湖南省衡阳市蒸湘区2021-2022学年中考猜题数学试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生须知：

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．苹果的单价为a元/千克，香蕉的单价为b元/千克，买2千克苹果和3千克香蕉共需（　　）

A．（a+b）元 B．（3a+2b）元 C．（2a+3b）元 D．5（a+b）元

2．空气的密度为0.00129g/cm3，0.00129这个数用科学记数法可表示为（ ）

A．0.129×10﹣2 B．1.29×10﹣2 C．1.29×10﹣3 D．12.9×10﹣1

3．春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度重视的一项工作，为此，某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒.在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过的集中药物喷洒，再封闭宿舍，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量与药物在空气中的持续时间之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示.下面四个选项中错误的是（   ）

A．经过集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到

B．室内空气中的含药量不低于的持续时间达到了

C．当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于35分钟，才能有效杀灭某种传染病毒.此次消毒完全有效

D．当室内空气中的含药量低于时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到开始，需经过后，学生才能进入室内

4．下列计算，结果等于a4的是（　　）

A．a+3a    B．a5﹣a    C．（a2）2    D．a8÷a2

5．某种圆形合金板材的成本y（元）与它的面积（cm2）成正比，设半径为xcm，当x＝3时，y＝18，那么当半径为6cm时，成本为（　　）

A．18元 B．36元 C．54元 D．72元

6．比较4，，的大小，正确的是（　　）

A．4＜＜ B．4＜＜

C．＜4＜ D．＜＜4

7．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论: ① abc＜0；② 2a＋b＝0; ③ b2－4ac＜0；④ 9a+3b+c＞0;  ⑤ c+8a＜0.正确的结论有（　　）.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

8．|﹣3|的值是（    ）

A．3 B． C．﹣3 D．﹣

9．如图，在中，,将绕点逆时针旋转,使点落在线段上的点处,点落在点处，则两点间的距离为（  ）

A． B． C． D．

10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，分别以AB、BC、DC为边向外作正方形，它们的面积分别为S1、S2、S1．若S2=48，S1=9，则S1的值为（　　）

A．18 B．12 C．9 D．1

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．因式分解：（a+1）（a﹣1）﹣2a+2＝_____．

12．分解因式：xy2﹣2xy+x＝_____．

13．如图，点A1的坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交直线l：y=x于点B1，以原点O为圆心，OB1的长为半径画弧交x轴正半轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，以OB2的长为半径画弧交x轴正半轴于点A3；…．按此作法进行下去，则的长是_____．

14．因式分解：2m2﹣8n2=     ．

15．如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是__________.

16．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠CAE=32°，则∠ACF的度数为__________°．

17．如图，在平行四边形纸片上做随机扎针实验，则针头扎在阴影区域的概率为__________.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30m，在A点测得D点的仰角∠EAD为45°，在B点测得D点的仰角∠CBD为60°.求这两座建筑物的高度（结果保留根号）.

19．（5分）为迎接“全民阅读日“系列活动，某校围绕学生日人均阅读时间这一问题，对八年级学生进行随机抽样调查．如图是根据调查结果绘制成的统计图（不完整），请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）本次共抽查了八年级学生多少人；

（2）请直接将条形统计图补充完整；

（3）在扇形统计图中，1〜1.5小时对应的圆心角是多少度；

（4）根据本次抽样调查，估计全市50000名八年级学生日人均阅读时间状况，其中在0.5〜1.5小时的有多少人？

20．（8分）某新建小区要修一条1050米长的路，甲、乙两个工程队想承建这项工程．经

了解得到以下信息（如表）：

（1）甲队单独完成这项工程所需天数n=　　，乙队每天修路的长度m=　　（米）；

（2）甲队先修了x米之后，甲、乙两队一起修路，又用了y天完成这项工程（其中x，y为正整数）．

①当x=90时，求出乙队修路的天数；

②求y与x之间的函数关系式（不用写出x的取值范围）；

③若总费用不超过22800元，求甲队至少先修了多少米．

21．（10分）如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O分别交BC、AC于F、G，且G是的中点，过点G作DE⊥BC，垂足为E，交BA的延长线于点D

（1）求证：DE是的⊙O切线；

（2）若AB=6，BG=4，求BE的长；

（3）若AB=6，CE=1.2，请直接写出AD的长．

22．（10分）如图，在中，，是边上的高线，平分交于点，经过，两点的交于点，交于点，为的直径．

（1）求证：是的切线；

（2）当，时，求的半径．

23．（12分）立定跳远是嘉兴市体育中考的抽考项目之一，某校九年级（1），（2）班准备集体购买某品牌的立定跳远训练鞋．现了解到某网店正好有这种品牌训练鞋的促销活动，其购买的单价y（元/双）与一次性购买的数量x（双）之间满足的函数关系如图所示．当10≤x＜60时，求y关于x的函数表达式；九（1），（2）班共购买此品牌鞋子100双，由于某种原因需分两次购买，且一次购买数量多于25双且少于60双；

①若两次购买鞋子共花费9200元，求第一次的购买数量；

②如何规划两次购买的方案，使所花费用最少，最少多少元？

24．（14分）如图，在△ABC中，

（1）求作：∠BAD=∠C，AD交BC于D．（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）．

（2）在（1）条件下，求证：AB2=BD•BC．

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、C

【解析】
用单价乘数量得出买2千克苹果和3千克香蕉的总价，再进一步相加即可．

【详解】

买单价为a元的苹果2千克用去2a元，买单价为b元的香蕉3千克用去3b元，

共用去：(2a+3b)元.

故选C.

【点睛】

本题主要考查列代数式，总价=单价乘数量.

2、C

【解析】

试题分析：0.00129这个数用科学记数法可表示为1.29×10﹣1．故选C．

考点：科学记数法—表示较小的数．

3、C

【解析】
利用图中信息一一判断即可.

【详解】

解: A、正确．不符合题意．

B、由题意x=4时，y=8，∴室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间达到了11min，正确，不符合题意；

C、y=5时，x=2.5或24，24-2.5=21.5＜35，故本选项错误，符合题意；

D、正确．不符合题意，

故选C.

【点睛】

本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型.

4、C

【解析】
根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘进行计算即可．

【详解】

A．a+3a=4a，错误；

B．a5和a不是同类项，不能合并，故此选项错误；

C．（a2）2=a4，正确；

D．a8÷a2=a6，错误．

故选C．

【点睛】

本题主要考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方，关键是正确掌握计算法则．

5、D

【解析】
设y与x之间的函数关系式为y＝kπx2，由待定系数法就可以求出解析式，再求出x＝6时y的值即可得．

【详解】

解：根据题意设y＝kπx2，

∵当x＝3时，y＝18，

∴18＝kπ•9，

则k＝，

∴y＝kπx2＝•π•x2＝2x2，

当x＝6时，y＝2×36＝72，

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，解答时求出函数的解析式是关键．

6、C

【解析】
根据4=＜且4=＞进行比较

【详解】

解：易得：4=＜且4=＞，

所以＜4＜

故选C.

【点睛】

本题主要考查开平方开立方运算。

7、C

【解析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

【详解】

解：抛物线开口向下，得：a＜0；抛物线的对称轴为x=-=1，则b=-2a，2a+b=0，b=-2a，故b＞0；抛物线交y轴于正半轴，得：c＞0.

∴abc＜0, ①正确；

2a+b=0，②正确；

由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b2-4ac＞0，故③错误；

由对称性可知，抛物线与x轴的正半轴的交点横坐标是x=3，所以当x=3时，y= 9a+3b+c=0,故④错误；

观察图象得当x=-2时，y＜0，

即4a-2b+c＜0

∵b=-2a，

∴4a+4a+c＜0

即8a+c＜0，故⑤正确.

正确的结论有①②⑤，

故选:C

【点睛】

主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的表达式求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．

8、A

【解析】

分析：根据绝对值的定义回答即可.

详解：负数的绝对值等于它的相反数，

故选A.

点睛：考查绝对值，非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数.

9、A

【解析】
先利用勾股定理计算出AB，再在Rt△BDE中，求出BD即可；

【详解】

解：∵∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∵△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，
∴AE=AC=4，DE=BC=3，
∴BE=AB-AE=5-4=1，
在Rt△DBE中，BD=，

故选A.

【点睛】

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．

10、D

【解析】
过A作AH∥CD交BC于H，根据题意得到∠BAE=90°，根据勾股定理计算即可．

【详解】

∵S2=48，∴BC=4，过A作AH∥CD交BC于H，则∠AHB=∠DCB．

∵AD∥BC，∴四边形AHCD是平行四边形，∴CH=BH=AD=2，AH=CD=1．

∵∠ABC+∠DCB=90°，∴∠AHB+∠ABC=90°，∴∠BAH=90°，∴AB2=BH2﹣AH2=1，∴S1=1．

故选D．

【点睛】

本题考查了勾股定理，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、（a﹣1）1．

【解析】
提取公因式（a−1），进而分解因式得出答案．

【详解】

解：（a+1）（a﹣1）﹣1a+1

＝（a+1）（a﹣1）﹣1（a﹣1）

＝（a﹣1）（a+1﹣1）

＝（a﹣1）1．

故答案为：（a﹣1）1．

【点睛】

此题主要考查了提取公因式法分解因式，找出公因式是解题关键．

12、x（y-1）2

【解析】

分析：先提公因式x，再用完全平方公式把继续分解.

详解：

=x()

=x()2.

故答案为x()2.

点睛：本题考查了因式分解，有公因式先提公因式，然后再用公式法继续分解，因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.

13、

【解析】

【分析】先根据一次函数方程式求出B1点的坐标，再根据B1点的坐标求出A2点的坐标，得出B2的坐标，以此类推总结规律便可求出点A2019的坐标，再根据弧长公式计算即可求解，．

【详解】直线y=x，点A1坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1可知B1点的坐标为（2，2），

以原O为圆心，OB1长为半径画弧x轴于点A2，OA2=OB1，

OA2==4，点A2的坐标为（4，0），

这种方法可求得B2的坐标为（4，4），故点A3的坐标为（8，0），B3（8，8）

以此类推便可求出点A2019的坐标为（22019，0），

则的长是，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，弧长的计算，解题的关键找出点的坐标的变化规律、运用数形结合思想进行解题.

14、2（m+2n）（m﹣2n）．

【解析】

试题分析：根据因式分解法的步骤，有公因式的首先提取公因式，可知首先提取系数的最大公约数2，进一步发现提公因式后，可以用平方差公式继续分解．

解：2m2﹣8n2，

=2（m2﹣4n2），

=2（m+2n）（m﹣2n）．

考点：提公因式法与公式法的综合运用．

15、k＞－且k≠1

【解析】

由题意知，k≠1，方程有两个不相等的实数根，

所以△＞1，△=b2-4ac=（2k+1）2-4k2=4k+1＞1．

又∵方程是一元二次方程，∴k≠1，

∴k＞-1/4 且k≠1．

16、58

【解析】
根据HL证明Rt△CBF≌Rt△ABE，推出∠FCB=∠EAB，求出∠CAB=∠ACB=45°，

求出∠BCF=∠BAE=13°，即可求出答案．

【详解】

解：∵∠ABC=90°，

∴∠ABE=∠CBF=90°，

在Rt△CBF和Rt△ABE中

∴Rt△CBF≌Rt△ABE（HL），

∴∠FCB=∠EAB，

∵AB=BC，∠ABC=90°，

∴∠CAB=∠ACB=45°．

∵∠BAE=∠CAB﹣∠CAE=45°﹣32°=13°，

∴∠BCF=∠BAE=13°，

∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+13°=58°

故答案为58

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质和判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等．

17、

【解析】
先根据平行四边形的性质求出对角线所分的四个三角形面积相等，再求出概率即可．

【详解】

解：∵四边形是平行四边形，

∴对角线把平行四边形分成面积相等的四部分，

观察发现：图中阴影部分面积=S四边形，

∴针头扎在阴影区域内的概率为；

故答案为：．

【点睛】

此题主要考查了几何概率，以及平行四边形的性质，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、甲建筑物的高AB为（30－30）m，乙建筑物的高DC为30m

【解析】
如图，过A作AF⊥CD于点F，

在Rt△BCD中，∠DBC=60°，BC=30m，

∵=tan∠DBC，

∴CD=BC•tan60°=30m，

∴乙建筑物的高度为30m；

在Rt△AFD中，∠DAF=45°，

∴DF=AF=BC=30m，

∴AB=CF=CD﹣DF=（30﹣30）m，

∴甲建筑物的高度为（30﹣30）m．

19、（1）本次共抽查了八年级学生是150人；（2）条形统计图补充见解析；（3）108；（4）估计该市12000名七年级学生中日人均阅读时间在0.5～1.5小时的40000人．

【解析】
（1）根据第一组的人数是30，占20%，即可求得总数，即样本容量；

（2）利用总数减去另外两段的人数，即可求得0.5～1小时的人数，从而作出直方图；

（3）利用360°乘以日人均阅读时间在1～1.5小时的所占的比例；

（4）利用总人数12000乘以对应的比例即可．

【详解】

（1）本次共抽查了八年级学生是：30÷20%＝150人；

故答案为150；

（2）日人均阅读时间在0.5～1小时的人数是：150﹣30﹣45＝1．

（3）人均阅读时间在1～1.5小时对应的圆心角度数是：

故答案为108；

（4） （人），

答：估计该市12000名七年级学生中日人均阅读时间在0.5～1.5小时的40000人．

【点睛】

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

20、（1）35，50；（2）①12；②y=﹣x+；③150米．

【解析】
（1）用总长度÷每天修路的长度可得n的值，继而可得乙队单独完成时间，再用总长度÷乙单独完成所需时间可得乙队每天修路的长度m；

（2）①根据：甲队先修建的长度+（甲队每天修建长度+乙队每天修建长度）×两队合作时间=总长度，列式计算可得；

②由①中的相等关系可得y与x之间的函数关系式；

③根据：甲队先修x米的费用+甲、乙两队每天费用×合作时间≤22800，列不等式求解可得．

【详解】

解：（1）甲队单独完成这项工程所需天数n=1050÷30=35（天），

则乙单独完成所需天数为21天，

∴乙队每天修路的长度m=1050÷21=50（米），

故答案为35，50；

（2）①乙队修路的天数为=12（天）；

②由题意，得：x+（30+50）y=1050，

∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣x+；

③由题意，得：600×+（600+1160）（﹣x+）≤22800，

解得：x≥150，

答：若总费用不超过22800元，甲队至少先修了150米．

【点睛】

本题考查了一次函数的应用，解题的关键是熟练的掌握一次函数的应用.

21、（1）证明见解析；（1）；（3）1.

【解析】
（1）要证明DE是的⊙O切线，证明OG⊥DE即可；

（1）先证明△GBA∽△EBG，即可得出=,根据已知条件即可求出BE；

（3）先证明△AGB≌△CGB，得出BC=AB=6，BE=4.8再根据OG∥BE得出=，即可计算出AD.

【详解】

证明：（1）如图，连接OG，GB，

∵G是弧AF的中点，

∴∠GBF=∠GBA，

∵OB=OG，

∴∠OBG=∠OGB，

∴∠GBF=∠OGB，

∴OG∥BC，

∴∠OGD=∠GEB，

∵DE⊥CB，

∴∠GEB=90°，

∴∠OGD=90°，

即OG⊥DE且G为半径外端，

∴DE为⊙O切线；

（1）∵AB为⊙O直径，

∴∠AGB=90°，

∴∠AGB=∠GEB，且∠GBA=∠GBE，

∴△GBA∽△EBG，

∴，

∴；

（3）AD=1，根据SAS可知△AGB≌△CGB，

则BC=AB=6，

∴BE=4.8，

∵OG∥BE，

∴，即，

解得：AD=1．

【点睛】

本题考查了相似三角形与全等三角形的判定与性质与切线的性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形与全等三角形的判定与性质与切线的性质.

22、（1）见解析；（2）的半径是.

【解析】
（1）连结，易证，由于是边上的高线，从而可知，所以是的切线．

（2）由于，从而可知，由，可知：，易证，所以，再证明，所以，从而可求出.

【详解】

解：（1）连结．

∵平分，

∴，又，

∴，

∴，

∵是边上的高线，

∴，

∴，

∴是的切线.

（2）∵，

∴，，

∴是中点，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，

又∵，

∴，

在中，

，

∴，

∴，

，

而，

∴，

∴，

∴的半径是.

【点睛】

本题考查圆的综合问题，涉及锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，综合程度较高，需要学生综合运用知识的能力．

23、（1）y＝150﹣x； （2）①第一批购买数量为30双或40双．②第一次买26双，第二次买74双最省钱，最少9144元．

【解析】
（1）若购买x双（10＜x＜1），每件的单价＝140﹣（购买数量﹣10），依此可得y关于x的函数关系式；

（2）①设第一批购买x双，则第二批购买（100﹣x）双，根据购买两批鞋子一共花了9200元列出方程求解即可．分两种情况考虑：当25＜x≤40时，则1≤100﹣x＜75；当40＜x＜1时，则40＜100﹣x＜1．

②把两次的花费与第一次购买的双数用函数表示出来．

【详解】

解：（1）购买x双（10＜x＜1）时，y＝140﹣（x﹣10）＝150﹣x．

故y关于x的函数关系式是y＝150﹣x；

（2）①设第一批购买x双，则第二批购买（100﹣x）双．

当25＜x≤40时，则1≤100﹣x＜75，则x（150﹣x）+80（100﹣x）＝9200，

解得x1＝30，x2＝40；

当40＜x＜1时，则40＜100﹣x＜1，

则x（150﹣x）+（100﹣x）[150﹣（100﹣x）]＝9200，

解得x＝30或x＝70，但40＜x＜1，所以无解；

答：第一批购买数量为30双或40双．

②设第一次购买x双，则第二次购买（100﹣x）双，设两次花费w元．

当25＜x≤40时w＝x（150﹣x）+80（100﹣x）＝﹣（x﹣35）2+9225，

∴x＝26时，w有最小值，最小值为9144元；

当40＜x＜1时，

w＝x（150﹣x）+（100﹣x）[150﹣（100﹣x）]＝﹣2（x﹣50）2+10000，

∴x＝41或59时，w有最小值，最小值为9838元，

综上所述：第一次买26双，第二次买74双最省钱，最少9144元．

【点睛】

考查了一元二次方程的应用，根据实际问题列一次函数关系式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．

24、（1）作图见解析；（2）证明见解析；

【解析】
（1）①以C为圆心，任意长为半径画弧，交CB、CA于E、F；②以A为圆心，CE长为半径画弧，交AB于G；③以G为圆心，EF长为半径画弧，两弧交于H；④连接AH并延长交BC于D，则∠BAD=∠C；（2）证明△ABD∽△CBA，然后根据相似三角形的性质得到结论．

【详解】

（1）如图，∠BAD为所作；

（2）∵∠BAD=∠C，∠B=∠B

∴△ABD∽△CBA，

∴AB：BC=BD：AB，

∴AB2=BD•BC．

【点睛】

本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线； 过一点作已知直线的垂线）．也考查了相似三角形的判定与性质．