2024年吉林省长春市南关区多校联考中考数学三模试卷

这是一份2024年吉林省长春市南关区多校联考中考数学三模试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）﹣5的绝对值是（ ）
A．B．5C．﹣5D．﹣
2．（3分）华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工艺制程，数0.000000007用科学记数法表示为（ ）
A．7×10﹣9B．7×10﹣8C．0.7×10﹣9D．0.7×10﹣8
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．5+＝5B．（x2）3＝x5C．＝﹣3D．4x2•x＝4x3
4．（3分）如图，直角三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1＝68°，则∠2的度数是（ ）
A．30°B．32°C．22°D．68°
5．（3分）我国杨秉烈先生在上世纪八十年代发明了繁花曲线规画图工具，利用该工具可以画出许多漂亮的繁花曲线，繁花曲线的图案在服装、餐具等领域都有广泛运用．下面四种繁花曲线中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（3分）学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB到地面，如图所示．已知彩旗绳与地面形成25°角（即∠BAC＝25°），彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即AC＝32米），则彩旗绳AB的长度为（ ）
A．32sin25°米B．32cs25°米
C．米D．米
7．（3分）“乌鸦喝水”的故事耳熟能详．如图，乌鸦看到一个水位比较低的瓶子，此时水位高度为a，喝不着水，沉思了一会后聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升至瓶口b处，乌鸦喝到了水．设乌鸦衔来的石子个数为x，水位高度为y，假设石子的体积一样，下列图象中最符合故事情境的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）如图是甲、乙两名同学的作业（题中△ABC为等腰三角形，AB＝AC）；
甲：
1．过点A作AD⊥BC．垂足为D；
2．延长BA到N，作∠CAN 的角平分线AE；
3．过点C作CE⊥AE，垂足为E．
四边形ADCE为矩形．
乙：
1．过点A作AD⊥BC，垂足为D；
2．以A为圆心，BD长为半径画弧；以B为圆心，AD长为半径画弧；
3．两弧交于AD上方一点E，连接BE，AE；
四边形ADBE为矩形．
对于两人的作业，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对B．两人都不对
C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）因式分解：x3﹣x＝ ．
10．（3分）光明中学初三（6）班十几名同学毕业前和数学老师合影留念，一张彩色底片要0.6元，扩印一张相片0.5元，每人分一张，免费赠送老师一张（由学生出钱），每个学生交0.6元刚好，则相片上共有 人．
11．（3分）如图是一个隧道的横截图，它的形状是以点O为圆心的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，若CD＝4m，EM＝6m，则⊙O的半径为 m．
12．（3分）下列4个函数，①y＝3x﹣1；②；③y＝2x2；④y＝2x（﹣1≤x＜1），其中图象是中心对称图形，且对称中心在原点的共有 个．
13．（3分）某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个25列的长方形队阵．如果原队阵中增加64人，就能组成一个正方形队阵；如果原队阵中减少64人，也能组成一个正方形队阵．则原长方形队阵中有同学 人．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF．过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K．若CI＝5，CJ＝4，则四边形AJKL的面积是 ．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）计算：．
16．（6分）小红的爸爸一共买了四杯茶，其中一杯是绿茶，其余三杯是红茶，这四杯茶的外观完全一样，爸爸在拿回家的过程中弄混了，不知道哪一杯是绿茶，在不打开盖子的情况下，小红先从四杯茶中随机拿走一杯，然后小红的哥哥再从剩下的三杯中随机拿走一杯．请用树状图或列表法求小红和哥哥中有一人拿走绿茶的概率．
17．（6分）清明假期，泰山受到广大市民和全国游客的热烈欢迎．据统计，假期第一天A入口比B入口登山游客多1.2万人，第二天A入口登山游客增加了10%，B入口登山游客减少了10%，当天A，B入口登山游客总人数比第一天增加了3%，试求第二天A，B入口登山游客的人数各是多少万人？
18．（7分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE过BC中点O且交DC的延长线于点E．
（1）求证：△AOB≌△EOC；
（2）连接AC，BE，请添加一个条件，使四边形ABEC为矩形．（不需要说明理由）
19．（7分）某校为落实“双减”政策，增强课后服务的丰富性，充分用好课后服务时间，3月份学校开展数学学科活动，其中七年级开展了五个项目（每位学生只能参加一个项目）：A．阅读数学名著；B．讲述数学故事；C．制作数学模型；D．参与数学游戏；E．挑战数学竞赛．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）①此次调查一共随机抽取了 名学生；②补全条形统计图（要求在条形图上方注明名数）；③扇形统计图中圆心角α＝ 度；
（2）若该年级有1100名学生，请你估计该年级参加D项目的学生大约有多少名；
（3）在C项目展示活动中，某班获得一等奖的学生有3名男生，2名女生，则从这5名学生中随机抽取2名学生代表本班参加学校制作数学模型活动，请直接写出恰好抽到2名男生的概率．
20．（7分）方格纸中每个小正方形的边长均为1，点A，B，D和点E，F，H均在小正方形的顶点上．
（1）在图1中画出四边形ABCD，使得四边形ABCD既是轴对称图形，又是中心对称图形，且点C在小正方形的顶点上；
（2）在图2中画出四边形EFGH，使得四边形EFGH是轴对称图形，但不是中心对称图形，且点G在小正方形的顶点上．在线段HG所经过的小正方形顶点中，找一点K，满足GF＝GK，连接FK，并直接写出tan∠GFK的值．
21．（8分）心理学研究发现，一般情况下，在一节40分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，10分钟后保持平稳一段时间，平稳时间持续14分钟，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示，CD为反比例函数图象的一部分．
（1）当0≤x≤10时，请求出y关于x的函数解析式；
（2）数学老师计划在课堂上讲解一道23分钟的推理题，请问他能否经过适当的安排，使学生在听这道题目的讲解时注意力指标数不低于32？并说明理由．
22．（7分）（1）操作发现：
如图①，在Rt△ABC中，∠C＝2∠B＝90°，点D是BC上一点，沿AD折叠△ADC，使得点C恰好落在AB上的点E处．请写出AB、AC、CD之间的关系 ；
（2）问题解决：
如图②，若（1）中∠C≠90°，其他条件不变，请猜想AB、AC、CD之间的关系，并证明你的结论；
（3）类比探究：
如图③，在四边形ABCD中，∠B＝120°，∠D＝90°，AB＝BC，AD＝DC，连接AC，点E是CD上一点，沿AE折叠，使得点D正好落在AC上的F处，若BC＝，直接写出DE的长．
23．（12分）如图，Rt△ABC，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2．P，Q两点分别从A，C同时出发，点P沿折线A→B→C向终点C运动，在AB上的速度为每秒4个单位长度，在BC上的速度为每秒2个单位长度；点Q以每秒个单位长度的速度沿线段CA向终点A运动．过点P作PD⊥AC于点D，以PD，DQ为邻边作矩形PDQE．设运动时间为x秒，矩形PDQE和△ABC重叠部分的图形面积为y．
（1）当点Q和点D重合时，x＝ ；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）在运动过程中，连接PQ，取PQ中点O，连接OC，直接写出OC的最小值．
24．（12分）已知，在以点O为原点的平面直角坐标系中，抛物线的原点的顶点为A（﹣1，﹣4），且经过点B（﹣2，﹣3）与x轴分别交于C、D两点．
（1）求直线OB及抛物线的解析式；
（2）如图1点M是抛物线上的一个动点，且在直线OB的下方，过点M作x轴的平行线与直线OB交于点N，求MN的最大值；
（3）如图2，过点A的直线交x轴于点E，且AE∥y轴．点P是抛物线上A、D之间的一个动点，直线PC、PD分别与AE交于F、G两点．当P点运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值．若不是．请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）﹣5的绝对值是（ ）
A．B．5C．﹣5D．﹣
【解答】解：﹣5的绝对值是5，
故选：B．
2．（3分）华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工艺制程，数0.000000007用科学记数法表示为（ ）
A．7×10﹣9B．7×10﹣8C．0.7×10﹣9D．0.7×10﹣8
【解答】解：数0.00 000 0007用科学记数法表示为7×10﹣9．
故选：A．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．5+＝5B．（x2）3＝x5C．＝﹣3D．4x2•x＝4x3
【解答】解：A、5，故选项A不符合题意；
B、（x2）3＝x6，故选项B不符合题意；
C、＝3，故选项C不符合题意；
D、4x2•x＝4x3，故选项D符合题意；
故选：D．
4．（3分）如图，直角三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1＝68°，则∠2的度数是（ ）
A．30°B．32°C．22°D．68°
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠3＝∠1＝68°，
∵∠2+∠4+3＝180°，∠4＝90°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣68°＝22°．
故选：C．
5．（3分）我国杨秉烈先生在上世纪八十年代发明了繁花曲线规画图工具，利用该工具可以画出许多漂亮的繁花曲线，繁花曲线的图案在服装、餐具等领域都有广泛运用．下面四种繁花曲线中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
6．（3分）学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB到地面，如图所示．已知彩旗绳与地面形成25°角（即∠BAC＝25°），彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即AC＝32米），则彩旗绳AB的长度为（ ）
A．32sin25°米B．32cs25°米
C．米D．米
【解答】解：如图，由题意得，AC＝32m，∠A＝25°，
在Rt△ABC中，
∵csA＝，
∴AB＝＝（m），
故选：D．
7．（3分）“乌鸦喝水”的故事耳熟能详．如图，乌鸦看到一个水位比较低的瓶子，此时水位高度为a，喝不着水，沉思了一会后聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升至瓶口b处，乌鸦喝到了水．设乌鸦衔来的石子个数为x，水位高度为y，假设石子的体积一样，下列图象中最符合故事情境的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，但是下面容器截面面积大于上面，
∴水位上升的幅度较慢，后面水位上升的较快，
∴A符合题意，B，C，D不符合题意．
故选：A．
8．（3分）如图是甲、乙两名同学的作业（题中△ABC为等腰三角形，AB＝AC）；
甲：
1．过点A作AD⊥BC．垂足为D；
2．延长BA到N，作∠CAN 的角平分线AE；
3．过点C作CE⊥AE，垂足为E．
四边形ADCE为矩形．
乙：
1．过点A作AD⊥BC，垂足为D；
2．以A为圆心，BD长为半径画弧；以B为圆心，AD长为半径画弧；
3．两弧交于AD上方一点E，连接BE，AE；
四边形ADBE为矩形．
对于两人的作业，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对B．两人都不对
C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对
【解答】解：甲的作业，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAC，∠ADC＝90°，
∵AE平分∠CAN，
∴∠CAE＝∠CAN，
∴∠CAD+∠CAE＝（∠BAC+∠CAN），
∴∠DAE＝∠BAN＝×180°＝90°，
∵CE⊥AE，
∴∠E＝90°，
∴四边形ADCE是矩形，
∴甲的作业正确；
乙的作业，
由题意知AD＝BE，AE＝BD，
∴四边形ADBE是平行四边形，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴四边形ADBE是矩形，
∴乙的作业正确，
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）因式分解：x3﹣x＝ x（x+1）（x﹣1） ．
【解答】解：原式＝x（x2﹣1）＝x（x+1）（x﹣1），
故答案为：x（x+1）（x﹣1）
10．（3分）光明中学初三（6）班十几名同学毕业前和数学老师合影留念，一张彩色底片要0.6元，扩印一张相片0.5元，每人分一张，免费赠送老师一张（由学生出钱），每个学生交0.6元刚好，则相片上共有 12 人．
【解答】解：设相片上共有x人．
0.6+0.5x＝0.6×（x﹣1），
解得x＝12，
故答案为12．
11．（3分）如图是一个隧道的横截图，它的形状是以点O为圆心的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，若CD＝4m，EM＝6m，则⊙O的半径为 m．
【解答】解：∵M是⊙O弦CD的中点，
根据垂径定理：EM⊥CD，
又CD＝4则有：CM＝CD＝2m，
设圆的半径是x米，
在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，
即：x2＝22+（6﹣x）2，
解得：x＝，
所以圆的半径长是m．
故答案为：．
12．（3分）下列4个函数，①y＝3x﹣1；②；③y＝2x2；④y＝2x（﹣1≤x＜1），其中图象是中心对称图形，且对称中心在原点的共有 1 个．
【解答】解：①y＝3x﹣1的图象是中心对称图形，但对称中心不是原点，故①不符合题意；
②的图象是中心对称图形，且对称中心在原点，故②符合题意；
③y＝2x2的图象不是中心对称图形，故③不符合题意；
④y＝2x（﹣1≤x＜1）的图象不是关于原点对称的中心对称图形，故④不符合题意．
其中图象是中心对称图形，且对称中心在原点的共有1个．
故答案为：1．
13．（3分）某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个25列的长方形队阵．如果原队阵中增加64人，就能组成一个正方形队阵；如果原队阵中减少64人，也能组成一个正方形队阵．则原长方形队阵中有同学 1025 人．
【解答】解：设原长方形队阵中有同学25x（x为正整数）人，则由已知25x+64与25x﹣64均为完全平方数，设正方形方阵的边长分别为m，n，可得，其中m，n为正整数．
两式相减，得m2﹣n2＝128，
即（m+n）（m﹣n）＝128．
∵128＝1×128＝2×64＝4×32＝8×16，
m+n和m﹣n同奇或同偶，
所以或或，
解得或或，
当m＝33时，25x＝332﹣64＝1025，x＝41，
当m＝18时，25x＝182﹣64＝260，x＝10.4，不合题意，舍去；
当m＝12时，25x＝122﹣64＝80，x＝3.2，不合题意，舍去；
故原长方形队阵中有同学1025人．
故答案为：1025．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF．过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K．若CI＝5，CJ＝4，则四边形AJKL的面积是 80 ．
【解答】解：过点D作DM⊥CI，交CI的延长线于点M，过点F作FN⊥CI于点N，
∵△ABC为直角三角形，四边形ACDE，BCFG为正方形，过点C作AB的垂线CJ，CJ＝4，
∴AC＝CD，∠ACD＝90°，∠AJC＝∠CMD＝90°，∠CAJ+∠ACJ＝90°，BC＝CF，∠BCF＝90°，∠CNF＝∠BJC＝90°，∠FCN+∠CFN＝90°，
∴∠ACJ+∠DCM＝90°，∠FCN+∠BCJ＝90°，
∴∠CAJ＝∠DCM，∠BCJ＝∠CFN，
∴△ACJ≌△CDM（AAS），△BCJ≌△CFN（AAS），
∴AJ＝CM，DM＝CJ＝4，BJ＝CN，NF＝CJ＝4，
∴DM＝NF，
∴△DMI≌△FNI（AAS），
∴DI＝FI，MI＝NI，
∵∠DCF＝90°，
∴DI＝FI＝CI＝5，
在Rt△DMI中，由勾股定理可得：
MI＝＝＝3，
∴NI＝MI＝3，
∴AJ＝CM＝CI+MI＝5+3＝8，BJ＝CN＝CI﹣NI＝5﹣3＝2，
∴AB＝AJ+BJ＝8+2＝10，
∵四边形ABHL为正方形，
∴AL＝AB＝10，
∵四边形AJKL为矩形，
∴四边形AJKL的面积为：AL•AJ＝10×8＝80，
故答案为：80．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）计算：．
【解答】解：
＝
＝
＝．
16．（6分）小红的爸爸一共买了四杯茶，其中一杯是绿茶，其余三杯是红茶，这四杯茶的外观完全一样，爸爸在拿回家的过程中弄混了，不知道哪一杯是绿茶，在不打开盖子的情况下，小红先从四杯茶中随机拿走一杯，然后小红的哥哥再从剩下的三杯中随机拿走一杯．请用树状图或列表法求小红和哥哥中有一人拿走绿茶的概率．
【解答】解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中小红和哥哥中有一人拿走绿茶的结果有：（绿茶，红茶），（绿茶，红茶），（绿茶，红茶），（红茶，绿茶），（红茶，绿茶），（红茶，绿茶），共6种，
∴小红和哥哥中有一人拿走绿茶的概率为．
17．（6分）清明假期，泰山受到广大市民和全国游客的热烈欢迎．据统计，假期第一天A入口比B入口登山游客多1.2万人，第二天A入口登山游客增加了10%，B入口登山游客减少了10%，当天A，B入口登山游客总人数比第一天增加了3%，试求第二天A，B入口登山游客的人数各是多少万人？
【解答】解：设假期第一天A入口登山游客的人数是x万人，B入口登山游客的人数是y万人，
根据题意得：，
解得：，
∴（1+10%）x＝（1+10%）×2.6＝2.86（万人），
（1﹣10%）y＝（1﹣10%）×1.4＝1.26（万人）．
答：假期第二天A入口登山游客的人数是2.86万人，B入口登山游客的人数是1.26万人．
18．（7分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE过BC中点O且交DC的延长线于点E．
（1）求证：△AOB≌△EOC；
（2）连接AC，BE，请添加一个条件，使四边形ABEC为矩形．（不需要说明理由）
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠B＝∠D，
∴∠B＝∠BCE，
∵O是BC中点，
∴BO＝CO，
∵BO＝CO，∠B＝∠BCE，∠AOB＝∠COE，
∴△AOB≌△EOC；
（2）解：添加条件是OA＝OB，四边形ABEC是矩形．
理由如下：
∵△AOB≌△EOC，
∴BO＝CO，AO＝EO，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∵OA＝OB，
∴BC＝AE，且四边形ABEC是平行四边形，
∴四边形ABEC是矩形．
19．（7分）某校为落实“双减”政策，增强课后服务的丰富性，充分用好课后服务时间，3月份学校开展数学学科活动，其中七年级开展了五个项目（每位学生只能参加一个项目）：A．阅读数学名著；B．讲述数学故事；C．制作数学模型；D．参与数学游戏；E．挑战数学竞赛．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）①此次调查一共随机抽取了 400 名学生；②补全条形统计图（要求在条形图上方注明名数）；③扇形统计图中圆心角α＝ 54 度；
（2）若该年级有1100名学生，请你估计该年级参加D项目的学生大约有多少名；
（3）在C项目展示活动中，某班获得一等奖的学生有3名男生，2名女生，则从这5名学生中随机抽取2名学生代表本班参加学校制作数学模型活动，请直接写出恰好抽到2名男生的概率．
【解答】解：（1）①100÷25%＝400（名），
故答案为400；
②A阅读数学名著400×15%＝60（名），
∴C制作数学模型400﹣60﹣100﹣140﹣40＝60（名），
补全统计图如下：
③，
故答案为：54；
（2）D项目的学生：（名）；
（3）
共有20种等可能的情况，其中抽到2名男生的情况数为6种，
∴．
20．（7分）方格纸中每个小正方形的边长均为1，点A，B，D和点E，F，H均在小正方形的顶点上．
（1）在图1中画出四边形ABCD，使得四边形ABCD既是轴对称图形，又是中心对称图形，且点C在小正方形的顶点上；
（2）在图2中画出四边形EFGH，使得四边形EFGH是轴对称图形，但不是中心对称图形，且点G在小正方形的顶点上．在线段HG所经过的小正方形顶点中，找一点K，满足GF＝GK，连接FK，并直接写出tan∠GFK的值．
【解答】解：（1）如图，四边形ABCD即为所求；
（2）如图，四边形EFGH即为所求；
根据网格可知：tan∠GFK＝＝2．
21．（8分）心理学研究发现，一般情况下，在一节40分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，10分钟后保持平稳一段时间，平稳时间持续14分钟，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示，CD为反比例函数图象的一部分．
（1）当0≤x≤10时，请求出y关于x的函数解析式；
（2）数学老师计划在课堂上讲解一道23分钟的推理题，请问他能否经过适当的安排，使学生在听这道题目的讲解时注意力指标数不低于32？并说明理由．
【解答】解：（1）设反比例函数解析式为y＝，
由题意可得：C（24，40），
则a＝24×40＝960，
故y＝，
则x＝40时，y＝＝24，
则D（40，24），故A（0，24）；
设线段AB所在的直线的解析式为y＝kx+b，
把B（10，40），（0，24）代入得，，
解得：，
∴y＝1.6x+24；
（2）令直线AB函数中，y＝32，
∴32＝1.6x+24，
∴x＝5，
令反比例函数中y＝32，
∴32＝，
∴x＝30，
∵30﹣5＝25＞23，
∴经过适当的安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．
22．（7分）（1）操作发现：
如图①，在Rt△ABC中，∠C＝2∠B＝90°，点D是BC上一点，沿AD折叠△ADC，使得点C恰好落在AB上的点E处．请写出AB、AC、CD之间的关系 AB＝AC+CD ；
（2）问题解决：
如图②，若（1）中∠C≠90°，其他条件不变，请猜想AB、AC、CD之间的关系，并证明你的结论；
（3）类比探究：
如图③，在四边形ABCD中，∠B＝120°，∠D＝90°，AB＝BC，AD＝DC，连接AC，点E是CD上一点，沿AE折叠，使得点D正好落在AC上的F处，若BC＝，直接写出DE的长．
【解答】解：（1）∵∠C＝2∠B＝90°，
∴∠B＝45°，∠BAC＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AC＝BC，
由翻折的性质可知AC＝AE，CD＝CE，∠AED＝∠C＝90°，
∴∠BED＝90°，
∴△BDE为等腰直角三角形，
∴BE＝DE＝CD．
∴AB＝AE+BE＝AC+CD．
故答案为：AB＝AC+CD；
（2）AB＝AC+CD．理由如下：如图②，
∵AD折叠△ADC，使得点C恰好落在AB上的点E处，
∴DC＝DE，∠AED＝∠C，AE＝AC，
∵∠C＝2∠B，
∴∠AED＝2∠B，
而∠AED＝∠B+∠BDE，
∴∠B＝∠BDE，
∴EB＝ED，
∴ED＝CD，
∴AB＝AE+BE＝AC+CD；
（3）作BH⊥AC于H，如图③，
设DE＝x，由（1）的结论得AC＝（2+）x，
∵BA＝BC，∠CBA＝120°，
∴∠BCA＝∠BAC＝30°，
∵BH⊥AC，
∴CH＝AH＝AC＝x，
在Rt△BCH中，∠BCH＝30°
∴BH＝BC＝＝+1，
∵BH2+CH2＝BC2
∴（+1）2+（x）2＝（2+2）2，
解得x＝或﹣（舍去），
即DE的长为．
23．（12分）如图，Rt△ABC，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2．P，Q两点分别从A，C同时出发，点P沿折线A→B→C向终点C运动，在AB上的速度为每秒4个单位长度，在BC上的速度为每秒2个单位长度；点Q以每秒个单位长度的速度沿线段CA向终点A运动．过点P作PD⊥AC于点D，以PD，DQ为邻边作矩形PDQE．设运动时间为x秒，矩形PDQE和△ABC重叠部分的图形面积为y．
（1）当点Q和点D重合时，x＝ ；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）在运动过程中，连接PQ，取PQ中点O，连接OC，直接写出OC的最小值．
【解答】解：（1）如图1，∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝2BC＝4，
∴AC＝＝＝2，
∵PD⊥AC于点D，
∴∠ADP＝90°，
∵AP＝4x，CQ＝x，
∴PD＝AP＝2x，AD＝AP•cs30°＝×4x＝2x，
当点D与点Q重合时，则2x+x＝2，
∴x＝，
故答案为：．
（2）当点P与点B重合时，则4x＝4，
∴x＝1；
当点P与点C重合时，则2（x﹣1）＝2，
∴x＝2，
此时CQ＝2，则点Q与点A重合，
当0＜x＜时，如图1，PD＝2x，DQ＝2﹣3x，
∴y＝2x（2﹣3x）＝﹣6x2+4x；
当＜x≤1时，如图2，EQ交AB于点R，
∵PD＝2x，DQ＝3x﹣2，AQ＝2﹣x，
∴RQ＝AQ•tan30°＝（2﹣x）＝2﹣x，
∴y＝（2﹣x+2x）（3x﹣2）＝x2+2x﹣2；
当1＜x＜2时，如图3，PE交AB于点M，QE交AB于点N，
∵∠BPM＝90°，∠B＝60°，BP＝2（x﹣1）＝2x﹣2，
∴PM＝BP•tan60°＝（2x﹣2），
∵∠AQN＝90°，∠A＝30°，AQ＝2﹣x，
∴QN＝AQ•tan30°＝（2﹣x），
∴y＝×2×2﹣×（2x﹣2）2﹣×（2﹣x）2＝﹣x2+6x﹣2，
综上所述，．
（3）当点P在AB边上时，作OF⊥AD于点F，则∠CFO＝90°，OF∥PD，
∴△QOF∽△QPD，
∵O是PQ的中点，
∴＝＝＝，
∴OF＝×2x＝x，FQ＝DQ，
如图4，点D在点Q的上方，则CF＝t+（2﹣3x）＝﹣x，
如图5，点D在点Q的下方，则CF＝t﹣（3x﹣2）＝﹣x，
∴OC2＝x2+（﹣x）2＝x2﹣3x+3＝（x﹣）2+，
∴OC2最小＝，
∴OC最小＝；
当点P在BC边上，如图6，CP＝2﹣2（x﹣1）＝4﹣2x，CQ＝x，
∴PQ2＝（4﹣2x）2+（x）2＝7x2﹣16x+16＝7（x﹣）2+，
∴PQ2最小＝，
∴PQ最小＝，
∵∠PCQ＝90°，O是PQ的中点，
∴OC＝PQ，
∴OC最小＝，
综上所述，OC的最小值是．
24．（12分）已知，在以点O为原点的平面直角坐标系中，抛物线的原点的顶点为A（﹣1，﹣4），且经过点B（﹣2，﹣3）与x轴分别交于C、D两点．
（1）求直线OB及抛物线的解析式；
（2）如图1点M是抛物线上的一个动点，且在直线OB的下方，过点M作x轴的平行线与直线OB交于点N，求MN的最大值；
（3）如图2，过点A的直线交x轴于点E，且AE∥y轴．点P是抛物线上A、D之间的一个动点，直线PC、PD分别与AE交于F、G两点．当P点运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值．若不是．请说明理由．
【解答】解：（1）根据抛物线的顶点为A（﹣1，﹣4），设二次函数的解析式为y＝a（x+1）2﹣4，
∵抛物线经过点B（﹣2，﹣3），
∴a（﹣2+1）2﹣4＝﹣3，
解得a＝1，
则y＝x2+2x﹣3；
设直线OB的解析式为y＝kx，过点B（﹣2，﹣3），则﹣2k＝﹣3，
解得：k＝，
那么直线OB的解析式为y＝x；
（2）设M（t，t2+2t﹣3），MN＝s，
则N的横坐标为t﹣s，纵坐标为（t﹣s），
由MN∥x轴，得：t2+2t﹣3＝（t﹣s），
则s＝﹣（t+）2+≤，
当t＝﹣时，MN有最大值，最大值为；
（3）EF+EG为定值．理由如下，
如图，过点P作PQ∥y轴交x轴于点Q，
在y＝x2+2x﹣3中，令y＝0解得x＝﹣3或x＝1，
故C（﹣3，0），D（1，0），
设P（t，t2+2t﹣3），则PQ＝﹣t2﹣2t+3，CQ＝t+3，DQ＝1﹣t，
∵PQ∥EF，
∴△CEF∽△CQP，
∴，
∴EF＝＝（﹣t2﹣2t+3），
同理，△EGD∽△QPD，
∴，
∴EG＝＝（﹣t2﹣2t+3），
∴EG+EF＝（﹣t2﹣2t+3）+（﹣t2﹣2t+3）＝8，
故EF+EG是定值，且为8．绿茶
红茶
红茶
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（绿茶，红茶）
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