高考数学一轮复习课时质量评价38立体几何中的向量方法——求空间角与距离含答案

这是一份高考数学一轮复习课时质量评价38立体几何中的向量方法——求空间角与距离含答案，共14页。试卷主要包含了故选C等内容，欢迎下载使用。
课时质量评价(三十八)
A组　全考点巩固练
1．在三棱锥A­BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2．若〈n1，n2〉＝，则二面角A­BD­C的大小为(　　)
A． B．
C．或 D．或
C　解析：因为二面角的范围是[0，π]，且〈n1，n2〉＝，所以二面角A­BD­C的大小为或．故选C．
2．如图，点A，B，C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，＝(0,0,2)，平面ABC的法向量为n＝(2, 1, 2)，设二面角C­AB­O的大小为θ，则cos θ等于(　　)

A． B．
C． D．－
C　解析：由题意可知，平面ABO的一个法向量为＝(0, 0, 2)，由图可知，二面角C­AB­O为锐角，
由空间向量的结论可知，cos θ＝＝＝．
3．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，E为线段AB上一点，且AE＝AB，则DC1与平面D1EC所成角的正弦值为(　　)

A． B．
C． D．
A　解析：如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则C1(0,3,1)，D1(0,0,1)，E(1,1,0)，C(0,3,0)，所以＝(0,3,1)，＝(1,1，－1)，＝(0,3，－1)．设平面D1EC的法向量为n＝(x，y，z)，则即取y＝1，得n＝(2,1,3)．所以cos〈，n〉＝＝，所以DC1与平面D1EC所成的角的正弦值为．
4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．
B　解析：以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，

设棱长为1，则A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，所以＝(0,1，－1)，＝，设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，则即所以所以n1＝(1,2,2)．又平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)，所以cos〈n1，n2〉＝＝．即平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为．
5．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝2，二面角B­AA1­C1的大小为60°，点B到平面ACC1A1的距离为，点C到平面ABB1A1的距离为2，则直线BC1与直线AB1所成角的正切值为(　　)
A． B．
C．　 D．2
A　解析：由题意可知，∠BAC＝60°，点B到平面ACC1A1的距离为，点C到平面ABB1A1的距离为2，所以在三角形ABC中，AB＝2，AC＝4，BC＝2，∠ABC＝90°，则·＝(－)·(＋)＝4，
||＝2，||＝4，cos〈，〉＝＝，故tan〈，〉＝．
6．(多选题)设三棱锥V­ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点(不含端点)．记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与平面ABC所成的角为β，二面角P­AC­B的平面角为γ，则α，β，γ大小关系正确的是(　　)
A．α＞β B．α＝β
C．γ＞β D．γ≥β
AC　解析：过点B作直线l∥AC，过点P作底面ABC的垂线PD，D为垂足，过点D作DF⊥AB于点F，作DE⊥l于点E，连接AD，BD，PF，PE．

由题意可知，二面角P­AC­B的大小与二面角P­AB­C的大小相等，结合空间角的定义知∠PBE＝α，∠PBD＝β，∠PFD＝γ，在Rt△PEB与Rt△PDB中，由PE＞PD得sin α＞sin β，所以α＞β(α，β均为锐角)．故A正确，B错误；在Rt△PDB与Rt△PDF中，由PB＞PF得sin β＜sin γ，所以γ＞β(β，γ均为锐角)．故C正确；由于不存在PB＝PF的可能，故D错误．
7．如图，在正方形ABCD中，EF∥AB．若沿EF将正方形折成一个二面角后，AE∶ED∶AD＝1∶1∶，则AF与CE所成角的余弦值为________．
→
　解析：因为AE∶ED∶AD＝1∶1∶，所以AE⊥ED，即AE，DE，EF两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系．

设AB＝EF＝CD＝2，则E(0,0,0)，A(1,0,0)，F(0,2,0)，C(0,2,1)，所以＝(－1,2,0)，＝(0,2,1)，所以cos〈，〉＝＝＝，所以AF与CE所成角的余弦值为．
8．正四棱锥P­ABCD，底面四边形ABCD是边长为2的正方形，PA＝，其内切球为球G，平面α过AD与棱PB，PC分别交于点M，N，且与平面ABCD所成二面角为30°，则平面α截球G所得的图形的面积为___________．
　解：如图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，D(2,0,0)，B(0,2,0)，C(2,2,0)．因为PA＝PD＝PB＝PC＝，AO＝AC＝．所以PO＝＝，所以P(1,1，)，O(1,1,0)，则内切球的球心G在PO上，设G(1,1，h)，内切球的半径为R，S△PAD＝S△PCD＝S△PBC＝S△PAB＝×2×＝2．由等体积法可得R(2＋2＋2＋2＋2×2)＝×2×2×，解得R＝，则G．因为平面α过AD，设平面α的法向量为n＝(0，－1，a)，平面ABCD的法向量为m＝(0,0,1)，设平面α与平面ABCD所成二面角为30°，则cos 30°＝＝，即＝，解得a＝或a＝－(舍去)，所以n＝(0，－1，)，则圆心G到平面α的距离d＝＝＝0，所以截球G所得图形的面积为πR2＝．

9．(2021·全国甲卷)已知直三棱柱ABC ­A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1．
(1)证明：BF⊥DE；
(2)当B1D为何值时，平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小？

(1)证明：因为侧面AA1B1B为正方形，所以A1B1⊥BB1．
又BF⊥A1B1，而BF∩BB1＝B，BF⊂平面BB1C1C，BB1⊂平面BB1C1C，所以A1B1⊥平面BB1C1C．
又ABC ­A1B1C1是直三棱柱，BC＝AB，所以平面BB1C1C为正方形．
取BC中点为G，连接B1G，EG．
因为F为CC1的中点，所以BF⊥B1G．
又BF⊥A1B1，且EG∥A1B1，所以BF⊥EG．
又B1G∩EG＝G，B1G⊂平面EGB1D，EG⊂平面EGB1D，所以BF⊥平面EGB1D．
又DE⊂平面EGB1D，所以BF⊥DE．
(2)解：因为侧面AA1B1B是正方形，所以AB∥A1B1，由(1)知，A1B1⊥平面BB1C1C，
所以AB⊥平面BB1C1C．
又BC⊂平面BB1C1C，所以AB⊥BC．
设B1D＝x，以B为原点，BA，BC，BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则E(1,1,0)，F(0,2,1)，D(x,0,2)，所以＝(－1,1,1)，＝(x，－2,1)．易知，平面BB1C1C的一个法向量可为n1＝(1,0,0)．
设平面DFE的法向量n2＝(x1，y1，z1)，则
即
不妨取z1＝1，则x1＝，y1＝，即n2＝．
设〈n1，n2〉＝θ，
则cos θ＝
＝．
令＝t，则cos θ＝＝＝．
当＝时，(cos θ)max＝＝，此时(sin θ)min＝．
故当B1D＝时，平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小．
B组　新高考培优练
10．如图，在四棱锥P­ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，AB＝2AD＝2CD＝4，PC＝2a，E是PB的中点．
(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；
(2)若二面角P­AC­E的余弦值为，求a的值；
(3)在(2)的条件下求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．

(1)证明：因为PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥PC．
因为AB＝4，AD＝CD＝2，所以AC＝2，
取AB的中点为N，则可得CN∥AD，则CN⊥AB，
所以BC＝＝2，所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC．
又BC∩PC＝C，所以AC⊥平面PBC．
因为AC⊂平面EAC，所以平面EAC⊥平面PBC．
(2)解：以点C为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，

则C(0,0,0)，A(2,2,0)，B(2，－2,0)，设P(0,0,2a)(a>0)，则E(1，－1，a)，＝(2,2,0)，＝(0,0,2a)，＝(1，－1，a)．
设m＝(x0，y0，z0)为平面PAC的法向量，
则m·＝m·＝0，即
取m＝(1，－1,0)．
设n＝(x，y，z)为平面EAC的法向量，则n·＝n·＝0，即
取x＝a，y＝－a，z＝－2，则n＝(a，－a，－2)．
依题意|cos〈m，n〉|＝＝＝，则a＝2．
(3)解：由(2)可得n＝(2，－2，－2)，＝(2,2，－4)．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sin θ＝|〈，n〉|＝＝，
即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．
11．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝3，AC＝2，点E是PD的中点．
(1)求证：PB∥平面AEC．
(2)在线段PB上(不含端点)是否存在一点M，使得二面角M­AC­E的余弦值为？若存在，确定M的位置；若不存在，请说明理由．

(1)证明：连接BD交AC于点F，连接EF．
在△PBD中，由已知得EF∥PB．
又EF⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，
所以PB∥平面AEC．
(2)解：由题意知，AC，AB，AP两两垂直，所以以A为坐标原点，AC，AB，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz．

则C(2,0,0)，D(2，－3,0)，P(0,0,3)，B(0,3,0)，E．
设M(x0，y0，z0)，＝λ (0