2022-2023学年广东省揭阳市揭东区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省揭阳市揭东区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省揭阳市揭东区八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  年癸卯年兔年春节即将来临春节期间，贴春联，送祝福一直是我们的优良传统我国传统文化中的“福禄寿喜”图如图由四个图案构成这四个图案中是中心对称图形的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  已知，则下列不等式一定成立的是(    )A.  B.  C.  D. 3.  下列现象：地下水位逐年下降，传送带的移动，方向盘的转动，水龙头的转动；其中属于旋转的有(    )A. 个 B. 个 C. 个 D. 个4.  如图，在中，直线是线段的垂直平分线，若，的周长为，则的周长为(    )
 A.  B.  C.  D. 5.  不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    )A.  B.
C.  D. 6.  如图，在中，，，为角平分线的交点，若的面积为，则的面积为(    )A.
B.
C.
D. 7.  不等式的正整数解的个数是(    )A.  B.  C.  D. 8.  如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转得到，此时点恰在边上，则旋转角的大小为(    )A.
B.
C.
D. 9.  已知方程组的，满足，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 10.  如图，在中，平分，平分，点是、的垂直平分线的交点，连接、，若，则的大小为(    )
A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.  若是关于的一元一次不等式，则的值为______．12.  若点与点关于原点对称，则 ______ ．13.  如图，等边三角形绕点旋转到的位置，且，则旋转了______度．
 14.  为了打造城市“绿洲”，某市计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，以美化环境，已知这种草皮每平方米售价为元，则购买这种草皮需______ 元
15.  如图，在中，，，，点、分别是、上的动点，沿所在直线折叠，使点落在上的点处，当是以为腰的等腰三角形时，的长为        ．三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.  本小题分
解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
17.  本小题分
如图，中，平分，的中垂线交于点，交于点，连接，若，，求的度数．
18.  本小题分
已知在平面直角坐标系中的位置如图所示．
平移，使点平移到对应点，画出；
若点是内部一点，则平移后内对应点的坐标为______；
求的面积．
19.  本小题分
已知关于的方程．
若该方程的解满足，求的取值范围；
若该方程的解是不等式的最小整数解，求的值．20.  本小题分
如图，在中，，点在上运动，点在上运动，始终保持与相等，的垂直平分线交于点，交于点，连接．
判断与的位置关系，并说明理由；
若，，，求线段的长．
21.  本小题分
如图，是边长为的等边三角形，边在射线上，且，点从点出发，沿方向以的速度运动，运动时间为当点不与点重合时，将绕点逆时针方向旋转得到，连接．
求证：是等边三角形．
当为直角三角形时，求的值．
22.  本小题分
某电器经营老板计划购进同种型号的空调和电风扇，若购进台空调和台电风扇，
需要资金元，若购进台空调哈台电风扇，需要资金元．
求空调和电风扇的采购价各是多少元？
该老板计划购进这两种电器共台，而可用于购买这两种电器的资金不超过元，根据市场行情，销售一台这样的空调可获利元，销售一台这样的电风扇可获利元，该老板希望当这两种电器销售完时，所获的利润不少于元，试问老板有哪几种进货方案？
在所有的进货方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少？23.  本小题分
如图，已知，是等边三角形，点为射线上任意一点点与点不重合，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接并延长交直线于点．
如图，猜想 ______
如图、，若当是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想的度数，选取一种情况加以证明；
如图，若，，且，求的长．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：根据中心对称图形的定义可得：选项图为中心对称图形，，，都不是．
故选：．
根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，逐一判断即可．
本题主要考查了中心对称图形的定义，充分理解中心对称图形的定义是解题的关键．
 2.【答案】 【解析】解：，
，故本选项不符合题意；
B.，
，故本选项符合题意；
C.当时，由得出，故本选项不符合题意；
D.，
，故本选项不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟练掌握不等式的性质是解此题的关键．
 3.【答案】 【解析】解：地下水位逐年下降，是平移现象；
传送带的移动，是平移现象；
方向盘的转动，是旋转现象；
水龙头的转动，是旋转现象．
属于旋转的有，共有个．
故选：．
根据平移和旋转的定义对各小题分析判断后利用排除法求解．
本题主要考查了生活中的旋转现象，熟练掌握平移与旋转的定义是解题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：直线是线段的垂直平分线，
，，
的周长为，
，
，
的周长，
故选：．
根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：由得：，
由得，
在数轴上表示如下：
．
故选：．
先分别求出各不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可．
本题主要考查了解不等式组、在数轴上表示解集等知识点，正确求得不等式的解集是解答本题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：点是三条角平分线的交点，
点到，的距离相等，
、面积的比：：：．
的面积为，
的面积为．
故选：．
由角平分线的性质可得，点到，，的距离相等，则、、面积的比实际为，，三边的比．
此题主要考查角平分线的性质，正确记忆角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键．
 7.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
，
的正整数解为：，，，，共个；
故选：．
解不等式求出的范围，从而可求出的正整数解．
本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解的应用，能根据不等式的基本性质求出不等式的解集是解此题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：，，
，
绕点按顺时针方向旋转后得到，
，等于旋转角，
，
，
旋转角为，
故选：．
先根据互余得到，再根据旋转的性质得到，等于旋转角，再根据等边对等角得到，然后根据三角形的内角和定理计算出，于是得到旋转角度为．
本题考查旋转的性质，掌握旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，利用数形结合的思想是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：将方程组中两个方程相减可得，
，
，
则，
故选：．
将方程组中两个方程相减可得，根据知，解之可得．
本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据题意列出关于的不等式，并熟练掌握解一元一次不等式的步骤和依据．
 10.【答案】 【解析】解：连接并延长至，如图，

点是、的垂直平分线的交点，
，，
，，
是的一个外角，
，
同理，，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
故选：．
连接并延长至，利用垂直平分线的性质得到，，则，，由三角形外角的性质得到，，由三角形内角和定理得到，则，，即可得到答案．
此题考查了垂直平分线、角平分线、等边对等角、三角形的外角性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：是关于的一元一次不等式，
且，
解得：，
故答案为：．
根据一元一次不等式的定义可得且，分别进行求解即可．
本题主要考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为次”这一条件；还要注意，未知数的系数不能是．
 12.【答案】 【解析】解：点与点关于原点对称，
，，
．
故答案为：．
直接利用关于原点对称点的性质得出，的值，进而得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆关于原点对称点的性质是解题关键．
 13.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查了旋转的性质，正确理解旋转角是解题的关键．
就是旋转角，根据等边三角形的性质得出，再根据得出等于，从而求出的度数．
【解答】
解：是等边三角形，
，
，
，
旋转角．
旋转了度．  14.【答案】 【解析】解：如图，作边的高，设与的延长线交于点，

，
，
，，
，
，
，
每平方米售价元，
购买这种草皮的价格为元．
故答案为：．
作边的高，设与的延长线交于点，则，由，即可求出，然后根据三角形的面积公式即可推出的面积为，最后根据每平方米的售价即可推出结果．
本题主要考查三角形的面积公式，含度角的直角三角形的性质，解题的关键在于做出边上的高，根据相关的性质推出高的长度，正确的计算出的面积．
 15.【答案】或 【解析】解：，，，
，，
，
由折叠得，，
当时，如图，则，
，
，
与重合，点与点重合，
，
；
当时，如图，则，
，
，
，
，
与重合，点与点重合，
，
故答案为：或．
由，，，求得，，则，由折叠得，，再分两种情况讨论，一是，则，所以，此时点与点重合，则，所以；二是，则，可推导出，此时点与点重合，所以．
此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、轴对称的性质、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，根据确定点的位置及根据确定点的位置是解题的关键．
 16.【答案】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
 【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 17.【答案】解：平分，
，
，
，
的中垂线交于点，
，
，
． 【解析】根据角平分线的性质可得，然后再计算出的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得，进而可得，然后可算出的度数．
此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
 18.【答案】 【解析】解：如图，即为所求；

，将点左移个单位，上移个单位顶点点，
；
故答案为：；
．
根据平移的性质即可平移，使点平移到对应点，进而可以画出；
结合根据平移的性质即可得点平移后内对应点的坐标为；
根据网格利用割补法即可求的面积．
本题考查了作图平移变换，解决本题的关键是掌握平移的性质．
 19.【答案】解：解方程，得，
该方程的解满足，
，
解得；
解不等式，
去括号，得：，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化成得：．
则最小的整数解是．
把代入得：，
解得：． 【解析】首先要解这个关于的方程，求出方程的解，根据方程的解满足，可以得到一个关于的不等式，就可以求出的范围；
首先解不等式求得不等式的解集，然后确定解集中的最小整数值，代入方程求得的值即可．
本题考查了一元一次不等式的解法以及方程的解的定义，正确解不等式求得的值是关键．
 20.【答案】解：，
理由如下：，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
；
连接，设，则，，
，
，
，
解得：，
则． 【解析】根据等腰三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，于是得到结论；
连接，设，则，，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线解题的关键．
 21.【答案】证明：将绕点逆时针方向旋转得到，
≌，
，，

，，
是等边三角形；

解：当时，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
．
当时，，
，
．
综上所述：当或时，是直角三角形． 【解析】由旋转的性质可得，，由等边三角形的判定可得结论；
分二种情况，由旋转的性质和直角三角形的性质可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
 22.【答案】解：设挂式空调和电风扇每台的采购价格分别为元和元
依题意，得，
解得
即挂式空调和电风扇每台的采购价分别为元和元；

设该业主计划购进空调台，则购进电风扇台，
依题意得：，
解得：，
为整数，
为，，，
故有三种进货方案，分别是：
方案一：购进空调台，电风扇台；
方案二：购进空调台，电风扇台；
方案三：购进空调台，电风扇台．

设这两种电器销售完后，所获得的利润为，
则，
由于随的增大而增大．
故当时，有最大值，，
即选择第种进货方案获利最大，最大利润为元． 【解析】设挂式空调和电风扇每台的采购价格分别为元和元，根据购进台空调和台电风扇，需要资金元，若购进台空调和台电风扇，需要资金元可以列出方程组，解方程组即可求出结果；
设该业主计划购进空调台，则购进电风扇台，根据购买这两种电器的资金不超过元，根据市场行情，销售一台这样的空调可获利元，销售一台这样的电风扇可获利元．该业主希望当这两种电器销售完时，所获得的利润不少于元可以列出不等式组，解不等式组即可求出哪几种进货方案．
设这两种电器销售完后，所获得的利润为，则根据已知条件可以列出与的函数关系式，利用函数的性质和的结果即可求出哪种方案获利最大，最大利润是多少．
此题分别考查了二元一次方程组、不等式组、一次函数的性质等知识，综合性比较强，能力要求比较高，平时要求学生多注意这些烦恼的训练．
 23.【答案】 【解析】解：；
证明：如图，与的交点记为，
，且，
则和中，，
≌，
，
在和中，，
．
故答案为：；

以是锐角为例．
证明：如图，
是等边三角形，
，，
线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
，
即，
在和中，，
≌，
，
，
；

作于，如图，
与一样可证明≌，
，
，
，
，
，，
，，
，


．
先判断出≌，即可得出；
以是锐角为例进行证明，如图，根据等边三角形的性质得，，再根据旋转的性质得，，则，
根据“”可证明≌，得到，然后利用三角形内角和定理可得到；
作于，如图，与一样可证明≌，则，由，，
得出，，即可得出，即可得出结论．
此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，也考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质和判定，判断出≌是解本题的关键．