人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆第2课时课堂检测

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3.1.2  第2课时 直线与椭圆的位置关系及其应用 基 础 练                                                                                  巩固新知    夯实基础1.若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是(　　)A.      B．－      C．±      D．±2.若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是(　　)A．(－∞，0)∪(1，＋∞)     B．(1,3)∪(3，＋∞)     C．(－∞，－3)∪(－3,0)     D．(1,3)3.已知椭圆＋＝1以及椭圆内一点P(4,2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为(　　)A.        B．－        C．2           D．－24.过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为(　　)A．      B．        C． D．5．（多选）已知椭圆C：内一点M(1,2)，直线与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（    ）A．椭圆的焦点坐标为(2,0)､(-2,0) B．椭圆C的长轴长为C．直线的方程为 D．6.过椭圆＋＝1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．7.已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，经过点F1的一条直线与椭圆交于A，B两点．(1)求△ABF2的周长；(2)若直线AB的倾斜角为，求弦长|AB|.      8.设直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点．(1)求实数b的取值范围；(2)当b＝1时，求|AB|.     能 力 练                                                                                 综合应用   核心素养9.若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（       ）A．0个                B．至多有一个      C．1个         D．2个10.已知F是椭圆＋＝1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为(　　)A．6                   B．15                C．20           D．1211.(多选)已知直线y=kx+1与椭圆，则（    ）A．直线y=kx+1恒过定点(0，1)B．方程表示椭圆的条件为m>0C．方程表示椭圆的条件为0<m<5D．直线与椭圆总有公共点的m取值范围是m≥1且m≠512.椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是(　　)A.                 B.               C.               D.13.在椭圆＋＝1内，过点M(1,1)且被该点平分的弦所在的直线方程为(　　)A．9x－16y＋7＝0     B．16x＋9y－25＝0   C．9x＋16y－25＝0   D．16x－9y－7＝014.已知椭圆：的离心率为，短轴长为．(1)求椭圆的方程；(2)若过点的直线交椭圆于两点，且为线段的中点，求直线的方程．       15.已知椭圆经过点 ，离心率为，过点的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线AM和直线AN的斜率分别为和 ，求证：为定值 16.设O为坐标原点，椭圆的离心率为，且过点．(1)求C的方程；(2)若直线与C交于P，Q两点，且的面积是，求证：．                                  【参考答案】1.C 解析：联立方程可得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，Δ＝144k2－24(2＋3k2)＝0，解得k＝±.2.B解析：由消去y整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.若直线与椭圆有两个公共点，则解得由＋＝1表示椭圆，知m>0且m≠3.综上可知，m>1且m≠3，故选B.3.B 解析：设弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，两式相减，得＋＝0，所以＝－，所以k＝＝－.故选B.4.B解析：易求得直线AB的方程为y＝(x＋)．由消去y并整理，得7x2＋12x＋8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.由弦长公式，得|AB|＝·|x1－x2|＝·＝.]5.BCD  解析：A：由椭圆方程知：其焦点坐标为，错误；B：，即椭圆C的长轴长为，正确；C：由题意，可设直线为，，，则，联立椭圆方程并整理得：，M为椭圆内一点则，∴，可得，即直线为，正确；D：由C知：，，则，正确.故选：BCD.6.  解析： 由已知可得直线方程为y＝2x－2，联立方程组解得A(0，－2)，B，∴S△AOB＝·|OF|·|yA－yB|＝.7.解：(1)椭圆＋＝1，a＝2，b＝，c＝1，由椭圆的定义，得|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，|BF1|＋|BF2|＝2a＝4，又|AF1|＋|BF1|＝|AB|，∴△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝8.(2)由(1)可得F1(－1,0)，∵AB的倾斜角为，则AB的斜率为1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，故直线AB的方程为y＝x＋1，由整理得7y2－6y－9＝0，由根与系数的关系得y1＋y2＝，y1y2＝－，则由弦长公式|AB|＝·＝·＝.8.解：(1)将y＝x＋b代入＋y2＝1，消去y并整理，得3x2＋4bx＋2b2－2＝0.①因为直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点，所以Δ＝16b2－12(2b2－2)＝24－8b2＞0，解得－＜b＜.所以b的取值范围为(－，)．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当b＝1时，方程①为3x2＋4x＝0.解得x1＝0，x2＝－.所以y1＝1，y2＝－.所以|AB|＝＝.9.D 解析：因为直线和圆没有交点，可得，即，所以点是以原点为圆心，为半径的圆及其内部的点，又因为椭圆，可得，所以圆内切于椭圆，即点是椭圆内的点，所以点的一条直线与椭圆的公共点的个数为.故选：D.10.D 解析： S＝|OF|·|y1－y2|≤|OF|·2b＝12.11.AD 解析：由于直线y=kx+1可以化为y-1=k(x-0)，恒过点(0，1)，故A正确；而方程表示椭圆的条件为m>0且m≠5，故B，C错误；若直线与椭圆总有公共点，则点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，则0<≤1且m≠5，故m≥1且m≠5，故D正确.故选：AD.12. A解析：联立方程组可得即(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，则x0＝＝，y0＝1－x0＝1－＝，所以kOP＝＝＝.13.C解析：设弦的两个端点的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，则有＋＝1，＋＝1，两式相减，又x1＋x2＝y1＋y2＝2，因此＋＝0，即＝－，所求直线的斜率是－，弦所在的直线方程是y－1＝－(x－1)，即9x＋16y－25＝0，故选C.14. 解：（1），，又，所以，，，椭圆的标准方程为；（2）设，，则，，两式相减可得，为线段的中点，则，，，，直线的方程为，整理得：．15. 解：（1）由题意椭圆经过点 ，离心率为，可得，解得，故椭圆C的方程为（2）由题意可知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为，由，可得，由于直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，则，解得，设,则，，故，即为定值.16.解：（1）因椭圆过点，则，又椭圆C的离心率为，则有，解得，所以C的方程为．（2）依题意，，由消去x并整理得：，，设，则，于是得，点O到l的距离，因此，即，整理得，即，显然满足，所以.