2022年浙江省杭州市西湖区5月中考一模数学（解析版）

这是一份2022年浙江省杭州市西湖区5月中考一模数学（解析版），共21页。

2021学年第二学期九年级学科能力检查
数学
考生须知：
1．本试卷满分120分，考试时间100分钟．
2．答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和座位号．
3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效，答题方式详见答题纸上的说明．
4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑．
5．考试结束后，试题卷和答题纸一并上交．
试题卷
一．选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在下列各数中，比﹣2021小的数是（ ）
A. 2022 B. ﹣2022 C. 2020 D. ﹣2020
【答案】B
【解析】
【分析】根据有理数大小的比较方法：正数大于负数，两个负数比较绝对值大的反而小判断即可．
【详解】解： ∵，，
∴，
∴2022＞2020＞﹣2020＞﹣2021＞﹣2022，
故选：B
【点睛】此题考查了有理数的大小比较．正数大于零大于负数；两个负数的大小比较，绝对值大的反而小．
2. 把一副三角尺放在同一水平桌面上，如果它们的两个直角顶点重合，两条斜边平行（如图所示），那么的度数是（ ）．

A. 75° B. 90° C. 100° D. 105°
【答案】D
【解析】
【分析】通过在∠1的顶点作斜边的平行线可得∠1=105°．
【详解】如图：过∠1的顶点作斜边的平行线，
利用平行线的性质可得，∠1=60°+45°=105°．

故选D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，利用了转化的数学思想．
3. 小明和小丽练习射箭，下表是他们5次练习的成绩（单位：环），下列关于两人成绩的说法正确的是（ ）
小明
2
6
7
7
8
小丽
3
7
8
8
9

A. 平均数相同 B. 中位数相同 C. 众数相同 D. 方差相同
【答案】D
【解析】
【分析】据众数、中位数、方差和平均数的计算公式分别进行解答即可得出答案．
【详解】小明的平均数是（2+6+7+7+8）÷5=6，中位数是7，众数是7，
方差是 [(2-6) 2+(6-6)2+(7-6)2+(7-6)2+ (8-6)2]=4.4；
小丽的平均数是（3+7+8+8+9）÷5=7，中位数是8，众数是8，
方差是 [(3-7)2+(7-7)2+(8-7)2 +(8-7)2+(9-7)2]=4.4；
小明的平均数小于小丽的平均数，故A选项错误；
小明的中位数小于小丽的中位数，故B选项错误；
小明的众数小于小丽的众数，故C选项错误；
小明的方差等于小丽的方差，故D选项正确．
故选D．
【点睛】此题主要考查了众数、中位数、方差和平均数，熟练掌握定义和公式是解题的关键；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
4. 若点，在同一个函数图象上，这个函数可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把点A坐标和点B坐标代入四个选项中的解析式中求出m并验证即可．
【详解】解：A，把代入中得，把代入中得，因为13=13，故A符合题意；
B，把代入中得，把代入中得，因为，故B不符合题意；
C，把代入中得，把代入中得，因为，故C不符合题意；
D，把代入中得，把代入中得，因为，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查根据自变量求二次函数值，熟练掌握该知识点是解题关键．
5. 边长分别为a和b（其中）两个正方形按如图摆放，则图中阴影部分的面积为（ ）

A. B. 2ab C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由图形可得，阴影部分的面积为大正方形面积加梯形面积再减去直角三角形的面积，即可求解．
【详解】解：由图形可得，阴影部分的面积为大正方形面积加梯形面积再减去直角三角形的面积，
即：，
故选：A
【点睛】此题考查了整式的加减乘除运算，涉及了平方差公式，解题的关键是将阴影部分的面积转化为规则图形的面积．
6. 如图，是三个反比例函数，，在y轴右侧的图象，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据反比例函数性质进行解答即可．
【详解】解：∵反比例函数，的图象在第一象限，
∴，，
∵反比例函数的图象在第四象限，
∴，
∵的图象距原点较远，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象与性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
7. 如图，在中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连结BP，CP，若，则（ ）

A. 50° B. 100° C. 130° D. 150°
【答案】B
【解析】
【分析】连接AP并延长交BC于D，根据线段垂直平分线的性质得到PA=PB=PC，根据等腰三角形的性质得到∠PAB=∠PBA，∠PAC=∠PCA，根据三角形的外角可知∠BPD=∠PAB+∠PBA，∠CPD=∠PAC+∠PCA，相加即可求解．
【详解】解：连接AP，并延长交BC于D，

∵边AB，AC的垂直平分线交于点P，
∴PA=PB=PC，
∴∠PAB=∠PBA，∠PAC=∠PCA
∵∠BPD=∠PAB+∠PBA，∠CPD=∠PAC+∠PCA
∴∠BPC=∠BPD+∠CPD =∠PAB+∠PBA+∠PAC+∠PCA=2(∠PAB+∠PAC)=2∠BAC=100°
故答案选：B．
【点睛】本题考查的知识点是线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握线段垂直平分线的
性质．
8. 如图，已知直角坐标系中的四个点：，，，．直线AB和直线CD的函数表达式分别为和，则（ ）

A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】将A、B、C、D坐标分别代入解析式，求得直线AB、CD的解析式，比较大小即可；
【详解】如图，连接AB、CD并延长

将A、B点坐标代入解析式，求得AB的解析式为y=+2
将C、D点坐标代入解析式，求得CD的解析式为y=x+
∴k1=k2，b1＜b2
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的图象与性质．给出点坐标求出解析式是解决本题的关键．
9. 如图，已知AB是的直径，弦CD与AB交于点E，设，，，则（ ）


A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接AC，根据同弧所对的圆周角相等，将转化为，再根据直径所对的圆周角是直角即可得到．
【详解】解：连接AC，令，如图所示：


在△BCE中，（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∵（同弧或等弧所对的圆周角相等），
，
又∵AB是直径，∴（直径所对的圆周角是直角），
，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，圆周角定理，正确作出辅助线，将转化为是解题的关键．
10. 已知，均为关于x的函数，当时，函数值分别为，，若对于实数a，当时，都有，则称，为亲函数，则以下函数和是亲函数的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】结合题意，根据二次函数、反比例函数图像的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】∵，
∴
当时，，且
∴，即选项A不符合题意；
∵，
∴，
当时，，即选项B不符合题意；
∵，
∴，
当时，，即选项C不符合题意；
∵，
∴，
当时，，即选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式、二次函数、反比例函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、反比例函数图像的性质，从而完成求解．
二．填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分．
11. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
分析】直接利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握“”是解本题的关键．
12. 某园林绿化管理局为了考察树苗的成活率，于是进行了现场统计，表中记录了树苗的成活情况，则由此估计这种树苗成活的概率约为______（结果精确到0.1）．
植树总数n
400
3500
7000
9000
14000
成活数m
369
3203
6335
8073
12628
成活的频率
0.923
0.915
0.905
0.897
0.902

【答案】0.9
【解析】
【分析】用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【详解】解：根据表格数据可知：树苗移植成活的频率近似值为0.9，
∴估计这种树苗成活的概率约为，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了用频率估算概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性原理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；掌握有关基础知识是解题的关键．
13. 小明早上骑自行车上学，中途因道路施工推车步行了一段路，到学校共用时16分钟，如果他骑自行车的平均速度是每分钟240米，推车步行的平均速度是每分钟80米，他家离学校的路程是3000米，设他推车步行的时间为x分钟，则可列方程______．
【答案】
【解析】
【分析】根据关键语句“到学校共用时16分钟，骑自行车的平均速度是240米/分钟，步行的平均速度是80米/分钟他家离学校的距离是3000米”可得方程．
【详解】解：设他推车步行了x分钟，依题意得：
，
故答案为：.
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是弄清题意，根据“他家离学校的路程是3000米”列出方程．
14. 直角坐标系中的四个点：，，，，则______（填“＞”、“＝”、“＜”中的一个）．


【答案】＝
【解析】
【分析】分别根据两点间的距离公式求出各条线段的长度，再判断△AOB和△COD是否相似即可解答；
【详解】解：OA=，OB=，
AB= ，
OC=，OD= ，
CD= ；
∴
∴
∴△AOB∽△COD，
∴∠AOB＝∠COD，
故答案为：=.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉并灵活应用相似三角形的判定以及性质解决问题．
15. 如图，点A，B分别表示数，x，则x的取值范围为______．


【答案】
【解析】
【分析】根据数轴上右边的数总比左边的数大，再列不等式，解不等式即可得到答案．
【详解】解： 在数轴上，点A、B分别表示数，x，

解得：
观察数轴可知，
解得：x＜2
∴x的取值范围为
故答案为：．
【点睛】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，一元一次不等式的解法，掌握“数轴上右边的数总比左边的数大”是解本题的关键．
16. 如图，在矩形中，，，点，在上，点是射线与射线的交点，若，，则的长为______．

【答案】##
【解析】
【分析】在上截取，在上截取，连结、，由，
可得，，，，，通过证明，可得，可求出的长，最后由勾股定理可求解．
【详解】如图，在上截取，在上截取，连结、，

∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴
同理，．
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
，
，
∴，
，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴
∴．
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，添加恰当的辅助线构造相似三角形是解决本题的关键．
三．解答题：本大题有7个小题，共66分，解答应写文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知，，请比较M和N的大小．
以下是小明的解答：
∵，，
∴．
小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答．
【答案】有错；时，；时，；时，；
【解析】
【分析】先求出M与N的差，根据不等式的性质对M与N的差进行分类讨论即可求解．
【详解】解：有错，正确解答如下．
∵，，
∴．
∴当x>0时，2x>0，即，此时M>N；当x=0时，2x=0，即，此时M=N；当x<0时，2x<0，即，此时M ∴时，；时，；时，．
【点睛】本题考查作差法比较大小，不等式的性质，正确应用分类讨论思想是解题关键．
18. 杭州市体育中考跳跃类项目有立定跳远和1分钟跳绳两项，每位学生只能选择一项参加考试，满分为10分，某校九年级（1）班体育委员统计了该班40人跳跃类项目测试成绩，并列出下面的频数分布表和频数分布直方图（每组均含前一个边界值，不含后一个边界值）．
1分钟跳绳次数的频数分布表
组别（个）
频数
120-140
1
140-160
m
160-180
5
180-200
13

（1）求m的值．
（2）根据项目评分表，跳绳180个及以上计9.5分（男、女生标准一样）．该校九年级共有400名学生，请你估计该年级跳跃类项目获得满分（9.5分按照10分计）的学生人数．
【答案】（1）7 （2）130人
【解析】
【分析】（1）由总人数40分别减去跳绳和立定跳远的已知人数即可；
（2）先算出跳绳180个及以上的人数占总人数的百分比，再乘以总人数即可．
【小问1详解】
（人）
所以，m的值为7．
【小问2详解】
（人）
所以，该年级跳跃类项目获得满分（9.5分按照10分计）的学生人数由130人．
【点睛】本题考查了频数分布表和频数分布直方图、由样本估计总体，熟练掌握知识点并能够从图表中获取信息是解题的关键．
19. 如图，已知中，，点D是AC上一点，．

（1）求证：．
（2）若点D为AC中点，且，求BC的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由等边对等角可知，，则，，进而可证；
（2）由点D为AC中点，，可得，由得即，计算求解即可．
【小问1详解】
证明：∵
∴
∵
∴
∴，
∴．
【小问2详解】
解：∵点D为AC中点，
∴
∵
∴即
解得（负值舍去）
∴的长为．
【点睛】本题考查了等边对等角，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于证明三角形相似．
20. 已知函数，（m为常数，）．
（1）若点在的图象上，
①求m的值．
②求函数与的交点坐标．
（2）当，且时，求自变量x的取值范围．
【答案】（1）①；②；
（2）
【解析】
【分析】（1）①将点代入求解即可；②令，即，求解即可；
（2）根据，建立不等式组，求解即可．
【小问1详解】
①将点代入得，
解得
所以，m的值为3；
②
，
令，即
解得

函数与的交点坐标为；
【小问2详解】



解得
所以，自变量x的取值范围为．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象的交点坐标及函数图象上的点的特征，熟练掌握知识点是解题的关键．
21. 如图，已知中，，．

（1）请判断的形状，并说明理由．
（2）点D为AB边上一点，且，
①求的度数．
②当时，求CD的长．
【答案】（1）等腰直角三角形；理由见解析
（2）①15°；②
【解析】
【分析】（1）根据AC=BC可以判断△ABC为等腰三角形，根据tanA=1，可以判断，根据三角形内角和，可得出，即可判断出△ABC为等腰直角三角形；
（2）①根据∠DCB=5∠ACD，，即可求出∠ACD的度数；
②过点C作CE⊥AB于点E，求出，，解直角三角形，即可得出CD的长．
【小问1详解】
解：为等腰直角三角形；理由如下：
∵AC=BC，
∴，
∵tanA=1，
∴，
，
为等腰直角三角形．
【小问2详解】
①∵，
，
，
；
②过点C作CE⊥AB于点E，如图所示：

，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，作出辅助线，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键．
22. 已知二次函数（a为常数，）．
（1）当时，求二次函数的对称轴．
（2）当时，求该二次函数的图象与x轴的交点个数．
（3）设，是该函数图象上的两点，其中，当时，都有，求a的取值范围．
【答案】（1）直线
（2）无交点 （3）且
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式求解即可．
（2）令y=0得到一元二次方程，再根据一元二次方程的判别式判断即可．
（3）用x1表示y1，用x2表示y2，根据题意列出不等式，再根据不等式的性质求解即可．
【小问1详解】
解：∵a=2，
∴二次函数的解析式为．
∴二次函数的对称轴为直线．
【小问2详解】
解：二次函数的解析式为．
令y=0得．
∴．
∵，
∴．
∴，即．
∴该二次函数的图象与x轴无交点．
【小问3详解】
解：∵，是该函数图象上的两点，其中，
∴，，．
∵当时，都有，
∴，，即．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴且．
【点睛】本题考查二次函数的对称轴公式，二次函数与x轴交点问题，不等式的性质，熟练掌握这些知识点是解题关键．
23. 如图，已知扇形AOB的半径，，点C，D分别在半径OA，OB上（点C不与点A重合），连结CD．

（1）当，时，求OC的长．
（2）点P是弧AB上一点，．
①当点D与点B重合，点P为弧AB的中点时，求证：．
②当，时，求的值．
【答案】（1）3； （2）①证明见解析；②；
【解析】
【分析】（1）Rt△OCD中，由，求得sin∠OCD=；设OD=x，则BD=CD=（8-x），由三角函数建立方程求解即可；
（2）①连接OP，AP，由等弧对等弦可得PA=PB，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠OPB，∠APC，∠OPA的度数即可证明；②连接OP，过C作CE⊥PD于E，则四边形CODE是矩形，设PC=PD=x，Rt△PEC中，Rt△POD中，根据CE=OD建立方程求解，再计算三角形面积即可解答；
【小问1详解】
解： Rt△ODC中，，设OC=4a，CD=5a，则OD=，sin∠OCD==，
设OD=x，则BD=CD=（8-x），则
，解得：x=3，
∴OC的长为3；
【小问2详解】
解：①如图，连接OP，AP，

∵P是弧AB的中点，∴∠POB=∠AOB=45°，PB=PA，
△OPB中，OP=OB，则∠OPB=∠OBP=（180°-∠POB）=67.5°，
△OPA中，OP=OA，则∠OAP=∠OPA=（180°-∠POA）=67.5°，
∴∠APB=∠OPA+∠OPB=135°，
∵PB=PB=BA，∴∠PAC=∠PCA=67.5°，
△PAC中，∠APC=180°-∠PAC-∠PCA=45°，
∴∠CPB=∠APB-∠APC=90°，
∴PC⊥PD；
②如图，连接OP，过C作CE⊥PD于E，

∵∠COD=∠ODP=∠DEC=90°，∴四边形CODE是矩形，
∴DE=OC=4，CE=OD，
设PC=PD=x，则PE=（x-4），
Rt△PEC中，，Rt△POD中，，
∴=，，解得：，
∵x＞0，∴，
∵△PCD面积=，△OCD面积=，CE=OD，
∴==；
【点睛】本题考查了解直角三角形，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识；此题综合性强，正确作出辅助线是解题关键．