2023年吉林省长春市南关区五校中考数学一模试卷（含解析）

2023年吉林省长春市南关区五校中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图中可以作为一个正方体的展开图的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  北京某天早晨的气温是，中午上升了，半夜又下降了，则半夜的气温为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知，则下列不等式不成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图，数轴上被墨水遮盖的数可能是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，点、在射线上，直线，，那么的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，已知空间站与星球的距离为，信号飞船在星球附近沿圆形轨道行驶，，之间的距离为数据表示飞船与空间站的实时距离，那么的最大值是(    )
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

7.  比较大小：        填“”，“”或“”

8.  若，，则的值为______．

9.  某校组织学生开展献爱心捐款活动，七年级学生共捐款元，八年级学生共捐款元，九年级学生捐款数比七、八年级捐款总数的倍少元，则九年级学生捐款数为______ 元

10.  小丽去药店购买口罩和酒精消毒湿巾，若买只一次性医用口罩和包酒精消毒湿巾，需付元；若买只一次性医用口罩和包酒精消毒湿巾，需付元；设一只一次性医用口罩元，一包酒精消毒湿巾元，根据题意可列二元一次方程组：______ ．

11.  已知边形的内角和为，则______．

12.  若用直尺和圆规作一个角的平分线，示意图如图所示，则说明的依据是______ 填写：或或或

13.  如图，矩形中，、交于点，、分别为、的中点．若，则的长为          ．
 

14.  如图，已知的周长为，的长为，则图中阴影部分的面积为______．

三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
如图，已知点，在直线上，且有，，求证：≌．

16.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

17.  本小题分
有两个构造完全相同除所标数字外的转盘、小红和小明做了一个游戏，游戏规定，转动两个转盘各一次，两次转动后指针指向的数字之和为奇数则小红获胜，数字之和为偶数则小明获胜，请用树状图或列表说明谁获胜的可能性大．
 

18.  本小题分
如图方格纸中每个小正方形的边长均为，线段，的端点均在小正方形的顶点上．
在图中画出一个以为一边的正方形，且点、点均在小正方形顶点上；
在图中画出一个以、为邻边的平行四边形，且点在小正方形的顶点上，连接并直接写出线段的长．

19.  本小题分
“元旦节”前夕，某商场根据市场调查，用元购进第一批盒装饼干，上市后很快售完，接着又用元购进第二批这种盒装瓶干．已知第二批所购瓶干的盒数是第一批所购瓶干盒数的倍，且每盒花的进价比第一批的进价少元，求第一批盒装瓶干每盒的进价是多少元？

20.  本小题分
在质量不变的情况下，某物体的密度与体积成反比例，其函数图象如图所示，解答下列问题：
试确定与之间的函数表达式；
当时，求物体的密度．

21.  本小题分
如图，一艘海轮船位于灯塔北偏东方向，与灯塔距离为的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔南偏东方向的处，求此时轮船所在处与灯塔的距离．参考数据：，，，，结果取整数

22.  本小题分
某中学开展了“手机伴我健康行”主题活动，他们随机抽取部分学生进行“使用手机目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查，并绘制成如图，的统计图，已知“查资料”的人数是人．

请你根据以上信息解答下列问题：
在扇形统计图中，“玩游戏”对应的圆心角度数是______度；
补全条形统计图；
该校共有学生人，估计每周使用手机时间在小时以上不含小时的人数．

23.  本小题分
工厂中甲，乙两组工人同时加工某种零件，乙组在工作中有一段时间停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的倍．两组各自加工零件的数量件与时间时之间的函数图象如图所示．
甲组的工作效率是______件时；
求出图中的值及乙组更换设备后加工零件的数量与时间之间的函数解析式．
当为何值时，两组一共生产件．

24.  本小题分
【问题原型】如图所示，在等腰直角三角形中，，，的中点为，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，过点作边上的高，易证∽，从而得到的面积为．
【初步探究】如图所示，在中，，，的中点为将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接用含的代数式表示的面积，并说明理由．
【简单应用】如图所示，在等腰三角形中，，，的中点为将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，直接写出的面积用含的代数式表示．
 

25.  本小题分
如图所示，在中，，，，动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿向终点运动点不与点，重合，以为边在上方作等腰直角三角形，使，，将绕的中点旋转得到，设四边形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒．
的长为______ ，点到的距离为______ ；用含的代数式表示
当点在边上时，求的值；
当四边形与重叠部分为四边形时，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

26.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，点，点在这条抛物线上．
求该抛物线的解析式；
如图所示，若直线与抛物线交于点和，连接和，求的正切值；
如图所示，已知点，，抛物线向左或向右平移后，点，的对
应点分别为，当四边形的周长最小时，请直接写出平移后抛物线的顶点坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：可以作为一个正方体的展开图，符合题意；
B.不可以作为一个正方体的展开图，不合题意；
C.不可以作为一个正方体的展开图，不合题意；
D.不可以作为一个正方体的展开图，不合题意．
故选：．
根据正方体展开图的种形式对各小题分析判断即可得解．
本题考查了正方体的展开图，熟记展开图的种形式是解题的关键，利用不是正方体展开图的“一线不过四、田凹应弃之”即不能出现同一行有多于个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况判断也可．
 

2.【答案】 

【解析】解：北京某天早晨的气温是，中午上升了，半夜又下降了，
半夜的气温为：．
故选：．
直接利用有理数的加减混合运算法则分别计算得出答案．
此题主要考查了有理数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：
A、，，故本选项错误；
B、，，故本选项错误；
C、，，，故选项错误；
D、，，，故本选项正确．
故选：．
分别根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是不等式的基本性质，解答此题的关键注意不等式的两边同时乘以或除以一个负数时，不等号的方向要改变．
 

4.【答案】 

【解析】解：由数轴上墨迹的位置可知，该数大于，且小于，
因此备选项中，只有选项D符合题意，
故选：．
由数轴上数的特征可得该数的取值范围，再进行判断即可．
本题考查数轴表示数的意义和方法，确定被墨迹所盖的数的取值范围是正确解答的前提．
 

5.【答案】 

【解析】解：延长，
，
．
，
．
故选：．
延长，先根据补角的定义得出的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
 

6.【答案】 

【解析】解：空间站与星球、飞船在同一直线上时，取到最大值为：．
故选：．
根据三角形的任意两边的长度之和大于第三边，可得：只有空间站与星球、飞船在同一直线上时，取到最大值，据此求解即可．
此题主要考查了两点间的距离的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的任意两边的长度之和大于第三边．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
根据二次根式比较大小的方法求解即可．
本题主要考查了二次根式比较大小，熟知二次根式比较大小的方法是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
根据同底数幂的除法底数不变指数相减，可得答案．
本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的除法底数不变指数相减．
 

9.【答案】 

【解析】解：九年级学生捐款数比七、八年级捐款总数的倍少元，
九年级学生捐款数为元，
故答案为：．
根据九年级学生捐款数比七、八年级捐款总数的倍少元列代数式即可．
本题考查列代数式，解题的关键是读懂题意，能用代数式表示和差倍问题．
 

10.【答案】 

【解析】解：买只一次性医用口罩和包酒精消毒湿巾，需付元，
；
买只一次性医用口罩和包酒精消毒湿巾，需付元，
．
根据题意可列二元一次方程组．
故答案为：．
根据“买只一次性医用口罩和包酒精消毒湿巾，需付元；买只一次性医用口罩和包酒精消毒湿巾，需付元”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，
解得．
故答案为：．
根据多边形的内角和公式列式计算即可得解．
本题考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由作图痕迹得，，
因为为公共边，
所以≌，
所以．
故答案为：．
先利用基本作图得到，，由于为公共边，则利用“”可判断≌，从而得到．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和全等三角形的判定与性质．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了矩形的性质以及三角形中位线的定理，解题的关键是找到线段间的倍数关系．
根据中位线的性质求出长度，再依据矩形的性质进行求解即可．
【解答】
解：、分别为、的中点，
是三角形的中位线，
．
四边形是矩形，
．
故答案为．  

14.【答案】 

【解析】解：的周长为，
的直径是，
的直径是，
的长为，
的长等于的周长的，
，
．
故答案为．
首先根据的周长为，求出的半径；然后根据的长，可求得；最后用的面积的减去的面积，求出图中阴影部分的面积．
此题主要考查了扇形面积的计算，以及弧长的计算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确求阴影面积常用的方法：直接用公式法；和差法；割补法．
 

15.【答案】证明：，
，即，
在和中，
，
≌． 

【解析】首先根据可得，即，可利用证明≌．
此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
 

16.【答案】解：原式


，
当时，
原式． 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简，再将的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

17.【答案】解：根据题意可画树状图如下：

共有种等可能的结果，两次转动后指针指向的数字之和为奇数的有种情况，数字之和为偶数的有种情况，
．
小红获胜的可能性大． 

【解析】根据题意画出树状图或列出表格，然后由树状图或表格求得所有等可能的结果与两次转动后指针指向的数字之和为奇数与数字之和为偶数的情况，再利用概率公式计算即可求得答案．
本题考查列表或画树状图法．正确的列出表格或画出树状图是解题关键．
 

18.【答案】解：画出一个以为一边的正方形，如图所示：
画出一个以、为邻边的平行四边形，如图所示：

． 

【解析】根据网格即可在图中画出以为一边的正方形；
根据网格画出一个以、为邻边的平行四边形，然后利用勾股定理即可求得．
本题考查了作图应用与设计作图、正方形的性质，平行四边形的性质以及勾股定理，熟练掌握以上性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：设第一批盒装饼干的进价是元盒，则
，
解得：，
经检验是原分式方程的解．
答：第一批盒装饼干每盒的进价是元． 

【解析】设第一批盒装饼干的进价是元盒，则第一批进的数量是：，第二批进的数量是：，再根据等量关系：第二批所购瓶干的盒数是第一批所购瓶干盒数的倍可得方程．
本题考查了分式方程的应用．掌握单价、数量、总价之间的关系是解决问题的关键，注意分式方程需要验根．
 

20.【答案】解：设与的函数关系式为，
把代入得，
所以，
所以与的函数关系式为；
当时，物体的密度
所以物体的密度为． 

【解析】根据密度公式可知体积与密度的函数关系式为，利用待定系数法求解即可；
直接把密度代入解析式求解即可．
主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式．会用不等式解决实际问题．
 

21.【答案】解：过点作于点，
由题意知，，，，
，，
中，，
，
中，，
，
答：轮船所在处与灯塔的距离约为． 

【解析】过点作于点，则在中易得的长，再在直角中求出．
本题主要考查解直角三角形的应用方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
 

22.【答案】
根据题意得：人，
小时以上的人数为人，
补全条形统计图，如图所示：

根据题意得：人，
则每周使用手机时间在小时以上不含小时的人数约有人． 

【解析】

【解答】
解：根据题意得：，
则“玩游戏”对应的圆心角度数是；
故答案为：；
见答案；
见答案．
【分析】
此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键．
由扇形统计图其他的百分比求出“玩游戏”的百分比，乘以即可得到结果；
求出小时以上的人数，补全条形统计图即可；
由每周使用手机时间在小时以上不含小时的百分比乘以即可得到结果．  

23.【答案】 

【解析】解：甲组加工零件的数量件与时间时之间的函数图象经过点，
件时，
故答案为：；
乙小时加工件，
乙的加工速度是：每小时件，
乙组更换设备后，乙组的工作效率是原来的倍．
更换设备后，乙组的工作速度是：每小时加工件，
；
乙组更换设备后加工零件的数量与时间之间的函数解析式为：；
乙组更换设备后加工的零件的个数与时间的函数关系式为：，
甲组的工作效率是件时，
甲组加工零件的数量与时间之间的函数关系式为，
由题意得：，
解得，
答：当时，两组一共生产件．
利用图象中的数据即可求解；
利用乙的原来加工速度得出更换设备后，乙组的工作速度即可计算出的值并列出乙组更换设备后加工零件的数量与时间之间的函数解析式；
由题意得出甲组加工零件的数量与时间之间的函数关系式，根据两组一共生产件列方程，求出的值，即可得出答案．
此题主要考查了一次函数的应用，根据题意得出函数关系式以及数形结合是解决问题的关键．
 

24.【答案】解：【初步探究】，理由如下：
如图所示，过点作边上的高，

，
将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，
，，
，
，
，
∽，
，
为的中点，
，
，
，
；
【简单应用】如图所示，过点作于，再过点作边上的高，

在等腰三角形中，，
，，
由旋转的性质可得，，
，
，
∽，
，
为的中点，
，
，
，
． 

【解析】【初步探究】如图所示，过点作边上的高，根据垂直的定义得到，根据旋转的性质得到，，根据余角性质得到，根据相似三角形的性质得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到；
【简单应用】如图所示，过点作于，再过点作边上的高，根据等腰三角形的性质得到，求得，，由旋转的性质可得，，根据相似三角形的性质和三角形的面积公式即可得到结论．
本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】   

【解析】解：如图中，过点作于．

为等腰直角三角形，
，，
，
，
由旋转可知，，
四边形为矩形，
．
故答案为：，；
如图中，

由旋转可知，为等腰直角三角形，
，
由可知，四边形为矩形，
四边形为正方形，
，
，，
∽，
，
，
，，，
，
，
，
；
当点接触前时，
四边形与重叠部分为平行四边形，
，
，
当，离开，接触前时，
重叠部分为五边形，不满足题意；
当，离开后，
如图，设，分别交于点，，过点，分别作于点，于点，过点作于点，延长交于点，

此时四边形与重叠部分为四边形，
设，则，
，
，
，
解得：，
，
设，则：
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上，或．
如图中，过点作于证明四边形是矩形，即可解决问题．
由∽，推出，可得，根据，构建方程求解即可．
分接触前，当离开，接触前和当离开后三种情况讨论，计算即可．
本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
 

26.【答案】解：抛物线经过原点，且点，点在这条抛物线上，
将点，，原点的坐标分别代入得：
，
解得：，
该抛物线的解析式为；
直线与抛物线于点和，
，
解得：或，
，．
过，两点分别作轴于点，轴于点，过作于点，如图所示，

则：，，，，，，
，，，
，
即：，
，
；
过，分别作轴的平行线，作关于直线的对称点，过点作，且，连接交直线于点，过作，交直线于点，如图所示，

由图可知：四边形和四边形均是平行四边形，
，，且，，
且，
四边形是平行四边形，
，
关于直线的对称点为，
，
．
，
即此时转化到一条直线上，最小，最小值为的长度，而，为定值，
此时四边形的周长最小．
关于直线的对称点为，
．
四边形是平行四边形，，
．
设直线的解析式为，
则：，
解得：，
直线的解析式为．
令，
则：，
，
．
，
即将抛物线向右平移个单位长度后，四边形的周长最小，平移后抛物线的顶点坐标为． 

【解析】利用待定系数法解答即可；
将直线与抛物线的解析式联立求得点，的坐标，过，两点分别作轴于点，轴于点，过作于点，利用点的坐标得到：，，，，，，再利用勾股定理的逆定理得到，最后利用直角三角形的边角关系定理解答即可；
过，分别作轴的平行线，作关于直线的对称点，过点作，且，连接交直线于点，过作，交直线于点，则四边形和四边形均是平行四边形，由于，则转化到一条直线上，最小，最小值为的长度；利用待定系数法求得的解析式，令，则点坐标可得，由，坐标可得抛物线移动的单位长度，由此即可得出结论．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，待定系数法，配方法，勾股定理及其逆定理，直角三角形的边角关系定理，抛物线的平移，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．