2022北京广渠门中学初三（上）期中数学（教师版）

这是一份2022北京广渠门中学初三（上）期中数学（教师版），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022北京广渠门中学初三（上）期中
数 学
一、选择题
1. 将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度得到的抛物线是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 若关于的方程的一个根为1，则的值为（ ）．
A. 3 B. －1 C. －3 D. 1
4. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
5. 用配方法解方程x2＋4x＝1，变形后结果正确的是（ ）
A. (x＋2)2＝5 B. (x＋2)2＝2 C. (x－2)2＝5 D. (x－2)2＝2
6. 如图，点，，在上，是等边三角形，则的大小为（ ）

A. 60° B. 40° C. 30° D. 20°
7. 在△ABC中，，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C 与AB位置关系是（ ）

A. 相交 B. 相切
C. 相离 D. 不确定
8. 下面的四个问题中都有两个变量：
①一个圆柱的高等于底面半径x，这个圆柱的表面积为y；
②x个球队比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次为y；
③某产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年增加x倍，两年后这种产品的产量为y；
④某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100－x）件，利润为y元．
其中，变量y与变量x之间的函数关系（不考虑自变量取值范围）可以用一条开口向上的抛物线表示的是（ ）
A. ②③④ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③
二、填空题
9. 抛物线的顶点坐标是______．
10. 若抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是__________．
11. 已知某函数当时，y随x的增大而减小，则这个函数解析式可以为________．
12. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则_______．（用含的式子表示）

13. 若点，在抛物线上，则与的大小关系为：_________（填“”，“”或“”）．
14. 如图，AD是的外接圆的直径，若，则___________°．

15. 如图，AB为的直径，弦于点H，若，，则OH的长度为__．

16. 如图，在RtACB中，∠ACB＝90°，AB＝4，∠BAC＝60°，D是边AC上的一个动点，连接BD，作CE⊥BD于点E，连接AE，则AE长的最小值为_________．

三、解答题
17. 解方程：．
18. 如图，内接于，高AD经过圆心O．求证：．

19. 下面是证明圆周角定理的过程，请认真阅读，并补全过程．
圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，
分析：根据圆心与圆周角位置关系，可以分为三类．
已知：如图，A、B、C为上的三个点
求证：．
请你参考情况1的证明，完成情况2、情况3的证明．
情况1 圆心在圆周角的边上

证明：
∵，
∴，
由外角可得，，
∴．
即．
（1）情况2 圆心在圆周角内部


证明：作直径AD．
∵，
∴．
∴，
同理，
∴
，
∴．
（2）情况3 圆心在圆周角外部


证明：作直径AD．
∵，
∴∠______＝∠______．
∴
＝2∠______，
同理，
∴

，
∴．
20. 已知二次函数经过点，，且最大值为4．

（1）求二次函数的解析式；
（2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；
（3）当时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．
21. 如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；
（2）在图2中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；
（3）在图3中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．

22. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将线段CA绕点C逆时针旋转60°，得到线段CD，连接AD，BD．
（1）依题意补全图形；
（2）若BC=1，求线段BD的长．

23. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若，方程的两个实数根为、，且，若，求m的值．
24. 如图，在中，是的平分线，O是上一点，以OA为半径的经过点D，交于点E．

（1）求证：是的切线；
（2）若，求的半径．
25. 某景观公园内人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．
d（米）
0
0.7
2
3
4
…
h（米）
2.0
3.49
52
5.6
5.2
…
请解决以下问题：
（1）在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；

（2）请结合表中所给数据或所画图象，估出喷泉的落水点距水枪的水平距离为______米（精确到0.1）；
（3）在（2）的条件下，喷泉落水点刚好在水池内边缘，如果通过改变喷泉的推力大小，使得喷出的水流形成的抛物线为，请结合图象判断，此时喷泉______（填“会”或“不会”）喷到水池外；
（4）在（2）的条件下，公园增设了新的游玩项目，购置了宽度4米，顶棚到水面高度为4.2米的平顶游船，游船从喷泉正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险．
26. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为．
（1）当时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；
（2）点在抛物线上，若，求t取值范围及的取值范围．
27. 知，点B在射线上，点A是射线上的一个动点（不与点C重合）．点B关于的对称点为点D，连接和，点F在直线上，且满足．小明在探究图形运动的过程中发现：始终成立．

（1）如图1，当时．
①求证：；
②用等式表示线段、与之间的数量关系，并证明；
（2）当时，直接用等式表示线段、与之间的数量关系是____________．
28. 对于点与图形W，如果图形W上存在一点，使得当时，，则称点P为图形W的一个“近卫点”．

（1）已知，，在点，，，中，是线段的“近卫点”的有____________；
（2）以原点O为圆心，1为半径作，直线y＝x＋b与x轴、y轴分别交于C、D两点，若线段上任意一点都是的“近卫点”，求b的取值范围；
（3）已知点，以点E为中心的正方形s满足以下条件：四条边都平行于坐标轴，且边长为1．若正方形s上存在抛物线的“近卫点”，直接写出m的取值范围．

参考答案
一、选择题
1. 【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度得到的抛物线是
故选：A
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，理解平移规律是解题的关键．
2. 【答案】C
【解析】
【分析】中心对称图形的定义：如果把一个图形绕着一个定点旋转后，与初始图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；根据定义对四个选项进行判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是旋转对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选C．
【点睛】此题考查了中心对称图形的概念，熟练掌握中心对称图形的概念是解决此题的关键．
3. 【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程解的定义，将x＝1代入原方程，然后解关于m的一元一次方程即可．
【详解】解：∵关于x的方程的一个根是1，
∴当x＝1时，由原方程，得
1－2＋m＝0，
解得m＝1；
故选：D．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，属于基础题型．
4. 【答案】A
【解析】
【分析】关于原点对称的两点，则其横、纵坐标互为相反数，由点关于原点对称的坐标特征即可求得对称点的坐标．
【详解】点关于原点对称的点的坐标为；
故选：A．
【点睛】本题考查了求关于原点对称的点的坐标，掌握关于原点对称的坐标特征是关键．
5. 【答案】A
【解析】
【分析】方程的两边同时加上一次项系数一半的平方即可，进而即求得答案．
【详解】解：x2＋4x＝1

即
故选A
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．
6. 【答案】C
【解析】
【分析】由为等边三角形，得：∠AOB=60°，再根据圆周角定理，即可求解．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴=∠AOB =×60°=30°．
故选C．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．
7. 【答案】B
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质，三线合一即可得，根据三角形切线的判定即可判断是的切线，进而可得⊙C 与AB的位置关系
【详解】解：连接,

，点O为AB中点．

CO为⊙C的半径，
是的切线，
⊙C 与AB的位置关系是相切
故选B
【点睛】本题考查了三线合一，切线的判定，直线与圆的位置关系，掌握切线判定定理是解题的关键．
8. 【答案】D
【解析】
【分析】分别求出每个问题的函数关系式，根据函数关系式即可作出判断．
【详解】①的函数关系式为：，其图象是一条开口向上的抛物线；
②的函数关系式为：，其图象是一条开口向上的抛物线；
③的函数关系式为：，其图象是一条开口向上的抛物线；
④的函数关系式为：，其图象是一条开口向下的抛物线；
故满足题意的为①②③；
故选：D．
【点睛】本题考查了列二次函数，根据二次函数确定其图象开口方向，正确列出二次函数是关键．
二、填空题
9. 【答案】（2，1）．
【解析】
【分析】直接利用顶点式可知顶点坐标．
【详解】因为是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，1）．
故答案为（2，1）．
【点睛】本题主要考查了求抛物线顶点坐标的方法．
10. 【答案】
【解析】
【分析】由抛物线与x轴有两个交点，可得出关于m的一元一次不等式，即判别式大于0，解之即可得出m的取值范围．
【详解】解：抛物线与轴有两个交点
则，化简得
解得
故答案为
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，牢记“当时，抛物线与x轴有2个交点”是解答本题的关键．
11. 【答案】或或（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据题意可得这个函数可能是一次函数或二次函数或反比例函数，再由函数的增减性即可得出函数解析式．
【详解】解：某函数当时，y随x的增大而减小，
∵未明确是一次函数、二次函数还是反比例函数，
∴这个函数可能是一次函数或二次函数或反比例函数，
根据其性质可得：这个函数为或或，
故答案为：或或（答案不唯一）．
【点睛】题目主要考查一次函数和二次函数、反比例函数的基本性质，熟练掌握三个函数的基本性质是解题关键．
12. 【答案】
【解析】
【分析】由旋转的性质可得∠DAB=，AD=AB，∠B，进而即可求解．
【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，
∴∠DAB=，AD=AB，∠B，
∵∠B=，
∴，
故答案是：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
13. 【答案】
【解析】
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出，的值，比较后即可得出结论．
【详解】解：∵若点，在抛物线上，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出，的值是解题的关键．
14. 【答案】40
【解析】
【分析】根据AD是的外接圆的直径，可得∠ABD=90°，再由圆周角定理，可得，即可求解．
【详解】解∶∵AD是的外接圆的直径，
∴∠ABD=90°，
∵，
∴∠BAD=90°-∠ADB=40°．
故答案为：40
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握直径所对的圆周角是直角，圆周角定理是解题的关键．
15. 【答案】3
【解析】
【分析】连接OC，由垂径定理可求出CH的长度，在Rt△OCH中，根据CH和⊙O的半径，即可由勾股定理求出OH的长．
【详解】连接OC，

Rt△OCH中，OC=AB=5，CH=CD=4；
由勾股定理，得：OH=；
即线段OH的长为3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
16. 【答案】##
【解析】
【分析】取中点，连接、．易得点在以点F为圆心，长为半径的圆周上运动，当点、、在同一直线上时，最短．据此计算即可．
【详解】解：如图，取中点，连接、．

，
∴，
点在以点F为圆心，长为半径的圆周上运动，
∴当点、、在同一直线上时，最短．
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，
∴∠ABC＝∠ACB－∠BAC＝30°，
又∵AB＝4，
，
，
，
，
，
即的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了线段最小值，正确理解圆外一点到圆上的最短距离等于点与圆心连线与圆的交点到点到这点的线段长是解题的关键，也考查了含30°的直角三角形的性质以及勾股定理的应用．
三、解答题
17. 【答案】
【解析】
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【详解】解：，
，
解得．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
18. 【答案】见解析
【解析】
【分析】由垂径定理得垂直平分线段，由线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质即可证得结论．
详解】∵，且经过圆心O，
∴垂直平分线段，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，其中运用垂径定理是关键．
19. 【答案】（1）2，，
（2），，，，，，，，，，，
【解析】
【分析】（1）作直径AD，利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，得及，则由和角关系可得结论；
（2）作直径AD，利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，得及，则由差角关系可得结论；
【小问1详解】
情况2 圆心圆周角内部

证明：如图，作直径AD．
∵，
∴．
∴，
同理，
∴
∴．
故答案为：2，，
【小问2详解】
情况3 圆心在圆周角外部

证明：如图，作直径AD．
∵，
∴．
∴，
同理，
∴，
∴．
故答案为：，，，，，，，，，，，
【点睛】本题考查了等腰三角形性质，三角形外角的性质，角的和差关系，体现了分类讨论思想及转化思想的运用．
20. 【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）设二次函数解析式为交点式，再配方成顶点式，由最大值为4即可求得二次项系数，从而求得函数解析式；
（2）列表、描点、连线，即可得到函数的图象；
（3）求出当时的函数值，结合函数图象即可写出y的取值范围．
【小问1详解】
解：设，
则，
则，解得：；
即，化一般式为：；
【小问2详解】
解：由（1）知，抛物线的对称轴为直线，
列表如下：


-2
-1
0
1
2
3
4



-5
0
3
4
3
0
-5

描点并连线，得到的函数图象如下：

【小问3详解】
当时，，观察图象知，当时，．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，画二次函数的图象，结合函数图象求函数值的取值范围等知识，掌握二次函数的图象与性质是关键，注意数形结合．
21. 【答案】（1）如图所示见解析；（2）如图所示见解析；（3）如图所示见解析.
【解析】
【分析】（1）根据中心对称的定义画图即可.
（2）根据轴对称的定义画出图形，注意与已知三角形有公共边.
（3）明白顺时针的方向，根据要求画图即可.
【详解】（1）如图所示，

△DCE为所求作；
（2）如图所示，

△ACD为所求作；
（3）如图所示

△ECD为所求作．
【点睛】本题是一道画图题，考查动手能力，解题关键是掌握轴对称，中心对称等定义．
22. 【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据线段旋转的方法，得出，然后连接AD，BD即可得；
（2）根据角的直角三角形的性质和勾股定理可得，由旋转的性质可得是等边三角形，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）根据线段旋转方法，，如图所示即为所求；


（2）∵ ，，，
∴ ，
∴ ，
∵ 线段CA绕点C逆时针旋转60°得到线段CD，
∴且，
∴是等边三角形，
∴ ，，
∴ ，
∴ 在中，
．
【点睛】题目主要考查旋转图形的作法及性质，勾股定理，角的直角三角形的性质，等边三角形的性质等，理解题意，作出图形，综合运用各个定理性质是解题关键．
23. 【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）求出方程的判别式，根据判别式的符号即可作出判断；
（2）方程左边分解因式后可求得方程的两个根，根据题中的两根的关系可得关于m的方程，解方程即可求得m的值．
【小问1详解】
证明：由题意得：，
所以方程总有两个实数根；
【小问2详解】
解：原方程可化为：，
解得：或，
，，
，
，，
，
，
解得：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程等知识，对于含有参数的一元二次方程进行因式分解是本题的难点．当然也可以用公式法求解，但要注意m的符号．
24. 【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】（1）由及平分，则可得，再由即得到要证的结论；
（2）连接，证明，由相似三角形的性质即可求得半径．
【小问1详解】
证明：∵，平分，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即是的切线；
【小问2详解】
连接，如图，
∵是圆的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
则圆的半径为：．

【点睛】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，掌握这两点知识是关键，其它还涉及平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，直径所对的圆周角是直角等知识，证明三角形相似是本题的关键．
25. 【答案】（1）见解析 （2）
（3）会 （4）有被喷泉淋到的危险
【解析】
【分析】（1）由表格中的数据描出点并画出图象即可；
（2）根据所画的图象，根据图象与x轴的交点横坐标即可作出估计；
（3）把（2）中的d值代入中，求得的值是否等于0，则可作出判断；
（4）由表中数据可求得函数解析式，计算出当d=5时的函数值，与进行比较即可．
【小问1详解】
解：描点、连线得到下列图象．

【小问2详解】
解：由图象知，喷泉落水点的位置约为米；
故答案为：．
【小问3详解】
解：由（2）知，当时，，
结合图象知，表明喷泉落水点的位置大于米，
故答案为：会．
【小问4详解】
解：由表知，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，
由表知，抛物线过点，则有，解得，
即抛物线解析式为：；
根据抛物线的对称性，当时，，
而游船顶棚到水面高度为4.2米，表明游船有被喷泉淋到的危险．
【点睛】本题是二次函数的实际应用问题，考查了画二次函数图象，二次函数的性质，待定系数法求解析式，求函数值等知识，正确理解题意，把实际问题转化为数学问题是关键．
26. 【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）在抛物线中，令，可求得y的值，即可得到抛物线与y轴的交点坐标；由抛物线的对称性可求得t的值；
（2）由可得a与b的不等关系，从而可确定出对称轴的范围，进而可确定的取值范围．
【小问1详解】
解：在抛物线中，令，得，则抛物线与y轴交点的坐标为；
由于抛物线关于对称轴对称，则有：，解得；
【小问2详解】
解：当时，；当时，；
∵,
∴，
则，
∵，
∴，
∴
即；
∵，
∴
即，
解得：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解不等式及求抛物线与坐标轴的交点等知识，关键是灵活运用这些知识．
27. 【答案】（1）①见解析；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①易证，则有，再由，得，则可得，则由四边形内角和易得结论正确；
②延长到E，使，连接，则可证明，从而易得是等腰直角三角形，由勾股定理得、与之间的数量关系；
（2）在线段上取，连接，则可证明，从而易得是等腰直角三角形，由勾股定理得、与之间的数量关系；
【小问1详解】
①证明：∵B、D关于对称，
∴，，
∵公共，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②，证明如下：
如图，延长到E，使，连接，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
即是等腰直角三角形，
由勾股定理得，
即，
∵，
∴，
即、与之间的数量关系为；
；
【小问2详解】
如图，在线段上取，连接，
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即是等腰直角三角形，
由勾股定理得，
即，
∵，
∴，
即、与之间的数量关系为；
故答案为：

；
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，对称的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是本题的关键．
28. 【答案】（1），
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据“近卫点”的含义即可作出判断；
（2）由题意知，线段应是圆内的弦或位于圆内，根据此即可确定b的范围；
（3）考虑当函数值为时对应的自变量的值，当正方形在y轴右边时，根据正方形的位置及已知求得m的取值范围，再利用对称性可求得正方形在y轴左边时的m的取值范围，从而可得m的范围．
【小问1详解】
解：当点在线段上时，则，
对于，在线段上不存在点，使得当时，，
则点为图形W的一个“近卫点”；
对于，在线段上存在点，使得当时，但，
则点不为图形W的一个“近卫点”；
对于，在线段上存在点，使得当时，，
则点为图形W的一个“近卫点”；
对于，在线段上存在点，使得当时，，
则点为图形W的一个“近卫点”；
综上，满足条件的点为，．
故答案为：，．
【小问2详解】
解：由题意知，根据圆的特性，线段应是圆内的弦或位于圆内，如图，
当D点坐标为时，；当D点坐标为时，；
则b的范围为．

【小问3详解】
解：当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
当正方形在y轴右边时，若正方形左上顶点恰为抛物线的“近卫点”时，此时；
若正方形右下顶点恰为抛物线的“近卫点”时，此时，
则；
因此当正方形在y轴右边时，正方形s上存在抛物线的“近卫点”，m的取值范围为；
由抛物线的对称性，当正方形在y轴左边时，正方形s上存在抛物线的“近卫点”，m的取值范围为；
综上，正方形s上存在抛物线的“近卫点”，m的取值范围为或．
【点睛】本题是新定义问题，具有一定的综合性，考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质等知识，理解题中的新定义并数形结合是解答本题的关键．