高中数学讲义微专题49 等差数列性质学案

www.ks5u.com第49炼 等差数列性质

一、基础知识：

1、定义：数列若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称是等差数列，这个常数称为的公差，通常用表示

2、等差数列的通项公式：，此通项公式存在以下几种变形：

（1），其中：已知数列中的某项和公差即可求出通项公式

（2）：已知等差数列的两项即可求出公差，即项的差除以对应序数的差

（3）：已知首项，末项，公差即可计算出项数

3、等差中项：如果成等差数列，则称为的等差中项

（1）等差中项的性质：若为的等差中项，则有即

（2）如果为等差数列，则，均为的等差中项

（3）如果为等差数列，则

注：①一般情况下，等式左右所参与项的个数可以是多个，但要求两边参与项的个数相等。

比如，则不一定成立

② 利用这个性质可利用序数和与项数的特点求出某项。例如：，可得，即可得到，这种做法可称为“多项合一”

4、等差数列通项公式与函数的关系：

，所以该通项公式可看作关于的一次函数，从而可通过函数的角度分析等差数列的性质。例如：，递增；，递减。

5、等差数列前项和公式：，此公式可有以下变形：

（1）由可得：，作用：在求等差数列前项和时，不一定必须已知，只需已知序数和为的两项即可

（2）由通项公式可得：

作用：① 这个公式也是计算等差数列前项和的主流公式

② ，即是关于项数的二次函数，且不含常数项，可记为的形式。从而可将的变化规律图像化。

（3）当时，

    因为  

  而是的中间项，所以此公式体现了奇数项和与中间项的联系

当时

，即偶数项和与中间两项和的联系

6、等差数列前项和的最值问题：此类问题可从两个角度分析，一个角度是从数列中项的符号分析，另一个角度是从前项和公式入手分析

（1）从项的特点看最值产生的条件，以4个等差数列为例：

通过观察可得：为递增数列，且，所以所有的项均为正数，前项和只有最小值，即，同理中的项均为负数，所以前项和只有最大值，即。而虽然是递减数列，但因为，所以直到，从而前4项和最大，同理，的前5项和最小。由此可发现规律：对于等差数列，当首项与公差异号时，前项和的最值会出现在项的符号分界处。

（2）从的角度：通过配方可得，要注意，则可通过图像判断出的最值

7、由等差数列生成的新等差数列

（1）在等差数列中，等间距的抽出一些项所组成的新数列依然为等差数列

例如在，以3为间隔抽出的项仍为等差数列。

如何判定等间距：序数成等差数列，则项之间等间距

（2）已知等差数列，

设，

，则相邻项和成等差数列

（3）已知为等差数列，则有：

① 为等差数列，其中为常数

② 为等差数列，其中为常数

③ 为等差数列      

①②③可归纳为也为等差数列

8、等差数列的判定：设数列，其前项和为

（1）定义（递推公式）：

（2）通项公式：（关于的一次函数或常值函数）

（3）前项和公式：

注：若，则从第二项开始呈现等差关系

（4）对于，，即从第二项开始，每一项都是相邻两项的等差中项

二、典型例题：

例1：设等差数列的前项和为，且，，则_________

思路：由可得：，即。而，所以不是各项为0的常数列，考虑，所以

答案：

小炼有话说：关于等差数列钱前项和还有这样两个结论：

（1）若，则（本题也可用此结论：，从而利用奇数项和与中间项的关系可得）

（2）若，则有

例2：已知数列为等差数列，若，则_______

思路：条件与所求都是“”的形式，由为等差数列可得也为等差数列，所以为的等差中项，从而可求出的值

解：为等差数列

也为等差数列   

答案：

例3：设为等差数列的前项和，，则（     ）

1.                B.             C.              D. 

思路一：已知等差数列两个条件即可尝试求通项公式，只需将已知等式写成关于的方程，解出后即可确定通项公式或者数列中的项

解：  

思路二：本题还可抓住条件间的联系简化运算。已知，从而联想到可用表示，即，所以等式变为：，所以可得。

答案：A

小炼有话说：思路一为传统手段，通常将已知两个等式变形为的二元方程，便可求解。但如果能够观察出条件间的联系，往往能通过巧妙的变形简化计算过程。在平时的练习中建议大家多尝试思路二的想法，努力找到条件间的联系，灵活利用等差数列性质进行变形。而思路一可作为“预备队”使用。

例4：在等差数列中，，其前项和为，若，则的值等于（     ）

A.                B.            C.           D.

思路：由观察到的特点，所以考虑数列的性质，由等差数列前 项和特征可得，从而可判定为等差数列，且可得公差，所以，所以，即

答案：B

例5：已知为等差数列，且前项和分别为，若，则_____

思路：，所求可发现分子分母的项序数相同，结合条件所给的是前项和的比值。考虑利用中间项与前项和的关系，有： ，将项的比值转化为数列和的比值，从而代入即可求值：

答案：

小炼有话说：等差数列中的项与以该项为中间项的前项和可搭建桥梁：，这个桥梁往往可以完成条件中有关数列和与项之间的相互转化。

例6：已知等差数列中，，则此数列前项和等于（      ）

A.                B.              C.             D.

思路：求前30项和，联想到公式，则只需。由条件可得：，所以，所以

答案：D

例7：已知等差数列中，，则的值为___________

思路：条件为相邻4项和，从而考虑作差能解出数列的公差：，可得： ，解得，考虑，所以

答案：

小炼有话说：本题在解题过程中突出一个“整体”的思想，将每一个四项和都视为整体，同时在等差数列中相邻项和的差与公差相关，从而解出公差并求出表达式的值

例8：等差数列有两项，满足，则该数列前项之和为（      ）

A.            B.           C.            D.

思路：可根据已知两项求出公差，进而求出的通项公式，再进行求和即可

解：

答案：C

例9：在等差数列中，，若其前项和为，且，那么当取最大值时，的值为（     ）

A.                 B.            C.             D.

思路一：考虑从的项出发，由可得，可得，因为，所以，从而最大

思路二：也可从的图像出发，由可得图像中是对称轴，再由与可判断数列的公差，所以为开口向下的抛物线，所以在处取得最大值

答案：D

例10：设首项为，公差为的等差数列的前项和为，满足，则的取值范围是___________

思路：将用进行表示，从而方程变形为含的方程。而的取值只需让关于的方程有解即可，所以通过求出的范围

解：

所以关于的方程应该有解

解得或

答案：或