2022年广东省梅州市五华县中考一模数学试卷（含解析）

这是一份2022年广东省梅州市五华县中考一模数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年广东省梅州市五华县中考一模数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成这四个图案中是中心对称图形的是（　　）
A．     B．  
C．   D．    
2．为缓解中低收入人群和新参加工作的大学生住房的需求，某市将新建保障住房3900000套，把3900000用科学记数法表示应是（　　）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．已知，，则的值是（    ）
A．6 B．﹣6 C．1 D．﹣1
6．若一元一次不等式组的解集是，则“”表示的不等式可以是（    ）
A． B． C． D．
7．已知直线，直线与直线关于x轴对称，将直线向下平移6个单位得到直线，则直线与直线的交点坐标为（　　）
A． B． C． D．
8．小刚在解关于的方程时，只抄对了，发现可以分解为，他核对时发现所抄的比原方程的值大2，比原方程的值小2．则原方程的根的情况是（    ）
A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个根是 D．有两个相等的实数根
9．若等腰三角形的周长是20cm，则能反映这个等腰三角形的腰长ycm与底边长xcm的函数关系的图像是（    ）
A． B．
C． D．
10．如图，已知二次函数的图象与轴相交于、两点．则以下结论：①；②二次函数的图象的对称轴为；③；④．其中正确的有（    ）个．

A．0 B．1 C．2 D．3

二、填空题
11．比较大小：3﹣_____﹣2．
12．分式 有意义， 的取值范围是________________．
13．已知，点A（a﹣1，3）与点B（2，﹣2b﹣1）关于原点对称，则2a+b＝_____．
14．若实数，分别满足的两个根，则__________________．
15．如图，长方形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上，将一边 AD 折叠，使点 A恰好落在边 BC 的点 F 处，折痕为 DE．若 AB=4，BF=2，则 AE的长是________________．

16．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上，点A坐标为(-4,0)，点D的坐标为(-1,4)，反比例函数的图象恰好经过点C，则k的值为______.


三、解答题
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．某校组织全校学生进行了“航天知识竞赛”，教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为x分）分成如表中四组，并得到如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题：
分组
频数
A：
a
B：
18
C：
24
D：
b
(1)n的值为　　　　　，a的值为　 　，b的值为　 　；
(2)请补全频数分布直方图并计算扇形统计图中表示“C”的圆心角的度数为　 　°；
(3)竞赛结束后，九年级一班从本班获得优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机为抽取两名宣讲航天知识，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．
20．如图，在中，，．

（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的__________，射线是的__________；
（2）在（1）所作的图中，求的度数．
21．如图，一艘轮船以每小时30海里的速度自东向西航行，在处测得小岛位于其西北方向（北偏西方向），2小时后轮船到达处，在处测得小岛位于其北偏东方向．求此时船与小岛的距离（结果保留整数，参考数据：，）．

22．如图，为半圆O的直径，C为半圆上一点，连接，点D为的中点，过D作，交的延长线于点E．

(1)求证：是半圆O的切线．
(2)若，，求的长．
23．网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/，每日销售量y（）与销售单价x（元/）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于32元/．设公司销售板栗的日获利为w（元）．
x（元/）
10
11
12
y（）
4000
3900
3800
(1)求出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式并写出自变量的取值范围；
(2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？
24．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”．
(1)下列选项中一定是“等补四边形”的是________；
A．平行四边形；B．矩形；C．正方形；D．菱形
(2)如图1，在边长为a的正方形中，E为边上一动点（E不与C、D重合），交于点F，过F作交于点H．

①试判断四边形是否为“等补四边形”并说明理由；
②如图2，连接，求的周长；
③若四边形是“等补四边形”，求的长．
25．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线解析式；
(2)如图2，M是抛物线顶点，的外接圆与x轴的另一交点为D，与y轴的另一交点为E．
①求；
②若点N是第一象限内抛物线上的一个动点，在射线上是否存在点P，使得与相似？如果存在，请求出点P的坐标；
(3)点Q是拋物线对称轴上一动点，若为锐角，且，请直接写出点Q纵坐标的取值范围．

参考答案：
1．B
【分析】根据中心对称图形的概念逐一判断即可.
【详解】解： A选项：不是中心对称图形，故不符合题意；
B选项：是中心对称图形, 符合题意；
C选项：不是中心对称图形，故不符合题意；
D选项：不是中心对称图形，故不符合题意.
故选：B．
【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，解题的关键在于熟练掌握中心对称图形的概念．一个图形绕着某固定点旋转180度后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形．
2．D
【分析】根据科学记数法的表现形式（即，其中为正整数）进行改写即可．
【详解】解：．
故选：D．
【点睛】本题考查了科学记数法，正确确定a和n的值是解题的关键．
3．A
【分析】根据积的乘方，同底数幂的除法，合并同类项，二次根式的加减法运算法则逐一计算作出判断.
【详解】解：A、，故此选项符合题意；
B、，故此选项不合题意；
C、，故此选项不合题意；
D、和不是同类二次根式，无法合并，故此选项不合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了积的乘方，同底数幂的除法，合并同类项，二次根式的加减法，掌握相关的运算法则是解题的关键．
4．A
【分析】根据高线的定义即可得出结论．
【详解】解：B，C，D都不是△ABC的边BC上的高，
A选项是△ABC的边BC上的高，
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形的高，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
5．B
【分析】首先将 变形为，再代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴


，
故选：B．
【点睛】本题考查提公因式法因式分解，解题关键是准确找出公因式，将原式分解因式．
6．A
【分析】利用一元一次不等式的解法，求出各选项的解集，再结合题中所给的解集，即可得出答案．
【详解】解：解不等式x-1<1，得x<2，
若一元一次不等式组的解集是，则“”表示的不等式的解集是x>-3，
解不等式x+3>0，得x>-3，则“”表示的不等式可以是选项A；
解不等式x- 3<0，得x<3，则“”表示的不等式不可以是选项B；
解不等式x+3<0，得x <-3，则“”表示的不等式不可以是选项C；
解不等式x-3>0，得x>3，则“”表示的不等式不可以是选项D．
故选： A．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解集．
7．A
【分析】先根据直线与直线关于轴对称，求出直线的解析式，再根据一次函数图象平移，求出直线，再联立，的解析式，求解即可．
【详解】解：直线，直线与直线关于x轴对称，则直线，
直线，将直线向下平移6个单位得到直线，则直线，即，
联立方程组，
解得．
即直线与直线的交点坐标为．
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数图象的平移，待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质，两直线的交点，熟练掌握一次函数图象的平移，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与二元一次方程组的关系是解题的关键．
8．B
【分析】将抄错的方程展开得，则，，，根据他核对时发现所抄的比原方程的值大2，比原方程的值小2得，，即可得正确的方程为，根据求根公式进行计算即可得．
【详解】解：∵，
∴，
，
则抄错后的方程为，
∴，，，
∵他核对时发现所抄的比原方程的值大2，比原方程的值小2，
∴，，
∴正确的方程为，
∴，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根，解题意的关键是理解题意，写出正确的方程，掌握求根公式．
9．B
【分析】根据三角形的周长公式，可得函数解析式，根据三角形的两边之和大于第三边，三角形的边是正数，可得自变量的取值范围，可得答案．
【详解】解：根据题意得 2y+x=20．
∴y=10-x，
由y+y>x，即20-x>x，得x<10，
又x>0，
∴0 ∴y关于x的函数关系式为y=10-x（0 故选：B．
【点睛】本题考查了函数图像，利用三角形的两边之和大于第三边，三角形的边是正数得出自变量的取值范围是解题关键．
10．C
【分析】根据二次函数的图像性质逐个分析即可．
【详解】解：对于①：二次函数开口向下，故a<0，与y轴的交点在y的正半轴，故c>0，故ac<0，故①错误；
对于②：二次函数的图像与轴相交于、，由对称性可知，其对称轴为：，故②错误；
对于③：设二次函数的交点式为，比较一般式与交点式的系数可知：，故，故③正确；
对于④：当时对应的，观察图像可知时对应的函数图像的值在轴上方，故，故④正确．
∴只有③④是正确的．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与其系数的关系及二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的图像性质是解决此类题的关键．
11．＞
【分析】利用作差法比较大小，先将3﹣﹣（﹣2），化简以后判断差与0的大小关系即可.
【详解】解：∵3﹣﹣（﹣2）＝5﹣2，且4＜5＜6.25即2＜＜2.5，
∴4＜2＜5，
∴5﹣2＞0，
∴3﹣＞﹣2．
故答案是：＞．
【点睛】此题考查的是用“作差法”比较大小.
12．
【分析】根据分式有意义的条件，使分式分母不等于0，列出不等式，解不等式即可得出答案.
【详解】解：∵分式 有意义，
∴，解得：，
故答案为：.
【点睛】本题考查分式有意义的条件，即：分母不等于0，如果式子中含有多个分母，那么这几个分母都不能为0.
13．-1
【分析】根据关于原点对称点的坐标特点可得a﹣1＝﹣2，﹣2b﹣1＝﹣3，解出a、b的值，然后可得答案．
【详解】解：∵点A（a﹣1，3）与点B（2，﹣2b﹣1）关于原点对称，
∴a﹣1＝﹣2，﹣2b﹣1＝﹣3，
解得：a＝﹣1，b＝1，
∴2a+b＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
14．/
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
根据根与系数的关系得：，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程的两个实数根，则，是解题的关键．
15．
【分析】设AE=x，在中，由勾股定理建立方程求解即可
【详解】设AE=x，则BE=AB-AE=4-x，
由折叠的性质可得：EF=AE=x，
在中，由勾股定理得，BE2+BF2=EF2，
即，
解得，x=，
即AE的长为．
【点睛】本题考查知识点是翻折变换的性质和勾股定理，解决这类题目的关键会利用勾股定理列出方程．
16．16
【分析】过点D作DH⊥x轴，垂足为H，由已知则可得H(-1，0)，DH=4，根据点A(-4，0)，可得AH=3，要卖勾股定理可求得AD长，再根据菱形的性质可得DC=AD=5，DC//AB，根据平移的性质可得C(4，4)，再利用待定系数法即可求得答案.
【详解】过点D作DH⊥x轴，垂足为H，则∠AHD=90°，
又∵D(-1，4)，
∴H(-1，0)，DH=4，
∵A(-4，0)，
∴AH=3，
∴AD==5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DC=AD=5，DC//AB，
∴C(4，4)，
∵反比例函数的图象恰好经过点C，
∴4=，
∴k=16，
故答案为16.

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，点的平移等知识，求出菱形的边长是解题的关键.
17．
【分析】先计算特殊角三角函数值，绝对值，零指数幂和负整数指数幂，然后根据实数的混合计算法则求解即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，特殊角三角函数值，绝对值，零指数幂和负整数指数幂，正确计算是解题的关键．
18．，．
【分析】首先根据分式的运算法则对原式进行化简，再把x的值代入化简后的算式计算即可．
【详解】解：原式=，
∴当时，原式=．
【点睛】本题考查分式的化简与求值和二次根式的运算，根据分式的运算法则对分式进行正确的化简是解题关键．
19．(1)60，6，12
(2)补全频数分布直方图见解析，144
(3)恰好抽到甲、乙两名同学的概率为

【分析】（1）由B的人数除以所占百分比得出n的值，即可求出a、b的值；
（2）由（1）的结果补全频数分布直方图，再由乘以“C”所占的比例即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
故答案为：60，6，12；
（2）解：补全频数分布直方图如下：
；
扇形统计图中表示“C”的圆心角的度数为，
故答案为：144；
（3）解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为．
【点睛】此题主要考查了树状图法求概率以及频数分布直方图和扇形统计图等知识，树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20．（1）垂直平分线，角平分线；（2）25°
【分析】（1）根据图形结合垂直平分线、角平分线的作法即可得到答案；
（2）根据垂直平分线的性质及等腰三角形的性质即可得到，再结合三角形的内角和便能求得，，再根据角平分线的定义即可得到答案．
【详解】解：（1）由图可知：直线是线段的垂直平分线，射线是的角平分线，
故答案为：垂直平分线，角平分线；
（2）∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
∵射线是的平分线，
∴．
【点睛】本题考查了垂直平分线、角平分线的作法以及它们的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握垂直平分线、角平分线的性质是解决本题的关键．
21．此时船与小岛的距离约为44海里
【分析】过P作PH⊥AB，设PH=x，由已知分别求PB、BH、AH，然后根据锐角三角函数求出x值即可求解
【详解】如图，过P作PH⊥AB，设PH=x，
由题意，AB=60，∠PBH=30º，∠PAH=45º，
在Rt△PHA中，AH=PH=x,
在Rt△PBH中，BH=AB-AH=60-x，PB=2x，
∴tan30º=，
即，
解得：，
∴PB=2x=≈44（海里），
答：此时船与小岛的距离约为44海里．

【点睛】本题考查了直角三角形的应用，掌握方向角的概念和解直角三角形的知识是解答本题的关键．
22．(1)见解析
(2)

【分析】(1)连接，先证明，根据平行线的性质，再证明即可．
(2)连接，先证明，根据平行线的性质，再证明即可．
【详解】（1）如图，连接交于点F．

∵D是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是半圆O的切线．
（2）∵，，
∴，，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，等腰三角形的三线合一，三角函数余弦的计算，熟练掌握圆的基本定理，灵活运用三角函数是解题的关键．
23．(1)
(2)当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为48400元

【分析】（1）根据题意设出函数关系式，然后把表中的数据代入两组即可得出；
（2）根据题中条件写出w的函数关系式，然后配成顶点式即可得出最大值；
【详解】（1）设y与x之间的函数关系式为，
把，和，代入得：

解得：
∴．
故答案为：．
（2）由题意得：
，
∵，对称轴为直线，
又，
∴当时，
w有最大值为48400元，
∴当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为48400元．
【点睛】本题考查的主要是二次函数的应用，解题关键是把w的函数表达式配成顶点式．
24．(1)C
(2)①四边形是等补四边形，见解析；②；③或者

【分析】（1）在平行四边形、矩形、正方形、菱形中，只有正方形的邻边相等且对角互补，符合等补四边形的定义，即可得到问题的答案；
（2）①先证A、B、H、F四点共圆，利用圆周角定理可得，进而求出，利用等角对等边得出，最后利用“等补四边形”的定义即可证明；
②将绕A点逆时针旋转得到，证明，再证，得出，即可求出的周长；
③根据，四边形是“等补四边形”可得四边形有一组邻边相等，然后分、、、四种情况讨论即可．
【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、正方形、菱形中，只有正方形的邻边相等且对角互补，
∴正方形是等补四边形，
故选：D．
（2）解：①四边形是“等补四边形”，理由如下：
∵为正方形的对角线，
∴，
又，，
∴A、B、H、F四点共圆，
∴，
∴，
∴，
又，
∴四边形是“等补四边形”．

②将绕A点逆时针旋转得到，

∴，，
∴E、D、L三点共线，
由①得，
∴，
在和中

∴，
∴，
∴的周长；
③∵，四边形ECHF是“等补四边形”，
∴还需要一组邻边相等，分以下四种情况讨论：
情况1：，
连接，

由题意知∶，，
又，
∴，
∴，
则为正三角形，
∴，
∴，
∴，；
情况2：，则，
∴，
同情况1，；
情况3：，由②得的周长．
设，则，有，
∴，
即；
情况4：，
连接，

则，
则HF垂直平分AE，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
又，，
∴，
∴，这不可能，故这种情况不存在．
综上：或者．
【点睛】本题考查了正方形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识，目前题意，理解新定义，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
25．(1)
(2)①；②存在，或或或
(3)或

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①法一：先求出，，进而利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明，则是外接圆的直径，设的中点为F，圆心，再根据对称性求出，得到，过E作于H，求出，，解直角三角形得到，，则；法二：设外接圆与x轴的另一交点为D，同理可得，证明，再由是直径，得到，则；②求出，，，，解直角三角形得到，由于为锐角，要使得与相似，情况1：，根据相似三角形的性质得到或，点P作轴于Q，解直角三角形得到，由勾股定理求出或，进而求出点P的坐标即可情况2：，同理求出或，同理可得或．
（3）得抛物线对称轴为直线，取点，证明当时，点Q在以K为圆心，为半径的圆上，此时，即可得到，同理可得当取时，是直角三角形，即，再根据锐角三角形的定义即可得到答案．
【详解】（1）解：将A，B两点坐标直接代入解析式有，
解得，，
∴拋物线的解析式为．
（2）解：①法一：∵抛物线解析式为，
∴，
把代入，得，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴是外接圆的直径，
设的中点为F，
∴圆心，
∵，，
∴点F在垂直平分线上，即点F的纵坐标于中点的纵坐标相同
∴，
∴，
过E作于H，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴在中，；

法二：设外接圆与x轴的另一交点为D，

同法一：可得是外接圆的直径，，，
∴
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴．
②，，，，
在中，，
在中，
∴，
∴，
又∵点N在射线上，
∴为锐角，要使得与相似，
情况1：，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
∴：，
又∵与相似，
∴或
∴或，
∴或，
∴或，
过点P作轴于Q，

∴，即，
由勾股定理得，
∴或，
解得或，
当时，，则，
∴；
当时，，则，
∴；
情况2：，
∴，
∴，
又∵与相似，
∴或
∴或，
∴或
∴或，
同理可得或．……
综上所述，点P的坐标为或或或．
（3）解：由（2）得抛物线对称轴为直线，取点，

∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，即，
∴当时，点Q在以K为圆心，为半径的圆上，
∴此时，
∴，
同理可得当取时，是直角三角形，即，
∵为锐角，且，
∴，
∴或．
【点睛】本题主要考查了二次函数与圆综合，解直角三角形，勾股定理与勾股定理得逆定理，相似三角形的性质等等，正确作出辅助线并利用分类讨论的思想求解是解题的关键．