2023年浙江省衢州市龙游县占家中学中考数学一模试卷（含解析）

2023年浙江省衢州市龙游县占家中学中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，，，：：，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  化简的结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  有一块正方体木块，它的六个面上分别标上数字，如图是这个正方体木块从不同面所看到的数字情况，请问对面的数字是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  某校共有名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间单位：小时等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分

下面有四个推断：
这名学生参加公益劳动时间的平均数一定在之间
这名学生参加公益劳动时间的中位数在之间
这名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在之间
这名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在之间
所有合理推断的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  点关于轴的对称点是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  对于任意实数，，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义解决问题：若，且解集中有个整数解，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若、是两个实数，且，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在边长为的等边三角形的外侧作正方形，过点作，垂足为，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，▱中，，，将沿边折叠得到，交于，，则点到的距离为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  分解因式： ______ ．

12.  如图是幻灯机的工作情况，幻灯片与屏幕平行，光源距幻灯片，幻灯片距屏幕，幻灯片中的小树高，则屏幕上的小树高是______ ．

13.  已知：，，则 ______ ．

14.  如图，在平面直角坐标系中，半径为的的圆心的坐标为，将沿轴正方向以个单位秒的速度平移，使与轴相切，则平移的时间为______ 秒
 

15.  一家商店某种衣服按进价提高后标价，又以八折优惠卖出，结果每件衣服获利元，则这件衣服的进价是______ 元．

16.  已知符号表示大于或等于的最小整数，如，，，若，则的取值范围______

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
．

18.  本小题分
如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为．
把绕着原点逆时针旋转得，画出，并写出的坐标．
若中的一点，在中变换下对应中为点，请直接写出点的坐标用含、的代数式表示
 

19.  本小题分
为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点处测得河北岸的树恰好在的正北方向．测量方案与数据如下表：

哪个小组的数据无法计算出河宽？
请选择其中一个方案及其数据求出河宽精确到参考数据：，，，
 

20.  本小题分
在一个不透明的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别．
随机从箱子里取出个球，则取出黄球的概率是多少？
随机从箱子里取出个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表的方法表示出所有可能出现的结果，并求两次取出的都是白色球的概率．

21.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与函数的图象相交于点，并与轴交于点点是线段上一点，与的面积比为：．
求和的值；
若将绕点顺时针旋转，使点的对应点落在轴正半轴上，得到，判断点是否在函数的图象上，并说明理由．

22.  本小题分
如图，纸片▱中，，，过点作，垂足为，沿剪下，将它平移至的位置，拼成四边形，则四边形的形状为______
A.平行四边形  菱形   矩形    正方形
如图，在中的四边形纸片中，在上取一点，使，剪下，将它平移至的位置，拼成四边形．
求证：四边形是菱形．
求四边形的两条对角线的长．

 

23.  本小题分
综合与实践
问题情境：如图所示的是山西晋城景德桥，又名沁阳桥、西关大桥，是山西晋城市城区通往阳城、沁水的交通要道，是继赵州桥之后我国现存历史悠久的古代珍贵桥梁之一桥拱截面可以看作抛物线的一部分如图，在某一时刻，桥拱内的水面宽约米，桥拱顶点到水面的距离为米．
模型建立：
如图，以该时刻水面为轴，桥拱与水面的一个交点为原点建立直角坐标系，求桥拱部分抛物线的解析式．
问题解决：
求在距离水面米处桥拱宽度．
现有两宽为米，高米带货物的小舟，相向而行，恰好同时接近拱桥，问两小舟能否同时从桥下穿过，并说明理由．

 

24.  本小题分
如图，中，平分交边于点，
如图，过点作交于点，求证：为等腰三角形；
如图、延长到，，于，，，求的长；
如图若，，，判断、、的数量关系，并说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
最小的数是，
故选：．
根据正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，可得答案．
本题考查了实数大小比较，两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，
，，
：：，
，
的度数是．
故选：．
直接利用平行线的性质得出，，进而得出的度数，即可得出答案．
此题主要考查了平行线的性质，正确得出度数是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案．
本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的乘法底数不变指数相加是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由图顺时针旋转，
可得的相对面是．
故选：．
根据图形给出的数字即可看出的相对面是．
本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了中位数与平均数，正确理解中位数与平均数的意义是解题的关键．
平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【解答】

解：解这名学生参加公益劳动时间的平均数：，一定在之间，正确；
由统计表类别栏计算可得，各时间段人数分别为，，，，，则中位数在之间，故正确．
由统计表计算可得，初中学段栏的人数在大于等于小于等于之间，当人数为时中位数在之间；当人数为时，中位数在之间，故正确．
由统计表计算可得，高中学段栏各时间段人数分别为大于等于小于等于，，，，，当时间段人数为时，中位数在之间；当时间段人数为时，中位数在之间，故错误．
故选：．

6.【答案】 

【解析】解：根据轴对称的性质，得点关于轴的对称点是．
故选：．
熟悉：平面直角坐标系中任意一点，关于轴的对称点的坐标是．
本题比较容易，考查平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．是需要识记的内容．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆，另一种记忆方法是记住：关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意，得．
，
解得．
解集中有个整数解，
，
解得．
故选：．
根据，用替换，替换再利用不等式组的整数解为，，故解不等式组即可．
本题是一道有关解一元一次不等式组、定义新运算的题目，理解新定义列出不等式组是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：当，时，原方程组为：，方程组无解；
当，时，原方程组为：，解得，；
当，时，原方程组为：，方程组无解；
当，时，原方程组为：，方程组无解；
综上得，原方程组的解为：．
．
故选：．
根据、的取值范围，去绝对值符号并分别讨论求得方程组的解，再代入代数式计算求解即可．
本题考查了解二元一次方程组，涉及到绝对值计算，根据未知数的范围判断去绝对值后的符号是解此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，作于点，
则，

是边长为的等边三角形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，，
，，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
故选：．
过点作于点，作于点，利用解直角三角形可得，，再证明≌，可得，即可求得答案．
本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形，题目的综合性很好，难度不大．
 

10.【答案】 

【解析】解：过作于，
，
是等腰直角三角形，
，
将沿边折叠得到，
，，
，
，
，，
▱中，，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，
，，
过作于，
，
故选：．
过作于，根据等腰直角三角形的性质得到，根据折叠的性质得到，，求得，解直角三角形得到，，根据平行线的性质得到，推出，根据全等三角形的性质得到，求得，过作于，根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了翻折变换折叠问题，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
先提取公因式，再对余下的多项式利用十字相乘法继续分解即可．
本题考查了用提公因式法和十字相乘法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
∽

设屏幕上的小树高是，则
解得．
根据题意可画出图形，再根据相似三角形的性质对应边成比例解答．
本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，



，
故答案为：．
先计算出，的值，然后代入所求式子即可求得相应的值．
本题考查二次根式的化简求值、平方差公式、零指数幂、负整数指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
 

14.【答案】或 

【解析】解：当位于轴的左侧且与轴相切时，平移的距离为；
当位于轴的右侧且与轴相切时，平移的距离为．
故答案为或
平移分在轴的左侧和轴的右侧两种情况写出答案即可．
本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．
 

15.【答案】 

【解析】解：设这件衣服的进价元，由题意得：
，
解得：，
即：这件衣服的进价元．
故答案是：．
设这件衣服的进价元，标价为，根据题意可得等量关系：标价八折进价利润，根据等量关系列出方程即可．
此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
 

16.【答案】 

【解析】解：符号表示大于或等于的最小整数，如，，，若，则的取值范围．
故答案为：
接材料上提供的计算方法，就是表示若是整数，就是数本身，如果是一个小数，是指比这个数较大的最小的整数，计算即可．
本题考查了新定义的题目，解题的关键是根据材料上提供的方法解题，要培养归纳总结的能力．
 

17.【答案】解：原式

；
原式
． 

【解析】利用有理数的混合运算法则运算即可；
利用异分母分式的减法法则运算即可．
本题主要考查了有理数的混合运算，分式的减法，正确利用相关法则进行运算是解题的关键．
 

18.【答案】解：如图所示，的坐标          

，，
． 

【解析】根据图形旋转的性质画出，并写出的坐标即可；
根据中点坐标找出规律即可得出结论．
本题考查的是作图旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：第二个小组的数据无法计算出河宽．
第一个小组的解法：
，，，
，
，
．
第三个小组的解法：设，
，
则，，
，
，
，
解得：．
答：河宽约为． 

【解析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
第二个小组的数据无法计算河宽．
第一个小组：证明，解直角三角形求出即可．
第三个小组：设，则，，根据，构建方程求解即可．
 

20.【答案】解：在一个不透明的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别，
随机地从箱子里取出个球，则取出黄球的概率是：；
画树状图得：

由树形图可知所有可能的情况有种，其中两次取出的都是白色球有种，所以两次取出的都是白色球的概率． 

【解析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意此题属于放回实验．
由在一个不透明的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别，直接利用概率公式求解即可求得答案；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次取出白颜色球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
 

21.【答案】解：函数的图像与函数的图像相交于点，
，，
，；
点不在函数的图像上，理由如下：
过点作轴于，过点作轴于，过作轴于，
点，
，，
与的面积比为：，
，
，
，
即点的纵坐标为，
把代入得：，
，
，
中，当时，，
，
由旋转的性质得：≌，
，

在中，，
点的坐标为，
，
点不在函数的图像上． 

【解析】将代入可求出的值；再将代入可求出的值；
过点作轴于，过点作轴于，过作轴于，先求出点的坐标，再由旋转的性质和三角形面积、勾股定理求出点的坐标，即可解决问题．
本题考查了待定系数法求解析式，三角形的面积，反比例函数的性质，旋转的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是能够熟练运用反比例函数的性质．
解：函数的图像与函数的图像相交于点，
，，
，；
点不在函数的图像上，理由如下：
过点作轴于，过点作轴于，过作轴于，
点，
，，
与的面积比为：，
，
，
，
即点的纵坐标为，
把代入得：，
，
，
中，当时，，
，
由旋转的性质得：≌，
，

在中，，
点的坐标为，
，
点不在函数的图像上．
 

22.【答案】 

【解析】解：如图，纸片▱中，，，过点作，垂足为，沿剪下，将它平移至的位置，拼成四边形，则四边形的形状为矩形，
故选：；
证明：纸片▱中，，，过点作，垂足为，
．
如图：
，
，将它平移至，
，，
四边形是平行四边形．
在中，由勾股定理，得
，
，
四边形是菱形；
连接，，如图：
在中，，
，
在中，，
．
根据矩形的判定，可得答案；
根据菱形的判定，可得答案；
根据勾股定理，可得答案．
本题考查了图形的剪拼，利用了矩形的判定，菱形的判定，勾股定理．
 

23.【答案】解：由题意得，点和点的坐标分别为和，
为函数顶点，
，
设抛物线解析式为，
顶点，
，
再将代入解析式可得，，
解得，
抛物线的解析式为；
由题意得，令可得，，
解得，
桥拱宽度为：米
两小舟能同时从桥下穿过，理由如下：
两小舟的高均为米，
当时，，
解得，，
最大能通行的宽度为：米，
两小周宽为米，
，
两小舟能同时从桥下穿过． 

【解析】设抛物线解析式为，再根据题意求解即可；
由题意得，令解出方程即可得到解答；
由题意得，令解出方程，再进行判断即可得到解答．
本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质是解决本题的关键．
 

24.【答案】证明：平分，
，
，
，
，
，即为等腰三角形；
解：在线段上取点，使，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
；
，
理由如下：作交的延长线于，
，，
，
在和中，
，
≌
，，
在和中，
，
≌，
，
． 

【解析】根据角平分线的定义和平行线的性质证明；
在线段上取点，使，根据三角形的外角的性质，角平分线的定义得到，得到，求出，根据等腰三角形的三线合一得到；
作交的延长线于，证明≌，根据全等三角形的性质得到，，证明≌，得到，得出结论．
本题考查的是等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．