2025年高考数学一轮复习-第4课时-直线与圆、圆与圆的位置关系【导学案】

这是一份2025年高考数学一轮复习-第4课时-直线与圆、圆与圆的位置关系【导学案】，共15页。学案主要包含了课标解读，课程标准，核心素养，命题说明，必备知识·逐点夯实，核心考点·分类突破，加练备选等内容，欢迎下载使用。
【课程标准】
1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
【核心素养】
数学抽象、数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d,圆的半径为r)
微点拨 判断直线与圆的位置关系,常用几何法而不用代数法.
微思考 当某直线所过定点A在圆上时,该直线与圆有何位置关系?
提示:直线与圆相交或相切.
2.圆与圆的位置关系
设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r12(r1>0),
圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r22(r2>0).
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法:弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形,弦长|AB|=2r2-d2.
(2)代数法:设直线y=kx+m与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于点M,N,代入,消去y,得关于x的一元二次方程,则|MN|=1+k2·(xM+xN)2-4xMxN.
常用结论
1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2+y2=r2(r>0)上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.
(2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.
2.当两圆外切时,两圆有一条内公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线;当两圆内切时,两圆有一条外公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线.
3.两圆相交时公共弦的性质
圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(D12+E12-4F1>0)与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2 =0(D22+E22-4F2>0)相交时:
(1)将两圆方程直接作差,消去x2,y2得到两圆公共弦所在直线方程;
(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦;
(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R,λ≠-1)表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2).
基础诊断·自测
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若直线与圆有公共点,则直线与圆相交或相切.( √ )
提示:(1)直线与圆有一个公共点,则直线与圆相切,有两个公共点,则直线与圆相交,故(1)正确;
(2)若两圆没有公共点,则两圆一定外离.( × )
提示:(2)两圆没有公共点,则两圆外离或内含,故(2)错误;
(3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点,反之也成立.( × )
提示:(3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点;若两圆有且只有一个公共点,则两圆外切或内切,故(3)错误;
(4)若两圆有公共点,则|r1-r2|≤d≤r1+r2.( √ )
提示:(4)若两圆有公共点,则两圆外切或相交或内切,所以|r1-r2|≤d≤r1+r2,故(4)正确.
2.(选择性必修第一册人AP96例5变条件)圆O1:x2+y2-4y+3=0和圆O2:x2+y2-16y=0的位置关系是( )
A.外离 B.相交 C.相切 D.内含
【解析】选D.O1:x2+(y-2)2=1,O2:x2+(y-8)2=64,所以O1(0,2),r1=1,
O2(0,8),r2=8,O1O2=(0-0)2+(2-8)2=6,则O1O2=60)与圆(x-1)2+(y-1)2=3相交所得的弦长为m,则m=__________.
【解析】因为圆心C(1,1)到直线x-y+m=0(m>0)的距离d=m2,
又直线与圆相交所得的弦长为m,所以m=2r2-d2,所以m2=4(3-m22),解得m=2.
答案:2
5.(忽视直线斜率不存在的情形致误)过点P(2,2)的圆C:x2+(y-1)2=2的切线方程为______________________.
【解析】由圆C方程知:圆心C(0,1),半径r=2;
当过P的直线斜率不存在,即直线方程为
x=2时,直线与圆C相切;
设过P点且斜率存在的圆C的切线方程为y-2=k(x-2),即kx-y-2k+2=0,
则圆心C到直线的距离d=1-2kk2+1=2,即k=-24,所以该切线方程为-24x-y+52=0,
即x+22y-52=0;
综上所述:所求切线方程为x=2或x+22y-52=0.
答案:x=2或x+22y-52=0
【核心考点·分类突破】
考点一 直线与圆的位置关系
考情提示
直线与圆相切求切线方程以及直线与圆相交求弦长是高考的重点,正确利用圆心到直线的距离与半径之间的关系是解决此类问题的关键.
角度1 直线与圆的位置关系的判断
[例1](1)(一题多法)已知圆C:x2+y2-6x-8y+21=0和直线l:kx-y+3-4k=0的位置关系是( )
A.相交、相切或相离 B.相交或相切
C.相交 D.相切
【解析】选C.圆C:x2+y2-6x-8y+21=0,即(x-3)2+(y-4)2=22,圆心为C(3,4),半径为r=2.
方法一 直线l:kx-y+3-4k=0,即k(x-4)-y+3=0,所以直线l过定点B(4,3).
(4-3)2+(3-4)2=2