2023年浙江省衢州市菁才中学中考数学一模试卷（含答案）

2023年浙江省衢州市菁才中学中考数学模拟试卷

一       、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）

1.在同一时刻，两根长度不等的柑子置于阳光之下，但它们的影长相等，那么这两根竿子的相对位置是（    ）

A． 两根都垂直于地面 

B． 两根平行斜插在地上

C． 两根竿子不平行

D． 一根到在地上

2.彩民李大叔购买1张彩票，中奖．这个事件是（　　）

A．必然事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．随机事件

3.解方程2x+3（2x﹣1）=16﹣（x+1）的第一步应是（   ）

A． 去分母 B． 去括号     C． 移项       D． 合并

4.下列分子结构模型平面图中，只有一条对称轴的是（    ）

A． B． C． D．

5.一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是（　　）

A．12 B．13 C．14 D．15

6.若2x2+1与4x2－2x－5互为相反数，则x为

A． －1或 B． 1或 C． 1或 D． 1或

7.如图，▱ABCD的周长为16cm，AC与BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为（　　）

A． 4 cm B． 6 cm C． 8 cm D． 10 cm

8.如果5x=m，5y=n，那么5x﹣y等于（　　）

A．m+n B．m﹣n C．mn D．

9.计算：21﹣1＝1，22﹣1＝3，23﹣1＝7，24﹣1＝15，25﹣1＝31，…归纳各计算结果中的个位数字规律，则22010﹣1的个位数字是（　　）

A．1 B．3 C．7 D．5

10.在▱ABCD中，若∠BAD与∠CDA的角平分线交于点E，则△AED的形状是（　　）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定

二       、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

11.已知一条直线上有三点，线段的中点为，，线段的中点为，，则线段的长为__．

12.线段CD是由线段AB平移得到的，点A（﹣1，4）的对应点为C（4，7），则点B（﹣4，﹣1）的对应点D的坐标是　　　　　　．

13.．已知x1，x2是方程2x2﹣7x+3=0的两根，则x1+x2﹣x1x2=　   　

14.如图，在中，点D、E分别在、上，．若，则________．

15.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的斜边BC⊥x轴于点B，直角顶点A在y轴上，双曲线y＝（k≠0）经过AC边的中点D，若BC＝2，则k＝　   　．

16.如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形①的边BC及四边形②的边CD都在x轴上，“猫”耳尖E在y轴上．若“猫”尾巴尖A的横坐标是1，则“猫”爪尖F的坐标是___________．

三       、解答题（本题共有8小题，第17~19小题每小题6分，第20~21小题每小题6分，第22~23小题每小题6分，第24小题12分，共66分。请务必写出解答过程）

17.解下列方程（组）：

（1）        （2）

（3）

18.如图，甲、乙两人在道路的两边相向而行，当甲、乙两人分别行至点A．C时，测得乙在甲的北偏东60°方向上．乙留在原地休息，甲继续向前走了40米到B处，此时测得乙在其北偏东30°方向上．求道路的宽（参考数据：）

19.为推进“传统文化进校园”活动，某校准备成立“经典诵读”、“传统礼仪”、“民族器乐”和“地方戏曲”等四个课外活动小组．学生报名情况如图（每人只能选择一个小组）：

（1）报名参加课外活动小组的学生共有　     　人，将条形图补充完整；

（2）扇形图中m=　      　，n=　        　；

（3）根据报名情况，学校决定从报名“经典诵读”小组的甲、乙、丙、丁四人中随机安排两人到“地方戏曲”小组，甲、乙恰好都被安排到“地方戏曲”小组的概率是多少？请用列表或画树状图的方法说明．

20.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥AB交AB于点E，过C作CF∥BD交ED于F．

（1）求证：△BED≌△BCD；

（2）若∠A＝36°，求∠CFD的度数．

21.如图，已知一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝的图象在第一、第三象限分别交于A（3，4），B（a，﹣2）两点，直线AB与y轴，x轴分别交于C，D两点．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式，

（2）比较大小：AD　   　BC（填“＞”或“＜”或“＝”），

（3）直接写出y1＜y2时x的取值范围．

22.（1）如图1，若D、E分别是△ABC的边AB、AC上的中点，我们把这样的线段DE称为是三角形的中位线．你知道中位线DE与BC之间有什么关系吗？请同学们大胆地猜想一下，并证明你的结论．

（2）如示意图2，小华家（点A处）和公路（l）之间竖立着一块35m长且平行于公路的巨型广告牌（DE）．广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A的盲区，并将盲区内的那段公路计为BC．一辆以60km/h匀速行驶的汽车经过公路段的时间是3s，已知广告牌和公路的距离是40m，求小华家到公路的距离（精确到1m）．

23.如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；

（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；

（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC=S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；

（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．

24.如图，点A与点B的坐标分别是(1，0)，(5，0)，点P是该直角坐标系内的一个动点．

(1)使∠APB＝30°的点P有________个；

(2)若点P在y轴上，且∠APB＝30°，求满足条件的点P的坐标；

(3)当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由．

答案解析

一       、选择题

1.【考点】平行投影

【分析】根据平行投影的性质进行分析即可.

解：两根平行杆子,影子离地端与其投影的连线所构成的三角形为相似三角形,

若杆长不相等则影子长也不相等,但影子相等所以不是平行.

故选：C

【点评】本题考核知识点：投影.解题关键点：理解平行投影的性质.

2.【考点】随机事件．

【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义，即可判断．

解：彩民李大叔购买1张彩票，中奖．这个事件是随机事件，

故选：D．

【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的定义是解题的关键．

3.【考点】解一元一次方程

【分析】解一元一次方程的基本步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1.

解：由解一元一次方程的基本步骤可知，解方程2x+3（2x﹣1）=16﹣（x+1）的第一步应是去括号 .

故选B.

【点评】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键.

4.【考点】轴对称图形的对称轴

解：根据图形可得：选项A有1条对称轴，选项B、C各有2条对称轴，选项D有6条对称轴，

故选A．

【点评】本题主要考查了轴对称图形的定义，关键是正确找出每个图形的对称轴．

5.【考点】多边形内角与外角；多边形的对角线．

【分析】多边形的内角和比外角和的2倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是900度，n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数，进而求出对角线的条数．

解：根据题意，得

（n﹣2）•180=360°×2+180°，

解得：n=7．

则这个多边形的边数是7，

七边形的对角线条数为=14，

故选C．

【点评】此题主要考查了多边形内角和定理和外角和定理，只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程即可求解．

6.【考点】解一元二次方程-直接开平方法．

【分析】因为2x2+1与4x2－2x－5互为相反数，所以相加等于0，则可列方程，直接解答即可．

解：∵2x2+1与4x2－2x－5互为相反数

∴2x2+1+4x2－2x－5=0，合并同类项并移项得：6x2=4，

解之,，

故选B．

【点评】此题利用了互为相反数的概念来列方程，然后利用直接开平方法解方程．

（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a,b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a,c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．

（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．

（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．

7.【考点】平行四边形的性质．

【分析】 由▱ABCD的周长为16cm，即可求得AD+CD=8cm，又由OE⊥AC，可得DE是线段AC的垂直平分线，即可得AE=EC，继而可得△DCE的周长等于AD+CD的长．

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AB=CD，OA=OC，

∵▱ABCD的周长为16cm，

∴AD+CD=8cm，

∵OA=OC，OE⊥AC，

∴EC=AE，

∴△DCE的周长为：DE+EC+CD=DE+AE+CD=AD+CD=8（cm）．

故选C．

【点评】此题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意数形结合思想与转化思想的应用．

8.【考点】同底数幂的除法

【分析】直接根据同底数幂的除法法则进行计算即可．

解：∵5x=m，5y=n，

∴5x﹣y=5x÷5y=m÷n=．

故选：D．

【点评】本题考查的是同底数幂的除法，熟知同底数幂的除法法则是解答此题的关键．

9.【考点】尾数特征

【分析】由21﹣1＝1，22﹣1＝3，23﹣1＝7，24﹣1＝15，25﹣1＝31，…而题目中问22010﹣1的个位数字，可以猜想个位数字呈现一定的规律．

解：21﹣1＝1，22﹣1＝3，23﹣1＝7，24﹣1＝15，

25﹣1＝31，26﹣1＝63，27﹣1＝127，28﹣1＝255，

由此可以猜测个位数字以4为周期按照1，3，7，5的顺序进行循环．

知道2010除以4为502余2，而第二个数字为3，

所以可以猜测22010﹣1的个位数字是3．

故选：B．

【点评】本题考查学生对于数字变化规律型的题目要有一定总结和发现规律的能力．需要学生有一定的数学思想．

10.【考点】平行四边形的性质，角平分线的定义

【分析】想办法证明∠E=90°即可判断．

解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠BAD+∠ADC=180°，

∵∠EAD=∠BAD，∠ADE=∠ADC，

∴∠EAD+∠ADE=（∠BAD+∠ADC）=90°，

∴∠E=90°，

∴△ADE是直角三角形，

故选：B．

【点评】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

二       、填空题

11.【考点】线段的中点

【分析】根据题意画出图形，①C在AB中间，②C在AB外，再利用中点的知识可求出答案．

解：①由题意得：PB＝AB＝50，BQ＝BC＝30，

∴PQ＝PB＋BQ＝80；

②CQ＝BC＝30，CP＝BC－BP＝60－50＝10，

∴PQ＝CQ－CP＝20．

故答案为：80或20．

【点评】本题考查线段中点的知识，有一定难度，关键是讨论C点的位置．

12.【考点】坐标与图形变化-平移．

【分析】由于线段CD是由线段AB平移得到的，而点A（﹣1，4）的对应点为C（4，7），比较它们的坐标发现横坐标增加5，纵坐标增加3，利用此规律即可求出点B（﹣4，﹣1）的对应点D的坐标．

解：∵线段CD是由线段AB平移得到的，

而点A（﹣1，4）的对应点为C（4，7），

∴由A平移到C点的横坐标增加5，纵坐标增加3，

则点B（﹣4，﹣1）的对应点D的坐标为（1，2）．

故答案为：（1，2）．

【点评】本题主要考查坐标系中点、线段的平移规律．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．

13.【考点】根与系数的关系．

【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入所求式子中计算即可求出值．

解：∵x1，x2是方程2x2﹣7x+3=0的两根，

∴x1+x2=，x1•x2=，

则x1+x2﹣x1•x2=﹣=2．

故答案为2．

【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．

14.【考点】三角形内角和定理，平行线的性质

【分析】先根据三角形内角和定理求出∠A=80°，再根据平行线的性质，求出，即可．

解：∵，

∴∠A=180°-40°-60°=80°，

∵，

∴180°-80°=100°．

故答案是100．

【点评】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补，是解题的关键．

15.【考点】待定系数法求反比例函数解析式，勾股定理，等腰直角三角形．

【分析】如图，过点A作AE⊥BC于E，根据直角三角形斜边中线的性质可得AE＝，得点A和C的坐标，根据中点坐标公式可得点D的坐标，从而得结论．

解：如图，过点A作AE⊥BC于E，

∵等腰直角三角形ABC的斜边BC⊥x轴于点B，

∴CE＝BE，

∴AE＝BC＝，

∴A（0，），C（﹣，2），

∵D是AC的中点，

∴D（﹣，），

∴k＝﹣×＝﹣．

故答案为：﹣．

【点评】本题考查的是反比例函数的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

16.【考点】七巧板的意义，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质

【分析】设大正方形的边长为2a，则大等腰直角三角形的腰长为，中等腰直角三角形的腰长为a，小等腰直角三角形的腰长为，小正方形的边长为，平行四边形的长边为a，短边为，用含有a的代数式表示点A的横坐标，表示点F的坐标，确定a值即可.

解：设大正方形的边长为2a，则大等腰直角三角形的腰长为，中等腰直角三角形的腰长为a，小等腰直角三角形的腰长为，小正方形的边长为，平行四边形的长边为a，短边为，如图，过点F作FG⊥x轴，垂足为G, 点F作FH⊥y轴，垂足为H, 过点A作AQ⊥x轴，垂足为Q,延长大等腰直角三角形的斜边交x轴于点N，交FH于点M，

根据题意，得OC==，CD=a,DQ=，

∵点A的横坐标为1,

∴+a+=1，

∴a=；

根据题意，得FM=PM=，MH=，

∴FH==；

∴MT=2a-，BT=2a-,

∴TN=-a，

∴MN=MT+TN=2a-+-a==，

∵点F在第二象限，

∴点F的坐标为（-，）

故答案为：（-，）．

【点评】本题考查了七巧板的意义，合理设出未知数，用未知数表示各个图形的边长，点ＡＡ的横坐标，点Ｆ的坐标是解题的关键．

三       、解答题

17.【考点】解一元一次方程，解二元一次方程组

【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；

（2）利用加减消元法求解可得；

（3）由第个方程得出，代入第个方程得出，据此联立得到关于、的二元一次方程组，进一步求解可得.

解：（1）去分母，得：2x-3（30-x）=60，

去括号，得：2x-90+3x=60，

移项，得：2x+3x=60+90，

合并同类项，得：5x=150，

系数化为1，得：x=30；

，

②×2-①，得：5x=10，

解得：x=2，

将x=2代入②，得：6+y=8，

解得：y=2，

∴方程组的解为；

（3），

由①，得③，

将③代入②，得，

整理，得：3x+4y=4,

则，

解得：.

【点评】此题考查了解一元一次方程与二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法.

18.【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题

【分析】过C作AB的垂线，设垂足为D．易知∠BAC=30°，∠PBD=60°．∠BCA=∠BAC=30°，得CB=AB=40米；在Rt△BCD中，可用正弦函数求出DC的长．

解：过点C作CD⊥AB于点D，则CD的长即为道路的宽.

由题意得∠CAD=30°，∠CBD=60°.

∵∠CBD是△ACB的一个外角，

∴∠ACB=∠CBD-∠CAB=30°．

∴∠CAB=∠ACB，

故AB=PB=40(m)．

在Rt△BCD中，∠BDC=90°，∠CBD=60°，CB=40m，

∴CD=CB•sin60°=40×=20≈34.64(米)．

∴道路的宽约为34.64米.

【点评】本题主要考查了方向角含义，能够发现△ABC是等腰三角形，并正确的构建出直角三角形是解答此题的关键．

19.【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．.

【分析】（1）用地方戏曲的人数除以其所占的百分比即可求得总人数，减去其它小组的频数即可求得民族乐器的人数，从而补全统计图；

（2）根据各小组的频数和总数分别求得m和n的值即可；

（3）列树状图将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解即可．

解：（1）∵根据两种统计图知地方戏曲的有13人，占13%，

∴报名参加课外活动小组的学生共有13÷13%=100人，

参加民族乐器的有100﹣32﹣25﹣13=30人，

统计图为：

（2）∵m%=×100%=25%，

∴m=25，

n=×360=108，

故答案为：25，108；

（3）树状图分析如下：

∵共有12种情况，恰好选中甲、乙的有2种，

∴P（选中甲、乙）==．

【点评】本题考查了扇形统计图、条形统计图及列表与树状图法求概率的知识，解题的关键是能够列树状图将所有等可能的结果列举出来，难度不大．

20.【考点】角平分线的性质，全等三角形的判定与性质

【分析】（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定解答即可；

（2）根据三角形的内角和和三角形外角以及平行线的性质解答即可．

（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥AB交AB于点E，

∴∠BED＝∠BCD＝90°，

∴ED＝DC，

在Rt△BED与Rt△BCD中

，

∴Rt△BED≌Rt△BCD（HL）；

（2）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，∠A＝36°，

∴∠ABD＝∠DBC＝27°，

∴∠BDC＝63°，

∵CF∥BD，

∴∠CFD＝∠BDC＝63°．

【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据角平分线的性质和全等三角形的判定解答．

21.【考点】反比例函数与一次函数的交点问题

【分析】（1）把A（3，4）代入反比例函数y2＝，根据待定系数法即可求得m，得到反比例函数的解析式，然后代入B（a，﹣2）），求得a，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可，

（2）求得C、D的坐标，利用勾股定理即可判断，

（3）根据图象即可求得．

解：（1）把A（3，4）代入反比例函数y2＝得，

4＝，解得m＝12，

∴反比例函数的解析式为y2＝，

∵B（a，﹣2）点在反比例函数y2＝的图象上，

∴﹣2a＝12，解得a＝﹣6，

∴B（﹣6，﹣2），

∵一次函数y1＝kx+b的图象经过A（3，4），B（﹣6，﹣2）两点，

∴，解得，

∴一次函数的解析式为y1＝x+2，

（2）由一次函数的解析式为y1＝x+2可知C（0，2），D（﹣3，0），

∴AD＝＝2，BC＝＝2，

∴AD＝BC，

故答案为＝，

（3）由图象可知：y1＜y2时x的取值范围是x＜﹣6或0＜x＜3．

【点评】此题是考查一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求函数解析式是中学阶段求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用．

22.【考点】相似三角形的应用

【分析】（1）首先要正确画出图形，根据平行四边形的性质进行证明即可．

（2）作射线AD、AE分别于L相交于点B、C，然后即可确定盲区；先根据路程=速度×时间求出BC的长度，然后过点A作AF⊥BC，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列出比例式，然后求出AF的长度，也就是小明家到公路的距离．

解：（1）DE∥BC，DE=BC     

证明：延长DE到F，使EF=DE，连接CF．

∵AE=CE，∠AED=∠CEF，

∴△ADE≌△CEF．

∴AD=CF，∠ADE=∠CFE．

∴AD∥CF．

∵AD=BD，

∴BD=CF．

∴四边形BCFD是平行四边形．

∴DE∥BC，DE=BC．

故答案为三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半

（2） 过A作AE⊥BC于E，交DE于F

∵DE∥BC则△ADE∽△ABC，

设AE=x则，

∴x=（7分）

答：小华家到公路的距离是133米；

【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理及相似三角形的应用，相似三角形对应高的比等于对应边的比的性质，根据题意作出图形构造出相似三角形是解题的关键．

23.【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）由A．B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）由条件可求得点D到x轴的距离，即可求得D点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得D点坐标；

（3）由条件可证得BC⊥AC，设直线AC和BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，则可得BF=BC，利用平行线分线段成比例可求得F点的坐标，利用待定系数法可求得直线BE解析式，联立直线BE和抛物线解析式可求得E点坐标，则可求得BE的长．

解：

（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），

∴，解得，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；

（2）由题意可知C（0，2），A（﹣1，0），B（4，0），

∴AB=5，OC=2，

∴S△ABC=AB•OC=×5×2=5，

∵S△ABC=S△ABD，

∴S△ABD=×5=，

设D（x，y），

∴AB•|y|=×5|y|=，解得|y|=3，

当y=3时，由﹣x2+x+2=3，解得x=1或x=2，此时D点坐标为（1，3）或（2，3）；

当y=﹣3时，由﹣x2+x+2=﹣3，解得x=﹣2（舍去）或x=5，此时D点坐标为（5，﹣3）；

综上可知存在满足条件的点D，其坐标为（1，3）或（2，3）或（5，﹣3）；

（3）∵AO=1，OC=2，OB=4，AB=5，

∴AC==，BC==2，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC为直角三角形，即BC⊥AC，

如图，设直线AC与直线BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，

由题意可知∠FBC=45°，

∴∠CFB=45°，

∴CF=BC=2，

∴=，即=，解得OM=2， =，即=，解得FM=6，

∴F（2，6），且B（4，0），

设直线BE解析式为y=kx+m，则可得，解得，

∴直线BE解析式为y=﹣3x+12，

联立直线BE和抛物线解析式可得，解得或，

∴E（5，﹣3），

∴BE==．

【点评】本题为二次函数的综合应用,涉及待定系数法、三角形面积、勾股定理及其逆定理、平行线分线段成比例、函数图象的交点、等腰直角三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识,在(1)中注意待定系数法的应用,在(2)中求得D点的纵坐标是解题的关键,在(3)中由条件求得直线BE的解析式解题的关键.本题考查知识点较多,综合性较强,特别是最后一问,有一走的难度　

【分析】（1）已知点A．点B是定点，要使∠APB=30°，只需点P在过点A．点B的圆上，且弧AB所对的圆心角为60°即可，显然符合条件的点P有无数个．

（2）结合（1）中的分析可知：当点P在y轴的正半轴上时，点P是（1）中的圆与y轴的交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P的坐标；当点P在y轴的负半轴上时，同理可求出符合条件的点P的坐标．

（3）由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角．要∠APB最大，只需构造过点A．点B且与y轴相切的圆，切点就是使得∠APB最大的点P，然后结合切线的性质、三角形外角的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识即可解决问题．

解　(1)以AB为边，在第一象限内作等边三角形ABC，

以点C为圆心，AC为半径作⊙C，交y轴于点P1，P2.

在优弧AP1B上任取一点P，如图1，

图1

则∠APB＝∠ACB＝×60°＝30°.

∴使∠APB＝30°的点P有无数个．填无数．

(2)①当点P在y轴的正半轴上时，过点C作CG⊥AB，垂足为G，如图1.

∵点A(1，0)，点B(5，0)，

∴OA＝1，OB＝5.∴AB＝4.

∵点C为圆心，CG⊥AB，∴AG＝BG＝AB＝2.∴OG＝OA＋AG＝3.

∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝AB＝4.

∴CG＝＝＝2.∴点C的坐标为(3，2)．

过点C作CD⊥y轴，垂足为D，连结CP2，如图1，

∵点C的坐标为(3，2)，∴CD＝3，OD＝2.

∵P1，P2是⊙C与y轴的交点，

∴∠AP1B＝∠AP2B＝30°.

∵CP2＝CA＝4，CD＝3，

∴DP2＝＝.

∵点C为圆心，CD⊥P1P2，∴P1D＝P2D＝.

∴P2(0，2－)．P1(0，2＋)．

②当点P在y轴的负半轴上时，

同理可得：P3(0，－2－)．P4(0，－2＋)．

综上所述：满足条件的点P的坐标有：

(0，2－)，(0，2＋)，(0，－2－)，(0，－2＋)．

(3)当过点A，B的⊙E与y轴相切于点P时，∠APB最大．

①当点P在y轴的正半轴上时，

连结EA，作EH⊥x轴，垂足为H，如图2.

图2

∵⊙E与y轴相切于点P，

∴PE⊥OP.∵EH⊥AB，OP⊥OH，

∴∠EPO＝∠POH＝∠EHO＝90°.

∴四边形OPEH是矩形．

∴OP＝EH，PE＝OH＝3.

∴EA＝3.∵∠EHA＝90°，AH＝2，EA＝3，

∴EH＝＝＝，

∴OP＝，∴P(0，)．

②当点P在y轴的负半轴上时，

同理可得：P(0，－)．

理由：①若点P在y轴的正半轴上，

在y轴的正半轴上任取一点M(不与点P重合)，

连结MA，MB，交⊙E于点N，连结NA，如图2所示．

∵∠ANB是△AMN的外角，

∴∠ANB＞∠AMB.

∵∠APB＝∠ANB，∴∠APB＞∠AMB.

②若点P在y轴的负半轴上，同理可证得：∠APB＞∠AMB.

综上所述：当点P在y轴上移动时，∠APB有最大值，此时点P的坐标为(0，)和(0，－)．