2023年浙江省衢州市龙游县第三中学中考数学一模试卷（含答案）

龙游县第三中学2023年第一次模拟考试

数学科试卷

一       、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）

1.中国幅员辽阔，陆地面积约为960万平方公里，“960万”用科学记数法表示为（　　）

A．0.96×107 B．9.6×106 C．96×105 D．9.6×102

2.下列各运算中，计算正确的是（　　）

A．（x﹣2）2=x2﹣4 B．（3a2）3=9a6 C．x6÷x2=x3 D．x3•x2=x5

3.将如图所示的直棱柱展开，下列各示意图中不可能是它的表面展开图的是（    ）

A． B．C．D．

4.下列说法中，正确的个数为(　　)

①扇形统计图是用圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分；

②要清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比应选择条形统计图；

③要反映某日气温的变化情况，应选择折线统计图．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

5.王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（　　）

A． 0根 B． 1根 C． 2根 D． 3根

6.一个三位数，百位数字为x，十位数字比百位数字大2，个位数字比百位数字的2倍小3，用代数式表示这个三位数为（　　）

A．x（x+2）（2x﹣3） B．100x+10（x﹣2）+2x﹣3

C．100x+10（x+2）+2x﹣3             D．100x+10（x﹣2）+2x+3

7.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，则∠ADC的度数是（　　）

A．70° B．110° C．130° D．140°

8.某公司今年10月的营业额为2000万元，按计划第四季度的总营业额为7980万元．若该公司11、12两个月营业额的月均增长率均为x，依题意可列方程为（）

A．    2000（1+x）2=7980          B．    2000（1+x）3=7980

C．    2000（1+3x）=7980         D．    2000+2000（1+x）+2000（1+x）2=7980

9.如图，等腰直角三角形的顶点A．C分别在直线a、b上，若a∥b，∠1=30°，则∠2的度数为（　　）

A．30° B．15° C．10° D．20°

10.如图，在正方形中，，点，分别在边，上，．若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（    ）

A．1 B． C． D．2

二       、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

11.关于x的方程的解为________．

12.一个多边形外角和是内角和的，则这个多边形的边数为 　   　．

13.小明早上步行去车站，然后坐车去学校．如图象中，能近似的刻画小明离学校的距离随时间变化关系的图象是_____．（填序号）

14.把m个练习本分给n个学生，如果每人分3本，那么余80本；如果每人分5本，那么最后一个同学有练习本但不足5本，n的值为　　　　　　．

15.如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′=　　　　　　度．

16.如图，点A．B在反比例函数的图象上，AC⊥y轴，垂足为D，BC⊥AC．若四边形AOBC间面积为6，，则k的值为 　   　．

三       、解答题（本题共有8小题，第17~19小题每小题6分，第20~21小题每小题6分，第22~23小题每小题6分，第24小题12分，共66分。请务必写出解答过程）

17.已知若x，y为实数，且y＝，求x＋y的值.

18.某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图．

（1）本次调查随机抽取了　   　名学生，表中m＝　   　，n＝　   　，

（2）补全条形统计图，

（3）若全校有2000名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．

19.已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，CM⊥AB于M，AT平分∠BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE∥AB交BC于E，求证：CT＝BE．

20.水池中有水20m3，12：00时同时打开两个每分钟出水量相等且不变的出水口，12：06时王师傅打开一个每分钟进水量不变的进水口，同时关闭一个出水口，12：14时再关闭里另一个出水口，12：20时水池中有水56cm3，王师傅的具体记录如表，设从12：00开始经过tmin池中有水ym3，如图中折线ABCD表示y关于t的函数图象．

（1）每个出水口每分钟出水　 　m3，表格中a=　   　；

（2）求进水口每分钟的进水量和b的值；

（3）在整个过程中t为何值时，水池有水16m3

21.如图，一座山的一段斜坡BD的长度为600米，且这段斜坡的坡度i=1：3（沿斜坡从B到D时，其升高的高度与水平前进的距离之比）．已知在地面B处测得山顶A的仰角为33°，在斜坡D处测得山顶A的仰角为45°．求山顶A到地面BC的高度AC是多少米？（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）

22.已知：如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D．

（1）求证：PD是⊙O的切线；

（2）若∠CAB=120°，AB=6，求BC的值．

23.我市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为40元，若销售价为60元，每天可售出20件，为迎接“双十一”，专卖店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件设每件童装降价x元时，平均每天可盈利y元．

写出y与x的函数关系式；

当该专卖店每件童装降价多少元时，平均每天盈利400元？

该专卖店要想平均每天盈利600元，可能吗？请说明理由．

24.（1）阅读理解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；

（2）问题解决：勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形的中心，作，将它分成4份．所分成的四部分和以为边的正方形恰好能拼成以为边的正方形．若，求的值；

（3）拓展探究：如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形．设大正方形的边长为定值，小正方形的边长分别为．已知，当角变化时，探究与的关系式，并写出该关系式及解答过程（与的关系式用含的式子表示）．

答案解析

一       、选择题

1.【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

解：“960万”用科学记数法表示为9.6×106，

故选：B．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．　

2.【考点】整式的混合运算．

【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．

解：A．原式=x2﹣4x+4，故A错误；

B．原式=27a6，故B错误；

C．原式=x4，故C错误；

故选D

【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．

3.【考点】几何体的展开图

【分析】由直棱柱展开图的特征判断即可．

解：图中棱柱展开后，两个三角形的面不可能位于同一侧，因此D选项中的图不是它的表面展开图；

故选D．

【点评】本题考查了常见几何体的展开图，解决本题的关键是牢记三棱柱展开图的特点，即其两个三角形的面不可能位于展开图中侧面长方形的同一侧即可．

4.【考点】统计图的选择

【分析】扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；

折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．

解：根据统计图的特点知：

①中，根据扇形统计图的意义，知圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分．故正确；

②中，扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比．故错误；

③中，折线统计图表示的是数据的变化情况．故正确．

故选C．

【点评】本题考查了各种统计图的形式及体现内容，解题关键是熟记各种统计图的形式．

5.【考点】三角形的稳定性．

【分析】根据三角形的稳定性进行解答即可．

解：加上AC后，原不稳定的四边形ABCD中具有了稳定的△ACD及△ABC，

故这种做法根据的是三角形的稳定性．

故选：B．

【点评】本题考查的是三角形的稳定性在实际生活中的应用，比较简单．

6.【考点】一元一次方程的应用-数字问题

【分析】直接利用百位、十位、个位数字关系，进而得出答案．

解：由题意可得：100x+10（x+2）+2x-3．

故选：C．

【点评】此题主要考查了列代数式，正确表示出三位数是解题关键．

7.【考点】圆内接四边形的性质

【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可．

解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，

∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣70°=110°，

故选：B．

【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．

8.【考点】    由实际问题抽象出一元二次方程．

【分析】    用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）．即可表示出11月与12月的营业额，根据第四季的总营业额要达到7980万元，即可列方程．

解：设该公司11月，12月两个月营业额的月均增长率是x．

根据题意得2000+2000（1+x）+2000（1+x）2=7980．

故选：D．

【点评】    本题考查了从实际问题中抽象出一元二次方程．解与变化率有关的实际问题时：（1）主要变化率所依据的变化规律，找出所含明显或隐含的等量关系；（2）可直接套公式：原有量×（1+增长率）n=现有量，n表示增长的次数．

9.【考点】平行线的性质；等腰直角三角形

【分析】由等腰直角三角形的性质和平行线的性质求出∠ACD=60°，即可得出∠2的度数．

解：如图所示：

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠BAC=90°，∠ACB=45°，

∴∠1+∠BAC=30°+90°=120°，

∵a∥b，

∴∠ACD=180°﹣120°=60°，

∴∠2=∠ACD﹣∠ACB=60°﹣45°=15°；

故选：B．

【点评】本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，由平行线的性质求出∠ACD的度数是解决问题的关键．

10.【考点】含30度角的直角三角形,正方形的性质,翻折变换（折叠问题）

【分析】由CD∥AB得到∠EFD=∠FEB=60°，由折叠得到∠FEB=∠FEB’=60°，进而得到∠AEB’=60°，然后在Rt△AEB’中由30°所对直角边等于斜边一半即可求解．

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴CD∥AB，

∴∠EFD=∠FEB=60°，

由折叠前后对应角相等可知：∠FEB=∠FEB’=60°，

∴∠AEB’=180°-∠FEB-∠FEB’=60°，

∴∠AB’E=30°，

设AE=x,则BE=B’E=2x，

∴AB=AE+BE=3x=3，

∴x=1，

∴BE=2x=2，

故选：D．

【点评】本题借助正方形考查了折叠问题，30°角所对直角边等于斜边的一半等知识点，折叠问题的性质包括折叠前后对应边相等，对应角相等，折叠产生角平分线，由此即可解题．

二       、填空题

11.【考点】解一元一次方程

【分析】方程移项、合并同类项、把x系数化为1，即可求出解．

解：方程，

移项,得3x-x=8，

合并同类项，得2x=8.

解得x=4．

故答案为：x=4．

【点评】方程移项，把x系数化为1，即可求出解．

12.【考点】多边形内角与外角．

【分析】多边形的内角和定理为（n﹣2）×180°，多边形的外角和为360°，根据题意列出方程求出n的值．

解：设这个多边形的边数为n，

根据题意可得：，

解得：n＝11，

故答案为：11．

【点评】本题主要考查的是多边形的内角和公式以及外角和定理，属于基础题型．记忆理解并应用这两个公式是解题的关键．

13.【考点】用图像表示函数

【分析】根据上学，可得离学校的距离越来越小，根据开始步行，可得距离变化慢，后来坐车，可得距离变化快．

解：①距离越来越大，选项错误；

②距离越来越小，但前后变化快慢一样，选项错误；

③距离越来越大，选项错误；

④距离越来越小，且距离先变化慢，后变化快，选项正确；

故答案为：④．

【点评】本题考查了函数图象，观察距离随时间的变化是解题关键．

14.【考点】一元一次不等式的应用；一元一次不等式组的应用．

【分析】不足5本说明最后一个人分的本数应在0和5之间，但不包括5．

解：根据题意得：，

解得：40＜n＜42.5，

∵n为整数，

∴n的值为41或42．

故答案为：41或42．

【点评】解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式组．

15.【考点】旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余

【分析】根据旋转的性质可得AB=AB′，∠BAB′=40°，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠ABB′，再利用直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．

解：∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°得到Rt△AB′C′，

∴AB=AB′，∠BAB′=40°，

在△ABB′中，∠ABB′=（180°﹣∠BAB′）=（180°﹣40°）=70°，

∵∠AC′B′=∠C=90°，

∴B′C′⊥AB，

∴∠BB′C′=90°﹣∠ABB′=90°﹣70°=20°．

故答案为：20．

【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，比较简单，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小得到等腰三角形是解题的关键．

16.【考点】反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征

【分析】设点，可得AD＝a，，从而得到CD＝3a，再由BC⊥AC．可得点B，从而得到，然后根据S梯形OBCD＝S△AOD+S四边形AOBC，即可求解．

解：设点，

∵AC⊥y轴，

∴AD＝a，，

∵，

∴AC＝2a，

∴CD＝3a，

∵BC⊥AC．AC⊥y轴，

∴BC∥y轴，

∴点B，

∴，

∵S梯形OBCD＝S△AOD+S四边形AOBC，

∴，

解得：k＝3．

故答案为：3．

【点评】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．

三       、解答题

17.【考点】二次根式的化简求值

【分析】根据y值，求出x=3，代入求解即可．

解：由题意，x2－9≥0，9－x2≥0

∴ x2＝9，∴ x＝±3

又∵x+3≠0，∴x≠－3，

∴x＝3，y＝0＋0＋4＝4，

∴x＋y＝7

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了绝对值的化简等知识，属于基础题．

18.【考点】用样本估计总体，频数（率）分布表，条形统计图

【分析】（1）用优秀的人数除以优秀的人数所占的百分比即可得到总人数，

（2）根据题意补全条形统计图即可得到结果，

（3）全校2000名乘以“优秀”和“良好”等级的学生数所占的百分比即可得到结论．

解：（1）本次调查随机抽取了21÷42%＝50名学生，m＝50×40%＝20，n＝×100＝12，

故答案为：50，20，12，

（2）补全条形统计图如图所示，

（3）2000×＝1640人，

答：该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有1640人．

【点评】本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．

19.【考点】角平分线的性质，全等三角形的判定与性质

【分析】过作TF⊥AB于F,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等得TF=CT,再根据角平分线的定义和等角的余角相等的性质得到∠CDr=∠CTD,所以CD=CT,再证明△CDE和△TFB全等,然后根据全等三角形对应边相等可以得到CE=TB,都减去TE即可得到CT=BE

证明:过T作TF⊥AB于F

AT平分∠BAC,∠ACB=90°

CT=TF(角平分线上的点到角两边的距离相等)

ACB=90°,CM⊥AB

∠ADM+∠DAM=90°,∠ATC+∠CAT=90°

AT平分∠BAC

∠ADM=∠ATC

∠CDT=∠CTD

CD=CT

又CT=TF(已证)

CM⊥AB,DE∥AB

∠CDE=90    ∠B=∠DEC

在△CDE和△TFB中,

∠B=∠DEC;∠CDE=∠TFB=90°;CD=TF

△CDE≌△TFB(AAS)

CE=TB

CE-TE=TB-TE

即CT=BE

【点评】本题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定以及全等三角形的性质,作辅助线构造全等三角形是解题的关键

20.【考点】 一次函数的应用．

【分析】（1）根据直线AB的解析式图象得出每个出水口每分钟出水速度为（20﹣12）÷4÷2，进而得出a的值即可；

（2）根据直线BC的解析式的图象得出进水口每分钟的进水量，进而得出b的值；

（3）把t=16代入两个解析式中解答即可．

解：（1）由直线AB图象可得：每个出水口每分钟出水速度为（20﹣12）÷4÷2=1m3/分钟；

图中a的值等于20﹣6×2=8；

故答案为：1；8；

（2）设进水口每分钟的进水量为m，可得：，

解得：，

答：进水口每分钟的进水量是4，b的值是32；

（3）直线AB的解析式为y=kx+b，可得：，

解得：，

所以直线AB的解析式为：y=﹣2x+20，

把y=16代入y=﹣2x+20，解得：x=2；

直线BC的解析式为y1=k1x+b1，可得：，

解得：，

所以直线BC的解析式为：y1=3x﹣10，

把y=16代入y1=3x﹣10，解得：x=，

综上所述，在整个过程中t为2或时，水池有水16m3

【点评】此题考查一次函数问题，关键是得出进水管和出水管的速度．

21.【考点】解直角三角形的应用-俯角仰角

【分析】作DH⊥BC于H．设AE=x．在Rt△ABC中，根据tan∠ABC=，构建方程即可解决问题；

解：作DH⊥BC于H．设AE=x．

∵DH：BH=1：3，

在Rt△BDH中，DH2+（3DH）2=6002，

∴DH=60，BH=180，

在Rt△ADE中，∵∠ADE=45°，

∴DE=AE=x，

∵又HC=ED，EC=DH，

∴HC=x，EC=60，

在Rt△ABC中，tan33°=，

∴x=，

∴AC=AE+EC=+60=．

答：山顶A到地面BC的高度AC是米

【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．解此题的关键是掌握数形结合思想与方程思想的应用．

22.【考点】切线的判定

【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到∠B=∠C和∠B=∠OPB，则∠OPB=∠C，于是可判断OP∥AC，由于PD⊥AC，所以OP⊥PD，然后根据切线的判定定理可得到PD是⊙O的切线；

（2）由AB为直径得∠APB=90°，根据等腰三角形的性质得BP=CP，所以∠BAP=60°，在RtBAP中，根据含30度的直角三角形三边的关系得AP=AB=3，BP=AP=3，所以BC=2BP=6．

（1）证明：∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵OP=OB，

∴∠B=∠OPB，

∴∠OPB=∠C，

∴OP∥AC，

∵PD⊥AC，

∴OP⊥PD，

∴PD是⊙O的切线；

（2）解：

连结AP，如图，

∵AB为直径，

∴∠APB=90°，

∴BP=CP，

∵∠CAB=120°，

∴∠BAP=60°，

在RtBAP中，AB=6，∠B=30°，

∴AP=AB=3，

∴BP=AP=3，

∴BC=2BP=6．

【点评】本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．

23.【考点】一元二次方程的应用，二次函数的应用

【分析】根据总利润每件利润销售数量，可得y与x的函数关系式；

根据中的函数关系列方程，解方程即可求解；

根据中相等关系列方程，判断方程有无实数根即可得．

解：根据题意得，

y与x的函数关系式为；

当时，，

解得，不合题意舍去．

答：当该专卖店每件童装降价10元时，平均每天盈利400元；

该专卖店不可能平均每天盈利600元．

当时，，

整理得，

，

方程没有实数根，

答：该专卖店不可能平均每天盈利600元．

【点评】本题主要考查二次函数的应用、一元二次方程的实际应用，理解题意找到题目蕴含的等量关系是列方程求解的关键．

24.【考点】四边形综合题

【分析】（1）根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即可得到结论；

（2）设EF=a，FD=b，由图形的特征可知：a+b=12，a-b=±5，进而即可求解；

（3）设正方形E的边长为e，正方形F的边长为f，由相似三角形的性质可知：，结合勾股定理，可得，进而即可求解．

（1）证明：∵在图①中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．

∴c2＝ab×4＋（b−a）2，

化简得：a2＋b2＝c2；

（2）由题意得：正方形ACDE被分成4个全等的四边形，

设EF=a，FD=b，

∴a+b=12，

∵正方形ABIJ是由正方形ACDE被分成的4个全等的四边形和正方形CBLM拼成，

∴，，，

当EF>DF时，

∵，

∴a-b=5，

∴，解得：a=，

∴EF=；

同理，当EF<DF时，EF=

故EF=或

（3）设正方形E的边长为e，正方形F的边长为f，

∵，

∴图中①与②与③，三个直角三角形相似，

∴，即：，

∵图形③是直角三角形，

∴，

∴，即：c+b=n，