2022-2023学年江苏省常州市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省常州市八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  要调查下面的问题，适合用普查方式的是(    )

A. 调查某一批西瓜是否甜
B. 调查我国八年级所有学生的视力情况
C. 调查某一批圆珠笔芯的使用寿命
D. 调查神舟十五号载人飞船零部件的质量情况

3.  某校对名女生的身高进行了测量，身高在这一小组的频率为，则该组共有(    )

A. 人 B. 人 C. 人 D. 人

4.  小明在纸上写下一组数字“”这组数字中出现的频数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  一个布袋里放着个黑球和个白球，它们除了颜色以外没有任何其他区别把布袋中的球搅匀后，从中任取个球，则下列事件中属于必然事件的是(    )

A. 个都是黑球 B. 个黑球个白球 C. 个白球个黑球 D. 至少有个黑球

6.  如图，为菱形的对角线，已知，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，中，，绕点逆时针旋转得到，点的对应点是点，连接，若，则旋转角是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在边长为的正方形内作，交于点，交于点，连接，将绕点顺时针旋转到的位置，点的对应点是点若，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

9.  一组数据共个，分为组，第组的频数分别为，，，，第组的频率为，则第组的频数为        ．

10.  下图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在一常数附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是______ ．
 

11.  在▱中，已知，则 ______ ．

12.  已知一个正方形的对角线长为，则此正方形的面积为______．

13.  如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点，则的长为______．

14.  如图，点是矩形的对称中心，、分别是边、上的点，且关于点中心对称，如果矩形的面积是，那么图中阴影部分的面积为______ ．

15.  如图，为▱外一点，且，，若，则的度数为______．

16.  如图，在中，，点、、分别为、、的中点，若，则的长为______．

17.  如图，中，，将绕点逆时针旋转到的位置，使得，则______

18.  如图，在等边中取点，使得，，的长分别为，，，将线段以点为旋转中心顺时针旋转得到线段，连接，则的大小为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

19.  如图，，是的中点，，．
求证：四边形是矩形．
若，，是上一点，且，求长．

四、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
已知三个顶点的坐标分别为，，，把先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到，且点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为．
在坐标系中画出；
画出关于原点对称的；
的面积为______ ．

21.  本小题分
为迎接年期中考试，某中学对全校八年级学生进行了一次数学期中模拟考试，并随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本进行分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图请你根据统计图中提供的信息解答下列问题：
这次调查共抽取了多少名同学？
将条形统计图补充完整；
若该中学八年级共有人参加了这次数学考试，估让该校八年级共有多少名学生的数学成绩可以达到优秀？
 

22.  本小题分
如图，在▱中，点、分别是、边的中点，求证：．

23.  本小题分
如图，在中，点是边的中点，平分，连接交于点，
，连接已知，，．
求证：；
求的周长．

24.  本小题分
如图，点是菱形对角线的交点，，，连接，交于．
求证：；
若，，求的长．

25.  本小题分
只用无刻度的直尺作图保留作图痕迹，不要求写作法．

如图，已知，点在边上，其中四边形是平行四边形，请你在图中画出的平分线．
如图，已知是菱形中边上的中点，请作出边上的中点．

26.  本小题分
如图，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中若固定，将绕点旋转．
当统点旋转到点恰好落在边上时，如图．
当时，此时旋转角的大小为______；
当时，此时旋转角的大小为______用含的式子表示．
当绕点旋转到如图所示的位置时，小杨同学猜想：的面积与的面积相等，试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想．若不正确，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不合题意；
B.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B符合题意；
C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不合题意；
D.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故D不合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，进行逐一判断即可．
本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，掌握它们的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、调查某一批西瓜是否甜，适合用抽样调查，故A不符合题意；
B、调查我国八年级所有学生的视力情况，适合用抽样调查，故B不符合题意；
C、调查某一批圆珠笔芯的使用寿命，适合用抽样调查，故C不符合题意；
D、调查神舟十五号载人飞船零部件的质量情况，适合用普查，故D符合题意；
故选：．
根据全面调查与抽样调查的意义，逐一判断即可解答．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意，该组的人数为人．
故选：．
根据频率频数总数，得：频数总数频率，进而即可求解．
本题考查了频率的计算公式，理解公式．频率等于频数除以总数，能够灵活运用是关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：一组数字“”中出现了次，
这组数字中出现的频数为．
故选：．
根据出现的次数即可确定频数．
本题考查了频数的判断，掌握频数表示出现的次数是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、个都是黑球，是随机事件，故该选项不符合题意；
B、个黑球个白球，是随机事件，故该选项不符合题意；
C、个白球个黑球，是随机事件，故该选项不符合题意；
D、至少有个黑球，是必然事件，故该选项符合题意；
故选：．
必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可判断．
本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，掌握必然事件、不可能事件、随机事件的概念是关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
故选：．
直接利用菱形的性质可得的度数，利用角平分线的性质进而得出答案．
此题主要考查了菱形的性质，菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
 

7.【答案】 

【解析】解：绕点逆时针旋转至，
，，
，，
，
，
即旋转角度数是，
故选：．
根据旋转的性质得出，，求出，再求出的度数即可．
本题考查了等腰三角形的性质和旋转的性质，能求出是解此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：将绕点顺时针旋转到的位置，点的对应点是点．
，，，
，
点、、共线，
，
，
，
，
≌，
，
设，
则，，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
，
故选：．
利用证明≌，得，设，则，，在中，利用勾股定理列方程即可解决问题．
本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：一组数据共个，第组的频率为，
第组的频数是：，
一组数据共个，分为组，第组的频数分别为，，，，
第组的频数为：．
故答案为：．
直接利用频数与频率的关系得出第组的频数，进而得出答案．
此题主要考查了频数与频率，正确得出第组频数是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：因为随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，
所以钉尖向上”的频率约为，可估计概率是，
故答案为：．
观察图象可得：随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，根据频率可估计概率．
本题主要考查用频率估算概率，解决本题的关键要明确在随着实验次数的增加，事件的发生频率总在一常数附近摆动，显示出一定的稳定性，可以用频率估计的概率．
 

11.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
．
故答案为：．
由四边形是平行四边形，可得平行四边形的对角相等，邻角互补，继而求得答案．
此题考查了平行四边形的性质．掌握平行四边形的对角相等，邻角互补是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：正方形的面积．
故答案为：．
根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
本题考查了正方形的性质，熟记正方形的面积的求解方法是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：．
由平行四边形的性质可得，，由角平分线的定义和平行线的性质可得，可求，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：在矩形中，、，
，
在与中，
，
≌，
，
故答案为：．
由全等三角形的判定得到≌，将阴影部分的面积转化为规则的几何图形的面积进行计算．
本题主要考查了矩形性质、全等三角形的判定与性质求、图形面积等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：在四边形中，，，
所以．
四边形是平行四边形，
．
故答案为．
根据四边形内角和求出度数，再借助平行四边形的性质可知即可得到结果．
本题主要考查了平行四边形的性质、四边形内角和，解决特殊四边形的角度问题，一般借助旋转转化角，进行间接求解．
 

16.【答案】 

【解析】解：点、分别为、的中点，
是的中位线，
，
在中，，点为的中点，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半解答．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：绕点逆时针旋转得到，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
首先根据旋转的性质可知，即可得到，由，得到，再由三角形内角和定理得到的度数，即可得到的度数．
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．
 

18.【答案】 

【解析】解：将线段以点为旋转中心顺时针旋转得到线段，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，，
≌，
，，
，，
，
，
，
故答案为：．
由“”可证≌，可得，，由勾股定理的逆定理可得，．
本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

19.【答案】证明：，
是等腰三角形，
是中点，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形；
解：在中，，，，
，
于，
，
解得：． 

【解析】由，为中点，利用三线合一得到等于的一半，且与垂直，根据等于的一半，等量代换得到，由与平行，得到四边形为平行四边形，根据与垂直即可得证；
在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，根据与垂直，得到，即可求出的长．
此题考查了矩形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定与性质是解本题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：如图，，，，三点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，，，然后将这三点首尾相连，得到如图，即为所求；

如图，，，关于原点的对称点分别为：，，，然后将这三点首尾相连，得到如图，即为所求；

．
根据已知条件，分别将，，，三点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，，三点的坐标，然后首尾依次相连，即可得；
根据中所得，，三点，找出其关于原点的对称点，，，然后将其首尾依次相连，即可得到；
用矩形面积减去三个三角形面积即可求得的面积．
本题考查作图平移变换、中心对称、三角形面积、矩形面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
 

21.【答案】解：名，
答：这次调查共抽取了名学生；
测试成绩“中”的学生人数为：名，
将条形统计图补充完整，如图：

名，
答：估让该校八年级共大约有名学生的数学成绩可以达到优秀． 

【解析】根据“良”的学生人数和所占百分比可求出总人数；
根据总人数和“中”所占的百分比计算出“中”的人数，从而将条形统计图补充完整；
用九年级的总人数乘以优秀人数所占百分比，即可得出答案．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
点、分别是▱边、的中点，
，，
，
四边形是平行四边形，
． 

【解析】由四边形是平行四边形，可得，，又由点、分别是▱边、的中点，可得，继而证得四边形是平行四边形，即可证得结论．
此题考查了平行四边形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
 

23.【答案】证明：，
，
平分，
；
解：，，
，
点是边的中点，
是的中位线，
，
，
的周长，
的周长为． 

【解析】根据等角对等边可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答；
先利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而利用三角形中位线定理可得，然后进行计算即可解答．
本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，以及三角形中位线定理是解题的关键．
 

24.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
四边形是矩形，
；
四边形是菱形，，，
，，，
根据勾股定理得：，
． 

【解析】根据，判定四边形是平行四边形，再根据菱形的性质得出，从而证得四边形是矩形，即可证明；
根据菱形的性质可得和的长，根据勾股定理求出的长，据此即可求解．
本题考查了矩形的判定和性质以及菱形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形和菱形的性质并灵活运用．
 

25.【答案】解：如图，连接、交于点，过、作射线，即为所求；

解：如图，连接，，与交于点，连接，与交于点，连接并延长交于，即为所求；
 

【解析】由等腰三角形三线合一，可知的角平分线过线段的中点，由平行四边形的性质可知，的中点即为平行四边形对角线的交点，过与的中点的射线即为所求，作图即可，如图；
由菱形的性质，三角形的三条中线交于一点即重心，作的中线，，交点为重心，连接并延长交于，即为所求，如图．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形、菱形的性质，角平分线，中线、重心等知识．熟练掌握等腰三角形三线合一，三角形的三条中线交于一点是解题的关键．
 

26.【答案】   

【解析】解：，，
，
，
是等边三角形，
，
旋转角为，
故答案为．

如图中，作于．

，，
，
，，
，
，
旋转角为．
故答案为．
小扬同学猜想是正确的，证明如下：
过作于，过作于，如图，

，
，，
，
于，于，
，
≌，
，
在和中，
，，，
≌，
，
，，
，
．
证明是等边三角形即可．
如图中，作于想办法证明即可解决问题．
小扬同学猜想是正确的．过作于，过作于，如图，想办法证明≌即可解决问题．
本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．