高考数学一轮复习第5章第6节数系的扩充与复数的引入学案

这是一份高考数学一轮复习第5章第6节数系的扩充与复数的引入学案，共8页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。
第六节　数系的扩充与复数的引入考试要求：1．理解复数的代数表示及其几何意义．2．理解两个复数相等的含义．3．掌握复数代数形式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．一、教材概念·结论·性质重现1．复数的定义及分类(1)复数的定义形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是a，虚部是b．(2)复数的分类：2．复数的有关概念(1)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(2)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(3)模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．3．复数的几何意义复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面实轴、虚轴在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数复数的几何表示复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)平面向量几何意义复数的加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ1ZZ2，＝＋，＝－4．复数的运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则：(1)z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i．(2)z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i．(3)z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i．(4)＝＝＝＋i(c＋di≠0)．特别注意：z2＝|z|2．5．常用结论及复数加、减法几何意义(1)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i．(2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．(3)z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n．(4)复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量，不共线，则复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数．(5)复数减法的几何意义：复数z1－z2是－＝所对应的复数．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．  (　×　)(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi． (　×　)(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．                             (　×　)(4)原点是实轴与虚轴的交点．  (　√　)(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．                            (　√　)2．(1－i)4＝(　　)A．－4　　　　B．4　　　　C．－4i　　　　D．4iA　解析：(1－i)4＝[(1－i)2]2＝(－2i)2＝－4．3．在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数是(　　)A．1－2i   B．－1＋2iC．3＋4i   D．－3－4iD　解析：＝＋＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i．4．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x＝______．－1　解析：因为z为纯虚数，所以所以x＝－1．5．已知(1＋2i)＝4＋3i，则z＝________．2＋i　解析：因为(1＋2i)＝4＋3i，所以＝＝＝＝2；－i，所以z＝2＋i．考点1　复数的有关概念——基础性1．(2021·河北承德二模)设a∈R且a≠0，若复数(1＋ai)3是实数，则a2＝(　　)A．9   B．6  C．3   D．2C　解析：因为(1＋ai)3＝1＋3ai＋3(ai)2＋(ai)3＝1－3a2＋(3a－a3)i，所以3a－a3＝0，又a≠0，所以a2＝3．故选C．2．(2021·全国乙卷)设2(z＋)＋3(z－)＝4＋6i，则z＝(　　)A．1－2i   B．1＋2i  C．1＋i   D．1－iC　解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi．结合已知条件，得4a＋6bi＝4＋6i．根据复数相等的条件可得解得所以z＝1＋i．故选C．3．设复数z＝，则z的虚部是(　　)A．   B．i  C．   D．iA　解析：z＝＝＝＝＝，所以z的虚部是．故选A．解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是不是a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．(3)解决此类问题的关键是弄清复数的相关概念，如第1题易弄混复数为实数的条件而致错；第3题易混淆复数虚部的概念而误选B．考点2　复数的几何意义——应用性(1)(2021·新高考全国Ⅱ卷)复数在复平面内对应的点所在的象限为(　　)A．第一象限   B．第二象限C．第三象限   D．第四象限A　解析：＝＝＝＋i．故选A．(2) (2020·全国Ⅱ卷)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝________．2　解析：方法一：设z1，z2在复平面内对应的向量为，，以，为邻边作平行四边形(图略)．则|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)，所以|z1－z2|2＝2(22＋22)－4＝12，所以|z1－z2|＝2．方法二：设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则a2＋b2＝4，c2＋d2＝4．又z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i＝＋i，所以a＋c＝，b＋d＝1，则(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝4，所以8＋2ac＋2bd＝4，即2ac＋2bd＝－4，所以|z1－z2|＝＝＝＝2．若本例(2)条件不变，则复数z1＋z2对应向量与复数z1对应向量的夹角等于________．60°　解析：因为|z1|＝|z2|＝|z1＋z2|＝2，所以由平行四边形法则知，复数z1与复数z1＋z2对应向量的夹角为60°．复数几何意义问题的解题策略(1)复数z、复平面上的点Z及向量间的相互联系：z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔＝(a，b)．(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题简单化．1．(2022·聊城月考)设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，则＝(　　)A．1＋i   B．＋i  C．1＋i   D．1＋iB　解析：因为复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，所以z2＝2－i，所以＝＝＝＋i．2．(2021·福建三明月考)复数z满足|z－2|＝1，则|z|的最大值为(　　)A．1   B．  C．3   D．C　解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为|z－2|＝1，所以复数z对应点Z(x，y)在以A(2,0)为圆心，1为半径的圆上运动．由图可知当点Z位于点B(3,0)处时，点Z到原点的距离最大，最大值为3．故选C．考点3　复数的运算——综合性考向1　复数的乘法运算(1)(2021·新高考全国Ⅰ卷)已知z＝2－i，则z(＋i)＝(　　)A．6－2i   B．4－2i  C．6＋2i   D．4＋2iC　解析：因为z＝2－i，所以＝2＋i，则z(＋i)＝(2－i)·(2＋2i)＝4＋4i－2i＋2＝6＋2i．故选C．(2)若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝(　　)A．1－i   B．1＋i  C．－1－i   D．－1＋iA　解析：因为＝i，所以＝i(1－i)＝1＋i，所以z＝1－i．复数乘法运算的要点复数的乘法类似于多项式的乘法，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i2换成－1．考向2　复数的除法运算(1) (2021·全国乙卷)设iz＝4＋3i，则z＝(　　)A．－3－4i   B．－3＋4iC．3－4i   D．3＋4iC　解析：方法一：因为iz＝4＋3i，所以i2z＝(4＋3i)·i＝－3＋4i，所以－z＝－3＋4i，则z＝3－4i．故选C．方法二：由iz＝4＋3i，得z＝＝＝3－4i．故选C．(2)(2021·全国甲卷)已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝(　　)A．－1－i  B．－1＋iC．－＋i  |D．－－iB　解析：因为(1－i)2z＝3＋2i，所以z＝＝＝－1＋i．故选B．求解复数除法问题的注意点除法的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．1．已知复数z＝，则z＋在复平面内对应的点位于(　　)A．第一象限   B．第二象限C．第三象限   D．第四象限A　解析：因为 z＝＝＝－＋i，所以z＋＝＋i，所以z＋在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．故选A．2．(多选题)下面是关于复数z＝的四个命题，其中的真命题为(　　)A．|z|＝2B．z2＝2iC．z的共轭复数为1＋iD．z的虚部为－1BD　解析：因为z＝＝＝－1－i，所以|z|＝，z2＝2i，z的共轭复数为－1＋i，z的虚部为－1，故选BD．3．欧拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数cos θ和sin θ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”．若复数z满足(eiπ＋i)·z＝i，则|z|＝(　　)A．1   B．  C．   D．B　解析：由题意z＝＝＝＝＝＝－i，所以＝＝．故选B．