高考数学一轮复习第6章第2节空间点、直线、平面之间的位置关系学案

这是一份高考数学一轮复习第6章第2节空间点、直线、平面之间的位置关系学案，共10页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。
第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系考试要求：1．借助长方体，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．2．了解可以作为推理依据的基本事实和定理．3．能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．一、教材概念·结论·性质重现1．平面的基本性质基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．三点不一定能确定一个平面．当三点共线时，过这三点的平面有无数个，所以必须是不在一条直线上的三点才能确定一个平面．基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．2．空间中直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类1．两条异面直线不能确定一个平面．2．不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线．(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．②范围：．(3)等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．4．常用结论(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a．                            (　√　)(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过点A的任意一条直线．                            (　×　)(3)没有公共点的两条直线是异面直线． (　×　)(4)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线．                            (　×　)2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b(　　)A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线C　解析：由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线．若b∥c，则a∥b，与已知a，b为异面直线相矛盾．3．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为(　　)A．30°   B．45°  C．60°   D．90°C　解析：连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求角，又B1D1＝B1C＝D1C，所以∠D1B1C＝60°．4．已知互相垂直的平面α，β交于直线l．若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　　)A．m∥l   B．m∥nC．n⊥l   D．m⊥nC　解析：由已知，α∩β＝l，所以l⊂β．又因为n⊥β，所以n⊥l，C正确．5．下列关于异面直线的说法正确的是______．(填序号)①若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；②若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；③若a，b不同在平面α内，则a与b异面；④若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面．④　解析：①②③中的两条直线还有可能平行或相交，由异面直线的定义可知④中说法正确．考点1　平面的基本性质——综合性(1)在三棱锥A­BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点．如果EF∩HG＝P，则点P(　　)A．一定在直线BD上B．一定在直线AC上C．在直线AC或BD上D．不在直线AC上，也不在直线BD上B　解析：如图所示，因为EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD．又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC．(2)如图，若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是_________．共线　解析：因为AC∥BD，所以AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD．因为l∩α＝O，所以O∈α．又因为O∈AB⊂β，所以O∈直线CD，所以O，C，D三点共线．共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：一是先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；二是证明两平面重合．(2)证明共线的方法：一是先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；二是直接证明这些点都在同一条特定直线上．(3)证明线共点问题的常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是(　　)D　解析：A、B、C图中四点一定共面，D中四点不共面．考点2　异面直线所成的角——综合性已知三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为(　　)A．　　　　　　　　　 B．C．   D．B　解析：如图，设BC的中点为D，连接A1D，AD，A1B，易知∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角(或其补角)．设三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱与底面边长均为1，则AD＝，A1D＝，A1B＝． 由余弦定理，得cos∠A1AB＝＝＝．本例的条件改为“在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1”，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为________．　解析：把三棱柱ABC­A1B1C1补成四棱柱ABCD­A1B1C1D1，如图所示．连接C1D，BD，则AB1与BC1所成的角为∠BC1D(或其补角)．由题意可知BC1＝，BD＝＝，C1D＝AB1＝．可知BC＋BD2＝C1D2，所以△BC1D为直角三角形，所以cos∠BC1D＝＝．用平移法求异面直线所成的角的步骤(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角．(3)三求：解三角形，求出所作的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．(2021·全国乙卷)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　　)A．   B．  C．   D．D　解析：方法一：如图，连接BC1，A1C1，易知AD1∥BC1，所以直线PB与AD1所成的角即为直线PB与BC1所成的角，即∠PBC1．不妨设该正方体的棱长为2a，则BC1＝2a，PC1＝PB1＝a，PB＝＝a，所以BC＝PC＋PB2，所以∠C1PB＝90°，则sin∠PBC1＝＝＝，所以∠PBC1＝．故选D．方法二：如图，连接A1B，BC1，A1C1，易证四边形ABC1D1为平行四边形，所以AD1∥BC1，因此∠PBC1为异面直线PB与AD1所成的角．易知△A1BC1为等边三角形，所以∠A1BC1＝．在正方形A1B1C1D1中．因为P是B1D1的中点，所以P是A1C1的中点，所以∠PBC1＝∠A1BC1＝．故选D．考点3　空间两条直线的位置关系——综合性考向1　异面直线的判断如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD是正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则(　　) A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线B　解析：如图，取CD的中点F，连接EF，EB，BD，FN，MC．因为△CDE为正三角形，所以EF⊥CD．设CD＝2，则EF＝，MC＝．因为点N是正方形ABCD的中心，所以BD＝2，NF＝1，BC⊥CD．因为平面ECD⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD，BC⊥平面ECD，所以EF⊥NF，BC⊥CM，所以在Rt△EFN中，EN＝2，在Rt△MCB中，BM＝，所以BM≠EN．易知BM，EN是相交直线．故选B．考向2　平行或相交直线的判定如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，则EF与BD1的位置关系是(　　)A．相交但不垂直   B．相交且垂直C．异面   D．平行D　解析：如图，连接D1E并延长，与AD交于点M，由A1E＝2ED，可得M为AD的中点．连接BF并延长，交AD于点N．因为CF＝2FA，可得N为AD的中点，所以M，N重合，所以EF和BD1共面，且＝，＝，所以＝，所以EF∥BD1．1．空间中两直线位置关系的判定方法2．异面直线的判定定理平面外一点与平面内一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线．1．已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则(　　)A．m与n异面B．m与n相交C．m与n平行D．m与n异面、相交、平行均有可能D　解析：在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是m∥n1，所以A，B错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误．2．(多选题)如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，下列结论正确的是(　　)A．GH与EF平行　 B．BD与MN为异面直线C．GH与MN成60°角   D．DE与MN垂直BCD　解析：把正四面体的平面展开图还原，如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN．故BCD正确．3．(多选题)(2022·临沂二模)如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E, F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论中成立的是(　　)A．EF与BB1垂直  B．EF与BD垂直C．EF与CD异面　  D．EF与A1C1异面ABC　解析：如图所示，连接A1B，由几何关系可得点E为A1B的中点，且BF＝FC1．由三角形中位线的性质可得EF∥A1C1，即EF与A1C1不是异面直线，很明显，EF与CD异面，由几何关系可得A1C1⊥BB1，A1C1⊥BD，则EF⊥BB1，EF⊥BD．综上可得，选项D中的结论不成立．故选ABC．