2022-2023学年广东省广州八十九中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省广州八十九中八年级（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各式中，是最简二次根式的是( )
A. 15B. 0.5C. 5D. 50
2.下面各组数中能构成直角三角形三边长的一组数是( )
A. 1，1，2B. 6，8，10C. 4，4，6D. 11，12，15
3.在平行四边形ABCD中，若∠B=135°，则∠D=( )
A. 45°B. 55°C. 135°D. 145°
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为边AB的中点，AB=6，则CD长为
( )
A. 2B. 3C. 4D. 6
5.下列计算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 4×2=2 2C. 6+2= 3D. 3 2− 2=3
6.下列命题的逆命题是真命题的是( )
A. 如果两个角是直角，那么它们相等
B. 如果两个实数相等，那么它们的平方相等
C. 如果一个四边形是菱形，那么它的四条边都相等
D. 如果一个四边形是矩形，那么它的对角线相等
7.在Rt△ABC，∠C=90°，BC=5，AC=12，则斜边AB上的高为( )
A. 13B. 119C. 6013D. 1360
8.如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形的边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG.现有如下3个结论：①AG+EC=GE；②∠GDE=45°；③五边形DAGEC的周长是44.其中正确的个数为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、多选题：本题共2小题，共10分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图所示，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，添加一些条件，能证明四边形AECF是平行四边形，添加的条件可以是( )
A. BE=DF
B. ∠B=∠D
C. ∠BAE=∠DCF
D. AE=CF
10.如图在平面直角坐标系中，已知点A(2,0)，点B(0,3)，点C在x轴上，满足△ABC为等腰三角形的C的坐标有( )
A. (−2,0)
B. (−54,0)
C. (2− 13,0)
D. (54,0)
三、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.要使二次根式 x−2有意义，则x的取值范围是______．
12.如图，正方形ABCD的两条对角线相交于点O，AB=2，则AC= ______．
13.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，若EF=3，则BD的长为 ．
14.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=5，则BC= ______．
15.实数b在数轴上的位置如图所示，则化简b+ (b−1)2的结果是______．
16.如图，已知边长为2的正三角形ABC，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC长的最大值是______．
四、解答题：本题共8小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：
(1)( 3− 13)× 6；
(2)5 3− 8+ 27．
18.(本小题6分)
先化简，再求值：x−1x2−2x+1，其中x=1+ 2．
19.(本小题6分)
如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC，DF⊥AC，求证：AE=CF．
20.(本小题8分)
如图，一木杆在离地B处断裂，木杆顶部落在离木杆底部8米处(即AC=8米)， 已知木杆原长16米，求木杆断裂处B离地面的高度AB．
21.(本小题8分)
如图，菱形ABCD的周长为16cm，∠ABC=60°，
(1)求对角线AC和BD的长；
(2)求菱形的面积．
22.(本小题8分)
如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，△ABC中，A点坐标为(2,3)，B点坐标为(−2,0)，C点坐标为(0,−1)．
(1)AC的长为______；
(2)求证：AC⊥BC；
(3)若以A、B、C及点D为顶点的四边形为平行四边形，写出D点在第一象限时的坐标______．
23.(本小题10分)
在△ABC中，∠ABC=90°
(1)作线段AC的垂直平分线1，交AC于点O；(保留作图痕迹，请标明字母)
(2)连接BO并延长至D，使得OD=OB；连接DA、DC，证明四边形ABCD是矩形．
24.(本小题10分)
如图①，在正方形ABCD中，点E为BC边上任意一点(点E不与B、C重合)，点F在线段AE上，过点F的直线MN⊥AE，分别交AB、CD于点M、N．
(1)求证：MN=AE；
(2)如图②，当点F为AE中点时，其他条件不变，连接正方形的对角线BD、MN与BD交于点G，连接BF.求证：BF=FG；
(3)如图③，当点E为CB延长线上的动点时，如果(2)中的其他条件不变，直线MN分别交直线AB、CD于点M、N.结论“BF=FG”还成立吗？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、 15= 55，被开方数含分母，不是最简二次根式；
B、 0.5= 12= 22，被开方数含分母，不是最简二次根式；
C、 5，是最简二次根式；
D、 50=5 2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
故选：C．
2.【答案】B
【解析】解：A、12+12≠22，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、62+82=102，能构成直角三角形，故此选项符合题意；
C、42+42≠62，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、112+122≠152，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：B．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个三角形就不是直角三角形．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3.【答案】C
【解析】解：∵在平行四边形ABCD中，∠B=135°，
∴∠D=∠B=135°，
故选：C．
根据平行四边形的性质解答即可．
本题考查了平行四边形的性质的知识，解答本题的关键是根据平行四边形的性质得出∠D=∠B．
4.【答案】B
【解析】【分析】
根据“在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”解答．
本题考查直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边中线的性质，属于中考常考题型．
【解答】
解：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为边AB的中点，则CD=12AB．
∵AB=6，
∴CD=12AB=3．
故选：B．
5.【答案】B
【解析】【分析】
直接利用二次根式的混合运算法则分别计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【解答】
解：A、 2与 3，无法合并，故此选项错误；
B、 4×2=2 2，故此选项正确；
C、 6+2，无法计算，故此选项错误；
D、3 2− 2=2 2，故此选项错误；
故选：B．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，根据平方的概念、菱形、矩形的判定定理判断．
【解答】
解：A、如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是直角，逆命题是假命题；
B、如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题是如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，逆命题是假命题；
C、如果一个四边形是菱形，那么它的四条边都相等的逆命题是如果一个四边形四条边都相等，那么这个四边形是菱形，逆命题是真命题；
D、如果一个四边形是矩形，那么它的对角线相等的逆命题是如果一个四边形的对角线相等，那么这个四边形是矩形，逆命题是假命题，
故选：C．
7.【答案】C
【解析】解：设斜边AB上的高为h，
∵在Rt△ABC，∠C=90°，BC=5，AC=12，
∴AB= AC2+BC2= 12+52=13，
∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅h，
∴h=AC⋅BCAB=6013，
故选：C．
先利用勾股定理求出斜边的长，再根据三角形面积法求出斜边上的高即可．
本题主要考查了勾股定理，三角形的高，正确利用勾股定理求出斜边的长是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：由折叠可知，CE=FE，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，
∴∠DFG=∠A=90°，
在Rt△ADG和Rt△FDG中，
DG=DGDF=DA，
∴Rt△ADG≌Rt△FDG(HL)，
∴AG=FG，
∴AG+EC=GF+EF=GE，
故①符合题意；
∵Rt△ADG≌Rt△FDG，
∴∠ADG=∠FDG，
由折叠可得，∠CDE=∠FDE，
∴∠GDE=∠GDF+∠EDF=12∠ADC=45°，
故②符合题意；
∵正方形边长是12，
∴BE=EC=EF=6，
设AG=FG=x，
则EG=x+6，BG=12−x，
由勾股定理得EG2=BE2+BG2，
即(x+6)2=62+(12−x)2，
解得x=4，
∴AG=GF=4，BG=8，EG=10，
∴五边形DAGEC的周长是12+12+6+4+10=44，
故③符合题意．
故选：D．
根据正方形的性质和折叠的性质可得AD=DF，∠A=∠GFD=90°，根据“HL”判定Rt△ADG≌Rt△FDG，依据全等三角形的性质以及折叠的性质，即可得到∠GDE=∠GDF+∠EDF=12∠ADC；再由GF+GB=GA+GB=12，EB=EF，由此可得五边形的周长．
本题考查正方形的性质和折叠的性质，全等三角形的性质与判定，掌握正方形的性质和折叠的性质，全等三角形的性质与判定是解题的关键．
9.【答案】AC
【解析】解：所添加的条件符合题目要求的是①④，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC/​/AD，BC=AD，
∵BE=DF，
∴BC−BE=AD−DF，
即CE=AF，
又∵CE//AF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵∠BAE=∠DCF，
∴∠AEB=∠CFD．
∵AD/​/BC，
∴∠AEB=∠EAD．
∴∠CFD=∠EAD．
∴AE//CF．
∵AF/​/CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
故选：AC．
由平行四边形的性质得BC/​/AD，BC=AD，再证CE=AF，然后由平行四边形的判定即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
10.【答案】ABC
【解析】解：如图，
∵A(2,0)，B(0,3)，
∴OA=2，OB=3，
由勾股定理得：AB= OA2+OB2= 22+32= 13，
①当BC1=BA时，OC1=OA=2，此时点C1(−2,0)；
②当AC4=BA= 13，此时点C4(2+ 13,0)；
③当AC2=BA= 13，此时点C2(2− 13,0)；
④当AC3=BC3，设OC3=x，则BC3=2+x，
在Rt△OBC3中，由勾股定理得：OC32+OB2=BC32，即x2+32=(x+2)2，
解得：x=54，此时点C3(−54,0)，
故选：ABC．
分为三种情况：①当BC1=BA时，②当AC4=BA，③当AC2=BA，④当AC3=BC3，画出图形，即可得出答案．
本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质的应用，解题的关键是进行分类讨论．
11.【答案】x≥2
【解析】解：由题意得，x−2≥0，
解得x≥2．
故答案为：x≥2．
根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12.【答案】2 2
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=2，∠ABC=90°，
∴AC= AB2+BC2=2 2．
故答案为：2 2．
根据正方形的性质得到AB=BC=2，再由勾股定理得到答案．
本题主要考查正方形的性质以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
13.【答案】12
【解析】【分析】
本题主要考查了三角形的中位线和平行四边形的性质，解题的关键是掌握三角形的中位线等于第三边的一半，平行四边形对角线互相平分．
根据三角形中位线的性质可得BO=2EF=6，再根据平行四边形的性质即可求解．
【解答】
解：∵点E，F分别是AB，AO的中点，若EF=3，
∴BO=2EF=6，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BD=2BO=12，
故答案为：12．
14.【答案】5 3
【解析】解：∵tan∠B=ACBC，
∴tan30°=ACBC，
∴ 33=5BC，
∴BC=5 3．
故答案为：5 3．
根据tan∠B=ACBC即可得到答案．
本题主要考查特殊三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
15.【答案】1
【解析】解：如图可知bOC，
∴当O、D、C三点共线时OC最长，最大值为CD+OD= 3+1．
故答案为： 3+1．
取AB的中点D，连接OD、CD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OD的长度，再根据等边三角形的性质求出CD的长，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD+CD>OC，判定当O、D、C三点共线时OC最长，然后求解即可．
本题考查的是等边三角形的性质，三角形的三边关系，根据题意作出辅助线，判定出O、D、C三点共线时OC最长是解题的关键．
17.【答案】解：(1)原式= 3×6− 13×6
=3 2− 2
=2 2；
(2)原式=5 3−2 2+3 3
=8 3−2 2．
【解析】(1)先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可；
(2)先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
18.【答案】解：原式=x−1(x−1)2=1x−1，
将x=1+ 2代入，
原式=11+ 2−1
= 22．
【解析】化简后将x=1+ 2代入即可求解．
本题主要考查化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
19.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB/​/CD．
∴∠BAC=∠DCA．
∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，
∴∠AEB=∠DFC=90°．
在△ABE和△CDF中，
∠DFC=∠BEA∠FCD=∠EABAB=CD，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴AE=CF．
【解析】根据“AAS”可证出△ABE≌△CDF，进而解答即可．
此题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
20.【答案】解：设木杆断裂处B离地面的高度AB为x米，由题意得
x2+82=(16−x)2，
解得x=6米．
答：木杆断裂处B离地面的高度AB为6米．
【解析】设木杆断裂处B离地面的高度AB为x米，由题意得x2+82=(16−x)2，求出x的值即可．
本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
21.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，且周长为16cm，
∴AB=BC=CD=AD=4cm，
又∵∠ABC=60°
∴△ABC是等边三角形
∴AC=4cm，
又∵AC、BD互相垂直平分，
∴OA=2cm，∠AOB=90°，
由勾股定理得：OB= AB2−OA2=2 3cm，
∴BD=2OB=4 3cm；
(2)菱形的面积=12AC×BD=12×4×4 3=8 3(cm2).
【解析】(1)由题意易得△ABC是等边三角形从而可得到AC的长，再根据菱形的性质及勾股定理即可求得OB的长，得出BD的长；
(2)菱形的面积等于两条对角线长积的一半，代入计算即可．
此题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定、勾股定理；熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
22.【答案】2 5 (4,2)
【解析】(1)解：根据勾股定理，得AC= (2−0)2+(3+1)2=2 5，
故答案为：2 5；
(2)证明：∵BC2=12+22=5，AB2=32+42=25，AC2=20，
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，
∴AC⊥BC；
(3)∵四边形ABCD是平行四边形，D点在第一象限时，
∴AC与BD互相平分，
∴xA+xC2=xB+xD2， yA+yC2=yB+yD2，
∴xD=0+2−(−2)=4，yD=−1+3−0=2，
∴点D(4,2)，
故答案为：(4,2)．
(1)利用勾股定理解决问题即可．
(2)利用勾股定理的逆定理证明即可；
(3)由平行四边形的性质可得AC与BD互相平分，由中点坐标公式可求解．
本题考查平行四边形的性质，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23.【答案】(1)解：如图，点O为所作；
(2)证明：∵线段AC的垂直平分线1，
∴OA=OC，
∴OB=OA=OC，
∵OB=OD，
∴OA=OB=OC=OD，
∴四边形ABCD为矩形．
【解析】(1)利用基本作图作AC的垂直平分线得到AC的中点O；
(2)利用直角三角形斜边上的中线得到OB=OA=OC，然后根据对角线互相平分且相等的四边形为矩形可证明四边形ABCD是矩形．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了矩形的判定．
24.【答案】证明：(1)在图1中，过点D作PD//MN交AB于P，则∠APD=∠AMN，
∵正方形ABCD，
∴AB=AD，AB//DC，∠DAB=∠B=90°，
∴四边形PMND是平行四边形且PD=MN，
∵∠B=90°，
∴∠BAE+∠BEA=90°，
∵MN⊥AE于F，
∴∠BAE+∠AMN=90°，
∴∠BEA=∠AMN=∠APD，
又∵AB=AD，∠B=∠DAP=90°，
∴△ABE≌△DAP(AAS)，
∴AE=PD=MN．
(2)在图2中，连接AG、EG、CG，
由正方形的轴对称性△ABG≌△CBG，
∴AG=CG，∠GAB=∠GCB，
∵MN⊥AE于F，F为AE中点，
∴AG=EG
∴EG=CG，∠GEC=∠GCE，
∴∠GAB=∠GEC，
由图可知∠GEB+∠GEC=180°，
∴∠GEB+∠GAB=180°，
又∵四边形ABEG的内角和为360°，∠ABE=90°，
∴∠AGE=90°，
在Rt△ABE和Rt△AGE中，AE为斜边，F为AE的中点，
∴BF=12AE，FG=12AE，
∴BF=FG．
(3)BF与FG的数量关系是：BF=FG，
理由是：如图3，连接AG、EG、CG，
同理得：∠GAD=∠GCD，∠GEC=∠GCE，
∵∠GCE+∠GCD=90°，
∴∠GAD+∠GEC=90°，
∵AD/​/EC，
∴∠DAE+∠AEC=180°，
∴∠AEG+∠EAG=90°，
∴∠AGE=90°，
在Rt△ABE 和Rt△AGE中，AE为斜边，F为AE的中点，
∴BF=12AE，FG=12AE，
∴BF=FG．
【解析】(1)作辅助线，构建平行四边形PMND，再证明△ABE≌△DAP，即可得出结论；
(2)连接AG、EG、CG，构建全等三角形和直角三角形，证明AG=EG=CG，再根据四边形的内角和定理得∠AGE=90°，在Rt△ABE 和Rt△AGE中，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得BF=12AE，FG=12AE，则BF=FG；
(3)结论：BF=FG，同理得出BF和FG分别是直角△AEB和直角△AGE斜边上的中线，则BF=12AE，FG=12AE，所以BF=FG．
本题是四边形的综合题，考查了正方形、全等三角形、平行四边形的性质和判定，在有中点和直角三角形的前提条件下，可以利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来证明两条线段相等．