2022年湖南省衡阳市祁东县育贤中学中考数学一模试卷（含解析）

2022年湖南省衡阳市祁东县育贤中学中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 已知，那么的余角等于

A.  B.  C.  D.

2. 年“五一”假期期间，某市共接待国内、外游客万人次，实现旅游综合收入亿元，则“旅游综合收入”用科学记数法表示正确的是

A.  B.  C.  D.

3. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 现有一组数据：，，，，，若该组数据的中位数是，则的值为

A.  B.  C.  D.

5. 如图，四边形的对角线相交于点，且点是的中点，若，，，则四边形的面积为

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在中，，，四边形的面积为，则的面积是

A.
B.
C.
D.

7. 下列说法正确的是

A.
B.
C. 不等式的解集为
D. 当时，反比例函数的函数值随自变量取值的增大而减小

8. 如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是

A.  B.  C.  D.

9. 从，，，中任意选两个数，记作和，那么点在函数图象上的概率是

A.  B.  C.  D.

10. 如图，已知，是的两条切线，，为切点，线段交于点给出下列四种说法：
    ；
    ；
    四边形有外接圆；
    是外接圆的圆心．
    其中正确说法的个数是

A.  B.  C.  D.

11. 如图，扇形的圆心角为，四边形是边长为的正方形，点、、分别在、、弧上，过作交的延长线于点，那么图中阴影部分的面积为

A.
B.
C.
D.

12. 已知点和直线，求点到直线的距离可用公式计算．根据以上材料解决下面问题：如图，的圆心的坐标为，半径为，直线的表达式为，是直线上的动点，是上的动点，则的最小值是

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 函数中，自变量的取值范围是______ ．
14. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是______．
15. 已知直线，用一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，若，则______．
     

16. 某大学自主招生考试只考数学和物理．计算综合得分时，按数学占，物理占计算．已知孔明数学得分为分，综合得分为分，那么孔明物理得分是______分．
17. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点，则的面积为______．
    
    
     

18. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，且，在内有一点，，分别是，边上的动点，连接，，，则周长的最小值是______．
     

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

19. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共7小题，共60.0分）

20. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
21. 今年月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为，，，四个等级，：，：，：，：并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：
    
    请把条形统计图补充完整．
    扇形统计图中______，______，等级所占扇形的圆心角度数为______．
    该校准备从上述获得等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生用，表示，两名女生用，表示，请利用树状图法或列表法，求恰好抽到名男生和名女生的概率．
    
    
    
    
    
    
     
22. 在中，点从点开始出发向点运动，在运动过程中，设线段的长为，线段的长为如图甲，而关于的函数图象如图乙所示．是函数图象上的最低点．请仔细观察甲、乙两图，解答下列问题．
    
    请直接写出边的长和边上的高的长；
    求的度数；
    若为钝角三角形，求的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
23. 某药店在今年月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费元，口罩花费元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比口罩的单价少元．
    求该药店购进的一次性医用外科口罩和口罩的单价各是多少元？
    该药店计划再次购进两种口罩共只，预算购进的总费用不超过万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，内接于，是的直径，与相切于点，交的延长线于点，为的中点，连接．
    求证：是的切线．
    已知，，求，两点之间的距离．
    
    
    
     

25. 在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点在轴上，另两个顶点，在轴上，且，抛物线经过，，三点，如图所示．
    求抛物线所表示的二次函数表达式．
    过原点任作直线交抛物线于，两点，如图所示．
    求面积的最小值．
    已知是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点，使得点与点关于直线对称，若存在，求出点的坐标及直线的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．

26. 某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．
    如图所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成的角，将该纸条从右往左平移．
    写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．
    当重叠部分的形状为如图所示的四边形时，求证：四边形是菱形．
    设平移的距离为，两张纸条重叠部分的面积为求与的函数关系式，并求的最大值．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：，
它的余角等于．
故选：．
根据余角的定义：如果两个角的和等于直角，就说这两个角互为余角计算．
本题考查了余角的定义，解题时牢记定义是关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：亿，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】
 

【解析】解：选项的两个加数不是同类项，不能加减；
，故选项B错误；
，故选项C正确；
故选项D错误．
故选：．
根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法法则、幂的乘方法则，直接计算得结论．
本题考查了同底数幂的乘除法法则、合并同类项法则及幂的乘方法则．熟练掌握整式的相关法则，是解决本题的关键．
 

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了中位数：将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
根据中位数的定义，数据：，，，，，共有个数，最中间的数只能为和，然后根据它们的中位数为，即可求出的值．
【解答】
解：数据，，，，，中共有个数，且该组数据的中位数是，

解得．
故选：．  

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键，属于中档题．
根据等腰三角形的性质得到，，得到，推出四边形是菱形，根据勾股定理得到，于是得到结论．
【解答】
解：，点是的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形为菱形，
，
，，
，
，
故选：．  

6.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
∽，
，
．
，，
．
故选：．
由可得出∽，利用相似三角形的性质可得出，结合即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质，找出是解题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：当，时，有意义，而和无意义，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B正确，符合题意；
不等式的解集为，故选项C错误，不符合题意；
的正负不确定，故当时，无法确定反比例函数的函数值随自变量取值的增大如何变化，故选项D错误，不符合题意；
故选：．
根据二次根式的定义和有意义的条件，可以判断；根据同底数幂的乘法可以判断；根据解不等式的方法可以判断；根据反比例函数的性质可以判断．
本题考查二次根式的性质、整式的乘法、解一元一次不等式、反比例函数的性质，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：如图，过点作于点，此正三棱柱底面的边在右侧面的投影为，

，
，，
，
左视图矩形的宽为，
左视图的面积为．
故选：．
过点作于点，此正三棱柱底面的边在右侧面的投影为，利用等边三角形的性质和勾股定理求出的长，结合左视图矩形的宽可得答案．
本题主要考查由三视图判断几何体，由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：
根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；
从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；
熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；
利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．
 

9.【答案】
 

【解析】解：画树状图得：

共有种等可能的结果，点在函数图象上的有，；
点在函数图象上的概率是：．
故选：．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与点在函数图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

10.【答案】
 

【解析】解：，是的两条切线，，为切点，
，所以正确；
，，
垂直平分，所以正确；
，是的两条切线，，为切点，
，，
，
点、在以为直径的圆上，
四边形有外接圆，所以正确；
只有当时，，此时，
不一定为外接圆的圆心，所以错误．
故选：．
利用切线长定理对进行判断；利用线段的垂直平分线定理的逆定理对进行判断；利用切线的性质和圆周角定理可对进行判断；由于只有当时，，此时，则可对进行判断．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了切线长定理．
 

11.【答案】
 

【解析】解：连接，

则，
根据题意可知，阴影部分的面积长方形的面积．
．
故选：．
从图中可看出阴影部分的面积扇形面积正方形的面积．然后依面积公式计算即可．
本题主要考查了利用割补法把不规则图形转化成规则图形求解的能力．解题关键是要利用圆的半径相等和勾股定理求出半径的长，再把阴影部分的面积转化为长方形的面积求解．
 

12.【答案】
 

【解析】解：过点作直线，交圆于点，此时的值最小，
根据点到直线的距离公式可知：点到直线的距离，
的半径为，
，
故选：．
求出点到直线的距离即可求得的最小值．
本题考查的是一次函数的应用、点到直线的距离公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．
 

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查函数自变量的取值范围和分式有意义的条件，当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为．
根据分式有意义的条件是分母不为，可得到答案．

【解答】
解：根据题意得，
解可得，
故答案为．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
【解答】
解：在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是，
故答案为：．  

15.【答案】
 

【解析】解：如图，过点作直线，则，

，
，
，
．
故答案为：．
过点作直线，则可求出，进而求出，再利用，得到，进而求出．
本题主要考查平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质并进行应用．
 

16.【答案】
 

【解析】解：


．
故答案为：．
先计算孔明数学得分的折算后的分值，然后用综合得分数学得分的折算后的得分，计算出的结果除以即可．
此题考查了加权平均数，关键是根据加权平均数的计算公式列出算式，用到的知识点是加权平均数．
 

17.【答案】
 

【解析】解：点在反比例函数上，且轴，
，
，是反比例函数与正比例函数的交点，且轴，
是的中点，
．
故答案为：．
根据反比例函数的的几何意义，可得，根据反比例函数与正比例函数的中心对称性，可知是的中点，即可求出的面积．
本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的几何意义和中心对称性是解题的关键．
 

18.【答案】
 

【解析】解：分别作关于射线、射线的对称点与点，连接，与、分别交于、两点，
此时周长最小，最小值为的长，
连接，，，
、分别为，的垂直平分线，，
，且，，
，
，
过作，可得，，
，，
，
则周长的最小值是．
故答案为：．
分别作关于射线、射线的对称点与点，连接，与、分别交于、两点，此时周长最小，最小值为的长，连接，，，利用垂直平分线定理得到，由坐标确定出的长，在三角形中求出的长，即为三角形周长的最小值．
此题考查了轴对称最短线路问题，坐标与图形性质，勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解本题的关键．
 

19.【答案】解：原式
．
 

【解析】分别进行绝对值、零指数幂，然后代入的值，继而合并运算即可．
此题考查了实数的运算、零指数幂及特殊角的三角函数值，属于基础题，掌握各部分的运算法则是关键．
 

20.【答案】解：原式


，
当时，
原式．
 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

21.【答案】解：被调查的总人数为人，
等级人数为人，
补全图形如下：

，即，
，即；
等级所占扇形的圆心角度数为，
故答案为：，，；
画树状图如下：

共有种可能的结果，恰好抽到名男生和名女生的有种结果，
恰好抽到名男生和名女生的概率为．
 

【解析】先由等级人数及其所占百分比求出总人数，再根据四个等级人数之和等于总人数求出等级人数，从而补全图形；
根据种补全图形得出、人数，利用百分比概念求解可得、的值，用乘以等级对应的百分比可得其对应圆心角度数；
分别用树状图方法表示出所有等可能结果，从中找到恰好抽到名男生和名女生的结果数，利用概率公式计算可得．
本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．
 

22.【答案】解：当时，的值即是的长度，故AB；
图乙函数图象的最低点的值是的值，故AH；
在中，，，，
故．
当为钝角时，此时可得；
当为钝角时，过点作，

则，
即当时，为钝角．
综上可得或时为钝角三角形．
 

【解析】当取时，的值即是的长度，图乙函数图象的最低点的值是的值．
当点运动到点时，此时，，在中，可得出的度数．
分两种情况进行讨论，为钝角，为钝角，分别确定的范围即可．
此题考查了动点问题的函数图象，有一定难度，解答本题的关键是结合图象及函数图象得出、的长度，第三问需要分类讨论，注意不要漏解．
 

23.【答案】解：设一次性医用外科口罩的单价是元，则口罩的单价是元，依题意有
，
解得，
经检验，是原方程的解，
．
故一次性医用外科口罩的单价是元，口罩的单价是元；
设购进一次性医用外科口罩只，依题意有
，
解得．
故至少购进一次性医用外科口罩只．
 

【解析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系和不等关系，正确列出分式方程和不等式是解题的关键．
可设一次性医用外科口罩的单价是元，则口罩的单价是元，根据等量关系：两种口罩的只数相同，列出方程即可求解；
可设购进一次性医用外科口罩只，根据购进的总费用不超过万元，列出不等式即可求解．
 

24.【答案】证明：如图，连接，，

，
，
是直径，
，
，
为的中点，
，
，
与相切于点，
，
，
，

，
又为半径，
是的切线；
，，
∽，
，
，
，
，
为的中点，，
，
，两点之间的距离为．
 

【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，利用相似三角形的性质求出的长是本题的关键．
由等腰三角形的性质可得，由圆周角定理可得，由直角三角形的性质可得，可得，由切线的性质可得，可证，可得结论；
通过证明∽，可得，可求的长，由三角形中位线定理可求解．
 

25.【答案】解：设抛物线的解析式为，
在等腰中，垂直平分，且，
，
，，，
，
解得，，
抛物线的解析式为；
设直线的解析式为，，，
由，可得，
，，
，
，
，
当时取最小值为．
面积的最小值为．
假设抛物线上存在点，使得点与点关于直线对称，
，即，
解得，，，，，
，不合题意，舍去，
当时，点，
线段的中点为，
，
，
直线的表达式为：，
当时，点，
线段的中点为，
，
，
直线的解析式为．
综上，直线的解析式为或．
 

【解析】先根据等腰直角三角形的性质求得、、，进而得、、三点的坐标，再用待定系数法求得抛物线的解析式；
设直线的解析式为，，，联立方程组求得，再由三角形的面积公式求得结果；
假设抛物线上存在点，使得点与点关于直线对称，由列出方程求得的值，再根据题意舍去不合题意的值，再求得的中点坐标，便可求得直线的解析式．
本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，待定系数法，轴对称的性质，第题关键是求得、两点的横坐标之差，第小题关键是根据轴对称性质列出的方程，以及求得的中点坐标．
 

26.【答案】解：在平移过程中，重叠部分的形状分别为：三角形，梯形，菱形，五边形．如下图所示，

分别过，作于点，于点，如图，

，
两纸条等宽，
，
，
，
两纸条都是矩形，
，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
当时，重叠部分为三角形，如图所求，

，
，
当时，取最大值为；
当时，重叠部分为梯形，如图所求，梯形的下底为，上底为，

，
当时，取最大值为；
当时，重叠部分为五边形，如图所求，

，
此时，；
当时，重叠部分为菱形，如图所求，

，
综上，与函数关系为：，或，或，或
故的最大值为．
 

【解析】通过操作画出图形便可得出结果；
由两线条的边沿是平行线，得四边形是平行四边形，分别过，作于点，于点，由两纸条的宽度相等，通过解直角三角形得，，进而根据菱形的定义得四边形是菱形；
分四种情况：；；；分别求得函数解析式，并根据函数性质求得各段函数的最大值，最后再得最终的最大值，
本题主要考查了菱形的性质与判定，平移的性质，操作探究题，求出函数的解析式，一次函数和二次函数的性质，第题的解题关键是分情况讨论．