2023年浙江省衢州市龙游县寺后中学中考数学一模试卷（含答案）

2022-2023学年龙游县寺后中学中考数学模拟试卷

姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________

一       、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）

1.下列说法正确的是

A．3.14是无理数 B．是无理数 C．是有理数 D．是有理数

2.如图是某几何体的三视图，则这个几何体是（　　）

A．棱柱 B．圆柱 C．棱锥 D．圆锥

3.学校组织学生进行知识竞赛，5名参赛选手的得分分别为：96，97，98，96，98．下列说法中正确的是（　　）

A．该组数据的中位数为98   

B．该组数据的方差为0.7   

C．该组数据的平均数为98   

D．该组数据的众数为96和98

4.如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是（　　）

A．12 B．13 C．14 D．15

5.关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ）

A．且 

B．且

C．

D．

6.将方程中含的系数化为整数，下列结果正确的是（   ）

A．  B．  C．  D．

A．6＜AC＜10 B．6＜AC＜16 C．10＜AC＜16 D．4＜AC＜16

8.手工课上，老师将同学们分成A，B两个小组制作两个汽车模型，每个模型先由A组同学完成打磨工作，再由B组同学进行组装完成制作，两个模型每道工序所需时间如下：

则这两个模型都制作完成所需的最短时间为（　　）

A．20分钟 B．22分钟 C．26分钟 D．31分钟

9.观察下列数据：0，3，8，15，24…它们是按一定规律排列的，依照此规律，第201个数据是（　　）

A．40400 B．40040 C．4040 D．404

10.如图，等边△ABC内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是（　　）

A． B． C． D．

二       、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

11.函数y=的取值范围是__________．

12.化简：||=　   　．

13.有理数0.009493精确到千分位的结果为 　   　．

14.等腰三角形的周长为17cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的腰长为　　cm．

15.请写出一个图象经过原点的函数的解析式__________．

16.已知，如图，△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=∠ADB，CE⊥AD于E，AE=5，AC-AB=4，则AC和AB分别为    ．

三       、解答题（本题共有8小题，第17~19小题每小题6分，第20~21小题每小题6分，第22~23小题每小题6分，第24小题12分，共66分。请务必写出解答过程）

17.（1）计算：

（2）先化简，再求值：，其中a、b满足

18.一个口袋中有3个大小相同的小球，球面上分别写有数字1、2、3，从袋中随机地摸出一个小球，记录下数字后放回，再随机地摸出一个小球．

（1）请用树形图或列表法中的一种，列举出两次摸出的球上数字的所有可能结果；

（2）求两次摸出的球上的数字和为偶数的概率．

19.在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树的高度．如图所示，测得斜坡的坡度，坡底的长为8米，在处测得树顶部的仰角为，在处测得树顶部的仰角为，求树高．（结果保留根号）

20.如图，在中，，延长到点D，以为直径作，交的延长线于点E，延长到点F，使．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，，求的长．

21.某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表：

已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同．

（1）求表中a的值；

（2）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？

22.如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F．

（1）求证：△BDF是等腰三角形；

（2）如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O．

①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；

②若AB=6，AD=8，求FG的长．

23.定义：如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上（P点与A．B两点不重合），如果△ABP的三边满足AP2+BP2=AB2，则称点P为抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的勾股点．

（1）直接写出抛物线y=﹣x2+1的勾股点的坐标．

（2）如图2，已知抛物线C：y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P（1，）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式．

（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ=S△ABP的Q点（异于点P）的坐标．

24.如图1，在中，，平分，连接，，．

（1）求的度数：

（2）如图2，连接，交于，连接，求证：；

（3）如图3，在（2）的条件下，点为的中点，连接交于点，若，求线段的长．

答案解析

一       、选择题

1.【考点】无理数

【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．

解：A．3.14是有理数，故A错误；

B. 是有理数，故B错误；

C. 是有理数，故C正确；

D、有可能是有理数，也有可能是无理数，故D错误；

故选：C．

【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．

2.【考点】由三视图判断几何体

【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．

解：由俯视图易得几何体的底面为圆，还有表示锥顶的圆心，符合题意的只有圆锥．

故选：D．

【点评】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力以及对立体图形的认识．

3.【考点】方差，算术平均数，中位数，众数．

【分析】根据中位数的定义判断A选项，根据算术平均数的计算方法判断C选项，根据方差的计算方法判断B选项，根据众数的定义判断D选项．

解：A．将这组数据从小到大排列为：96，96，97，98，98，中位数为97，故A选项不符合题意，

C、平均数＝＝97，故C选项不符合题意，

B、方差＝×[（96﹣97）2×2+（97﹣97）2+（98﹣97）2×2]＝0.8，故B选项不符合题意，

D、该组数据的众数为96和98，故D选项符合题意，

故选：D．

【点评】本题考查了方差，算术平均数，中位数，众数，掌握求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据是解题的关键．

4.【考点】线段垂直平分线的性质

【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出AE＝BE，进而得出答案．

解：∵DE是△ABC的边AB的垂直平分线，

∴AE＝BE，

∵AC＝8，BC＝5，

∴△BEC的周长是：BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC＝13．

故选：B．

【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．

5.【考点】根的判别式

【分析】根据方程有实数根，利用根的判别式来求的取值范围即可．

解：∵关于的方程有实数根，

∴，且，

解得，且，

故选：B．

【点评】本题考查了一元二次方程方程的根的判别式，注意一元二次方程方程中，熟悉一元二次方程方程的根的判别式的相关性质是解题的关键．

6.【考点】等式的性质

【分析】根据等式基本性质2，观察答案，则等式两边同乘以-4即可.

解：+y=1两边同乘以-4，得

2x-4y=-4，

故选A．

【点评】本题考查了等式的基本性质．它是解方程的基本知识，必须熟练掌握．

7.【考点】平行四边形的性质；三角形三边关系

【分析】根据平行四边形周长公式求得AB、BC的长度，然后由三角形的三边关系来求对角线AC的取值范围．

解：∵平行四边形ABCD的周长32，5AB=3BC，

∴2（AB+BC）=2（BC+BC）=32，

∴BC=10，

∴AB=6，

∴BC-AB＜AC＜BC+AB，即4＜AC＜16．

故选D．

【点评】本题考查了平行四边形的性质、三角形三边关系．三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．

8.【考点】推理与论证

【分析】分两种情况，①当A组先打磨模型甲共需26分钟．②当A组先打磨模型乙共需22分钟．再比较大小即可．

解：①当A组先打磨模型甲需要9分钟，然后B组装模型甲需要5分钟，在这5分钟内，A组已打磨模型乙用了5分钟，还需等1分钟，B才能组装模型乙，之后B组在组装模型乙需要11分钟，则整个过程用时9+5+1+11＝26分钟．

②当A组先打磨模型乙需要6分钟，然后B组装模型乙需要11分钟，在这11分钟内，A组已打磨好模型甲，因为A组打磨模型甲只需要9分钟，之后B组在组装模型甲需要5分钟，则整个过程用时6+11+5＝22分钟．

而26＞22，

∴这两个模型都制作完成所需的最短时间为22分钟，

故选：B．

【点评】此题是推理与论证，主要考查学生的分析问题和解决问题的能力，分类讨论的思想，是一道比较简单的题目．

9.【考点】规律型：数字的变化类．

【分析】观察不难发现，各数据都等于完全平方数减1，然后列式计算即可得解．

解：∵0=12﹣1，

3=22﹣1，

8=32﹣1，

15=42﹣1，

24=52﹣1，

…，

∴第201个数据是：2012﹣1=40400．

故选A．

【点评】本题是对数字变化规律的考查，观察出各数据都等于完全平方数减1是解题的关键．

10.【考点】三角形的内切圆与内心，扇形面积的计算，中心对称，等边三角形的性质．

【分析】根据题意和图形，可知圆中的黑色部分的面积是圆的面积的一半，然后即可计算出圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比．

解：作AD⊥BC于点D，作BE⊥AC于点E，AD和BE交于点O，如图所示，

设AB＝2a，则BD＝a，

∵∠ADB＝90°，

∴AD＝＝a，

∴OD＝AD＝a，

∴圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是：＝，

故选：A．

【点评】本题考查等边三角形的性质、圆的面积、三角形的内切圆与内心，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

二       、填空题

11.【考点】函数自变量的取值范围

【分析】根据分式有意义的条件解答即可

解：由题意得，x﹣1≠0，

解得x≠1．

故答案为：x≠1．

【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

12.【考点】实数的性质

【分析】要先判断出＜0，再根据绝对值的定义即可求解．

解：∵＜0

∴||=2﹣．

故答案为：2﹣．

【点评】此题主要考查了绝对值的性质．要注意负数的绝对值是它的相反数．

13.【考点】近似数和有效数字

【分析】把万分位上的数字4进行四舍五入即可．

解：有理数0.009493精确到千分位的结果为0.009．

故答案为：0.009．

【点评】本题考查了近似数：“精确到第几位”是近似数的精确度的常用的表示形式．

14.【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．

【分析】分别从腰长为4cm或底边长为4cm去分析求解即可求得答案．

解：①若腰长为4cm，则底边长委：17﹣4×2=9cm；

②若底边长为4cm，则腰长为：（17﹣4）=6.5cm；

综上可得：该等腰三角形的腰长为4cm或6.5cm．

故答案为：4或6.5．

【点评】此题考查了等腰三角形的性质．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．

15.【考点】函数解析式

【分析】直接写出一个已经学过的经过原点的函数解析式即可．

解：因为直线y=x经过原点（0,0），

故答案为：y=x（本题答案不唯一，只要函数图像经过原点即可）．

【点评】本题考查了学生对函数解析式的理解，解决本题的关键是理解并掌握函数解析式与函数图像的关系等．

16.【考点】相似三角形的判定与性质

【分析】过点B作AD的垂线，垂足为H，延长交AC与G，连接DG，则AD为BG的垂直平分线，由此得到 HG∥CE，AG=AB=AD，HG=BH，HB∥CE，接着利用平行线分线段成比例即可得到AG：AC=AH：AE=HG：EC=BH：CE=HD：DE，最后利用这些比例线段即可求解．

解：过点B作AD的垂线，垂足为H，延长交AC与G，连接DG，

则AD为BG的垂直平分线，

∴HG∥CE，AG=AB=AD，HG=BH，HB∥CE，

∴AG：AC=AH：AE=HG：EC=BH：CE=HD：DE，

∴AG：AC=AH：AE=HD：DE=（AH+HD）：（AE+DE）=AD：（AE+DE）

而AD=AG，

则AC=（AE+DE），

AC=4+AB，AE=5，DE=AE-AD=AE-AB=5-AB，

∴4+AB=5+5-AB

∴AB=3，

∴AC=3+4=7．

故答案为：7和3．

【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键作辅助线，通过辅助线构造三角形相似，最后利用实习生减性的性质解决问题．

三       、解答题

17.【考点】实数的运算，特殊角的三角函数值，分式的化简求值

【分析】（1）根据零指数幂、特殊角的函数值、二次根式的运算将其化简，再计算即可；

（2）根据分式的运算，将其化简，在将a+b作为一个整体代入即可．

解：（1）原式＝﹣1++1

＝2；

（2）原式＝

，

∵a+b＝，

∴原式＝．

【点评】本题主要考查分式的化简求值、实数的混合运算、零指数幂、特殊角的三角函数值等知识的综合，解决第（2）题的关键是先根据分式的运算性质，将其化简，再将a+b整体代入求值．

18.【考点】用列表法或画树状图法求概率

【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；

（2）由（1）可求得两次摸出的球上的数字和为偶数的有5种情况，再利用概率公式即可求得答案．

解：（1）画树状图得：

则共有9种等可能的结果；

（2）由（1）得：两次摸出的球上的数字和为偶数的有5种情况，

∴两次摸出的球上的数字和为偶数的概率为：．

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

19.【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题

【分析】作BF⊥CD于点F，设DF=x米，在直角△DBF中利用三角函数用x表示出BF的长，在直角△DCE中表示出CE的长，然后根据BF-CE=AE即可列方程求得x的值，进而求得CD的长．

解：作于点，设米，

在中，，

则（米，

∵，且AE=8

∴

∴

在直角中，米，

在直角中，，

米．

，即．

解得：，

则米．

答：的高度是米．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

20.【考点】切线的判定、相似三角形的判定与性质

【分析】（1）连接OE，通过倒角得到，即可得证；

（2）连接DE、OF，通过证明求出AB的长度，在和中应用勾股定理，得出方程，即可求解．

解：（1）连接OE，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

即，

∴是的切线；

（2）连接DE、OF，

∵，，

∴的半径为5，

∴

∵AD为直径，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

设BF的长为x，则，，

在中，，

在中，，

∴，

解得．

【点评】本题考查切线的判定、相似三角形的判定与性质，掌握上述基本性质定理、并作出合适的辅助线是解题的关键．

21.【考点】分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用

【分析】（1）用含a的代数式分别表示出600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量，再根据二者数量相等即可列出关于a的方程，解方程并检验即得结果；

（2）设购进餐桌x张，销售利润为W元．根据购进总数量不超过200张，得出关于x的一元一次不等式，解不等式即可求出x的取值范围，再根据“总利润＝成套销售的利润+零售餐桌的利润+零售餐椅的利润”即可得出W关于x的一次函数，然后根据一次函数的性质即可解决问题．

解：（1）根据题意，得：，

解得：a=260，

经检验：a=260是所列方程的解，

∴a=260；

（2）设购进餐桌x张，则购进餐椅（5x+20）张，销售利润为W元．

由题意得：x+5x+20≤200，解得：x≤30．

∵a＝260，∴餐桌的进价为260元/张，餐椅的进价为120元/张．

依题意可知：

W＝x×(940﹣260﹣4×120）+x×(380﹣260）+（5x+20﹣x×4）×(160﹣120）＝280x+800，

∵k＝280＞0，

∴W随x的增大而增大，

∴当x＝30时，W取最大值，最大值为9200元．

故购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是9200元．

【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式和一次函数的应用，属于常考题型，解题的关键是：（1）正确理解题意、由数量相等得出关于a的分式方程；（2）根据数量关系找出W关于x的函数解析式，灵活应用一次函数的性质．

22.【考点】四边形综合题．

【分析】（1）根据两直线平行内错角相等及折叠特性判断；

（2）①根据已知矩形性质及第一问证得邻边相等判断；

②根据折叠特性设未知边，构造勾股定理列方程求解．

（1）证明：如图1，根据折叠，∠DBC=∠DBE，

又AD∥BC，

∴∠DBC=∠ADB，

∴∠DBE=∠ADB，

∴DF=BF，

∴△BDF是等腰三角形；

（2）①∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴FD∥BG，

又∵DG∥BE，

∴四边形BFDG是平行四边形，

∵DF=BF，

∴四边形BFDG是菱形；

②∵AB=6，AD=8，

∴BD=10．

∴OB=BD=5．

假设DF=BF=x，∴AF=AD﹣DF=8﹣x．

∴在直角△ABF中，AB2+AF2=BF2，即62+（8﹣x）2=x2，

解得x=，

即BF=，

∴FO===，

∴FG=2FO=．

【点评】此题考查了四边形综合题，结合矩形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理解答，考查了翻折不变性，综合性较强，是一道好题．　

23.【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．

【分析】（1）根据抛物线勾股点的定义即可得；

（2）作PG⊥x轴，由点P坐标求得AG=1、PG=、PA=2，由tan∠PAB==知∠PAG=60°，从而求得AB=4，即B（4，0），待定系数法求解可得；

（3）由S△ABQ=S△ABP且两三角形同底，可知点Q到x轴的距离为，据此求解可得．

解：（1）抛物线y=﹣x2+1的勾股点的坐标为（0，1）；

（2）抛物线y=ax2+bx过原点，即点A（0，0），

如图，作PG⊥x轴于点G，

∵点P的坐标为（1，），

∴AG=1、PG=，PA===2，

∵tan∠PAB==，

∴∠PAG=60°，

在Rt△PAB中，AB===4，

∴点B坐标为（4，0），

设y=ax（x﹣4），

将点P（1，）代入得：a=﹣，

∴y=﹣x（x﹣4）=﹣x2+x；

（3）①当点Q在x轴上方时，由S△ABQ=S△ABP知点Q的纵坐标为，

则有﹣x2+x=，

解得：x1=3，x2=1（不符合题意，舍去），

∴点Q的坐标为（3，）；

②当点Q在x轴下方时，由S△ABQ=S△ABP知点Q的纵坐标为﹣，

则有﹣x2+x=﹣，

解得：x1=2+，x2=2﹣，

∴点Q的坐标为（2+，﹣）或（2﹣，﹣）；

综上，满足条件的点Q有3个：（3，）或（2+，﹣）或（2﹣，﹣）．

【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查抛物线与x轴的交点及待定系数法求函数解析式，根据新定义求得点B的坐标，并熟练掌握待定系数求函数解析式及三角形面积问题是解题的关键．　

24.【考点】三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，含30度的直角三角形

【分析】（1）设推出，，，利用三角形内角和定理构建方程求出x即可；

（2）先依据ASA证明，再依据全等三角形的性质得到，结合，依据三角形内角和求出,再依据三角形外角的性质及等式的基本性质即可求证；

（3）根据直角三角形的面积公式求出AB，延长至，使，连接，先依据SAS证明，结合等量代换得到，，再依据SAS证明，依据全等的性质求得，从而得到，继而得到，最后依据直角三角形30度角的性质解决问题．

如图1中，设．

，，

，，

平分，

，,

，

又∵在中，，

，

，

，，

；

（2）,

,

,

,

,

，

，

又∵,

∴

又，

；

（3）延长至，使，连接

点为的中点，

，

，

，

，，

，

．