江苏省南通等五市2022-2023学年高三数学下学期2月开学摸底考试试卷（Word版附答案）

这是一份江苏省南通等五市2022-2023学年高三数学下学期2月开学摸底考试试卷（Word版附答案），共11页。

2022～2023学年高三年级模拟试卷
数　　学
(满分：150分　考试时间：120分钟)
2023．2
一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中只有一个选项符合要求．
1. 已知集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2 A. (2，3]　　 B. [1，4)　　 C. (－∞，4)　　 D. [1，＋∞)
2. 已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝，则a·(a＋b)＝(　　)
A. －2　　 B. －1　　 C. 0　　 D. 2
3. 在复平面内，复数z1，z2对应的点关于直线x－y＝0对称，若z1＝1－i，则|z1－z2|＝(　　)
A. 　　 B. 2　　 C. 2　　 D. 4
4. 2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹．太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨．某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点(长轴端点中离地面最远的点)距地面S1，近地点(长轴端点中离地面最近的点)距地面S2，地球的半径为R，则该椭圆的短轴长为(　　)
A. 　　 B. 2
C. 　　 D. 2
5. 已知sin (α－)＋cos α＝，则cos (2α＋)＝(　　)
A. －　　 B. 　　 C. －　　 D.
6. 已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，有下列四个命题：
甲：P(X>m＋1)>P(X 乙：P(X>m)＝0.5；
丙：P(X≤m)＝0.5；
丁：P(m－1 如果只有一个假命题，则该命题为(　　)
A. 甲　　 B. 乙　　 C. 丙　　 D. 丁
7. 已知函数f(x)的定义域为R，且f(2x＋1)为偶函数，f(x)＝f(x＋1)－f(x＋2)，若f(1)＝2，则f(18)＝(　　)
A. 1　　 B. 2　　 C. －1　　 D. －2
8. 若过点P(t，0)可以作曲线y＝(1－x)ex的两条切线，切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2的取值范围是(　　)
A. (0，4e－3)　　 B. (－∞，0)∪(0，4e－3)
C. (－∞，4e－2)　　 D. (－∞，0)∪(0，4e－2)
二、 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，AC与BD交于点O，则(　　)
A. AD1∥平面BOC1
B. BD⊥平面COC1
C. C1O与平面ABCD所成的角为45°
D. 三棱锥CBOC1的体积为
10. 若函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则(　　)

A. ω＝2
B. φ＝
C. f(x)的图象关于点(，0)对称
D. f(x)在区间(π，)上单调递增
11. 一个袋中有大小、形状完全相同的3个小球，颜色分别为红、黄、蓝．从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，则(　　)
A. P(A)＝　　 B. A，B为互斥事件
C. P(B|A)＝　　 D. A，B相互独立
12. 已知抛物线x2＝4y的焦点为F，以该抛物线上三点A，B，C为切点的切线分别是l1，l2，l3，直线l1，l2相交于点D，l3与l1，l2分别相交于点P，Q.记A，B，D的横坐标分别为x1，x2，x3，则(　　)
A. ·＝0　　 B. x1＋x2＝2x3
C. AF·BF＝DF2　　 D. AP·CQ＝PC·PD
三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝________．
14. 写出一个同时满足下列条件①②的等比数列{an}的通项公式an＝________．
① anan＋1<0；② |an|<|an＋1|.
15. 已知圆O：x2＋y2＝r2(r>0)，设直线x＋y－＝0与两坐标轴的交点分别为A，B，若圆O上有且只有一个点P满足AP＝BP，则r的值为________．

16. 已知正四棱锥SABCD的所有棱长都为1，点E在侧棱SC上，过点E且垂直于SC的平面截该棱锥，得到截面多边形Γ，则Γ的边数至多为________，Γ的面积的最大值为________．(第一空2分，第二空3分)
四、 解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (本小题满分10分)
在① S1，S2，S4成等比数列，② a4＝2a2＋2，③ S8＝S4＋S7－2这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并完成解答．
已知数列{an}是公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn，且满足________，________．
(1) 求{an}的通项公式；
(2) 求＋＋＋…＋.
注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分．





18. (本小题满分12分)
第二十二届卡塔尔世界杯足球赛决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队．某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如下表：


喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生

40

女生
30


合计



(1) 根据所给数据完成上表，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？
(2) 社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门．已知男生进球的概率为，女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望．
参考公式和数据：
K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828

19. (本小题满分12分)
在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，a cos B－2a cos C＝(2c－b)cos A.
(1) 若c＝a，求cos B的值；
(2) 若b＝1，∠BAC的平分线AD交BC于点D，求AD长度的取值范围．















20. (本小题满分12分)
如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，以AD为折痕，将△ACD折至△APD的位置，使得PB⊥AB.
(1) 求证：PB⊥平面ABD；
(2) 若AD＝PB＝4，BD＝2，求二面角BPAD的正弦值．





21. (本小题满分12分)
已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，过左焦点F的直线与C交于P，Q两点．当PQ⊥x轴时，PA＝，△PAQ的面积为3.
(1) 求C的方程；
(2) 求证：以PQ为直径的圆经过定点．















22. (本小题满分12分)
已知函数f(x)＝和g(x)＝有相同的最大值．
(1) 求实数a的值；
(2) 设直线y＝b与两条曲线y＝f(x)和y＝g(x)共有四个不同的交点，其横坐标分别为x1，x2，x3，x4(x1
2022～2023学年高三年级模拟试卷(南通等五市)
数学参考答案及评分标准

1. A　2. C　3. B　4. D　5. B　6. D　7. A　8. D　9. ABD　10. ACD　11. AC　12. BCD
13. 4　14. an＝(－)n　15. 　16. 5　
17. 解：(1) 设{an}的公差为d，若选①②，则⇒⇒
∴ a1＝2，d＝4，∴ an＝2＋4(n－1)＝4n－2.
若选①③或②③同理可得an＝4n－2.(5分)
(2) 由(1)知＝＝·＝(－)，
∴ ＋＋…＋＝(1－＋－＋…＋－)＝(1－)＝.(10分)
18. 解：(1) 2×2列联表如下：


喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生
60
40
100
女生
30
70
100
合计
90
110
200
∵ K2＝≈18.182>10.828，
∴ 有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关．(5分)
(2) 3人进球总次数ξ的所有可能取值为0，1，2，3，
P(ξ＝0)＝()2×＝，P(ξ＝1)＝C·××＋×()2＝，
P(ξ＝2)＝C·××＋()2×＝，P(ξ＝3)＝()2×＝，
∴ ξ的分布列如下

ξ
0
1
2
3
P




∴ ξ的数学期望E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.(12分)
19. 解：(1)∵ a cos B－2a cos C＝(2c－b)cos A，
∴ sin A cos B－2sin A cos C＝(2sin C－sin B)cos A
⇒sin A cos B＋cos A sin B＝2sin A cos C＋2cos A sin C
⇒sin (A＋B)＝2sin (A＋C)
⇒sin C＝2sin B⇒c＝2b，
∵ c＝a，∴ b＝，
∴ cos B＝＝＝.(6分)

(2) 由(1)知c＝2b，∵ b＝1，∴ c＝2，设∠BAD＝θ，如图，
S△ABC＝·2·sin 2θ＝·2·AD·sin θ＋·1·AD·sin θ
⇒AD＝cos θ，θ∈(0，)，∴ AD∈(0，).(12分)
20. (1) 证明：∵ PD⊥AD，AD⊥BD，PD∩BD＝D，∴ AD⊥平面PBD，∴ AD⊥PB.
∵ PB⊥AB，AD，AB⊂平面ABD，AD∩AB＝A，∴ PB⊥平面ABD.(4分)

(2) 解：如图建系，则B(0，2，0)，P(0，2，4)，A(4，0，0)，D(0，0，0)，
∴ ＝(0，0，4)，＝(4，－2，－4)，＝(4，0，0)，
设平面BPA与平面PAD的法向量分别为
n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，
∴ ⇒⇒n1＝(1，2，0)，
⇒⇒n2＝(0，2，－1)，
设二面角BPAD平面角为θ，∴ |cos θ|＝＝＝，∴ sin θ＝.(12分)
21. (1) 解：当PQ⊥x轴时，PQ＝，PF＝，∴⇒⇒
∴ 双曲线C的方程为x2－＝1.(4分)
(2) (解法1)设PQ方程为x＝my－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立⇒3(m2y2－4my＋4)－y2＝3⇒(3m2－1)y2－12my＋9＝0，
以PQ为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0
⇒x2－(x1＋x2)x＋x1x2＋y2－(y1＋y2)y＋y1y2＝0，
由对称性知以PQ为直径的圆必过x轴上的定点，令y＝0
⇒x2－(x1＋x2)x＋x1x2＋y1y2＝0，
而x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝－4＝，
x1x2＝(my1－2)(my2－2)＝m2y1y2－2m(y1＋y2)＋4
＝－2m·＋4＝，
∴ x2－x＋＋＝0⇒(3m2－1)x2－4x＋5－3m2＝0
⇒[(3m2－1)x＋3m2－5](x－1)＝0对∀m∈R恒成立，∴ x＝1.
∴ 以PQ为直径的圆经过定点(1，0).(12分)
(解法2)设PQ方程为x＝my－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立⇒(3m2－1)y2－12my＋9＝0，
由对称性知以PQ为直径的圆必过x轴上的定点．
设以PQ为直径的圆过E(t，0)，
∴ ·＝0⇒(x1－t)(x2－t)＋y1y2＝0⇒x1x2－t(x1＋x2)＋t2＋y1y2＝0，
而x1x2＝(my1－2)(my2－2)＝m2y1y2－2m(y1＋y2)＋4
＝m2·－2m·＋4＝，
x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝－4＝，
∴ －＋t2＋＝0，
(3m2－1)t2－4t＋5－3m2＝0，即[(3m2－1)t＋3m2－5](t－1)＝0对∀m∈R恒成立，
∴t＝1，即以PQ为直径的圆经过定点(1，0).(12分)
22. (1) 解：f′(x)＝·＝·，令f′(x)＝0⇒x＝1.
∵ f(x)有最大值，∴ a>0且f(x)在(0，1)上单调递增；(1，＋∞)上单调递减，∴ f(x)max＝f(1)＝.
a＝1时，g′(x)＝＝，
当00，g(x)单调递增；当x>1时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
∴ g(x)max＝g(1)＝a，∴ ＝a⇒a＝1.(4分)
(2) 证明：由f(x)＝b⇒－b＝0，由g(x)＝b⇒－b＝0，
令F(x)＝－b，F(x)在(0，1)上单调递增；(1，＋∞)上单调递减，∴ F(x)至多两个零点．
令G(x)＝－b，G(x)在(0，1)上单调递增；(1，＋∞)上单调递减；∴ G(x)至多两个零点．
令F(x)＝G(x)⇒－＝0，
当x∈(0，]时，－>0；
当x∈(1，＋∞)时，由＝＝且x>ln ex>1，
φ(x)＝在(1，＋∞)上单调递减，∴ φ(x)<φ(ln ex)方程无解．
当x∈(，1]时，由1≥x≥ln ex，φ(x)＝在(0，1]上单调递增，
∴ φ(x)≥φ(ln ex)方程有唯一解x＝1，
当00，
F(＋2)＝－b<－b<0，
∴ F(x)在(0，1)和(1，＋2)内各有一个零点x1，x3.

f(x)，g(x)示意图如图所示，
如下注意到G()＝－b<0，G(1)＝1－b>0，G()<0，
∴ G(t)在(，1)和(1，)内各有一个零点x2，x4.
且由f(x1)＝g(x2)＝＝⇒＝＝，而x1，ln ex2∈(0，1)，
而φ(x)＝在(0，1)上单调递增，由φ(x1)＝φ(ln ex2)⇒x1＝ln ex2⇒∴ ex1－1＝x2，
由f(x3)＝g(x4)⇒＝⇒＝，而x3，ln ex4>1，
而φ(x)＝在(1，＋∞)上单调递减，由φ(x3)＝φ(ln ex4)⇒x3＝ln ex4，∴ ex3－1＝x4，
∴ ＝⇒x1x4＝x2x3，证毕．(12分)