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2023年吉林省长春市朝阳区中考数学一模试卷（含解析）
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这是一份2023年吉林省长春市朝阳区中考数学一模试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年吉林省长春市朝阳区中考数学一模试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 2023的_____是−2023，则横线上可填写的数学概念名词是( )
A. 绝对值 B. 相反数 C. 倒数 D. 平方
2. 如图，一个正方体的三个面上分别标有汉字数、学、美，不考虑汉字方向，则它的展开图可能是下面四个展开图中的( )
A. B.
C. D.
3. 下列计算正确的是( )
A. 2x2−x2=x2 B. x2+x3=x5 C. x2⋅x3=x6 D. (x2)3=x5
4. 方程x2−2x=0的根的情况是( )
A. 没有实数根 B. 有一个实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根
5. 如图，⊙O的弦AB、CD交于点E.若∠A=46°，∠AED=87°，则∠B的度数是( )
A. 23°
B. 31°
C. 41°
D. 46°
6. 如图，在某个滑雪场滑雪，需要从山脚下A处乘缆车上山顶B处，缆车索道与水平线所成的∠BAC=α.测得这座山的高度BC=800m，则缆车索道AB的长为( )
A. 800cosαm B. 800sinαm C. 800cosαm D. 800sinαm
7. 如图，利用内错角相等，两直线平行，我们可以用尺规作图的方法，过∠AOB的边OB上一点E作OA的平行线EG.有以下顺序错误的作图步骤：①作射线EG；②以O为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别交OA、OB于点C、D；③以F为圆心，CD长为半径画圆弧，交前面的圆弧于点G；④在边OB上取一点E，以E为圆心，OC长为半径画圆弧，交OB于点F.这些作图步骤的正确顺序为( )
A. ①②③④ B. ③②④① C. ②④③① D. ④③①②
8. 如图，在平面直角坐标系中，一块墨迹遮挡了横轴的位置，只留下部分纵轴和部分正方形网格，该网格的每个小正方形的边长都是2个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点.若格点A、B在函数y=kx(x>0)的图象上，则k的值为( )
A. 6
B. 12
C. 24
D. 48
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9. 不等式 3x< 2x−1的解集是______．
10. 分解因式：a2−3a=______．
11. 如图，正五边形ABCDE和正六边形EFGHMN的边CD、FG在直线l上，正五边形在正六边形左侧，两个正多边形均在l的同侧，则∠DEF的大小是______度．
12. 中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形(如图)，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”.若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，α为直角三角形中的一个锐角，则tanα=______．
13. 如图，AB为⊙O直径，点C是⊙O上的一点，连结AC、BC，以C为圆心，AC长为半径画圆弧，使点B在该圆弧上，再将⊙O分别沿AC、BC向内翻折.若AB=2，则图中阴影部分图形的面积和为______ .(结果保留π)
14. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A(2,−2)在抛物线y=−x2+k上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段A上，且C、D两点关于y轴对称，过点C作x轴的垂线交抛物线于点E.连接ED，若CE=2CD，则线段CD的长为______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题6.0分)
先化简，再求值：(a−b)2+b(2a−b)，其中a= 5．
16. (本小题6.0分)
如图，三张不透明的卡片，正面图案分别是神舟十三号、十四号和十五号纪念图章，依次记为A、B、C，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀.小明从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张.请用画树状图(或列表)的方法，求小明两次抽到图案上纪念图章相同的概率．
17. (本小题6.0分)
电子商务的迅速崛起，带来了物流运输和配送的巨大需求.某快递公司采购A、B两种型号的机器人进行5公斤以下的快递分拣，已知A型机器人比B型机器人每小时多分拣10件快递，且A型机器人分拣700件快递所用的时间与B型机器人分拣600件快递所用的时间相同，求B型机器人每小时分拣快递的件数．
18. (本小题7.0分)
如图，在Rt△BDE中，∠BDE=90°，CD是边BE的中线，过点D作AD//BE，且AD=BC，连结AE交BD于F．
(1)求证：四边形ABCD是菱形．
(2)若BD=3，菱形ABCD的面积为152，则tan∠DEF的值为______ ．
19. (本小题7.0分)
图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点.△ABC的顶点均在格点，点D为AC上一格点，点E为AB上任一点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．
(1)在图①中画△ABC的中位线DF，使点F在边AB上．
(2)在图②中画以AC为对角线的平行四边形ABCG．
(3)在图③中作射线ED，在其上找到一点H，使DH=DE．
20. (本小题7.0分)
为了解我国2022年25个地区的第一季度快递业务收入的情况，收集了这25个地区第一季度快递业务收入(单位；亿元)的数据，并对数据进行了整理、描述和分析，给出如下信息．
a.排在前5位的地区第一季度快递业务收入的数据分别为：534.9，437.0，270.3，187.7，104.0
b.其余20个地区第一季度快递业务收入的数据的频数分布表如下：
快递业务收入x(单位：亿元)
0≤x<20
20≤x<40
40≤x<60
60≤x≤80
频数
6
10
1
3
c.第一季度快递业务收入的数据在20≤x<40这一组的是：20.2，20.4，22.4，24.2，26.1，26.5，28.5，34.4，39.1，39.8
d.排在前5位的地区、其余20个地区、全部25个地区第一季度快递业务收入的数据的平均数、中位数如下：
前5位的地区
其余20个地区
全部25个地区
平均数(单位：亿元)
306.78
29.9
n
中位数(单位；亿元)
270.3
m
28.5
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表中m的值为______ ．
(2)在下面的3个数中，与表中n的值最接近的是______ (填写序号)．
①30
②85
③150
(3)根据(2)中的数据，预计这25个地区2022年全年快递业务总收入约为______ 亿元．
21. (本小题8.0分)
某食品加工厂的甲、乙两个生产组领到了相同的加工任务.甲、乙两组以相同的工作效率同时开始工作，中途乙组因升级设备，停工了一段时间.乙组设备升级完毕后，提高了工作效率，在完成本组任务后，帮助甲组加工了60kg食品，最后两组同时停工，完成了此次加工任务.两组各自加工的食品量y(kg)与甲组工作时间x(h)之间的函数图象如图所示．
(1)甲组每小时加工食品______ kg，乙组升级设备后每小时加工食品______ kg；
(2)求乙组设备升级完毕后y与x之间的函数关系式；
(3)求m，n的值．
22. (本小题9.0分)
【题目】如图①，在矩形ABCD中，AD=2AB，F是AB延长线上一点，且BF=AB，连接DF，交BC于点E，连接AE.试判断线段AE与DF的位置关系．
【探究展示】小明发现，AE垂直平分DF，并展示了如下的证明方法：
证明：∵BF=AB，∴AF=2AB.∵AD=2AB，∴AD=AF.∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC.∴BFAB=EFDE(依据1)∵BF=AB，∴EFDE=1，∴DE=EF，∵AD=AF，
∴AE⊥DF(依据2)，∴AE垂直平分DF．
【反思交流】(1)上述证明过程中的“依据1”是 ；“依据2”是 ；
(2)小颖受到小明的启发，继续进行探究，如图②，连接图①中的CF，将CF绕点C顺时针旋转90°得到CG，连接EG，求证：点G在线段BC的垂直平分线上；
【拓展应用】如图③，将图②中的CF绕点F顺时针旋转90°得到FH.分别以点B、C为圆心，m为半径作弧，两弧交于点M，连接MH，若MH=AB=1，直接写出m的值．
23. (本小题10.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=6，AD=3，BD是对角线，E为边AB的中点.点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，在线段AP的延长线上取一点Q，使PQ=2AP，以PQ为斜边向其右侧作Rt△PQM，使PM//AB.连结EM，作点A关于EM的对称点A′，连结EA′，设点P运动的时间为t秒(t>0)．
(1)BD的长为______ ．
(2)用含t的代数式表示线段DQ的长．
(3)当点A′在边BD上时，求△PQM与平行四边形ABCD重叠部分图形的面积．
(4)当EA′//BD时，直接写出t的值．
24. (本小题12.0分)
在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2+bx的对称轴为直线x=2，点A、B在该抛物线上(点A与点B不重合)，其横坐标分别为m、−2m.该抛物线在A、B两点之间的部分(包括A、B两点)记为图象G．
(1)求该抛物线对应的函数关系式．
(2)当图象G的对应的函数值y随x的增大而减小时，求m的取值范围．
(3)当抛物线y=x2+bx的顶点是图象G的最低点时，设图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为h，求h与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．
(4)过A、B两点中较低的点作y轴的垂线交图象G于另一个交点P，以这个较低的点与点P的连线为边向其下方作正方形，当点O在该正方形内部，且抛物线的顶点到该正方形的边的最小距离是1时，直接写出m的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：2023的相反数是−2023．
故选：B．
根据相反数定义即可得到答案．
本题考查相反数定义：只有符号不同的两个数叫互为相反数．
2.【答案】C
【解析】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
选项A中“数”与“美”是对面，与原题相矛盾，因此选项A不符合题意；
选项B中“数”与“美”是对面，与原题相矛盾，因此选项B不符合题意；
选项C中“数、学、美”的对面都是空白面，因此选项C符合题意；
选项D中“学”与“美”是对面，与题意矛盾，因此选项D不符合题意．
故选：C．
根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
本题考查正方体的展开与折叠，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的前提．
3.【答案】A
【解析】解：A、2x2−x2=x2，故A符合题意；
B、x2与x3不属于同类项，不能合并，故B不符合题意；
C、x2⋅x3=x5，故C不符合题意；
D、(x2)3=x6，故D不符合题意；
故选：A．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4.【答案】D
【解析】解：方程x2−2x=0，
∵a=1，b=−2，c=0，
∴Δ=(−2)2−4×1×0=4−0=4>0，
则方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
求出一元二次方程根的判别式的值，判断即可．
此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵∠AED是△BED的一个外角，
∴∠AED=∠B+∠D，
∵∠D=∠A=46°，∠AED=87°，
∴∠B=∠AED−∠D=41°．
故选：C．
利用三角形外角的性质得到∠AED=∠B+∠D，由圆周角定理得到∠D=∠A=46°，即可得到∠B的度数．
本题考查了圆周角定理、三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：在Rt△ABC中，
∵sinA=BCAB，
∴AB=BCsinA=800sinα(m)．
故选：B．
在Rt△ABC中利用“sinA=∠A的对边斜边”可得结论．
本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：正确的排序是：②以O为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别交OA、OB于点C、D；
④在边OB上取一点E，以E为圆心，OC长为半径画圆弧，交OB于点F；
③以F为圆心，CD长为半径画圆弧，交前面的圆弧于点G；
①作射线EG；
故选：C．
根据作一个角等于已知角的尺规作图可得．
本题主要考查作图−复杂作图，解题的关键是掌握作一个角等于已知角的尺规作图步骤．
8.【答案】D
【解析】解：由图可得，
点A的横坐标为4，点B的横坐标为8，
设点A的纵坐标为a，则点B的纵坐标为a−6，
∵点A、B在函数y=kx(x>0)的图象上，
∴4a=8(a−6)，
解得a=12，
∴点A的坐标为(4,12)，
∴k=4×12=48，
故选：D．
根据图形，可以直接写出点A和点B的横坐标，设点A的纵坐标为a，再根据图象可知点B的纵坐标为a−6，然后根据反比例函数的横纵坐标的乘积等于k，即可求出k的值．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，正确表示出A、B的坐标．
9.【答案】x<− 3− 2
【解析】解： 3x< 2x−1，
3x− 2x<−1，
x<−1 3− 2，
x<− 3− 2．
故答案为：x<− 3− 2．
利用解不等式的方法与步骤求得解集，进一步化简即可．
此题考查二次根式的实际运用，掌握解不等式得方法与二次根式的化简是解决问题的关键．
10.【答案】a(a−3)
【解析】解：a2−3a=a(a−3)．
直接提取公因式a即可．
本题考查因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式，再看剩下的因式是否还能分解．
11.【答案】48
【解析】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴每个内角度数为(5−2)×180°5=108°．
∴∠EDC=108°，
∴∠EDF=72°，
同理可得正六边形BFGHMN每个内角度数为120°．
∴∠EFG=120°，
∴∠EFD=60°，
∴∠DEF=180°−∠EDF−∠EFD=180°−72°−60°=48°．
解法二：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠EDF=72°，
∵六边形EFGHMN是正六边形，
∴∠EFD=60°，
∴∠DEF=180°−∠EDF−∠EFD=180°−72°−60°=48°；
故答案为：48．
解法一：根据多边形内角和公式，分别求出正五边形和正六边形的内角度数，即可得∠EDF和∠EFD的度数，再根据三角形的内角和定理即可得出答案；
解法二，根据多边形的外角和是360°，分别求出∠EDF和∠EFD的度数，再根据三角形的内角和是180°，从而得出∠DEF的度数．
本题主要考查多边形内角与外角，熟练掌握多边形的内角和定理和外角和度数是解题的关键．
12.【答案】2
【解析】解：由已知可得，
大正方形的面积为1×4+1=5，
设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，
则a2+b2=5，a−b=1，
解得a=2，b=1或a=1，b=−2(不合题意，舍去)，
∴tanα=ab=21=2，
故答案为：2．
根据题意和题目中的数据，可以先求出大正方形的面积，然后设出小直角三角形的两条直角边，再根据勾股定理和两直角边的关系可求得直角三角形的两条直角边的长，然后即可求得tanα的值．
本题考查勾股定理的证明、解直角三角形，解答本题的关键是求出直角三角形的两条直角边长．
13.【答案】π2
【解析】解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵以C为圆心，AC的长为半径作弧，恰好经过点B，
∴AC=BC，
∴AC2+BC2=AB2，
即2AC2=22，
解得AC=BC= 2，
∵将⊙O分别沿AC，BC向内翻折，
∴S1=S2，S3=S4，
∴S阴影=S2+S4+S5=S1+S3+S5=π×(22)2−90π×( 2)2360=π2，
故答案为：π2．
先根据直径所对的圆周角为直角，得出∠ACB=90°，根据AC=BC，结合勾股定理求出AC=BC= 2，根据图形得出S阴影=S2+S4+S5=S1+S3+S5=12π，即可得出答案．
本题主要考查了直径所对的圆周角为直角，勾股定理，扇形面积的计算，解题的关键是根据图形得出S阴影=S2+S4+S5=S1+S3+S5．
14.【答案】4 2−4
【解析】解：∵点A(2,−2)在抛物线y=−x2+k上，
∴−22+k=−2，
∴k=2，
∴抛物线解析式是y=−x2+2，
设C的横坐标是a，则D的横坐标是−a，E的坐标是(a,−a2+2)，
∴CD=2a，CE=−a2+4，
∵CE=2CD，
∴−a2+4=2⋅2a，
∴a=2 2−2或a=−2−2 2(舍去)，
∴线段CD长是2a=2(2 2−2)=4 2−4，
故答案为：4 2−4．
由点A(2,−2)在抛物线y=−x2+k上，求出抛物线解析式是y=−x2+2，设C的横坐标是a，则D的横坐标是−a，E的坐标是(a,−a2+2)，由CE=2CD，列出关于a的方程，求出a的值即可解决问题．
本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．
15.【答案】解：原式=a2−2ab+b2+2ab−b2
=a2．
当a= 5时，
原式=( 5)2
=5．
【解析】先展开，再合并同类项，化简后将a的值代入计算即可．
本题考查整式的化简求值，解题的关键是掌握整式相关的运算法则．
16.【答案】解：根据题意，列表如下：
共有9种等可能的结果，小明两次抽到图案上纪念图章相同的结果有3种，
∴P(小明两次抽到图案上纪念图章相同)=39=13．
【解析】列树状图求得结果即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17.【答案】解：设B型机器人每小时分拣x件快递，
由题意，得700x+10=600x，
解得x=60，
经检验，x=60是原方程的解，且符合题意，
答：B型机器人每小时分拣60件快递．
【解析】设B型机器人每小时分拣x件快递，根据A型机器人分拣700件快递所用的时间与B型机器人分拣600件快递所用的时间相同，列分式方程，求解即可．
本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
18.【答案】15
【解析】(1)证明：∵AD//BE，且AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠BDE=90°，CD是边BE的中线，
∴CD=12BE=BC=CE，
∴平行四边形ABCD是菱形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴S△ABD=S△BCD，
∵BC=CE，
∴S△BCD=S△CDE=12S菱形ABCD=12S△BDE，
∵S△BDE=12BD⋅DE，
∴12×3×DE=152，
∴DE=5，
∵AD=BC，
∴AD=12BE，
∵AD//BE，
∴△ADF∽△EBF，
∴DFBF=ADBE=12，
∵BD=3，
∴DF=1，
∴tan∠DEF=DFDE=15，
故答案为：15．
(1)证四边形ABCD是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得CD=12BE=BC=CE，即可得出结论；
(2)由菱形的性质和三角形面积得S△ABD=S△BCD，S△BCD=S△CDE=12S菱形ABCD=12S△BDE，再求出DE=5，然后证△ADF∽△EBF，得DF=1，即可解决问题．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、三角形面积、相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握菱形的判定与性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
19.【答案】解：如图：
(1)FD即为所求；
(2)▱ABCG即为所求；
(3)点H即为所求．
【解析】(1)取AB的中点F，再连接DF；
(2)过A作AG//BC，且AG=BC，再连接CG即可；
(3)在图②的基础上，连接ED并延长与CG的交点即为H．
本题考查了作图的应用与设计，掌握三角形的中位线的意义和平行四边形的判断和性质是解题的关键．
20.【答案】25.15 ② 340
【解析】解：(1)将这20个地区的第一季度快递业务收入从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为24.2+26.12=25.15，即中位数m=25.15，
故答案为：25.15；
(2)n=306.8×5+29.8×205+20=85.24≈85，
故答案为：②；
(3)85×4=340(亿元)，
故答案为：340．
(1)根据中位数的定义进行计算即可；
(2)由平均数的计算法则进行计算即可；
(3)利用(2)中的结果进行计算即可．
本题考查频数分布表，平均数、中位数、众数以及样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数的定义及计算方法是正确解答的关键．
21.【答案】30 50
【解析】解：(1)由图象可得，
甲组每小时加工食品：210÷7=30(kg)，
乙组升级设备后每小时加工食品：(210−30×2)÷(7−4)=50(kg)，
故答案为：30，50；
(2)设乙组设备升级完毕后y与x之间的函数关系式是y=kx+b，
∵点(4,60)，(7,210)在该函数图象上，
∴4k+b=607k+b=210，
解得k=50b=−140，
即乙组设备升级完毕后y与x之间的函数关系式是y=50x−140；
(3)由题意可得，
乙比甲多加工了60×2=120(个)，
50m−140=30m+120，
解得m=13，
∴n=50×13−140=510，
即m的值是13，n的值是510．
(1)根据函数图象中的数据，可以计算出甲组每小时加工食品多少千克和乙组升级设备后每小时加工食品多少千克；
(2)先设出函数解析式，然后根据点(4,60)和点(7,210)在该函数图象上，可以求得该函数的解析式；
(3)根据(2)中的结果和(1)中的结果，可知乙比甲多加工了60×2=120(个)，然后列出关于m的方程求解即可．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】平行线分线段成比例定理 等腰三角形三线合一的性质
【解析】【反思交流】(1)解：上述证明过程中的“依据1”是平行线分线段成比例定理；“依据2”是等腰三角形三线合一的性质．
故答案为：平行线分线段成比例定理，等腰三角形三线合一的性质；
(2)证明：由旋转得∠FCG=90°，CG=FC，
∴∠GCE+∠BCF=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠CBF=90°，AD=BC，
∴∠CFB+∠BCF=90°，
∴∠CFB=∠GCE，
由【探究展示】知DE=EF，
∵BF=AB，
∴BE=12AD=12BC，
∴BC=2CE=2BE，
∵AD=2AB，
∴BF=CE，
∴△CEG≌△FBC(SAS)，
∴∠CEG=∠FBC=90°，
∴GE⊥CB，
∴点G在线段BC的垂直平分线上；
【拓展应用】过点H作HN⊥AF于N，连接CM，
由旋转得∠CFH=90°，FH=FC，
∴∠CFB+∠HFN=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠CBF=90°，AD=BC，
∴∠CFB+∠BCF=90°，
∴∠BCF=∠NFH，
∵∠CBF=∠FNH=∠ABC=90°，
∴△HNF≌△FBC(SAS)，BE//NH，
∴NH=BF=AB=1，BC=NF，
∵AD=2AB，
∴BC=NF=2，
∴BN=3，
由(2)知BC=2CE=2BE，
∴BE=CE=1，
∴四边形BEHN为矩形，
∴EH=BN=3，EH⊥BC，
∴EH是BC的垂直平分线，
∴m的值为CM的长，
∵MH=AB=1，
∴EM=3−1=2或3+1=4，
∴CM= 22+12= 5或CM= 42+12= 17，
∴m的值为 5或 17．
【反思交流】(1)根据平行线分线段成比例定理和等腰三角形三线合一的性质直接得出结论；
(2)证明△CEG≌△FBC(SAS)，根据全等三角形的性质得∠CEG=∠FBC=90°，得出GE⊥CB，由【探究展示】知BE=12AD=12BC，即可得出结论；
【拓展应用】过点H作HN⊥AF于N，连接CM，证明△HNF≌△FBC(SAS)，得出NH=1，NF=2，判断出四边形BEHN为矩形，则EH=BN=3，分两种情况利用勾股定理即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，构造全等三角形是解本题的关键．
23.【答案】3 3
【解析】解：(1)如图1，过点D作DN⊥AB于N，
∴∠AND=∠DNB=90°，
∵∠A=60°，
∴∠ADN=30°，
∵AD=3，AB=6，
∴AN=12AD=32，DN= 32−(32)2=3 32，
Rt△DNB中，BN=6−32=92，
∴BD= DN2+BN2= (3 32)2+(92)2= 27=3 3；
故答案为：3 3；
(2)由题意得：AP=t，
当0
当t>1时，点Q在线段AD的延长线上，
∴DQ=t+2t−3=3t−3；
(3)如图2，连接AM，
∵PM//AB，
∴∠DPM=∠BAD=60°，∠AMP=∠BAM，
∵∠PMQ=90°，
∴∠PQM=30°，
∴PQ=2PM，
∵PQ=2PA，
∴PA=PM，
∴∠PAM=∠AMP，
∴∠PAM=∠BAM，
∴点M总在∠BAD的平分线上，
当点A′在边BD上时，存在两种情况：
①如图3，
∵点E是AB的中点，
∴AE=12AB=3，
∵AD=3，
∴AE=AD，
∵∠PAE=60°，
∴△EAD是等边三角形，
∴ED=EA，∠AED=60°，
由折叠得：AE=A′E，
∴当点A′与点D重合时，符合题意，如图3所示，
此时∠AEM=∠DEM=12∠AED=30°，
∴点M正好在△DEA的角平分线上，
∴∠PDM=12×60°=30°，
∵∠PQM=30°，
∴点Q与点D重合，
∴3t=3，
∴t=1，
∴PQ=2PA=2，
∴PM=1，QM= 22−12= 3，
∴S△PQM=12⋅PM⋅QM=12×1× 3= 32，
∴此时△PQM与平行四边形ABCD重叠部分图形的面积为 32；
②∵点E是AB的中点，
∴AE=BE=3，
由折叠得：AE=A′E，
∴当A′与B重合时符合要求，如图4，
此时EM垂直平分AB，
∴AQ=BQ，
∵∠QAB=60°，
∴△QAB是等边三角形，
∴AQ=2AE=6，
∴3t=6，
∴t=2，
∴AP=PM=2，
∴PQ=2AP=4，
∴QM= 42−22=2 3，
∴S△PQM=12×2×2 3=2 3，
∵AD=3，
∴DQ=6−3=3，
∵DC//AB，
∴∠DFQ=∠AEQ=90°，
∵∠DQE=12∠AQB=30°，
∴DF=12DQ=32，QF=DQ×cos30°=3× 32=3 32，
∴S△DQF=12×32×3 32=9 38，
此时△PQM与平行四边形ABCD重叠部分图形的面积=2 3−9 38=7 38，
综上，△PQM与平行四边形ABCD重叠部分图形的面积 32或7 38；
(4)根据(3)可知：AM平分∠DAB，PM=AP=t，
∴∠DAM=∠BAM=12∠DAB=30°，
分两种情况：
①当点A′在点E的上方时，延长AM，过点E作EF⊥AM于F，过点P作PN⊥AM于N，如图5所示，
∵∠EFA=90°，∠EAF=30°，
∴EF=12AE=32，∠AEF=90°−30°=60°，
∴AF=AE×cos30°=3× 32=3 32，
由(1)可知：AD=3，BD=3 3，AB=6，
∵32+(3 3)2=36=62，
∴△ABD是直角三角形，∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°−∠DAB=90°−60°=30°，
∵EA′//BD，
∴∠AEA′=∠ABD=30°，
由折叠得：∠AEM=∠A′EM=12∠AEA′=15°，
∴∠MEF=60°−15°=45°，
∴∠EMF=90°−45°=45°，
∴∠EMF=∠MEF，
∴EF=FM=32，
∴AM=3 3−32，
∵AP=MP，PN⊥AM，
∴AN=MN=12AM=3 3−34，
∵∠PAN=30°，∠PNA=90°，
∴AP=ANcos30∘=3 3−34 32=3− 32，
∴t=3− 32；
②当点A′在点E的下方时，过点E作EF⊥AM于F，过点P作PN⊥AM于N，如图6所示，
∵∠EFA=90°，∠EAF=30°，
∴EF=12AE=32，∠AEF=90°−30°=60°，
∴AF=AE×cos30°=3× 32=3 32，
∴∠ABD=30°，
∵A′E//BD，
∴∠BEA′=∠ABD=30°，
∴∠AEA′=180°−30°=150°，
由折叠得：∠AEM=∠A′EM=12(360°−150°)=105°，
∴∠MEF=105°−60°=45°，
∴∠EMF=90°−45°=45°，
∴∠EMF=∠MEF，
∴EF=FM=32，
∴AM=3 3+32，
∵AP=MP，PN⊥AM，
∴AN=NM=12AM=3 3+34，
∵∠PAN=30°，∠PNA=90°，
∴AP=ANcos30∘=3 3+34 32=3+ 32，
∴t=3+ 32，
综上，t的值是3− 32或3+ 32．
(1)过点D作DN⊥AB于N，解直角三角形即可；
(2)分两种情况：点Q在线段AD上或点Q在线段AD的延长线上，分别求出DQ的长即可；
(3)分两种情况：点A′和点D重合，点A′与点B重合，分别画出图形，求出结果即可；
(4)分两种情况：A′在点E的上方，A′在点E的下方，分别画出图形，求出结果即可．
本题是四边形的综合题，考查了平行线的性质，勾股定理及逆定理，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形的应用，等边三角形的性质和判定，三角形面积的计算，解题的关键是根据题意画出图形，熟练掌握折叠的性质，直角三角形的两锐角互余，含30°角的直角三角形的性质，并注意进行分类讨论．
24.【答案】解：(1)∵抛物线y=x2+bx对称轴为x=2，
∴−b2=2．
解得b=−4，
∴抛物线对应的函数关系式为y=x2−4x；
(2)①当m<−2m，即m<0时，
∵图象G的对应的函数值y随x的增大而减小，抛物线的对称轴为直线x=2，
∴−2m≤2，
解得−1≤m<0；
②当m>−2m，即m>0时，
∵图象G的对应的函数值y随x的增大而减小，抛物线的对称轴为直线x=2，
∴m≤2，
∴0
(3)由(1)知抛物线对应的函数关系式为y=x2−4x，
将x=2代入y=x2−4x得：y=−4，
∴抛物线的顶点坐标为(2,−4)，
将x=m代入y=x2−4x得：y=m2−4m，
∴A(m,m2−4m)，
将x=−2m代入y=x2−4x得：y=4m2+8m，
∴B(−2m,4m2+8m)，
令4m2+8m=m2−4m，
解得m1=0，m2=−4，
①当m≥0时，−2m<0，
∵抛物线y=x2−4x的顶点是图象G的最低点，
∴A(m,m2−4m)不在对称轴左侧，即m≥2，
此时m−2<2−(−2m)，即B到对称轴的水平距离大于A到对称轴的水平距离，
∴点B是最高点，
∴h=4m2+8m−(−4)=4m2+8m+4；
②当−4
∴B不在对称轴左侧，
∴−2m≥2，
∴−4
∴点A是最高点，
∴h=m2−4m−(−4)=m2−4m+4；
③当m≤−4时，
∵抛物线y=x2−4x的顶点是图象G的最低点，
∴−2m≥2，
此时−2m−2≥2−m，
∴点B是最高点，
∴h=4m2+8m−(−4)=4m2+8m+4．
综上所述，当−4
∴抛物线与x轴的交点为(0,0)和(4,0)，
①当m≥0时，由(3)知A(m,m2−4m)是最低点，
∵点O在正方形内部，
∴A在x轴上方，
∴m>4，
如图：
由对称性可得正方形边长AP=2(m−2)，
∵抛物线的顶点(2,−4)到该正方形的边的最小距离是1，
∴m2−4m−2(m−2)=−3或m2−4m−2(m−2)=−5，
解得m=3+ 2或m=3− 2(小于4，舍去)或m=3(舍去)，
∴m=3+ 2；
②当−4
∴B在x轴上方，
∴−2m>4，
∴m<−2，
∵抛物线的顶点(2,−4)到该正方形的边的最小距离是1，
∴4m2+8m−2(−2m−2)=−3或4m2+8m−2(−2m−2)=−5，
解得m=−3+ 22(大于−2，舍去)或m=−3− 22或m=−32(舍去)，
∴m=−3− 22；
③当m≤−4时，由(3)知，A是最低点，
同理可得m2−4m−2(2−m)=−3或m2−4m−2(2−m)=−5，
解得m=1± 2(不小于−4，舍去)或m=1(舍去)，
此时无满足条件的正方形；
综上所述，m的值是3+ 2或−3− 22．
【解析】(1)由抛物线y=x2+bx对称轴为x=2，有−b2=2.解得b=−4，故抛物线对应的函数关系式为y=x2−4x；
(2)①当m<−2m，即m<0时，根据图象G的对应的函数值y随x的增大而减小，有−2m≤2，故−1≤m<0；②当m>−2m，即m>0时，同理可得0
2023年吉林省长春市朝阳区中考数学一模试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 2023的_____是−2023，则横线上可填写的数学概念名词是( )
A. 绝对值 B. 相反数 C. 倒数 D. 平方
2. 如图，一个正方体的三个面上分别标有汉字数、学、美，不考虑汉字方向，则它的展开图可能是下面四个展开图中的( )
A. B.
C. D.
3. 下列计算正确的是( )
A. 2x2−x2=x2 B. x2+x3=x5 C. x2⋅x3=x6 D. (x2)3=x5
4. 方程x2−2x=0的根的情况是( )
A. 没有实数根 B. 有一个实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根
5. 如图，⊙O的弦AB、CD交于点E.若∠A=46°，∠AED=87°，则∠B的度数是( )
A. 23°
B. 31°
C. 41°
D. 46°
6. 如图，在某个滑雪场滑雪，需要从山脚下A处乘缆车上山顶B处，缆车索道与水平线所成的∠BAC=α.测得这座山的高度BC=800m，则缆车索道AB的长为( )
A. 800cosαm B. 800sinαm C. 800cosαm D. 800sinαm
7. 如图，利用内错角相等，两直线平行，我们可以用尺规作图的方法，过∠AOB的边OB上一点E作OA的平行线EG.有以下顺序错误的作图步骤：①作射线EG；②以O为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别交OA、OB于点C、D；③以F为圆心，CD长为半径画圆弧，交前面的圆弧于点G；④在边OB上取一点E，以E为圆心，OC长为半径画圆弧，交OB于点F.这些作图步骤的正确顺序为( )
A. ①②③④ B. ③②④① C. ②④③① D. ④③①②
8. 如图，在平面直角坐标系中，一块墨迹遮挡了横轴的位置，只留下部分纵轴和部分正方形网格，该网格的每个小正方形的边长都是2个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点.若格点A、B在函数y=kx(x>0)的图象上，则k的值为( )
A. 6
B. 12
C. 24
D. 48
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9. 不等式 3x< 2x−1的解集是______．
10. 分解因式：a2−3a=______．
11. 如图，正五边形ABCDE和正六边形EFGHMN的边CD、FG在直线l上，正五边形在正六边形左侧，两个正多边形均在l的同侧，则∠DEF的大小是______度．
12. 中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形(如图)，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”.若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，α为直角三角形中的一个锐角，则tanα=______．
13. 如图，AB为⊙O直径，点C是⊙O上的一点，连结AC、BC，以C为圆心，AC长为半径画圆弧，使点B在该圆弧上，再将⊙O分别沿AC、BC向内翻折.若AB=2，则图中阴影部分图形的面积和为______ .(结果保留π)
14. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A(2,−2)在抛物线y=−x2+k上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段A上，且C、D两点关于y轴对称，过点C作x轴的垂线交抛物线于点E.连接ED，若CE=2CD，则线段CD的长为______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题6.0分)
先化简，再求值：(a−b)2+b(2a−b)，其中a= 5．
16. (本小题6.0分)
如图，三张不透明的卡片，正面图案分别是神舟十三号、十四号和十五号纪念图章，依次记为A、B、C，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀.小明从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张.请用画树状图(或列表)的方法，求小明两次抽到图案上纪念图章相同的概率．
17. (本小题6.0分)
电子商务的迅速崛起，带来了物流运输和配送的巨大需求.某快递公司采购A、B两种型号的机器人进行5公斤以下的快递分拣，已知A型机器人比B型机器人每小时多分拣10件快递，且A型机器人分拣700件快递所用的时间与B型机器人分拣600件快递所用的时间相同，求B型机器人每小时分拣快递的件数．
18. (本小题7.0分)
如图，在Rt△BDE中，∠BDE=90°，CD是边BE的中线，过点D作AD//BE，且AD=BC，连结AE交BD于F．
(1)求证：四边形ABCD是菱形．
(2)若BD=3，菱形ABCD的面积为152，则tan∠DEF的值为______ ．
19. (本小题7.0分)
图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点.△ABC的顶点均在格点，点D为AC上一格点，点E为AB上任一点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．
(1)在图①中画△ABC的中位线DF，使点F在边AB上．
(2)在图②中画以AC为对角线的平行四边形ABCG．
(3)在图③中作射线ED，在其上找到一点H，使DH=DE．
20. (本小题7.0分)
为了解我国2022年25个地区的第一季度快递业务收入的情况，收集了这25个地区第一季度快递业务收入(单位；亿元)的数据，并对数据进行了整理、描述和分析，给出如下信息．
a.排在前5位的地区第一季度快递业务收入的数据分别为：534.9，437.0，270.3，187.7，104.0
b.其余20个地区第一季度快递业务收入的数据的频数分布表如下：
快递业务收入x(单位：亿元)
0≤x<20
20≤x<40
40≤x<60
60≤x≤80
频数
6
10
1
3
c.第一季度快递业务收入的数据在20≤x<40这一组的是：20.2，20.4，22.4，24.2，26.1，26.5，28.5，34.4，39.1，39.8
d.排在前5位的地区、其余20个地区、全部25个地区第一季度快递业务收入的数据的平均数、中位数如下：
前5位的地区
其余20个地区
全部25个地区
平均数(单位：亿元)
306.78
29.9
n
中位数(单位；亿元)
270.3
m
28.5
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表中m的值为______ ．
(2)在下面的3个数中，与表中n的值最接近的是______ (填写序号)．
①30
②85
③150
(3)根据(2)中的数据，预计这25个地区2022年全年快递业务总收入约为______ 亿元．
21. (本小题8.0分)
某食品加工厂的甲、乙两个生产组领到了相同的加工任务.甲、乙两组以相同的工作效率同时开始工作，中途乙组因升级设备，停工了一段时间.乙组设备升级完毕后，提高了工作效率，在完成本组任务后，帮助甲组加工了60kg食品，最后两组同时停工，完成了此次加工任务.两组各自加工的食品量y(kg)与甲组工作时间x(h)之间的函数图象如图所示．
(1)甲组每小时加工食品______ kg，乙组升级设备后每小时加工食品______ kg；
(2)求乙组设备升级完毕后y与x之间的函数关系式；
(3)求m，n的值．
22. (本小题9.0分)
【题目】如图①，在矩形ABCD中，AD=2AB，F是AB延长线上一点，且BF=AB，连接DF，交BC于点E，连接AE.试判断线段AE与DF的位置关系．
【探究展示】小明发现，AE垂直平分DF，并展示了如下的证明方法：
证明：∵BF=AB，∴AF=2AB.∵AD=2AB，∴AD=AF.∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC.∴BFAB=EFDE(依据1)∵BF=AB，∴EFDE=1，∴DE=EF，∵AD=AF，
∴AE⊥DF(依据2)，∴AE垂直平分DF．
【反思交流】(1)上述证明过程中的“依据1”是 ；“依据2”是 ；
(2)小颖受到小明的启发，继续进行探究，如图②，连接图①中的CF，将CF绕点C顺时针旋转90°得到CG，连接EG，求证：点G在线段BC的垂直平分线上；
【拓展应用】如图③，将图②中的CF绕点F顺时针旋转90°得到FH.分别以点B、C为圆心，m为半径作弧，两弧交于点M，连接MH，若MH=AB=1，直接写出m的值．
23. (本小题10.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=6，AD=3，BD是对角线，E为边AB的中点.点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，在线段AP的延长线上取一点Q，使PQ=2AP，以PQ为斜边向其右侧作Rt△PQM，使PM//AB.连结EM，作点A关于EM的对称点A′，连结EA′，设点P运动的时间为t秒(t>0)．
(1)BD的长为______ ．
(2)用含t的代数式表示线段DQ的长．
(3)当点A′在边BD上时，求△PQM与平行四边形ABCD重叠部分图形的面积．
(4)当EA′//BD时，直接写出t的值．
24. (本小题12.0分)
在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2+bx的对称轴为直线x=2，点A、B在该抛物线上(点A与点B不重合)，其横坐标分别为m、−2m.该抛物线在A、B两点之间的部分(包括A、B两点)记为图象G．
(1)求该抛物线对应的函数关系式．
(2)当图象G的对应的函数值y随x的增大而减小时，求m的取值范围．
(3)当抛物线y=x2+bx的顶点是图象G的最低点时，设图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为h，求h与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．
(4)过A、B两点中较低的点作y轴的垂线交图象G于另一个交点P，以这个较低的点与点P的连线为边向其下方作正方形，当点O在该正方形内部，且抛物线的顶点到该正方形的边的最小距离是1时，直接写出m的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：2023的相反数是−2023．
故选：B．
根据相反数定义即可得到答案．
本题考查相反数定义：只有符号不同的两个数叫互为相反数．
2.【答案】C
【解析】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
选项A中“数”与“美”是对面，与原题相矛盾，因此选项A不符合题意；
选项B中“数”与“美”是对面，与原题相矛盾，因此选项B不符合题意；
选项C中“数、学、美”的对面都是空白面，因此选项C符合题意；
选项D中“学”与“美”是对面，与题意矛盾，因此选项D不符合题意．
故选：C．
根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
本题考查正方体的展开与折叠，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的前提．
3.【答案】A
【解析】解：A、2x2−x2=x2，故A符合题意；
B、x2与x3不属于同类项，不能合并，故B不符合题意；
C、x2⋅x3=x5，故C不符合题意；
D、(x2)3=x6，故D不符合题意；
故选：A．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4.【答案】D
【解析】解：方程x2−2x=0，
∵a=1，b=−2，c=0，
∴Δ=(−2)2−4×1×0=4−0=4>0，
则方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
求出一元二次方程根的判别式的值，判断即可．
此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵∠AED是△BED的一个外角，
∴∠AED=∠B+∠D，
∵∠D=∠A=46°，∠AED=87°，
∴∠B=∠AED−∠D=41°．
故选：C．
利用三角形外角的性质得到∠AED=∠B+∠D，由圆周角定理得到∠D=∠A=46°，即可得到∠B的度数．
本题考查了圆周角定理、三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：在Rt△ABC中，
∵sinA=BCAB，
∴AB=BCsinA=800sinα(m)．
故选：B．
在Rt△ABC中利用“sinA=∠A的对边斜边”可得结论．
本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：正确的排序是：②以O为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别交OA、OB于点C、D；
④在边OB上取一点E，以E为圆心，OC长为半径画圆弧，交OB于点F；
③以F为圆心，CD长为半径画圆弧，交前面的圆弧于点G；
①作射线EG；
故选：C．
根据作一个角等于已知角的尺规作图可得．
本题主要考查作图−复杂作图，解题的关键是掌握作一个角等于已知角的尺规作图步骤．
8.【答案】D
【解析】解：由图可得，
点A的横坐标为4，点B的横坐标为8，
设点A的纵坐标为a，则点B的纵坐标为a−6，
∵点A、B在函数y=kx(x>0)的图象上，
∴4a=8(a−6)，
解得a=12，
∴点A的坐标为(4,12)，
∴k=4×12=48，
故选：D．
根据图形，可以直接写出点A和点B的横坐标，设点A的纵坐标为a，再根据图象可知点B的纵坐标为a−6，然后根据反比例函数的横纵坐标的乘积等于k，即可求出k的值．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，正确表示出A、B的坐标．
9.【答案】x<− 3− 2
【解析】解： 3x< 2x−1，
3x− 2x<−1，
x<−1 3− 2，
x<− 3− 2．
故答案为：x<− 3− 2．
利用解不等式的方法与步骤求得解集，进一步化简即可．
此题考查二次根式的实际运用，掌握解不等式得方法与二次根式的化简是解决问题的关键．
10.【答案】a(a−3)
【解析】解：a2−3a=a(a−3)．
直接提取公因式a即可．
本题考查因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式，再看剩下的因式是否还能分解．
11.【答案】48
【解析】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴每个内角度数为(5−2)×180°5=108°．
∴∠EDC=108°，
∴∠EDF=72°，
同理可得正六边形BFGHMN每个内角度数为120°．
∴∠EFG=120°，
∴∠EFD=60°，
∴∠DEF=180°−∠EDF−∠EFD=180°−72°−60°=48°．
解法二：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠EDF=72°，
∵六边形EFGHMN是正六边形，
∴∠EFD=60°，
∴∠DEF=180°−∠EDF−∠EFD=180°−72°−60°=48°；
故答案为：48．
解法一：根据多边形内角和公式，分别求出正五边形和正六边形的内角度数，即可得∠EDF和∠EFD的度数，再根据三角形的内角和定理即可得出答案；
解法二，根据多边形的外角和是360°，分别求出∠EDF和∠EFD的度数，再根据三角形的内角和是180°，从而得出∠DEF的度数．
本题主要考查多边形内角与外角，熟练掌握多边形的内角和定理和外角和度数是解题的关键．
12.【答案】2
【解析】解：由已知可得，
大正方形的面积为1×4+1=5，
设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，
则a2+b2=5，a−b=1，
解得a=2，b=1或a=1，b=−2(不合题意，舍去)，
∴tanα=ab=21=2，
故答案为：2．
根据题意和题目中的数据，可以先求出大正方形的面积，然后设出小直角三角形的两条直角边，再根据勾股定理和两直角边的关系可求得直角三角形的两条直角边的长，然后即可求得tanα的值．
本题考查勾股定理的证明、解直角三角形，解答本题的关键是求出直角三角形的两条直角边长．
13.【答案】π2
【解析】解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵以C为圆心，AC的长为半径作弧，恰好经过点B，
∴AC=BC，
∴AC2+BC2=AB2，
即2AC2=22，
解得AC=BC= 2，
∵将⊙O分别沿AC，BC向内翻折，
∴S1=S2，S3=S4，
∴S阴影=S2+S4+S5=S1+S3+S5=π×(22)2−90π×( 2)2360=π2，
故答案为：π2．
先根据直径所对的圆周角为直角，得出∠ACB=90°，根据AC=BC，结合勾股定理求出AC=BC= 2，根据图形得出S阴影=S2+S4+S5=S1+S3+S5=12π，即可得出答案．
本题主要考查了直径所对的圆周角为直角，勾股定理，扇形面积的计算，解题的关键是根据图形得出S阴影=S2+S4+S5=S1+S3+S5．
14.【答案】4 2−4
【解析】解：∵点A(2,−2)在抛物线y=−x2+k上，
∴−22+k=−2，
∴k=2，
∴抛物线解析式是y=−x2+2，
设C的横坐标是a，则D的横坐标是−a，E的坐标是(a,−a2+2)，
∴CD=2a，CE=−a2+4，
∵CE=2CD，
∴−a2+4=2⋅2a，
∴a=2 2−2或a=−2−2 2(舍去)，
∴线段CD长是2a=2(2 2−2)=4 2−4，
故答案为：4 2−4．
由点A(2,−2)在抛物线y=−x2+k上，求出抛物线解析式是y=−x2+2，设C的横坐标是a，则D的横坐标是−a，E的坐标是(a,−a2+2)，由CE=2CD，列出关于a的方程，求出a的值即可解决问题．
本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．
15.【答案】解：原式=a2−2ab+b2+2ab−b2
=a2．
当a= 5时，
原式=( 5)2
=5．
【解析】先展开，再合并同类项，化简后将a的值代入计算即可．
本题考查整式的化简求值，解题的关键是掌握整式相关的运算法则．
16.【答案】解：根据题意，列表如下：
共有9种等可能的结果，小明两次抽到图案上纪念图章相同的结果有3种，
∴P(小明两次抽到图案上纪念图章相同)=39=13．
【解析】列树状图求得结果即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17.【答案】解：设B型机器人每小时分拣x件快递，
由题意，得700x+10=600x，
解得x=60，
经检验，x=60是原方程的解，且符合题意，
答：B型机器人每小时分拣60件快递．
【解析】设B型机器人每小时分拣x件快递，根据A型机器人分拣700件快递所用的时间与B型机器人分拣600件快递所用的时间相同，列分式方程，求解即可．
本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
18.【答案】15
【解析】(1)证明：∵AD//BE，且AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠BDE=90°，CD是边BE的中线，
∴CD=12BE=BC=CE，
∴平行四边形ABCD是菱形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴S△ABD=S△BCD，
∵BC=CE，
∴S△BCD=S△CDE=12S菱形ABCD=12S△BDE，
∵S△BDE=12BD⋅DE，
∴12×3×DE=152，
∴DE=5，
∵AD=BC，
∴AD=12BE，
∵AD//BE，
∴△ADF∽△EBF，
∴DFBF=ADBE=12，
∵BD=3，
∴DF=1，
∴tan∠DEF=DFDE=15，
故答案为：15．
(1)证四边形ABCD是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得CD=12BE=BC=CE，即可得出结论；
(2)由菱形的性质和三角形面积得S△ABD=S△BCD，S△BCD=S△CDE=12S菱形ABCD=12S△BDE，再求出DE=5，然后证△ADF∽△EBF，得DF=1，即可解决问题．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、三角形面积、相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握菱形的判定与性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
19.【答案】解：如图：
(1)FD即为所求；
(2)▱ABCG即为所求；
(3)点H即为所求．
【解析】(1)取AB的中点F，再连接DF；
(2)过A作AG//BC，且AG=BC，再连接CG即可；
(3)在图②的基础上，连接ED并延长与CG的交点即为H．
本题考查了作图的应用与设计，掌握三角形的中位线的意义和平行四边形的判断和性质是解题的关键．
20.【答案】25.15 ② 340
【解析】解：(1)将这20个地区的第一季度快递业务收入从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为24.2+26.12=25.15，即中位数m=25.15，
故答案为：25.15；
(2)n=306.8×5+29.8×205+20=85.24≈85，
故答案为：②；
(3)85×4=340(亿元)，
故答案为：340．
(1)根据中位数的定义进行计算即可；
(2)由平均数的计算法则进行计算即可；
(3)利用(2)中的结果进行计算即可．
本题考查频数分布表，平均数、中位数、众数以及样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数的定义及计算方法是正确解答的关键．
21.【答案】30 50
【解析】解：(1)由图象可得，
甲组每小时加工食品：210÷7=30(kg)，
乙组升级设备后每小时加工食品：(210−30×2)÷(7−4)=50(kg)，
故答案为：30，50；
(2)设乙组设备升级完毕后y与x之间的函数关系式是y=kx+b，
∵点(4,60)，(7,210)在该函数图象上，
∴4k+b=607k+b=210，
解得k=50b=−140，
即乙组设备升级完毕后y与x之间的函数关系式是y=50x−140；
(3)由题意可得，
乙比甲多加工了60×2=120(个)，
50m−140=30m+120，
解得m=13，
∴n=50×13−140=510，
即m的值是13，n的值是510．
(1)根据函数图象中的数据，可以计算出甲组每小时加工食品多少千克和乙组升级设备后每小时加工食品多少千克；
(2)先设出函数解析式，然后根据点(4,60)和点(7,210)在该函数图象上，可以求得该函数的解析式；
(3)根据(2)中的结果和(1)中的结果，可知乙比甲多加工了60×2=120(个)，然后列出关于m的方程求解即可．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】平行线分线段成比例定理 等腰三角形三线合一的性质
【解析】【反思交流】(1)解：上述证明过程中的“依据1”是平行线分线段成比例定理；“依据2”是等腰三角形三线合一的性质．
故答案为：平行线分线段成比例定理，等腰三角形三线合一的性质；
(2)证明：由旋转得∠FCG=90°，CG=FC，
∴∠GCE+∠BCF=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠CBF=90°，AD=BC，
∴∠CFB+∠BCF=90°，
∴∠CFB=∠GCE，
由【探究展示】知DE=EF，
∵BF=AB，
∴BE=12AD=12BC，
∴BC=2CE=2BE，
∵AD=2AB，
∴BF=CE，
∴△CEG≌△FBC(SAS)，
∴∠CEG=∠FBC=90°，
∴GE⊥CB，
∴点G在线段BC的垂直平分线上；
【拓展应用】过点H作HN⊥AF于N，连接CM，
由旋转得∠CFH=90°，FH=FC，
∴∠CFB+∠HFN=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠CBF=90°，AD=BC，
∴∠CFB+∠BCF=90°，
∴∠BCF=∠NFH，
∵∠CBF=∠FNH=∠ABC=90°，
∴△HNF≌△FBC(SAS)，BE//NH，
∴NH=BF=AB=1，BC=NF，
∵AD=2AB，
∴BC=NF=2，
∴BN=3，
由(2)知BC=2CE=2BE，
∴BE=CE=1，
∴四边形BEHN为矩形，
∴EH=BN=3，EH⊥BC，
∴EH是BC的垂直平分线，
∴m的值为CM的长，
∵MH=AB=1，
∴EM=3−1=2或3+1=4，
∴CM= 22+12= 5或CM= 42+12= 17，
∴m的值为 5或 17．
【反思交流】(1)根据平行线分线段成比例定理和等腰三角形三线合一的性质直接得出结论；
(2)证明△CEG≌△FBC(SAS)，根据全等三角形的性质得∠CEG=∠FBC=90°，得出GE⊥CB，由【探究展示】知BE=12AD=12BC，即可得出结论；
【拓展应用】过点H作HN⊥AF于N，连接CM，证明△HNF≌△FBC(SAS)，得出NH=1，NF=2，判断出四边形BEHN为矩形，则EH=BN=3，分两种情况利用勾股定理即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，构造全等三角形是解本题的关键．
23.【答案】3 3
【解析】解：(1)如图1，过点D作DN⊥AB于N，
∴∠AND=∠DNB=90°，
∵∠A=60°，
∴∠ADN=30°，
∵AD=3，AB=6，
∴AN=12AD=32，DN= 32−(32)2=3 32，
Rt△DNB中，BN=6−32=92，
∴BD= DN2+BN2= (3 32)2+(92)2= 27=3 3；
故答案为：3 3；
(2)由题意得：AP=t，
当0
当t>1时，点Q在线段AD的延长线上，
∴DQ=t+2t−3=3t−3；
(3)如图2，连接AM，
∵PM//AB，
∴∠DPM=∠BAD=60°，∠AMP=∠BAM，
∵∠PMQ=90°，
∴∠PQM=30°，
∴PQ=2PM，
∵PQ=2PA，
∴PA=PM，
∴∠PAM=∠AMP，
∴∠PAM=∠BAM，
∴点M总在∠BAD的平分线上，
当点A′在边BD上时，存在两种情况：
①如图3，
∵点E是AB的中点，
∴AE=12AB=3，
∵AD=3，
∴AE=AD，
∵∠PAE=60°，
∴△EAD是等边三角形，
∴ED=EA，∠AED=60°，
由折叠得：AE=A′E，
∴当点A′与点D重合时，符合题意，如图3所示，
此时∠AEM=∠DEM=12∠AED=30°，
∴点M正好在△DEA的角平分线上，
∴∠PDM=12×60°=30°，
∵∠PQM=30°，
∴点Q与点D重合，
∴3t=3，
∴t=1，
∴PQ=2PA=2，
∴PM=1，QM= 22−12= 3，
∴S△PQM=12⋅PM⋅QM=12×1× 3= 32，
∴此时△PQM与平行四边形ABCD重叠部分图形的面积为 32；
②∵点E是AB的中点，
∴AE=BE=3，
由折叠得：AE=A′E，
∴当A′与B重合时符合要求，如图4，
此时EM垂直平分AB，
∴AQ=BQ，
∵∠QAB=60°，
∴△QAB是等边三角形，
∴AQ=2AE=6，
∴3t=6，
∴t=2，
∴AP=PM=2，
∴PQ=2AP=4，
∴QM= 42−22=2 3，
∴S△PQM=12×2×2 3=2 3，
∵AD=3，
∴DQ=6−3=3，
∵DC//AB，
∴∠DFQ=∠AEQ=90°，
∵∠DQE=12∠AQB=30°，
∴DF=12DQ=32，QF=DQ×cos30°=3× 32=3 32，
∴S△DQF=12×32×3 32=9 38，
此时△PQM与平行四边形ABCD重叠部分图形的面积=2 3−9 38=7 38，
综上，△PQM与平行四边形ABCD重叠部分图形的面积 32或7 38；
(4)根据(3)可知：AM平分∠DAB，PM=AP=t，
∴∠DAM=∠BAM=12∠DAB=30°，
分两种情况：
①当点A′在点E的上方时，延长AM，过点E作EF⊥AM于F，过点P作PN⊥AM于N，如图5所示，
∵∠EFA=90°，∠EAF=30°，
∴EF=12AE=32，∠AEF=90°−30°=60°，
∴AF=AE×cos30°=3× 32=3 32，
由(1)可知：AD=3，BD=3 3，AB=6，
∵32+(3 3)2=36=62，
∴△ABD是直角三角形，∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°−∠DAB=90°−60°=30°，
∵EA′//BD，
∴∠AEA′=∠ABD=30°，
由折叠得：∠AEM=∠A′EM=12∠AEA′=15°，
∴∠MEF=60°−15°=45°，
∴∠EMF=90°−45°=45°，
∴∠EMF=∠MEF，
∴EF=FM=32，
∴AM=3 3−32，
∵AP=MP，PN⊥AM，
∴AN=MN=12AM=3 3−34，
∵∠PAN=30°，∠PNA=90°，
∴AP=ANcos30∘=3 3−34 32=3− 32，
∴t=3− 32；
②当点A′在点E的下方时，过点E作EF⊥AM于F，过点P作PN⊥AM于N，如图6所示，
∵∠EFA=90°，∠EAF=30°，
∴EF=12AE=32，∠AEF=90°−30°=60°，
∴AF=AE×cos30°=3× 32=3 32，
∴∠ABD=30°，
∵A′E//BD，
∴∠BEA′=∠ABD=30°，
∴∠AEA′=180°−30°=150°，
由折叠得：∠AEM=∠A′EM=12(360°−150°)=105°，
∴∠MEF=105°−60°=45°，
∴∠EMF=90°−45°=45°，
∴∠EMF=∠MEF，
∴EF=FM=32，
∴AM=3 3+32，
∵AP=MP，PN⊥AM，
∴AN=NM=12AM=3 3+34，
∵∠PAN=30°，∠PNA=90°，
∴AP=ANcos30∘=3 3+34 32=3+ 32，
∴t=3+ 32，
综上，t的值是3− 32或3+ 32．
(1)过点D作DN⊥AB于N，解直角三角形即可；
(2)分两种情况：点Q在线段AD上或点Q在线段AD的延长线上，分别求出DQ的长即可；
(3)分两种情况：点A′和点D重合，点A′与点B重合，分别画出图形，求出结果即可；
(4)分两种情况：A′在点E的上方，A′在点E的下方，分别画出图形，求出结果即可．
本题是四边形的综合题，考查了平行线的性质，勾股定理及逆定理，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形的应用，等边三角形的性质和判定，三角形面积的计算，解题的关键是根据题意画出图形，熟练掌握折叠的性质，直角三角形的两锐角互余，含30°角的直角三角形的性质，并注意进行分类讨论．
24.【答案】解：(1)∵抛物线y=x2+bx对称轴为x=2，
∴−b2=2．
解得b=−4，
∴抛物线对应的函数关系式为y=x2−4x；
(2)①当m<−2m，即m<0时，
∵图象G的对应的函数值y随x的增大而减小，抛物线的对称轴为直线x=2，
∴−2m≤2，
解得−1≤m<0；
②当m>−2m，即m>0时，
∵图象G的对应的函数值y随x的增大而减小，抛物线的对称轴为直线x=2，
∴m≤2，
∴0
(3)由(1)知抛物线对应的函数关系式为y=x2−4x，
将x=2代入y=x2−4x得：y=−4，
∴抛物线的顶点坐标为(2,−4)，
将x=m代入y=x2−4x得：y=m2−4m，
∴A(m,m2−4m)，
将x=−2m代入y=x2−4x得：y=4m2+8m，
∴B(−2m,4m2+8m)，
令4m2+8m=m2−4m，
解得m1=0，m2=−4，
①当m≥0时，−2m<0，
∵抛物线y=x2−4x的顶点是图象G的最低点，
∴A(m,m2−4m)不在对称轴左侧，即m≥2，
此时m−2<2−(−2m)，即B到对称轴的水平距离大于A到对称轴的水平距离，
∴点B是最高点，
∴h=4m2+8m−(−4)=4m2+8m+4；
②当−4
∴B不在对称轴左侧，
∴−2m≥2，
∴−4
∴点A是最高点，
∴h=m2−4m−(−4)=m2−4m+4；
③当m≤−4时，
∵抛物线y=x2−4x的顶点是图象G的最低点，
∴−2m≥2，
此时−2m−2≥2−m，
∴点B是最高点，
∴h=4m2+8m−(−4)=4m2+8m+4．
综上所述，当−4
∴抛物线与x轴的交点为(0,0)和(4,0)，
①当m≥0时，由(3)知A(m,m2−4m)是最低点，
∵点O在正方形内部，
∴A在x轴上方，
∴m>4，
如图：
由对称性可得正方形边长AP=2(m−2)，
∵抛物线的顶点(2,−4)到该正方形的边的最小距离是1，
∴m2−4m−2(m−2)=−3或m2−4m−2(m−2)=−5，
解得m=3+ 2或m=3− 2(小于4，舍去)或m=3(舍去)，
∴m=3+ 2；
②当−4
∴B在x轴上方，
∴−2m>4，
∴m<−2，
∵抛物线的顶点(2,−4)到该正方形的边的最小距离是1，
∴4m2+8m−2(−2m−2)=−3或4m2+8m−2(−2m−2)=−5，
解得m=−3+ 22(大于−2，舍去)或m=−3− 22或m=−32(舍去)，
∴m=−3− 22；
③当m≤−4时，由(3)知，A是最低点，
同理可得m2−4m−2(2−m)=−3或m2−4m−2(2−m)=−5，
解得m=1± 2(不小于−4，舍去)或m=1(舍去)，
此时无满足条件的正方形；
综上所述，m的值是3+ 2或−3− 22．
【解析】(1)由抛物线y=x2+bx对称轴为x=2，有−b2=2.解得b=−4，故抛物线对应的函数关系式为y=x2−4x；
(2)①当m<−2m，即m<0时，根据图象G的对应的函数值y随x的增大而减小，有−2m≤2，故−1≤m<0；②当m>−2m，即m>0时，同理可得0
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