2023届高考数学二轮复习微专题49利用数列单调性求解相关数列问题学案

这是一份2023届高考数学二轮复习微专题49利用数列单调性求解相关数列问题学案，共9页。

例题：数列{an}的通项公式an＝n2＋λn(n∈N*)，若数列{an}为递增数列，求实数λ的取值范围．
变式1已知数列{an}，an＝n2＋λn＋3(其中λ为实常数)，且a3数列{an}的最小项，求实数λ的取值范围．
变式2已知数列{bn}满足bn＝2λ(－eq \f(1,2))n－1－n2，若数列{bn}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．
串讲1已知Sn＝1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,n)，n∈N*，设f(n)＝S2n＋1－Sn＋1，试确定实数m的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n，不等式f(n)>eq \f(m,m＋2)恒成立．
串讲2在数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝3an＋2n－1.
(1)求证：数列{an＋n}为等比数列；
(2)记bn＝an＋(1－λ)n，且数列{bn}的前n项和为Tn，若T3为数列{Tn}中的最小项，求λ的取值范围．
(2018·南京市、盐城市高三第一次模拟考试)设数列{an}满足an2＝an＋1an－1＋λ(a2－a1)2，其中n＝2，且n∈N，λ为常数．
(1)若{an}是等差数列，且公差d≠0，求λ的值；
(2)若a1＝1，a2＝2，a3＝4，且存在r∈[3，7]，使得m·an≥n－r0对任意的n∈N*都成立，求m的最小值；
(3)若λ≠0，且数列{an}不是常数列，如果存在正整数T，使得an＋T＝an对任意的n∈N*均成立．求所有满足条件的数列{an}中T的最小值．
(2018·苏州市高三调研测试)已知各项是正数的数列{an}的前n项和为Sn.
(1)若Sn＋Sn－1＝eq \f(an2＋2,3)(n∈N*，n≥2)，且a1＝2.
①求数列{an}的通项公式；
②若Sn≤λ·2n＋1对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；
(2)数列{an}是公比为q(q>0，q≠1)的等比数列，且{an}的前n项积为10Tn.若存在正整数k，对任意n∈N*，使得eq \f(T（k＋1）n,Tkn)为定值，求首项a1的值．
答案：(1)①an＝3n－1，②eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15,16)，＋∞))；*(2)eq \r(q).
解析：(1)①当n≥2时，由Sn＋Sn－1＝eq \f(an2＋2,3)，(*)，则Sn＋1＋Sn＝eq \f(an＋12＋2,3)，(**)1分
(**)－(*)得an＋1＋an＝eq \f(1,3)(an＋12－an2)，即an＋1－an＝3，n≥2，3分
当n＝2时，由(*)知a1＋a2＋a1＝eq \f(a22＋2,3)，即a22－3a2－10＝0，解得a2＝5或a2＝－2(舍去)，
所以a2－a1＝3，即数列{an}为等差数列，且首项a1＝2，所以数列{an}的通项公式为
an＝3n－1.4分
②由①知，an＝3n－1，所以Sn＝eq \f(n（3n－1＋2）,2)＝eq \f(3n2＋n,2)，
由题意可得λ≥eq \f(Sn,2n＋1)＝eq \f(3n2＋n,2n＋2)对一切n∈N*恒成立，5分
记cn＝eq \f(3n2＋n,2n＋2)，则cn－1＝eq \f(3（n－1）2＋（n－1）,2n＋1)，n≥2，所以cn－cn－1＝eq \f(－3n2＋11n－4,2n＋2)，
n≥2.当n>4时，cn0，q≠1)，a1·a2……an＝10Tn，
两边取常用对数，Tn＝lga1＋lga2＋…＋lgan.9分
令bn＝lgan＝nlgq＋lga1－lgq，则数列{bn}是以lga1为首项，lgq为公差的等差数列，11分
若eq \f(T（k＋1）n,Tkn)为定值，令eq \f(T（k＋1）n,Tkn)＝μ，则eq \f(（k＋1）nlga1＋\f(（k＋1）n[（k＋1）n－1],2)lgq,knlga1＋\f(kn（kn－1）,2)lgq)＝μ，
即{[(k＋1)2－μk2]lgq}n＋[(k＋1)－μk]eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg\f(a12,q)))lgq＝0对n∈N*恒成立，
因为q>0，q≠1，问题等价于eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（k＋1）2－μk2＝0，,（k＋1）－μk＝0或a12＝q.))将eq \f(k＋1,k)＝eq \r(μ)代入(k＋1)－μk＝0，
解得μ＝0或μ＝1.13分
因为k∈N*，所以μ>0，μ≠1，所以a12＝q，又an>0，故a1＝eq \r(q).14分

微专题49
例题
答案：(－3，＋∞)．
解法1数列{an}为递增数列an(－2n－1)max，因为{－2n－1}为单调递减数列，当n＝1时，取得最大值－3，所以λ>－3，即实数λ的取值范围为(－3，＋∞)．
解法2函数f(x)＝x2＋λx的对称轴为x＝－eq \f(λ,2)，考虑到数列自变量n∈N*，所以|－eq \f(λ,2)－1|－3，即实数λ的取值范围为(－3，＋∞)．
变式联想
变式1
答案：[－7，－5]．
解法1an≥a3对任意n∈N*恒成立，即λ(n－3)≥－(n－3)(n＋3)．当n≥4时，λ≥－(n＋3)，所以λ≥－7；当n≤2时，λ≤－5；当n＝3时，λ∈R；综上所述，－7≤λ≤－5，即实数λ的取值范围为[－7，－5]．
解法2函数f(x)＝x2＋λx＋3的对称轴为x＝－eq \f(λ,2)，考虑到数列自变量n∈N*：eq \f(5,2)≤－eq \f(λ,2)≤eq \f(7,2)，所以－7≤λ≤－5，即实数λ的取值范围为[－7，－5]．
变式2
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(10,3))).
解析：由题意可知对任意n∈N*，数列{bn}单调递减，所以bn＋1－1；当n是偶数时，λ8时，bn＋1