2023年山东省泰安市新泰市中考数学二模试卷（含解析）

2023年山东省泰安市新泰市中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  实数的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  如图，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是(    )
 

A.  B.  C.  D.

5.  某款手机芯片的面积大约仅有，将用科学记数法表示正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，是直径，，是圆上的点，若，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  为了解某班学生每天使用零花钱的情况，小明随机调查了名同学，结果如表：

关于这名同学每天使用零花钱的情况，下列说法正确的是(    )

A. 中位数是元 B. 众数是元 C. 平均数是元 D. 方差是

8.  已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  我国古代数学名著四元玉鉴中记载：“九百九十九文钱，及时梨果买一千，一十一文梨九个，七枚果子四文钱问梨果各几何？”意思是：用文钱买得梨和果共个，梨文买个，果文买个，问梨果各买了多少个？如果设梨买个，果买个，那么可列方程组为(    )

A.  B.
C.  D.

10.  如图，二次函数为常数，且的图象的对称轴为直线，与轴的一个交点为，与轴交于点有下列结论：
；
；
一元二次方程的两个实数根是和；
当或时，．
其中，正确结论的个数是(    )

A.
B.
C.
D.

11.  如图，在矩形中，，连接，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，直线分别交，于点，下列结论：
四边形是菱形；
；
；
若平分，则．
其中正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接、则线段长的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13.  已知，，则代数式的值为______．

14.  如图，是的直径，点为上一点，过点作的切线，交直径的延长线于点，若，则的度数是______ 度

15.  数学活动小组欲测量山坡上一棵大树的高度，如图，于点，在处测得大树底端的仰角，沿水平地面前进米到达处，测得大树顶端的仰角，测得山坡坡角图中各点均在同一平面内则这棵大树的高度为______ 结果取整数，参考数据：，，，
 

16.  如图，把长方形纸片放入平面直角坐标系中，使，分别落在轴、轴上，连接，将纸片沿折叠，使点落在点的位置，与轴交于点，若，则的长为______ ．

17.  如图，正方形的边长为，以为直径的半圆交对角线于点，则阴影部分的面积是______ ．

18.  观察下面一列数：，，，，，，将这列数排成如图形式，若表示第行第列的数，如，，那么 ______ ．

 

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
解不等式：；
先化简，再求代数式的值，其中．

20.  本小题分
为庆祝我国航天事业的蓬勃发展，实验中学举办以“扮靓太空传递梦想”为主题的绘画大赛，现从中随机抽取部分参赛作品，对其份数和成绩十分制进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
补全条形统计图；
求出此次被抽取的参赛作品成绩的平均数；
若该校共有份参赛作品，请估计此次绘画大赛成绩不低于分的作品份数．
学校将从获得满分的名同学其中有两名男生，三名女生中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．

21.  本小题分
如图，双曲线与直线交于，，直线交轴于点，交轴于点．
求双曲线与直线的解析式；
直接写出不等式的解集；
若线段的垂直平分线交直线于点，交双曲线于点求出线段的长．

22.  本小题分
某商场用元购进、两种商品，销售完后获得利润元，它们的进价和售价如下表：总利润单件利润销售量

该商场购进、两种商品各多少件？

23.  本小题分
在正方形中，是边上一点，在延长线上取点使过点作交于点，交于点交于点．
求证：≌；
若是的中点，请判断与的数量关系并说明理由．

24.  本小题分
已知抛物线，其对称轴为，与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴的交点为．
求抛物线的函数表达式；
如图，若点为抛物线上第一象限内一动点，连接，交于点，当最大时，求点的坐标；
如图，点为抛物线上一点，且在轴上方，一次函数过点，点是一次函数图象上一点，若四边形为平行四边形，这样的点、是否存在？若存在，分别求出点、的坐标；若不存在，说明理由．
 

25.  本小题分
点在四边形的对角线上，直角三角板绕直角顶点旋转，其边、分别交、边于点、．

【操作发现】
如图，若四边形是正方形，当时，可知四边形是正方形，显然当与不垂直时，判断确定、之间的数量关系；______ 直接写出结论即可
【类比探究】
如图，若四边形是矩形，试说明．
【拓展应用】
如图，改变四边形、的形状，使四边形内接于圆，其他条件不变，且满足，，时，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为负数的绝对值等于它的相反数；
所以，的绝对值等于．
故选：．
利用绝对值的意义求解．
本题考查绝对值的含义，即：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误．
故选：．
A、合并同类项时不要丢掉字母，应是，
B、同底数幂的除法，底数不变指数相减，指数应该是，
C、幂的乘方与积的乘方，底数不变，指数相乘，
D、符合完全平方公式，展开有项．
这道题主要考查同底数幂相除底数不变指数相减以及完全平方式和平方差的形式，熟记定义是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
，
直尺对边互相平行，
．
故选：．
根据平角等于即可求出，再根据两直线平行，同位角相等可得．
本题考查了平行线的性质，平角的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：第一幅图，第二幅图以及第三幅图既是轴对称图形又是中心对称图形；
第四幅图是轴对称图形，但不是中心对称图形，共有个既是轴对称图形又是中心对称图形．
故选：．
根据轴对称图形的概念，沿着对称轴对折能完全重合的图形与中心对称图形的概念，绕对称中心旋转后能与原图形完全重合的图形判断即可．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

5.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
本题考查了科学记数法的表示方法，掌握形式为，其中是关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
是直径，
，
，
故选：．
根据圆周角定理可得，，然后再利用三角形内角和计算即可．
此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
 

7.【答案】 

【解析】解：一共有人，
中位数为第人所花钱数，
中位数为元，故A正确；
每天使用元零花钱的有人，最多，
众数为元，故B错误；
平均数为：，故C错误；
方差为：，故D错误．
故选：．
分别计算该组数据的众数、平均数、方差及中位数后找到正确答案即可．
本题考查了方差、加权平均数、中位数及众数，在解决此类题目的时候一定要细心，特别是求中位数的时候，首先排序，然后确定数据总个数．
 

8.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
，即，
解得．
故选：．
对于一元二次方程，判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．由方程有实数根即，从而得出关于的不等式，解不等式即可得答案．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式间的关系是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：依题意，得：．
故选：．
根据用文钱买得梨和果共个，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象开口向上，，对称轴为直线，

，故错误；
对称轴为直线，与轴的一个交点为，
二次函数的图象与轴的另一个交点为，
，故正确；
二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，
一元二次方程的两个实数根是和，故正确；
根据函数图象可知当或时，，故正确．
故选：．
根据二次函数图象开口向上，，对称轴为直线，得出；与轴的一个交点为则二次函数的图象与轴的另一个交点为，可得，根据二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，即可判断，根据函数图象即可判断．
本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意知，垂直平分，

在和中，

≌，
，
，
即四边形是菱形，
故结论正确；
，，
，
，
故结论正确；
，
故结论不正确；
若平分，则，
，
，
，
故结论正确；
故选：．
根据题意分别证明各个结论来判断即可．
本题主要考查矩形的综合题，熟练掌握矩形的性质，基本作图，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，，

，
，
在与中，
，
≌，
，
正方形中，，是边的中点，
，
，
，
，
，
线段长的最小值为．
故选：．
连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，，证明≌，可得，由勾股定理可得，根据，即可得出的最小值．
本题考查线段的最值问题，涉及三角形的三边关系、勾股定理、旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，通过添加辅助线构造≌是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
，，
，
故答案为：．
先求出和的值，再根据平方差公式分解因式，最后代入求出答案即可．
本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，如图，

为的切线，
，
，
，

，

．
故答案为：．
连接，如图，先根据切线的性质得到，再利用圆周角定理得到，根据等边对等角求出，得到，然后根据三角形外角性质计算的度数．
本题考查了切线的性质，正确得出是解答本题的关键．
 

15.【答案】米 

【解析】解：由题意得，米，
是的一个外角，
，
，
，
在中，，米，
米，
米，
在中，，
米，
米，
这棵大树的高度约为米．
故答案为：米．
根据题意可得米，根据三角形的外角性质可求出，从而得出米．在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用中仰角俯角问题，坡度角问题，解题关键是熟练掌握锐角三角函数的定义并正确运用．
 

16.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，
，
根据题意得：，，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
，
故答案为：．
由四边形是矩形与折叠的性质，易证得是等腰三角形，然后在中，利用勾股定理求得，的长．
此题考查了折叠的性质，矩形的性质，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．
 

17.【答案】 

【解析】解：阴影部分的面积

．
故答案为：．
观察图形可知，阴影部分的面积等于正方形面积的一半减去以半圆面积的一半．
本题考查扇形面积的计算、正方形的性质，解题的关键是计算出扇形的面积．
 

18.【答案】 

【解析】解：观察图表得：第行最后一个数字为，且每一行中偶数为负，奇数为正，
第行最后一个数为：
第行第个数为：，符号为负，
．
故答案为：
观察图表，先确定第行最后一个数字为，再确定第行最后一个数字，最后求出即可．
本题主要考查用代数式归纳规律，找到图表中的规律并能用代数式归纳是解决本题的关键．
 

19.【答案】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：，
该不等式的解集为：；
原式

；
，
，
原式
． 

【解析】根据不等式的基本性质去分母，去括号再移项合并同类项，最后求解即可；
按照分式的性质以及运算法则先化简，再根据特殊角的三角函数值求出的值，最后代入求值即可．
本题主要考查解一元一次不等式以及分式的化简求值，熟练掌握不等式的解法，分式的化简以及特殊角的三角函数值是解决本题的关键．
 

20.【答案】解：抽取参赛作品的总份数：，
分的份数：份，
补全后条形统计图如下所示：

分，
即此次被抽取的参赛作品成绩的平均数是分；
份，
因此估计此次绘画大赛成绩不低于分的作品有份．
画树状图如下：

由图可知，共有种等可能的情况，其中恰有一名男生和一名女生的情况有种，，
因此抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率是． 

【解析】根据分的份数及所占百分数求出抽取参赛作品的总份数，进而得到分的份数，即可补全条形统计图；
用抽取参赛作品的总成绩除以份数即可；
用该校参赛作品总数乘以抽取的样本中不低于分的作品所占比例即可；
利用树状图或列表法找出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况，利用概率公式计算即可．
本题考查条形统计图与扇形统计图的综合应用，求一组数据的平均数，利用样本估计总体，利用树状图或列表法求概率等知识点，难度不大，解题的关键是将条形统计图与扇形统计图中的信息进行关联．
 

21.【答案】解：由题意得：把点代入得：
，
解得：，
反比例函数的解析式为：，
把代入时，
，
点，
设直线解析式为：，
把，分别代入得：
，
解得：，
直线解析式为：；
由图象可知，当或时，双曲线的图象在直线图象上方，
当或时，；
由题意得：点为与轴的交点，
把代入得：，
解得：，
点，
垂直平分，
点，即，
把代入得：，
点，
把代入得：，
点，
．
 

【解析】将点代入反比例函数解析式先求出反比例函数解析式，再求出点的坐标，最后利用待定系数法先设直线解析式为：，将点，坐标分别代入求解即可；
根据图象结合直线与双曲线的交点坐标即可得到；
先利用直线的解析式求出点的坐标，在计算得出中点的坐标，分别把中点横坐标代入直线和双曲线的解析式求出点，的坐标，最后计算即可．
本题主要考查一次函数与反比例函数，熟练掌握待定系数法求解析式以及根据图象解不等式是解决本题的关键．
 

22.【答案】解：设商场购进商品件，商品件，根据题意得：，
解得：，
答：商场购进商品件，商品件． 

【解析】设商场购进商品件，商品件，根据用元购进，销售完后获得利润元列出方程组可求解．
本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
 

23.【答案】证明：四边形为正方形，
，
，
，
，
在和中，
，
≌；
解：，理由如下：连接，
由可得≌．
，
为的中点，

．
四边形为正方形，
．
，
．
在和中，
，
≌．
． 

【解析】由“”可证≌；
由“”可证≌，可得结论．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

24.【答案】解：抛物线的对称轴为，
，
解得，
将代入，
可得，
解得，
抛物线的函数表达式为；
由知抛物线的函数表达式为，
当时，，
，
当时，，
解得，，
，
设直线的解析式为，
将，代入，
可得，
解得，
直线的解析式为，
如图，过点作轴于点，交直线于点，

设点的坐标为，则点的坐标为，
，
轴，轴，
，
，，
∽，
，
当最大时，
，，
点的坐标为；
一次函数过点，
，
解得，
点是一次函数图象上一点．
点为抛物线上一点，且在轴上方，
设点的坐标为，，
四边形为平行四边形，
，，
分两种情况，当点在点的左侧时：

点的坐标为，
，
点与点的纵坐标相等，
，
解得或，
当时，，
，，
当时，，
，；
当点在点的右侧时：

点的坐标为，
，
解得或，
当时，，
，，
当时，，不合题意；
综上可知，存在，、，或、，或、． 

【解析】根据抛物线对称轴求出的值，再将代入解析式求出的值，可得；
过点作轴于点，交直线于点，设点的坐标为，则点的坐标为，证明∽，根据对应边成比例可得，可知当最大时，，由此可解；
设点的坐标为，，当四边形为平行四边形时，，，分“点在点的左侧和点在点的右侧”两种情况，根据点与点的纵坐标相等，列式求解即可．
本题属于二次函数综合题，考查二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的存在性问题等，解第二问的关键是作辅助线构造相似三角形，解第三问的关键是注意分情况讨论．
 

25.【答案】 

【解析】解：理由如下：
过作于，作于，则，，

中，，
，
∽，
，
，，
，
，
，
故答案为：；

证明：如图，过作于，作于，则，，

中，，
，
∽，
，
，，
，
，
；

解：如图，过作，交于，作，交于，

，，
，，
，
，
，即，
，
四边形内接于圆，
，
，
又，
，
∽，
，
，，
，
，
由可得，．
过作于，作于，则，，证明∽，推出，由，可得，，推出，可得结论；
先过作于，作于，判定∽，再根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理进行推导计算即可；
先过作，作，由圆内接四边形的性质可知，判定∽，再根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理进行推导计算即可．
本题主要考查了相似三角形的应用以及平行线分线段成比例定理，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，并根据两角对应相等判定两个三角形相似．解题时注意，平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．