2021-2022学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学九年级（下）第一次月考数学试卷

2021-2022学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学九年级（下）第一次月考数学试卷

一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）

1．（3分）下列各数中，比-1小的数是（　　）

A．2 B．1 C．0 D．-2

2．（3分）下列运算正确的是（　　）

A．（a-b）2=a2-b2   B．（a3）2=a5

C．a5÷a3=a2       D．a3+a2=a5

3．（3分）据新闻报道，香港疫情持续恶化，戴止到3月6日累计确诊病例超180000例，请将180000用科学记数法表示（　　）

A．18×104 B．180×103 C．1.8×106 D．1.8×105

4．（3分）已知某物体的三视图如图所示，那么与它对应的物体是（　　）

5．（3分）已知直线a∥b，将一块含45°角的直角三角板（∠C=90°）按如图所示的位置摆放，若∠1=55°，则∠2的度数为（　　）

A．80° B．70° C．85° D．75°

6．（3分）如图，已知BC是⊙O的直径，∠AOC=58°，则∠A的度数为（　　）

A．28° B．29° C．32° D．42°

7．（3分）把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（　　）

8．（3分）抛物线y=-3x2+6x+2的对称轴是（　　）

A．直线x=2 B．直线x=-2 C．直线x=1 D．直线x=-1

9．（3分）如图所示，l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若AB=3，DE=2，BC=6，则EF的值为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为1，中心为点O，有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ绕点O可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD内（包括正方形的边），当这个六边形的边长最大时，AE的最小值为（　　）

二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）

11．（3分）因式分解：3x2-6x+3=________.

12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，若AB=2，则DE=_____.

13．（3分）已知：一元二次方程x2-5x+c=0有一个根为2，则另一根为_____．

14．（3分）如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°的斜坡，从A滑行至B，已知AB=100m，则这名滑雪运动员的高度下降了_____米．

15．（3分）如图，圆锥的底面半径OC=1，高AO=3，则该圆锥的侧面积等于________．

16．（3分）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC=12，BD=16，则OE的长为______.

三、解答题（共9小题，共72分.17、18、19题各6分，20、21题各8分。22、23题各9分，24、25题各10分）

17．（6分）计算：2sin45°+|−|−(π−2020)0−．

18．（6分）化简求值：（2x+3）（2x-3）-（x+2）2+4（x+3），其中x=

19．（6分）在七年级下册《相交线与平行线》一章中，我们用测量的方法得出了“两直线平行，同位角相等”这一性质．在九年级上册P94页学习反证法时对这一性质进行了证明．请大家阅读下列证明过程并把它补充完整：
已知：如图1，直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD交于点O，O'．
求证：∠1=∠2．
（1）完成下面证明过程（将答案填在相应的空上）：
证明：假设_____________________．
如图2，过点O作直线A'B'，使∠EOB=∠2．
∵A'B'∥CD（_______________________），
又∵AB∥CD，且直线AB经过点O，
∴过点O存在两条直线AB、A'B'与直线CD平行，
这与基本事实矛盾，假设不成立，
∴∠1=∠2．
（2）上述证明过程中提到的基本事实是_______．（填序号）
①两点确定一条直线；
②过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③平行于同一条直线的两条直线互相平行．

20．（8分）2022年2月4日，北京冬奥会正式拉开帷幕，小明同学非常喜欢冰球、短道速滑、自由式滑雪、冰壶、花样滑冰这五个项目，他也想知道大家对这五个项目的喜爱程度，于是他对所在小区的居民做了一次随机调查统计，让每个人在这五个项目中选一项最喜欢的，并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图：（其中A冰球、B短道速滑、C自由式滑雪、D冰壶、E花样滑冰）
（1）该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是_____人，m=_____，并补全条形统计图；
（2）若该小区有居民1200人，试估计喜欢短道速滑这个项目的居民约有多少人？
（3）由于小明同学能够观看比赛的时间有限，所以他只能从这五个项目中随机选两个项目观看，请问他同时选到B，C这两个项目的概率是多少？（要求画树状图或列表求概率）

21．（8分）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点E、F分别在AB、CD上，且BE=DF=.
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）求线段EF的长．

22．（9分）2022年北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融深受国内外广大朋友的喜爱，北京奥组委会官方也推出了许多吉祥物的周边产品．现有以下两款：
已知购买3个冰墩墩和2个雪容融需要560元；购买1个冰墩墩和3个雪容融需要420元；
（1）请问冰墩墩和雪容融每个的售价分别是多少元？
（2）北京奥运官方特许零售店开始销售的第一天4个小时内全部售罄，于是从厂家紧急调配24000个商品，拟租用甲、乙两种车共6辆，一次性将商品送到指定地点，若每辆甲种车的租金为400元可装载4500个商品，每辆乙种车的租金为280元可装载3000个商品，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．

23．（9分）如图，已知A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC=BC，2AC=OB．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若∠ACD=45°，OC=2，连接OA，求∠ADC的度数及弦CD的长．

24．（10分）北京冬奥会上，由于中国冰雪健儿们的发挥出色，中国金牌总数位列第三，向世界证明了中国是冰雪运动强国！青蛙公主谷爱凌发挥出色一人斩获两金一银．在数学上，我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点P（2，1）称为“爱凌点”，经过点P（2，1）的函数，称为“爱凌函数”
（1）若点（3r+4s，r+s）是“爱凌点”，关于x的函数y=x2-x+t都是“爱凌函数”，则r=____，s=______，t=_____．
（2）若关于x的函数y=kx+b和y＝都是“爱凌函数”，且两个函数图象有且只有一个交点，求k的值．
（3）如图，点C（x1，y1）、D（x2，y2）是抛物线y=x2-3x+2上两点，其中D在第四象限，C在第一象限对称轴右侧，直线AC、AD分别交y轴于F、E两点；
①求点E，F的坐标；（用含x1，x2的代数式表示）
②若OE•OF=1，试判断经过C、D两点的一次函数y=kx+b（k≠0）是否为“爱凌函数”，并说明理由．

25．（10分）如图，AB是半圆O的直径，AB=10．C是弧AB上一点，连接AC，BC，∠ACB的平分线交AB于点P，过点P分别作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为E、F．
（1）求证：四边形CEPF是正方形；
（2）当sinA=时，求CP的长；
（3）设AP的长为x，图中阴影部分的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出y的最大值．