），
令x＝0，则y＝4，
∴点C（0，4）；
（2）四边形OCPQ为平行四边形，理由如下：
∵点B的坐标为（4，0），点C（0，4），
设直线BC的表达式为y＝kx+b，则4k+b=0b=4，解得k=−1b=4，
故直线BC的表达式为y＝﹣x+4，
设点P的坐标为（x，﹣x+4），则点Q的坐标为（x，x2﹣5x+4），
则PQ＝（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∵﹣1＜0，
故PQ有最大值，当x＝2时，PQ的最大值为4＝CO，
∴PQ＝CO，PQ∥OC，
∴四边形OCPQ为平行四边形；
（3）∵D是OC的中点，点C（0，4），
∴点D（0，2），
由（2）知：当x＝2时，PQ的最大值为4，
当x＝2时，y＝x2﹣5x+4＝﹣2，
∴Q（2，﹣2），
由点D、Q的坐标，同理可得，直线DQ的表达式为y＝﹣2x+2，
过点Q作QH⊥x轴于点H，
则QH∥CO，故∠AQH＝∠ODQ，
而∠DQE＝2∠ODQ．
∴∠HQA＝∠HQE，
则直线AQ和直线QE关于直线QH对称，
故设直线QE的表达式为y＝2x+r，
将点Q的坐标代入上式并解得r＝﹣6，
故直线QE的表达式为y＝2x﹣6，
联立y＝x2﹣5x+4并解得x=5y=4或x=2y=−2（不合题意，舍去），
故点E的坐标为（5，4），
设点F的坐标为（0，m），
∴BE2＝（5﹣4）2+（4﹣0）2＝17，
BF2＝m2+42＝m2+16，
EF2＝（m﹣4）2+52，
当BE＝BF时，即16+m2＝17，解得m＝±1；
当BE＝EF时，即25+（m﹣4）2＝17，方程无解；
当BF＝EF时，即16+m2＝25+（m﹣4）2，解得m=258；
故点F的坐标为（0，1）或（0，﹣1）或（0，258）分组
频数
A：60≤x＜70
a
B：70≤x＜80
18
C：80≤x＜90
24
D：90≤x≤100
b
分组
频数
A：60≤x＜70
a
B：70≤x＜80
18
C：80≤x＜90
24
D：90≤x≤100
b