全真模拟卷03（解析版）-2023年高考数学全真模拟卷(天津卷)

2023年高考全真模拟卷（三）

数学（天津卷）

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共9个小题，每小题5分，共45分．每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求．

1．集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】因为，所以．

故选：D.

2．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】C

【详解】由，可得或，则可以推出；

由，可得：或，则可以推出，

所以“”是“”的充分必要条件，

故选：.

3．展开式中的常数项是（    ）

A． B．135 C．1215 D．

【答案】B

【详解】由二项展开式通项公式可得，

令解得，

所以常数项，

故选：B

4．已知奇函数，且在上是增函数．若，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】因为函数是奇函数，则，即函数是偶函数，

，而，，，

即有，又函数在上是增函数，则，

所以.

故选：B

5．若某射手每次射击击中目标的概率均为，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次射击中，恰好有两次击中目标的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】他连续4次射击中，恰好有两次击中目标的概率为.

故选：B.

6．函数的部分图像如图中实线所示，图中圆与的图像交于，两点，且在轴上，有如下说法：

①函数的最小正周期是

②函数在上单调递减

③函数的图像向左平移个单位后关于直线对称

④若圆的半径为，则函数的解析式为

则其中正确的说法是（    ）

A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②④

【答案】C

【详解】因为圆与的图像交于，两点，所以，关于点对称.

因为所以.

由图像可得：的半个周期为，所以最小正周期为.故①正确；

因为最小正周期为，所以，由，解得：.

因为，所以由“五点法”可得：，解得：.

所以.

当时，.

因为在上单减，在上单增，

所以函数在上不单调.故②错误；

函数的图像向左平移个单位后得到函数.

所以的对称轴为，即.

所以函数的图像向左平移个单位后关于直线对称.故③正确；

若圆的半径为，则解得：.

所以函数解析式为：.故④正确.

综上所述：①③④正确.

故选：C

7．棱长为1的正方体的顶点都在一个球的球面上，则该球的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】由题意知：正方体的体对角线长等于该正方体外接球直径，

则球半径，所以该球的体积为，

故选：.

8．已知双曲线的右焦点为，关于原点对称的两点，分别在双曲线的左、右两支上，，，且点在双曲线上，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】令双曲线右焦点，则其左焦点，连接，如图，

显然与互相平分于点O，即四边形为平行四边形，又，则，

因此四边形为矩形，令，由得，

由双曲线定义知，，

在中，，即，解得，

在中，，而，

于是得，解得，

所以双曲线的离心率.

故选：B

9．已知函数，其导函数为，设，下列四个说法：

①；

②当时，；

③任意，都有；

④若曲线上存在不同两点，，且在点，处的切线斜率均为，则实数的取值范围为.

以上四个说法中，正确的个数为（    ）

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个

【答案】B

【详解】解：对于①，函数，，，

当时，取到等号，故①不正确；

对于②，，设，，所以在恒成立，

则在上单调递减，故，即，

又，则，所以，可得

令，所以在恒成立，

则在上单调递减，故，即，所以，

综上，恒成立，故②正确；

对于③，设，则，

因为，所以，又，设，

所以，又，所以，则恒成立，

所以在上单调递增，则，

所以，单调递减，则恒成立，

所以，即，故③正确；

对于④，因为，所以，令，则得，

所以，，单调递增，，，单调递减，

所以，又得，且

则可以得的图象如下：

因为曲线上存在不同两点，，且在点，处的切线斜率均为，所以，

则与应存在两个不同的交点，所以，故④不正确.

综上，②③正确，①④不正确.

故选：B.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．）

10．复数________．

【答案】

【详解】.

故答案为：

11．已知圆：，且圆外有一点，过点作圆的两条切线，且切点分别为，，则______.

【答案】

【详解】圆：，即，

圆的圆心为，半径.

画出图象如下图所示，，

四边形的面积为，解得.

故答案为：

12．某公司新成立3个产品研发小组，公司选派了5名专家对研发工作进行指导.若每个小组至少有一名专家且5人均要派出，若专家甲､乙需到同一个小组指导工作，则不同的专家派遣方案总数为___________.（用数字作答）

【答案】

【详解】当甲､乙两人组成一组时，不同的专家派遣方案总数为：；

当甲､乙两人与其他三人中选一人组成一组时，

不同的专家派遣方案总数为：，

所以专家甲､乙需到同一个小组指导工作，则不同的专家派遣方案总数为：，

故答案为：

13．若，且，则的最小值为______.

【答案】##

【详解】因为，则，又因为，

所以，即，

解得或 (舍去)，

所以，

所以，

当且仅当时等号成立，

故的最小值为.

故答案为：.

14．在梯形中，，，，，、分别为线段和线段上的动点，且，，则的取值范围为______．

【答案】

【详解】以点为坐标原点，直线为轴，过点且垂直于直线的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

则、、、，则，

由题意可得，解得，

，

所以，，

由对勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递增，

当时，.

因此，的取值范围是.

故答案为：.

15．一个盒子里有5个相同的球，其中2个红球，2个黄球，1个绿球，每次从盒中随机取出一个且不放回，则红球首先被全部取完的概率为______；若红球全部被取出视为取球结束，记在此过程中取到黄球的个数为，则______.

【答案】         

【详解】由题可知红球2次取完的概率为，

红球3次取完(前2次中有1次取到黄球)的概率为，

所以红球先取完的概率为；

由题可知可能的取值为0，1，2，则

，

 ，

，

所以.

故答案为：；.

三、解答题：（本大题5个题，共75分）

16．在中，角所对的边分别是，已知．

(1)求角的大小；

(2)设

①求的值；

②求的值．

【答案】(1)

(2)①；②

【详解】（1）因为，由正弦定理可得：，则，

因为在中，，所以，

则有，因为，所以，，

故.

（2）①由（1）知：，在中，因为，

由余弦定理可得：，则.

②在中，由正弦定理可得：，即，

所以，因为，所以，则为锐角，

所以，则，

，

所以.

17．如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，直线与底面所成的角，，，分别是，，的中点．

(1)证明：平面；

(2)证明：；

(3)求二面角的余弦值；

(4)若，求棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析；

(3)；

(4).

【详解】（1）证明：连接交与，连接

四边形是菱形，是的中点，又是的中点，

，平面，平面，

平面．

（2）证明：平面，

平面，，

四边形是菱形，，

是等边三角形，，

是中点，，

，又，平面，平面

平面，平面，

．

（3）以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

平面，为直线与平面所成的角，

设，则，，

设平面的法向量为，

则，令得．

设平面的法向量为

则，令得

则.

二面角的余弦值为．

（4）平面，为直线与平面所成的角，

，

，

18．已知椭圆的左右焦点为为其上顶点，正三角形

(1)求椭圆的离心率；

(2)若直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于的面积是，求椭圆的方程．

【答案】(1)；

(2).

【详解】（1）设，显然，因为为正三角形，则，

所以椭圆的离心率.

（2）由（1）知，，椭圆的方程为：，显然，

由消去y并整理得：，

，即有，设，

则有，

，因此，

整理得，满足，点O到直线的距离，

，

的面积，解得，

所以椭圆的方程为.

19．已知数列是公比的等比数列，前三项和为13，且，，恰好分别是等差数列的第一项，第三项，第五项.

(1)求和的通项公式；

(2)设，求证：数列的前项和

(3)求，其中；

【答案】(1)

(2)证明见详解

(3)

【详解】（1）由题意可得：，则，解得，

可得，解得或（舍去），

故，

∵，则，

∴数列是首项，公差的等差数列，故.

（2）由（1）可得：，

则数列的前项和.

（3）由题意可得：，

当时，则

，

则，

∵，

可得，

两式相减可得：

∴，

故.

20．已知函数，直线.

(1)若直线为曲线的切线，求的值；

(2)若不等式对任意的恒成立，求实数的最大值；

(3)若直线与曲线有两个交点.求证：.

【答案】(1)

(2)2

(3)证明见解析

【详解】（1）因为，所以，

设切点为，则切线斜率，

切线方程为：，因为直线过坐标原点，

则有，解得，

所以.

（2）设，因为，

所以的一个必要条件是，

又，所以，则，

当时，，则，

又因为，所以单调递增，而，则，

所以在上单调递增，故，符合题意，

所以实数的最大值为2.

（3）依题意，方程有两个不同的实根.

令，则有

①若，则在上恒成立，所以在单调递增，

此时不可能有两个不同的零点，故舍去；

②若，当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

从而，解得.

又，故在有一个零点.

设正数，

则.

由于，因此在有一个零点.

综上所述，.

不妨设，则，

令，

则，所以函数在上单调递增，

由，可得，即，

又是函数的两个零点，即，所以，

因为，所以，

又，函数在上单调递减，

所以，即，

又，所以，因此