2022-2023学年广东省广州十六中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省广州十六中八年级（下）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省广州十六中八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  若在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列各组数中，不是勾股数的是(    )A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，3.  一个四边形的三个相邻内角度数依次如下，那么其中是平行四边形的是(    )A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，4.  下列计算正确的是(    )A.  B.
C.  D. 5.  如图，直线，垂足为，线段，，以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点则的长为(    )A.
B.
C.
D. 6.  已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是(    )A. 当时，它是矩形 B. 当时，它是菱形
C. 当时，它是菱形 D. 当时，它是正方形7.  若使算式的运算结果最小，则表示的运算符号是(    )A.  B.  C.  D. 8.  下列命题的逆命题成立的是(    )A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 正方形的对角线相等
C. 对顶角相等 D. 若，则9.  如图，是由一系列直角三角形组成的螺旋，则第个直角三角形的面积为(    )A.
B.
C.
D. 10.  已知，中，，，为边上的中线，若是线段上
任意一点，，交直线于点为的中点，连接并延长交直线
于点若，，则的长为(    )A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共6小题，共18分）11.  比较大小： ______ 选填“”、“”、“”．12.  利用平方差公式在实数范围内分解因式： ______ ．13.  在菱形中，，，则菱形的面积底高是______ ．14.  如图，点、、分别是直角各边的中点，，、分别为，，则的长为______ ．
 15.  有一长，宽，高分别为，，的木箱，在它里面放入一根细木条木条的粗细，形变忽略不计，要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是______ ．16.  如图，矩形中，已知，，为上一点，且，连接、、以下说法中：
；
当点在边上时，则；
当时，则；
的最小值为．
正确的有______ 填序号即可三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
计算：；．18.  本小题分
如图，在四边形中，，，，且，试求的度数．
19.  本小题分
如图，▱的对角线、相交于点点、分别为、的中点，连接、．
求证：．
20.  本小题分
先化简，再求值：，其中．21.  本小题分
尺规作图不写作法，保留作图痕迹：如图，作线段的垂直平分线交于点；连接并延长，在延长线上截取；连接，．
证明所作的四边形是矩形．
22.  本小题分
我国古代数学著作九章算术中“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”今译：一根竹子高丈，折断后竹子顶端落地，离竹子底端尺处．折断处离地面的高度是多少？丈尺
 
 
 23.  本小题分
如图，在矩形中，，，点是边上的一点，、分别长、，满足动点从点出发，以的速度沿运动，最终到达点设运动时间为秒．
______ ， ______ ；
______ 时，把四边形的周长平分；
另有一点从点出发，按照的路径运动，且速度为，若、两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动求为何值时，的面积等于．
24.  本小题分
定义：我们将与称为一对“对偶式”因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：已知，求的值，可以这样解答：
因为，
所以．
已知：，求： ______ ；
结合已知条件和第问的结果，解方程：；
代数式中的取值范围是______ ，最大值是______ ，最小值是______ ；
计算：．25.  本小题分
如图，四边形是边长为的正方形，以为边在上方作一，连接，且．
填空： ______ ；
求证：；
连接，设的周长为，的周长为，求的值．

答案和解析 1.【答案】 解：在实数范围内有意义，
，
．
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 2.【答案】 解：、，能构成直角三角形，是整数，故是勾股数，此选项不符合题意；
B、，是正整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项不符合题意；
C、，不是勾股数，此选项符合题意；
D、，三边是整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项不符合题意．
故选：．
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．
 3.【答案】 【解析】【解答】
解：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故B不是；
当三个内角度数依次是，，时，第四个角是，故A不是；
当三个内角度数依次是，，，第四个角是，而中相等的两个角不是对角，故C错，中满足两组对角分别相等，因而是平行四边形．
故选：．
【分析】
两组对角分别相等的四边形是平行四边形，根据所给的三个角的度数可以求出第四个角，然后根据平行四边形的判定方法验证即可．
此题主要考查平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．注意角的对应的位置关系，并不是有两组角相等的四边形就是平行四边形，易错选C．  4.【答案】 解：、与不能合并，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 5.【答案】 解：，
，
，，
，
，
．
故选：．
由垂直的定义得到，根据勾股定理得到，得到，即可得到结论．
本题考查了勾股定理，圆的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 6.【答案】 解：、四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形，故本选项不符合题意；
B、四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，故本选项不符合题意；
C、四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，故本选项不符合题意；
D、四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意；
故选：．
根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可．
本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键，难度适中．
 7.【答案】 解：，
，
，
，
，
表示的运算符号是“”时，运算结果最小，
故选：．
分别把四个选项中的符号代入计算，再比较结果的大小即可．
此题主要考查了实数的运算，关键是掌握二次根式的计算法则．
 8.【答案】 解：、对角线互相平分的四边形是平行四边形的逆命题是平行四边形的对角线互相平分，逆命题是真命题，符合题意；
B、正方形的对角线相等的逆命题是对角线相等的四边形是正方形，逆命题是假命题，不符合题意；
C、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意；
D、若，则的逆命题是若，则，逆命题是假命题，不符合题意；
故选：．
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再分析逆命题是否成立，需要分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，熟知相关知识是解答的关键．
 9.【答案】 解：由图可得，
，，，，，
，
，

，
则，
．
故选：．
根据勾股定理，可以求得的值，然后根据三角形的面积，可以发现面积的变化特点，然后即可得到的值．
本题考查勾股定理、图形的变化类、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，发现三角形面积的变化特点．
 10.【答案】 解：连接，如图所示：

，
，
，是的中点，
，
在中，，，且为边上的中线，
，，
，，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，，
，，，
，
，
，
≌，
，
在中，根据勾股定理得，
故选：．
连接，易证是的斜边的中点，可得，进一步可知，证明≌，可得，根据勾股定理，可得即可．
本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等相关知识，本题综合性较强．
 11.【答案】 解：因为，，
而，
所以．
故填空答案：．
先把两数值化成带根号的形式，再根据实数的大小比较方法即可求解．
此题主要考查了实数的大小的比较，当一个带根号的无理数和一个有理数进行比较时，首选的方法就是把它们还原成带根号的形式，然后比较被开方数即可解决问题．
 12.【答案】 解：．
故答案为：．
利用平方差公式进行因式分解解决此题．
本题主要考查因式分解，熟练掌握利用平方差公式进行因式分解是解决本题的关键．
 13.【答案】 【解析】解；如图所示：过点作于点，
在菱形中，，，
，
菱形的面积．
故答案为：．
根据菱形的性质以及直角三角形中，度角所对的直角边等于斜边的一半得出的长，即可得出菱形的面积．
此题主要考查了菱形的面积以及其性质，得出的长是解题关键．
 14.【答案】 解：点、、分别是直角各边的中点，
，是的中位线，
，，
，，
，
，，
．
故答案为：．
由三角形中位线定理，得到，，由平行线的性质推出，由勾股定理即可求出的长．
本题考查三角形中位线定理，平行线的性质，勾股定理，关键是由三角形中位线定理，平行线的性质，证明是直角三角形．
 15.【答案】 解：木箱底面对角线长：，
则木箱对角线长：，
放入的细木条的最大长度是．
长方体对角线是最长的，当木条在木箱里对角放置的时候露在外面的长度最小，这样就是求出木箱的对角线长度即可．
本题重点考查学生的空间想象能力及勾股定理的应用．
 16.【答案】 解：，，
，，故正确；
如图，当点在上时，取的中点，连接，
点是的中点，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，故正确；
如图，当时，设与交于，与交于点，
，，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
，，
是等边三角形，
，
，
；故错误；
如图，在上截取，连接，，
，，
≌，
，
，
当点，点，点三点共线时，有最小值，最小值为的长，
，，
，
的最小值为，故正确；
故答案为：．
由线段的数量关系可求，，故正确；由直角三角形的可求，可证是等边三角形，可得，由等腰三角形的性质可求，故正确；由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求，，可得；故错误；由“”可证≌，可得，由三角形的三边关系和勾股定理可求的最小值为，故正确，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 17.【答案】解：原式
；
原式
． 【解析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
先利用二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
 18.【答案】解：
连接，，且，
且，
又，，

，
． 【解析】连接，根据勾股定理求出的，再中利用勾股定理逆定理得到，进而求出的度数．
本题考查了勾股定理和其逆定理的运用，解题的关键是连接，构造直角三角形．
 19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，分别为，的中点，
，
在和中，
，
≌，
． 【解析】根据平行四边形的性质的，，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质即可得到结论．
此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质、正确应用全等三角形的判定方法是解题关键．
 20.【答案】解：原式

，
当时，原式． 【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 21.【答案】解：如图，

证明：点为的垂直平分线与的交点，
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为矩形． 【解析】利用基本作图作的垂直平分线得到的中点，然后在的延长线上截取，从而得到四边形；
利用对角线互相平分判断四边形为平行四边形，所以利用判断四边形为矩形．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和矩形的判定．
 22.【答案】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，
根据勾股定理得：．
解得：，
答：折断处离地面的高度为尺． 【解析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可．
 23.【答案】     解：，
，，
，；
故答案为：，；
，，
，
，
把四边形的周长平分，
，
点在上，，
，
故答案为：；
点在上，
，
；
相遇前，点在上，

；
相遇后，点在上，
，
；
综上所述，当或或时，的面积等于．
由非负性可求，的值；
先求出，可得，可求，即可求解；
分三种情况讨论，由三角形的面积公式可求解．
本题考查了矩形的性质，非负性，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
 24.【答案】       解：，且，
；
故答案为：；
，
，
两边同时平方得：，
，
两边同时平方得：，
，
经检验：是原方程的解；
由题意得：，
解得：，
当时，，
当时，，
最大值是，最小值是；
故答案为：，，；




．
根据平方差公式可解答；
两边同时平方将根号化去，解方程并进行检验；
根据被开方数大于等于，列不等式组可得结论；
分别进行分母有理化可解答．
本题考查二次根式的化简求值，同时考查了二次根式的性质和分母有理化，计算量较大．
 25.【答案】 【解析】解：如图，设与的交点为，
四边形是正方形，
，，
，，
，
故答案为：；
证明：如图，过点作，交于，
，
，
，
，
，
又，，
≌，
，
；
解：如图，连接，连接，过点作，交于，
≌，
，
又，
，
四边形是正方形，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，，
≌，
，
，
设，，
，，
的周长为，
的周长为，
．
由三角形的外角性质可求解；
由等腰直角三角形的性质可得，由“”可证≌，可得，即可求解；
由“”可证≌，可得，则，由三角形的周长公式可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．