2022-2023学年湖南省长沙市雨花区南雅中学九年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖南省长沙市雨花区南雅中学九年级（下）第一次月考数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省长沙市雨花区南雅中学九年级（下）第一次月考数学试卷副标题题号一二三总分得分    一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  在下列个实数中，最小的数是(    )A.  B.  C.  D. 2.  深圳市卫健委日称，截至月日时，全市指定接种门诊家，累计接种人．将用科学记数法表示为(    )A.  B.  C.  D. 3.  下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )A.  B.  C.  D. 4.  下列各式中计算正确的是(    )A.  B.  C.  D. 5.  如图，有一个角为的直角三角板放置在一个长方形直尺上，若，则的度数为(    )A.
B.
C.
D. 6.  如图，是的直径，是的弦，连结、、，若，则的度数为(    )A.
B.
C.
D. 7.  已知点，在一次函数的图象上，则与的大小关系是(    )A.  B.  C.  D. 无法确定8.  在“永远跟党走，奋进新时代”班级合唱赛上，七位评委给号班级的评分如下：，，，，，，那么，这组数据的众数和中位数分别是(    )A. ， B. ， C. ， D. ，9.  关于反比例函数的图象，下列说法正确的是(    )A. 随着的增大而增大
B. 图象分布在一、三象限
C. 当时，
D. 若在该图象上，则也在该图象上10.  如图，在中，，是斜边上的中线，过点作交于点若，的面积为，则的值为(    )
 A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.  因式分解： ______ ．12.  函数中，自变量的取值范围是______．13.  一个扇形的圆心角为，弧长为，则此扇形的半径是______．14.  若，，则的值为______．15.  如图，在直径为的中，，弦于点，则等于______．
 16.  如图，等边三角形的边长为，是它的中位线则的长为______ ．
 三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
计算：．18.  本小题分
先化简，再求值：，其中．19.  本小题分
解不等式组，并把解集在数轴上表示出来，再写出所有的非负整数解．
 20.  本小题分
我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查每人只选一类最喜欢的课程，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：

本次随机调查的学生人数为______人；
补全条形统计图；
若该校七年级共有名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数；
七班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率．21.  本小题分
如图，已知点是▱中边的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，，且．
求证：四边形为矩形；
若是等边三角形，且边长为，求四边形的面积．
22.  本小题分
为了传承雷锋精神，某中学向全校师生发起“献爱心”募捐活动，准备向西部山区学校捐赠篮球、足球两种体育用品．已知篮球的单价为每个元，足球的单价为每个元．
原计划募捐元，全部用于购买篮球和足球，如果恰好能够购买篮球和足球共个，那么篮球和足球各买多少个？
在捐款活动中，由于师生的捐款积极性高涨，实际收到捐款共元，若购买篮球和足球共个，且支出不超过元，那么篮球最多能买多少个？23.  本小题分
如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接，，过点作的切线与的延长线交于点．
求证：；
求证：∽；
当，时，求线段的长．
24.  本小题分
我们定义：若点在一次函数图象上，点在反比例函数图象上，且满足点与点关于轴对称，则称二次函数为一次函数与反比例函数的“衍生函数”，点称为“基点”，点称为“靶点”．
若二次函数是一次函数与反比例函数的“衍生函数”，则        ，        ，        ；
若一次函数和反比例函数的“衍生函数”的顶点在轴上，且“基点”的横坐标为，求“靶点”的坐标；
若一次函数和反比例函数的“衍生函数”经过点．
试说明一次函数图象上存在两个不同的“基点”；
设一次函数图象上两个不同的“基点”的横坐标为、，求的取值范围．25.  本小题分
如图，直线与双曲线交于一、三象限内的，两点与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为，．
求该反比例函数和一次函数的解析式．
点为坐标轴上一点，以为直径的圆恰好经过点，直接写出点的坐标．
点在直线上运动，轴交双曲线于，轴交双曲线于，直线分别交轴，轴于，，求的值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
四个数中最小．
故选：．
利用实数的大小比较判断．
本题考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握实数的大小比较．
 2.【答案】 【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数．
此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
 3.【答案】 【解析】【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的定义进行判断，即可求出答案．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后和原图形重合．
【解答】
解：是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：．  4.【答案】 【解析】解：，选项A不符合题意；
B.，选项B不符合题意；
C.，选项C不符合题意；
D.，选项D符合题意；
故选：．
根据合并同类项法则可判断选项A，根据同底数幂的除法法则可判断选项B，根据幂的乘方和积的乘方法则可判断选项C，根据同底数幂的乘法法则可判断选项D．
本题主要考查了同底数幂的乘法，合并同类项，同底数幂的除法以及幂的乘方和积的乘方，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
 5.【答案】 【解析】解：如图，

由题意得：，，，
，
是的外角，
，
，
是的外角，
．
故选：．
由题意可得，，，从而有，由三角形的外角性质可求得，再次利用三角形的外角性质即可求的度数．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
 6.【答案】 【解析】解：是的直径，
，
又圆周角定理，
．
故选：．
先求出，由，可得．
本题考查了圆周角定理的知识，解答本题的关键是掌握圆周角定理的内容．
 7.【答案】 【解析】解：点，在一次函数的图象上，
，，
，
，
故选：．
根据点，在一次函数的图象上，可以求得、的值，然后即可比较出、的大小，本题得以解决．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是求出、的值．
 8.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．
先将这组数据重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可．
【解答】
解：将这组数据重新排列为，，，，，，，
所以这组数据的众数为，中位数为，
故选B．  9.【答案】 【解析】【分析】
本题考查反比例函数的性质，准确理解反比例函数的性质是解题关键，可结合图象更易于分析．根据反比例函数的性质即可逐一分析找出正确选项．
【解答】
解：中，，
在每个象限内，随的增大而增大，故A错误，
B.图象分布在二、四象限，故B错误，
C.当时，；当时，，故C错误，
D.因为反比例函数图象关于原点对称，故若在该图象上，则也在该图象上，故D正确，
故选：．  10.【答案】 【解析】【分析】
本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的关键．根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半可得，进而得到，从而有，根据三角形的面积公式求出，即得，在中，求出，证明，再根据锐角三角函数的定义求解即可．
【解答】
解：连接，

是斜边上的中线，，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
故选A．  11.【答案】 【解析】解：．
故答案为：．
直接提取公因式，进而分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
 12.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
根据二次根式的有意义的条件：被开方数大于等于，就可以求解．
【解答】解：依题意，得，
解得：，
故答案为．  13.【答案】 【解析】解：根据弧长的公式，知
，
即该扇形的半径为．
故答案为：．
根据弧长公式可以求得该扇形的半径的长度．
本题考查了弧长的计算．解题时，主要是根据弧长公式列出关于半径的方程，通过解方程即可求得的值．
 14.【答案】 【解析】解：，
得：．
故答案为：．
根据已知方程和要求代数式系数特点用第二个方程直接减去第一个方程即可求解．
本题考查解二元一次方程组，解题关键是根据已知方程和要求代数式的特点进行适当的计算求解．
 15.【答案】 【解析】解：连接，如图：

，，
，
直径为，
，
在中，，
故答案为：．
根据垂径定理可知的长，再根据勾股定理即可求出的长．
本题考查的是垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理，构造出直角三角形是解答此题的关键．
 16.【答案】 【解析】根据三角形中位线定理解答．
本题考查的是中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
解：是的中位线，
，
故答案为：．
 17.【答案】解：


． 【解析】先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值和零次幂，再计算乘法，后计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能确定准确的运算顺序，并能对各种运算进行准确计算．
 18.【答案】解：

，
当，时，原式． 【解析】先算乘法，再合并同类项，最后求出答案即可．
本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
 19.【答案】解：，
解不等式得：；
解不等式得；
所以，不等式组的解集是，
将解集表示在数轴上：

所以非负整数解为：，，，． 【解析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后找出整数值即可．
本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解．
 20.【答案】；
解：人，补全条形统计图如图所示：

人，
答：该校七年级名学生中选择“厨艺”劳动课程的有人；
用列表法表示所有可能出现的结果如下：

共有种等可能出现的结果，其中选中“园艺、编织”的有种，
． 【解析】【分析】
本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法、用样本估计总体的思想、列表法求随机事件发生的概率，理解数量关系和列举所有可能出现的结果情况是解决问题的关键．
从两个统计图中可得，选择“园艺”的有人，占调查人数的，可求出调查人数；
求出选择“编织”的人数，即可补全条形统计图；
样本中，选择“厨艺”的占，因此估计总体人的是选择“厨艺”的人数．
用列表法表示所有可能出现的结果，进而计算选中“园艺、编织”的概率．
【解答】
解：人，
故答案为；
见答案；
见答案；
见答案．  21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，即，
，．
点是边中点，
．
≌，
，
四边形是平行四边形．
，
平行四边形是矩形；
解：，，
，即点为中点．
是等边三角形，且边长为，
，
，
，
． 【解析】由平行四边形的性质得出，即可证明，根据题意得出，即可证明，得出最后根据平行四边形和矩形的判定条件即可证明四边形是矩形；
由题意易得出，再根据等边三角形的性质结合勾股定理即可求出，最后根据矩形的面积公式求解即可．
本题考查矩形的判定和性质，掌握矩形的判定与性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的性质以及勾股定理等知识是解题的关键．
 22.【答案】解：设原计划篮球买个，则足球买个，
根据题意得：，
解得：．
答：原计划篮球买个，则足球买个．
设篮球能买个，则足球个，
根据题意得：，
解得：，
答：篮球最多能买个． 【解析】设原计划篮球买个，则足球买个，根据：“恰好能够购买篮球和足球共个、原计划募捐元”列方程组即可解答；
设篮球能买个，则足球个，根据“实际收到捐款共元”列不等式求解即可解答．
本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的应用，解决本题的关键是根据题意列出方程组和不等式．
 23.【答案】证明：如图，连接，

是的直径，
，
平分，
，
由圆周角定理得：，
，
是的切线，
，
；
证明：由圆周角定理得：，
，
，
，
由圆内接四边形的性质得：，
，
，
在和中，
，
∽；
解：，，，
，
，
在中，，
由圆周角定理得：，，
，
，
又∽，
，
即，
解得，
答：线段的长为． 【解析】连接，先根据圆周角定理、角平分线的定义，再根据圆的切线的性质可得，然后根据平行线的判定即可得证；
先根据圆周角定理、平行线的性质可得，再根据圆内接四边形的性质可得，然后根据相似三角形的判定即可得证；
先利用勾股定理可得，再利用圆周角定理可得，从而可得，然后根据中，相似三角形的性质即可得．
本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题关键．
 24.【答案】     【解析】解：根据“衍生函数”的定义可得，，，
故答案为：，，；
解：由题意可知，“衍生函数”为，
顶点在轴上，
，
点的坐标为，点与点关于轴对称，
点的坐标为，
即，
联立解得：，，
“靶点”的坐标为；
证明：由题意可知，“衍生函数”为，
经过点，
，
，
，
．
设“靶点”的坐标为，则点的坐标为，
，整理得，
，
方程有两个不同的实数根，
即一次函数图象上存在两个不同的“基点”；
由可知，
，
，
，
，
．
由定义直接解题即可；
由题意可先得，由点与点关于轴对称，得到，求出点的坐标即可解题；
由题意写出“衍生函数”，可得，设“靶点”的坐标为，则点的坐标为，代入一次函数整理得，可得即可证明；
利用根与系数的关系解题，结合中的取值范围即可求出取值范围．
本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质，理解定义，将所求问题与所求函数问题相结合是解题的关键．
 25.【答案】解：如图，过作轴于，
点的坐标为，
，
在中，，
，
，
，
，
即，
，
该反比例函数的解析式为：，
当时，，
，
把和代入得：，
解得：，
一次函数的解析式为：；

如图，过作，交轴于，交轴于，即符合条件的点有两个，构建直角和直角，
，
是等腰直角三角形，
，
也是等腰直角三角形，
设，
，
，
，
，
同理可得：，
综上所述，点的坐标为或；

如图，过作，过作，交于，
则四边形是矩形，
，且轴，轴，
，，
，，
，
，
，
，
点在直线上运动，
，
． 【解析】先利用分别求出和两点的坐标，再利用待定系数法求两个函数的解析式；
如图，因为以为直径的圆恰好经过点，所以，过作的垂线，与坐标的两个交点就是符合条件的点，构建直角三角形，利用三角形相似或等腰直角三角形的定义列等式可得结论；
如图，作辅助线，根据，表示，，利用等角的三角函数列式可得：，代入所求式子可得结果．
本题是反比例函数和一次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、三角函数、等腰直角三角形的性质和判定、圆周角定理，在函数中，常利用函数的解析式表示点的坐标，并表示线段的长，从而得出线段的比，本题难度适中，是一道不错的函数与圆的综合问题．