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    2016年广东省梅州市中考数学试卷(含解析版)

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    这是一份2016年广东省梅州市中考数学试卷(含解析版),共23页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答下列各题等内容,欢迎下载使用。

    2016年广东省梅州市中考数学试卷
    一、选择题:每小题3分,共21分.每小题给出四个答案,其中只有一个是正确的.
    1.(3分)(2016•梅州)计算:(﹣3)+4的结果是(  )
    A.﹣7 B.﹣1 C.1 D.7
    2.(3分)(2016•梅州)若一组数据3,x,4,5,6的众数是3,则这组数据的中位数为(  )
    A.3 B.4 C.5 D.6
    3.(3分)(2016•梅州)如图,几何体的俯视图是(  )
    A. B. C. D.
    4.(3分)(2016•梅州)分解因式a2b﹣b3结果正确的是(  )
    A.b(a+b)(a﹣b)B.b(a﹣b)2C.b(a2﹣b2)D.b(a+b)2
    5.(3分)(2016•梅州)如图,BC⊥AE于点C,CD∥AB,∠B=55°,则∠1等于(  )

    A.55° B.45° C.35° D.25°
    6.(3分)(2016•梅州)二次根式有意义,则x的取值范围是(  )
    A.x>2 B.x<2 C.x≥2 D.x≤2
    7.(3分)(2016•梅州)对于实数a、b,定义一种新运算“⊗”为:a⊗b=,这里等式右边是实数运算.例如:1⊗3=.则方程x⊗(﹣2)=﹣1的解是(  )
    A.x=4 B.x=5 C.x=6 D.x=7
     
    二、填空题:每小题3分,共24分.
    8.(3分)(2016•梅州)比较大小:﹣2      ﹣3.
    9.(3分)(2016•梅州)在一个不透明的口袋中,装有若干个除颜色不同外,其余都相同的小球.如果口袋中装有3个红球且从中随机摸出一个球是红球的概率为,那么口袋中小球共有      个.
    10.(3分)(2016•梅州)流经我市的汀江,在青溪水库的正常库容是6880万立方米.6880万用科学记数法表示为      .
    11.(3分)(2016•梅州)已知点P(3﹣m,m)在第二象限,则m的取值范围是      .
    12.(3分)(2016•梅州)用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形.设矩形的一边长为xcm,则可列方程为      .
    13.(3分)(2016•梅州)如图,在平行四边形ABCD中,点E是边AD的中点,EC交对角线BD于点F,若S△DEC=3,则S△BCF=      .

    14.(3分)(2016•梅州)如图,抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C,点D(0,1),点P是抛物线上的动点.若△PCD是以CD为底的等腰三角形,则点P的坐标为      .

    15.(3分)(2016•梅州)如图,在平面直角坐标系中,将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置,点B、O分别落在点B1、C1处,
    点B1在x轴上,再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置,点C2在x轴上,将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置,点A2在x轴上,依次进行下去….若点A(,0),B(0,2),则点B2016的坐标
    为      .

     
    三、解答下列各题:本题有9小题,共75分.解答应写文字说明、推理过程或演算步骤.
    16.(7分)(2016•梅州)计算:.







    17.(7分)(2016•梅州)我市某校开展了以“梦想中国”为主题的摄影大赛,要求参赛学生每人交一件作品.现将从中挑选的50件参赛作品的成绩(单位:分)统计如下:
    等级
    成绩(用m表示)
    频数
    频率
    A
    90≤m≤100
    x
    0.08
    B
    80≤m<90
    34
    y
    C
    m<80
    12
    0.24
    合计

    50
    1
    请根据上表提供的信息,解答下列问题:
    (1)表中x的值为      ,y的值为      ;(直接填写结果)
    (2)将本次参赛作品获得A等级的学生依次用A1、A2、A3…表示.现该校决定从本次参赛作品获得A等级的学生中,随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会,则恰好抽到学生A1和A2的概率为      .(直接填写结果)



    18.(7分)(2016•梅州)如图,在平行四边形ABCD中,以点A为圆心,AB长为半径画弧交AD于点F,再分别以点B、F为圆心,大于长为半径画弧,两弧交于一点P,连
    接AP并延长交BC于点E,连接EF.
    (1)四边形ABEF是      ;(选填矩形、菱形、正方形、无法确定)(直接填写结果)
    (2)AE,BF相交于点O,若四边形ABEF的周长为40,BF=10,则AE的长为      ,∠ABC=      °.(直接填写结果)



    19.(7分)(2016•梅州)如图,已知在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A(2,5)在反比例函数y=的图象上.一次函数y=x+b的图象过点A,且与反比例函数图象的另一交点为B.
    (1)求k和b的值;
    (2)设反比例函数值为y1,一次函数值为y2,求y1>y2时x的取值范围.



    20.(9分)(2016•梅州)如图,点D在⊙O的直径AB的延长线上,点C在⊙O上,AC=CD,∠ACD=120°.
    (1)求证:CD是⊙O的切线;
    (2)若⊙O的半径为2,求图中阴影部分的面积.








    21.(9分)(2016•梅州)关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等实根x1、x2.
    (1)求实数k的取值范围.
    (2)若方程两实根x1、x2满足x1+x2=﹣x1•x2,求k的值.







    22.(9分)(2016•梅州)如图,平行四边形ABCD中,BD⊥AD,∠A=45°,E、F分别是AB、CD上的点,且BE=DF,连接EF交BD于O.
    (1)求证:BO=DO;
    (2)若EF⊥AB,延长EF交AD的延长线于G,当FG=1时,求AE的长.








    23.(10分)(2016•梅州)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5cm,∠BAC=60°,动点M从点B出发,在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动,同时动点N从点C出发,在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动,设运动时间为t秒(0≤t≤5),连接MN.
    (1)若BM=BN,求t的值;
    (2)若△MBN与△ABC相似,求t的值;
    (3)当t为何值时,四边形ACNM的面积最小?并求出最小值.




    24.(10分)(2016•梅州)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c过A,B,C三点,点A的坐标是(3,0),点C的坐标是(0,﹣3),动点P在抛物线上.

    (1)b=      ,c=      ,点B的坐标为      ;(直接填写结果)
    (2)是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,说明理由;
    (3)过动点P作PE垂直y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线.垂足为F,连接EF,当线段EF的长度最短时,求出点P的坐标.
     

    2016年广东省梅州市中考数学试卷
    参考答案与试题解析

    一、选择题:每小题3分,共21分.每小题给出四个答案,其中只有一个是正确的.
    1.(3分)(2016•梅州)计算:(﹣3)+4的结果是(  )
    A.﹣7B.﹣1C.1D.7
    【考点】有理数的加法.菁优网版权所有
    【分析】根据异号两数相加,取绝对值较大的数的符号,再用较大的绝对值减去较小的绝对值,可得答案.
    【解答】解:原式=+(4﹣3)=1.
    故选:C.
    【点评】本题考查了有理数的加法,先确定和的符号,再进行绝对值的运算.
     
    2.(3分)(2016•梅州)若一组数据3,x,4,5,6的众数是3,则这组数据的中位数为(  )
    A.3B.4C.5D.6
    【考点】众数;中位数.菁优网版权所有
    【分析】根据众数的定义先求出x的值,再根据中位数的定义把这组数据从小到大排列,找出最中间的数即可得出答案.
    【解答】解:∵一组数据3,x,4,5,6的众数是3,
    ∴x=3,
    把这组数据按照从小到大的顺序排列为:3,3,4,5,6,
    最中间的数是4,则这组数据的中位数为4;
    故选B.
    【点评】本题考查了众数与中位数,中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数,如果中位数的概念掌握得不好,不把数据按要求重新排列,就会出错;众数是一组数据中出现次数最多的数.
     
    3.(3分)(2016•梅州)如图,几何体的俯视图是(  )

    A.B.C.D.
    【考点】简单组合体的三视图.菁优网版权所有
    【分析】根据从上面看得到的视图是俯视图,可得答案.
    【解答】解:从上面看,几何体的俯视图是.
    故选:D.
    【点评】本题考查了简单组合体的三视图,从上面看得到的视图是俯视图.
     
    4.(3分)(2016•梅州)分解因式a2b﹣b3结果正确的是(  )
    A.b(a+b)(a﹣b)B.b(a﹣b)2C.b(a2﹣b2)D.b(a+b)2
    【考点】提公因式法与公式法的综合运用.菁优网版权所有
    【分析】直接提取公因式b,进而利用平方差公式分解因式得出答案.
    【解答】解:a2b﹣b3
    =b(a2﹣b2)
    =b(a+b)(a﹣b).
    故选:A.
    【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式,正确应用平方差公式是解题关键.
     
    5.(3分)(2016•梅州)如图,BC⊥AE于点C,CD∥AB,∠B=55°,则∠1等于(  )

    A.55°B.45°C.35°D.25°
    【考点】平行线的性质.菁优网版权所有
    【分析】根据垂直的定义得到∠ACB=90°,得到∠BCE=90°,根据平行线的性质求出∠BCD=55°,计算即可.
    【解答】解:∵BC⊥AE,
    ∴∠ACB=90°,
    ∴∠BCE=90°,
    ∵CD∥AB,∠B=55°,
    ∴∠BCD=∠B=55°,
    ∴∠1=90°﹣55°=35°,
    故选:C.
    【点评】本题考查的是平行线的性质和垂直的定义,两直线平行,同位角相等;两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,内错角相等.
     
    6.(3分)(2016•梅州)二次根式有意义,则x的取值范围是(  )
    A.x>2B.x<2C.x≥2D.x≤2
    【考点】二次根式有意义的条件.菁优网版权所有
    【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式,解不等式即可.
    【解答】解:由题意得2﹣x≥0,
    解得,x≤2,
    故选:D.
    【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件,掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键.
     
    7.(3分)(2016•梅州)对于实数a、b,定义一种新运算“⊗”为:a⊗b=,这里等式右边是实数运算.例如:1⊗3=.则方程x⊗(﹣2)=﹣1的解是(  )
    A.x=4B.x=5C.x=6D.x=7
    【考点】分式方程的解.菁优网版权所有
    【专题】新定义.
    【分析】所求方程利用题中的新定义化简,求出解即可.
    【解答】解:根据题意,得=﹣1,
    去分母得:1=2﹣(x﹣4),
    解得:x=5,
    经检验x=5是分式方程的解.
    故选B.
    【点评】此题考查了解分式方程,弄清题中的新定义是解本题的关键.
     
    二、填空题:每小题3分,共24分.
    8.(3分)(2016•梅州)比较大小:﹣2 > ﹣3.
    【考点】有理数大小比较.菁优网版权所有
    【分析】本题是基础题,考查了实数大小的比较.两负数比大小,绝对值大的反而小;或者直接想象在数轴上比较,右边的数总比左边的数大.
    【解答】解:在两个负数中,绝对值大的反而小,可求出﹣2>﹣3.
    故答案为:>.
    【点评】(1)在以向右方向为正方向的数轴上两点,右边的点表示的数比左边的点表示的数大.
    (2)正数大于0,负数小于0,正数大于负数.
    (3)两个正数中绝对值大的数大.
    (4)两个负数中绝对值大的反而小.
     
    9.(3分)(2016•梅州)在一个不透明的口袋中,装有若干个除颜色不同外,其余都相同的小球.如果口袋中装有3个红球且从中随机摸出一个球是红球的概率为,那么口袋中小球共有 15 个.
    【考点】概率公式.菁优网版权所有
    【专题】计算题.
    【分析】设口袋中小球共有x个,根据概率公式得到=,然后利用比例性质求出x即可.
    【解答】解:设口袋中小球共有x个,
    根据题意得=,解得x=15,
    所以口袋中小球共有15个.
    故答案为15.
    【点评】本题考查了概率公式:随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数.
     
    10.(3分)(2016•梅州)流经我市的汀江,在青溪水库的正常库容是6880万立方米.6880万用科学记数法表示为 6.88×107 .
    【考点】科学记数法—表示较大的数.菁优网版权所有
    【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,整数位数减1即可.当原数绝对值>10时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
    【解答】解:6880万=68800000=6.88×107.
    故答案为:6.88×107.
    【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
     
    11.(3分)(2016•梅州)已知点P(3﹣m,m)在第二象限,则m的取值范围是 m>3 .
    【考点】点的坐标;解一元一次不等式组.菁优网版权所有
    【分析】根据第二象限的点的横坐标是负数,纵坐标是正数列出不等式组,求解即可.
    【解答】解:∵点P(3﹣m,m)在第二象限,
    ∴解得:m>3;
    故答案为:m>3.
    【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式,记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键,四个象限的符号特点分别是:第一象限(+,+);第二象限(﹣,+);第三象限(﹣,﹣);第四象限(+,﹣).
     
    12.(3分)(2016•梅州)用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形.设矩形的一边长为xcm,则可列方程为 x(20﹣x)=64 .
    【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.菁优网版权所有
    【专题】几何图形问题.
    【分析】本题可根据长方形的周长可以用x表示宽的值,然后根据面积公式即可列出方程.
    【解答】解:设矩形的一边长为xcm,
    ∵长方形的周长为40cm,
    ∴宽为=(20﹣x)(cm),
    得x(20﹣x)=64.
    故答案为:x(20﹣x)=64.
    【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,要掌握运用长方形的面积计算公式S=ab来解题的方法.
     
    13.(3分)(2016•梅州)如图,在平行四边形ABCD中,点E是边AD的中点,EC交对角线BD于点F,若S△DEC=3,则S△BCF= 4 .

    【考点】相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质.菁优网版权所有
    【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC和△DEF∽△BCF,由已知条件求出△DEF的面积,根据相似三角形的面积比是相似比的平方得到答案.
    【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴AD∥BC,AD=BC,
    ∴△DEF∽△BCF,
    ∴,=()2,
    ∵E是边AD的中点,
    ∴DE=AD=BC,
    ∴=,
    ∴△DEF的面积=S△DEC=1,
    ∴=,
    ∴S△BCF=4;
    故答案为:4.
    【点评】本题考查的是平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质;掌握三角形相似的判定定理和性质定理是解题的关键,注意:相似三角形的面积比是相似比的平方.
     
    14.(3分)(2016•梅州)如图,抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C,点D(0,1),点P是抛物线上的动点.若△PCD是以CD为底的等腰三角形,则点P的坐标为 (1+\sqrt{2},2)或(1﹣\sqrt{2},2) .

    【考点】二次函数图象上点的坐标特征;等腰三角形的判定.菁优网版权所有
    【专题】动点型.
    【分析】当△PCD是以CD为底的等腰三角形时,则P点在线段CD的垂直平分线上,由C、D坐标可求得线段CD中点的坐标,从而可知P点的纵坐标,代入抛物线解析式可求得P点坐标.
    【解答】解:
    ∵△PCD是以CD为底的等腰三角形,
    ∴点P在线段CD的垂直平分线上,
    如图,过P作PE⊥y轴于点E,则E为线段CD的中点,
    ∵抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C,
    ∴C(0,3),且D(0,1),
    ∴E点坐标为(0,2),
    ∴P点纵坐标为2,
    在y=﹣x2+2x+3中,令y=2,可得﹣x2+2x+3=2,解得x=1±,
    ∴P点坐标为(1+,2)或(1﹣,2),
    故答案为:(1+,2)或(1﹣,2).
    【点评】本题主要考查等腰三角形的性质,利用等腰三角形的性质求得P点纵坐标是解题的关键.
     
    15.(3分)(2016•梅州)如图,在平面直角坐标系中,将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置,点B、O分别落在点B1、C1处,
    点B1在x轴上,再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置,点C2在x轴上,将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置,点A2在x轴上,依次进行下去….若点A(,0),B(0,2),则点B2016的坐标
    为 (6048,2) .

    【考点】坐标与图形变化-旋转.菁优网版权所有
    【专题】规律型.
    【分析】首先根据已知求出三角形三边长度,然后通过旋转发现,B、B2、B4…,即可得每偶数之间的B相差6个单位长度,根据这个规律可以求得B2016的坐标.
    【解答】解:∵AO=,BO=2,
    ∴AB==,
    ∴OA+AB1+B1C2=6,
    ∴B2的横坐标为:6,且B2C2=2,
    ∴B4的横坐标为:2×6=12,
    ∴点B2016的横坐标为:2016÷2×6=6048.
    ∴点B2016的纵坐标为:2.
    ∴点B2016的坐标为:(6048,2).
    故答案为:(6048,2).
    【点评】此题考查了点的坐标规律变换,通过图形旋转,找到所有B点之间的关系是本题的关键.
     
    三、解答下列各题:本题有9小题,共75分.解答应写文字说明、推理过程或演算步骤.
    16.(7分)(2016•梅州)计算:.
    【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.菁优网版权所有
    【专题】计算题.
    【分析】根据实数的运算顺序,首先计算乘方、乘法,然后从左向右依次计算,求出算式的值是多少即可.
    【解答】解:
    =1+×﹣3+2
    =1+1﹣3+2
    =1
    【点评】(1)此题主要考查了实数的运算,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:在进行实数运算时,和有理数运算一样,要从高级到低级,即先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减,有括号的要先算括号里面的,同级运算要按照从左到右的顺序进行.另外,有理数的运算律在实数范围内仍然适用.
    (2)此题还考查了零指数幂的运算,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①a0=1(a≠0);②00≠1.
    (3)此题还考查了负整数指数幂的运算,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①a﹣p=(a≠0,p为正整数);②计算负整数指数幂时,一定要根据负整数指数幂的意义计算;③当底数是分数时,只要把分子、分母颠倒,负指数就可变为正指数.
    (4)此题还考查了特殊角的三角函数值,要牢记30°、45°、60°角的各种三角函数值.
     
    17.(7分)(2016•梅州)我市某校开展了以“梦想中国”为主题的摄影大赛,要求参赛学生每人交一件作品.现将从中挑选的50件参赛作品的成绩(单位:分)统计如下:
    等级
    成绩(用m表示)
    频数
    频率
    A
    90≤m≤100
    x
    0.08
    B
    80≤m<90
    34
    y
    C
    m<80
    12
    0.24
    合计

    50
    1
    请根据上表提供的信息,解答下列问题:
    (1)表中x的值为 4 ,y的值为 0.68 ;(直接填写结果)
    (2)将本次参赛作品获得A等级的学生依次用A1、A2、A3…表示.现该校决定从本次参赛作品获得A等级的学生中,随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会,则恰好抽到学生A1和A2的概率为 \frac{1}{6} .(直接填写结果)
    【考点】列表法与树状图法;频数(率)分布表.菁优网版权所有
    【专题】计算题.
    【分析】(1)利用频(数)率分布表,利用频数和分别减去B、C等级的频数即可得到x的值,然后用B等级的频数除以总数即可得到y的值;
    (2)画树状图展示所有12种等可能的结果数,再找出恰好抽到学生A1和A2的结果数,然后根据概率公式求解.
    【解答】解:(1)x=50﹣12﹣34=4,y==0.68;
    故答案为4,0.68;
    (2)画树状图为:

    共有12种等可能的结果数,其中恰好抽到学生A1和A2的结果数为2,
    所以恰好抽到学生A1和A2的概率==,
    故答案为4,0.68;.
    【点评】本题考查了列表法与树状图法:通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式求出事件A或B的概率.也考查了频(数)率分布表.
     
    18.(7分)(2016•梅州)如图,在平行四边形ABCD中,以点A为圆心,AB长为半径画弧交AD于点F,再分别以点B、F为圆心,大于长为半径画弧,两弧交于一点P,连
    接AP并延长交BC于点E,连接EF.
    (1)四边形ABEF是 菱形 ;(选填矩形、菱形、正方形、无法确定)(直接填写结果)
    (2)AE,BF相交于点O,若四边形ABEF的周长为40,BF=10,则AE的长为 10\sqrt{3} ,∠ABC= 120 °.(直接填写结果)

    【考点】菱形的判定与性质;平行四边形的性质;作图—基本作图.菁优网版权所有
    【分析】(1)先证明△AEB≌△AEF,推出∠EAB=∠EAF,由AD∥BC,推出∠EAF=∠AEB=∠EAB,得到BE=AB=AF,由此即可证明.
    (2)根据菱形的性质首先证明△AOB是含有30°的直角三角形,由此即可解决问题.
    【解答】解:(1)在△AEB和△AEF中,

    ∴△AEB≌△AEF,
    ∴∠EAB=∠EAF,
    ∵AD∥BC,
    ∴∠EAF=∠AEB=∠EAB,
    ∴BE=AB=AF.
    ∵AF∥BE,
    ∴四边形ABEF是平行四边形
    ∵AB=AF,
    ∴四边形ABEF是菱形.
    故答案为菱形.
    (2)∵四边形ABEF是菱形,
    ∴AE⊥BF,BO=OF=5,∠ABO=∠EBO,
    ∵AB=10,
    ∴AB=2BO,∵∠AOB=90°
    ∴∠BA0=30°,∠ABO=60°,
    ∴AO=BO=5,∠ABC=2∠ABO=120°.
    故答案为,120.

    【点评】本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的性质、作图﹣基本作图等知识,解题的关键是全等三角形的证明,想到利用特殊三角形解决问题,属于中考常考题型.
     
    19.(7分)(2016•梅州)如图,已知在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A(2,5)在反比例函数y=的图象上.一次函数y=x+b的图象过点A,且与反比例函数图象的另一交点为B.
    (1)求k和b的值;
    (2)设反比例函数值为y1,一次函数值为y2,求y1>y2时x的取值范围.

    【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.菁优网版权所有
    【分析】(1)把A(2,5)分别代入和y=x+b,即可求出k和b的值;
    (2)联立一次函数和反比例函数的解析式,求出交点坐标,进而结合图形求出y1>y2时x的取值范围.
    【解答】解:(1)把A(2,5)分别代入和y=x+b,
    得,
    解得k=10,b=3;
    (2)由(1)得,直线AB的解析式为y=x+3,
    反比例函数的解析式为.
    由,解得:或.
    则点B的坐标为(﹣5,﹣2).
    由图象可知,当y1>y2时,x的取值范围是x<﹣5或0<x<2.
    【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题,解题的关键是求出k和b的值,此题难度不大.
     
    20.(9分)(2016•梅州)如图,点D在⊙O的直径AB的延长线上,点C在⊙O上,AC=CD,∠ACD=120°.
    (1)求证:CD是⊙O的切线;
    (2)若⊙O的半径为2,求图中阴影部分的面积.

    【考点】扇形面积的计算;等腰三角形的性质;切线的判定;特殊角的三角函数值.菁优网版权所有
    【专题】几何图形问题.
    【分析】(1)连接OC.只需证明∠OCD=90°.根据等腰三角形的性质即可证明;
    (2)阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积.
    【解答】(1)证明:连接OC.
    ∵AC=CD,∠ACD=120°,
    ∴∠A=∠D=30°.
    ∵OA=OC,
    ∴∠2=∠A=30°.
    ∴∠OCD=180°﹣∠A﹣∠D﹣∠2=90°.即OC⊥CD,
    ∴CD是⊙O的切线.

    (2)解:∵∠A=30°,
    ∴∠1=2∠A=60°.
    ∴S扇形BOC=.
    在Rt△OCD中,
    ∵,
    ∴.
    ∴.
    ∴图中阴影部分的面积为:.

    【点评】此题综合考查了等腰三角形的性质、切线的判定方法、扇形的面积计算方法.
     
    21.(9分)(2016•梅州)关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等实根x1、x2.
    (1)求实数k的取值范围.
    (2)若方程两实根x1、x2满足x1+x2=﹣x1•x2,求k的值.
    【考点】根的判别式;根与系数的关系.菁优网版权所有
    【分析】(1)根据根与系数的关系得出△>0,代入求出即可;
    (2)根据根与系数的关系得出x1+x2=﹣(2k+1),x1•x2=k2+1,根据x1+x2=﹣x1•x2得出﹣(2k+1)=﹣(k2+1),求出方程的解,再根据(1)的范围确定即可.
    【解答】解:(1)∵原方程有两个不相等的实数根,
    ∴△=(2k+1)2﹣4(k2+1)>0,
    解得:k>,
    即实数k的取值范围是k>;

    (2)∵根据根与系数的关系得:x1+x2=﹣(2k+1),x1•x2=k2+1,
    又∵方程两实根x1、x2满足x1+x2=﹣x1•x2,
    ∴﹣(2k+1)=﹣(k2+1),
    解得:k1=0,k2=2,
    ∵k>,
    ∴k只能是2.
    【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式的应用,能正确运用性质进行计算是解此题的关键,题目比较好,难度适中.
     
    22.(9分)(2016•梅州)如图,平行四边形ABCD中,BD⊥AD,∠A=45°,E、F分别是AB、CD上的点,且BE=DF,连接EF交BD于O.
    (1)求证:BO=DO;
    (2)若EF⊥AB,延长EF交AD的延长线于G,当FG=1时,求AE的长.

    【考点】平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质.菁优网版权所有
    【分析】(1)由平行四边形的性质和AAS证明△OBE≌△ODF,得出对应边相等即可;
    (2)证出AE=GE,再证明DG=DO,得出OF=FG=1,即可得出结果.
    【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴DC∥AB,
    ∴∠OBE=∠ODF.
    在△OBE与△ODF中,

    ∴△OBE≌△ODF(AAS).
    ∴BO=DO.
    (2)解:∵EF⊥AB,AB∥DC,
    ∴∠GEA=∠GFD=90°.
    ∵∠A=45°,
    ∴∠G=∠A=45°.
    ∴AE=GE
    ∵BD⊥AD,
    ∴∠ADB=∠GDO=90°.
    ∴∠GOD=∠G=45°.
    ∴DG=DO,
    ∴OF=FG=1,
    由(1)可知,OE=OF=1,
    ∴GE=OE+OF+FG=3,
    ∴AE=3.
    【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质;熟练掌握平行四边形的性质,证明三角形全等是解决问题(1)的关键.
     
    23.(10分)(2016•梅州)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5cm,∠BAC=60°,动点M从点B出发,在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动,同时动点N从点C出发,在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动,设运动时间为t秒(0≤t≤5),连接MN.
    (1)若BM=BN,求t的值;
    (2)若△MBN与△ABC相似,求t的值;
    (3)当t为何值时,四边形ACNM的面积最小?并求出最小值.

    【考点】相似形综合题.菁优网版权所有
    【分析】(1)由已知条件得出AB=10,. 由题意知:BM=2t,,,由BM=BN得出方程,解方程即可;
    (2)分两种情况:①当△MBN∽△ABC时,由相似三角形的对应边成比例得出比例式,即可得出tt的值;
    ②当△NBM∽△ABC时,由相似三角形的对应边成比例得出比例式,即可得出tt的值;
    (3)过M作MD⊥BC于点D,则MD∥AC,证出△BMD∽△BAC,得出比例式求出MD=t.四边形ACNM的面积y=△ABC的面积﹣△BMN的面积,得出y是t的二次函数,由二次函数的性质即可得出结果.
    【解答】解:(1)∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,∠BAC=60°,
    ∴∠B=30°,
    ∴AB=2AC=10,.
    由题意知:BM=2t,,
    ∴,
    ∵BM=BN,
    ∴,
    解得:.
    (2)分两种情况:①当△MBN∽△ABC时,
    则,即,
    解得:.
    ②当△NBM∽△ABC时,
    则,即,
    解得:.
    综上所述:当或时,△MBN与△ABC相似.
    (3)过M作MD⊥BC于点D,则MD∥AC,
    ∴△BMD∽△BAC,
    ∴,
    即,
    解得:MD=t.
    设四边形ACNM的面积为y,
    ∴===.
    ∴根据二次函数的性质可知,当时,y的值最小.
    此时,.

    【点评】本题是相似形综合题目,考查了相似三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形面积的计算;本题综合性强,证明三角形相似是解决问题的关键.
     
    24.(10分)(2016•梅州)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c过A,B,C三点,点A的坐标是(3,0),点C的坐标是(0,﹣3),动点P在抛物线上.

    (1)b= ﹣2 ,c= ﹣3 ,点B的坐标为 (﹣1,0) ;(直接填写结果)
    (2)是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,说明理由;
    (3)过动点P作PE垂直y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线.垂足为F,连接EF,当线段EF的长度最短时,求出点P的坐标.
    【考点】二次函数综合题.菁优网版权所有
    【分析】(1)将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值,然后令y=0可求得点B的坐标;
    (2)分别过点C和点A作AC的垂线,将抛物线与P1,P2两点先求得AC的解析式,然后可求得P1C和P2A的解析式,最后再求得P1C和P2A与抛物线的交点坐标即可;
    (3)连接OD.先证明四边形OEDF为矩形,从而得到OD=EF,然后根据垂线段最短可求得点D的纵坐标,从而得到点P的纵坐标,然后由抛物线的解析式可求得点P的坐标.
    【解答】解:(1)∵将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得:,解得:b=﹣2,c=﹣3.
    ∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3.
    ∵令x2﹣2x﹣3=0,解得:x1=﹣1,x2=3.
    ∴点B的坐标为(﹣1,0).
    故答案为:﹣2;﹣3;(﹣1,0).
    (2)存在.
    理由:如图所示:

    ①当∠ACP1=90°.
    由(1)可知点A的坐标为(3,0).
    设AC的解析式为y=kx﹣3.
    ∵将点A的坐标代入得3k﹣3=0,解得k=1,
    ∴直线AC的解析式为y=x﹣3.
    ∴直线CP1的解析式为y=﹣x﹣3.
    ∵将y=﹣x﹣3与y=x2﹣2x﹣3联立解得x1=1,x2=0(舍去),
    ∴点P1的坐标为(1,﹣4).
    ②当∠P2AC=90°时.
    设AP2的解析式为y=﹣x+b.
    ∵将x=3,y=0代入得:﹣3+b=0,解得b=3.
    ∴直线AP2的解析式为y=﹣x+3.
    ∵将y=﹣x+3与y=x2﹣2x﹣3联立解得x1=﹣2,x2=3(舍去),
    ∴点P2的坐标为(﹣2,5).
    综上所述,P的坐标是(1,﹣4)或(﹣2,5).
    (3)如图2所示:连接OD.

    由题意可知,四边形OFDE是矩形,则OD=EF.
    根据垂线段最短,可得当OD⊥AC时,OD最短,即EF最短.
    由(1)可知,在Rt△AOC中,
    ∵OC=OA=3,OD⊥AC,
    ∴D是AC的中点.
    又∵DF∥OC,
    ∴.
    ∴点P的纵坐标是.
    ∴,解得:.
    ∴当EF最短时,点P的坐标是:(,)或(,).
    【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、矩形的性质、垂线的性质,求得P1C和P2A的解析式是解答问题(2)的关键,求得点P的纵坐标是解答问题(3)的关键.
     
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