河南省安阳市2023届高三三模文科数学试题(含答案)
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这是一份河南省安阳市2023届高三三模文科数学试题(含答案),共19页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
河南省安阳市2023届高三三模文科数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、单选题1.已知集合,,则( )A. B. C. D.2.已知的实部与虚部互为相反数,则实数( )A. B. C. D.3.已知,则的大小关系为( )A. B.C. D.4.已知正方形的边长为为正方形的中心,是的中点,则( )A. B. C. D.15.小明在跨境电商平台上从国外购买了几件商品,这些商品的价格如果按美元计,则平均数为20,方差为50,如果按人民币计(汇率按1美元元人民币),则平均数和方差分别为( )A.20,50 B.140,350 C.140,700 D.140,24506.以双曲线的右焦点为圆心作圆,与的一条渐近线相切于点,则的焦距为( )A.4 B. C.6 D.87.如图是某四棱锥的三视图,其中正视图和俯视图是边长为2的正方形,侧视图是直角边长为2的等腰直角三角形,则该四棱锥的体积为( )A. B. C. D.8.已知,则下列命题错误的是( )A.若,则B.若,则的最小值为4C.若,则的最大值为2D.若,则的最大值为9.已知,则( )A. B. C. D.10.已知四棱锥内接于以为直径的球,,且底面为矩形,则四棱锥的体积的最大值为( )A. B. C. D.11.已知椭圆的右焦点为,离心率为,过坐标原点作直线交椭圆于两点,若,则直线的方程为( )A. B.C. D.12.已知函数 的最小正周期为,,且在区间内有极小值无极大值,则( )A. B. C. D.2 二、填空题13.已知函数的图象关于坐标原点对称,则__________.14.若变量x,y满足约束条件,则的最大值是______.15.半圆弧上有包括直径端点在内的5个点,从中随机选取3个点,则以这3个点为顶点的三角形是钝角三角形的概率为__________.16.已知函数,若是的极小值点,则的取值范围是__________. 三、解答题17.某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查.经过随机抽样,获得200户居民的年用水量(单位:吨)数据,按分成九组,制成如图所示的频率分布直方图:(1)求直方图中的值;(2)根据频率分布直方图估计该市的居民年用水量不超过吨,求的值;(3)已知该市有100万户居民,规定:每户居民年用水量不超过50吨的正常收费,若超过50吨,则超出的部分每吨收1元水资源改善基金,请估计该市居民每年缴纳的水资源改善基金总数约为多少.(每组数据以所在区间的中点值为代表)18.已知数列满足.(1)求的通项公式;(2)设,求数列的前项和.19.如图所示,在直角三角形中,,将 沿折起到 的位置,使平面平面,点满足.(1)证明:;(2)求点到平面的距离.20.已知函数.(1)证明:曲线在点处的切线经过坐标原点;(2)若,证明:有两个零点.21.已知抛物线的焦点为,点是该抛物线上互不重合的三点,且轴,,设点的横坐标分别为.(1)当时,求(点为坐标原点)的值;(2)求的最小值.22.在直角坐标系中,直线(为参数,)经过点,曲线(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线的普通方程以及曲线的极坐标方程;(2)设直线与曲线交于两点,求.23.已知函数.(1)当时,解不等式;(2)若函数在区间上的值域,求实数的取值范围.
参考答案:1.B【分析】首先解一元二次不等式求出集合,再根据交集的定义计算可得.【详解】由,即,解得,所以,又,所以.故选:B2.A【分析】根据复数的乘法运算可得,结合题意列出方程,即可得答案.【详解】由于,的实部与虚部互为相反数,故,故选:A3.B【分析】根据幂函数的性质得到,根据对数函数的性质得到,从而得到答案.【详解】,,,,,,故选:B.4.C【分析】先建立平面直角坐标,分别求出向量,的坐标,再利用向量数量积的坐标运算即可求出结果.【详解】如图,以为坐标原点,所在直线为轴,轴,建立平面直角坐标系,则,,,所以,,所以故选:C.5.D【分析】根据一组数据同乘以一个数后的平均数以及方差的性质计算,即可得答案.【详解】由题意知这些商品的价格如果按人民币计算,价格是按美元计算的价格的7倍,故按人民币计,则平均数和方差分别为,故选:D6.C【分析】由渐近线方程得出,,以及,联立即可求得答案.【详解】由题意,,不妨设双曲线的渐近线方程为,则.又,且,联立解得,,即.故选:C7.A【分析】根据三视图还原四棱锥,再利用切割法与锥体的体积公式即可得解.【详解】根据题意,还原该四棱锥到虚线正方体中,如图,易知该正方体的棱长为,故,,又面,所以.故选:A.8.D【分析】直接使用基本不等式即可判断A,C,D;若,则,展开后使用基本不等式即可判断B.【详解】∵,∴,∴,故A正确;若,则,当且仅当时等号成立,故B正确;若,则,当且仅当时等号成立,故C正确;若,则,即,当且仅当时等号成立,故D错误.故选:D.9.B【分析】利用正切的二倍角公式及和角公式,求出,再将化简变形成齐次式即可求出结果.【详解】因为,所以,又,解得,所以,故选:B.10.D【分析】由四棱锥内接于以为直径的球,证明平面,再表示四棱锥的体积并求其最大值.【详解】如图,四棱锥的外接球球心为,因为为球的直径,则,又底面为矩形,则,又,且两直线在平面内,所以平面,又平面,所以,又,且两直线在平面内,所以平面,又,则,即,当时取等号,又,四棱锥的体积.则四棱锥的体积的最大值为.故选:D.11.B【分析】由椭圆离心率为可得之间的关系,设,代入椭圆方程可得,由可推出,即可得,即可求得答案.【详解】由椭圆离心率为,知,由题意可设,则,由可得,即,结合可得,故,则,所以直线的方程为,故选:B12.A【分析】由求出,再根据内只有极小值没有极大值确定条件 的几何意义求出.【详解】因为,由题意可得:,,即 ,由题意可得,解得,即 存在的充要条件是 ,即,,又,且,则点与点关于直线对称,.故选:A.13./1.5【分析】由的图象关于坐标原点对称得是一个奇函数,根据定义域关于原点对称及奇函数的性质求得结果.【详解】依题意函数是一个奇函数,又,所以,所以定义域为,因为的图象关于坐标原点对称,所以,解得.又,所以,所以,即,所以,所以.故答案为:.14.5【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,即可求得的最大值.【详解】由,得,作出不等式组对应的可行域(阴影部分),平移直线,由平移可知当直线,经过点A时,直线的截距最大,此时z取得最大值,由,解得,将A的坐标代入,得,即目标函数的最大值为5.故答案为:5【点睛】本题主要考查线性规划的应用,结合图形并利用目标函数的几何意义,是解决此类问题的常用方法.15./【分析】利用古典概型,找到满足题意的情况和总事件数即可得到答案.【详解】若3个点中包含直径的两个端点,根据直径所对圆周角为直角,则此时为直角三角形,不合题意,若3个点中,只有1个为直径的端点,此时有种情况,若3点没有点为直径的端点,则此时只有1种情况,综上共有7种情况满足题意,而总数共有种,则以这3个点为顶点的三角形是钝角三角形的概率为.故答案为:.16.【分析】首先根据题意得到,从而得到,再分类讨论其单调性即可得到答案.【详解】,因为是的极小值点,所以,解得.所以.当时,,,,为减函数;,,为增函数,所以是的极小值点,符合条件.当时,令,解得或.当时,,,为增函数;,,为减函数;,,为增函数,所以是的极小值点,符合条件.当,即时,,则在R上为减函数,无极值点,舍去.当时,即,,,为减函数;,,为增函数;,,为减函数,所以是的极大值点,舍去.当时,即,,,为减函数;,,为增函数;,,为减函数,所以是的极小值点,符合条件.综上,a的取值范围为.故答案为:.17.(1)(2)(3)(元) 【分析】(1)根据频率分布直方图中各矩形的面积之和为1,即可求得答案;(2)确定m的范围,结合频率分布直方图列式计算,可得答案;(3)计算出区间内的居民年用水量分别超出的吨数,结合频率分布直方图列式计算,即得答案.【详解】(1)由频率分布直方图得,解得.(2)在200户居民年用水量频率分布直方图中,前5组频率之和为,前4组频率之和为,所以,由,解得.(3)由题可知区间内的居民年用水量分别取为代表,则他们的年用水量分别超出5吨,15吨,25吨,35吨,则元,所以估计该市居民每年缴纳的水资源改善基金总数约为元.18.(1)(2) 【分析】(1)根据已知转化为,得出数列是等差数列,求出,继而得出答案.(2)由(1)得出,然后利用裂项相消法求和即可.【详解】(1)由,得,且,所以,所以.所以数列是以1为首项,2为公差的等差数列,所以,故.(2)由题知,,所以19.(1)证明见解析(2) 【分析】(1)根据图中的几何关系,利用面面平行证明线面垂直,再证明线线垂直;(2)运用等体积法求解.【详解】(1)在直角三角形中,因为 ,所以 ,即在四棱锥中, ,平面PDB,平面PDB,所以平面,从而平面,如图,在上取一点,使得,连接,因为,所以,所以,又 ,所以四边形是矩形,所以,平面MEF,平面MEF,平面MEF,在中,,所以,平面MEF,平面MEF,平面MEF,又因为 ,平面PBD,平面PBD,所以平面平面,所以平面,故;(2)连接,因为平面平面,交线为,且,所以平面,所以三棱锥的体积,所以,在 中,计算可得,由余弦定理得,所以,,设点到平面的距离为,则,故;综上,点M到平面PBE的距离为 .20.(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】(1)由导数的几何意义,可知曲线在点处的切线方程,即可得解;(2)求导,可得的单调性及最值,,,由零点存在定理知在上有一个零点.,令,利用其单调性可得,即,又,由零点存在定理知在上有一个零点,即可得证.【详解】(1)由已知得,所以,又因为,由导数的几何意义,可知曲线在点处的切线方程为,即,恒过坐标原点.(2),令,得.当时,在上单调递减;当时,在上单调递增.所以.因为,所以,又,由零点存在定理知在上有一个零点,即在内只有一个零点.因为,所以,令,当时,在上单调递增,,所以,即,又,由零点存在定理知在上有一个零点,即在内只有一个零点,综上,有两个零点.21.(1)(2)9 【分析】(1)先利用条件求出点的横坐标,再利用几何关系得到,从而求出结果;(2)设出直线的方程,联立抛物线方程得到,再利用,得到的关系,从而得出,进而可求出结果.【详解】(1)由题可知,又因为,解得,过作垂直于轴于,因为,所以,所以.(2)设,因为轴,所以点的横坐标为,又点在抛物线上,所以,得到,根据对称性,不妨设点在轴的上方,则,设直线的方程为,点的纵坐标分别为.由方程组,消得到,所以,即,又由韦达定理知,,所以,因为,所以,又,,所以,即,所以,整理得,所以或.若,则直线过点,不合题意,舍去,所以,所以,又因为恒成立,所以当时,的最小值为9.22.(1),(2) 【分析】(1)直线的参数方程与普通方程的相互转化,椭圆的的参数方程与普通方程及极坐标方程的相互转化(2)先写出直线的参数方程,再联立方程应用韦达定理求两根积即可.【详解】(1)由题可知直线经过点,又因为经过点,故,整理得的普通方程为.曲线的普通方程为,化为极坐标方程为.(2)因为,所以,则的参数方程可写为(为参数),代入中,整理得,设点对应的参数为,点对应的参数为,则,由参数的几何意义,得.23.(1)(2) 【分析】(1)利用零点分段法即可求出结果;(2)利用条件得到,再利用在区间上的值域建立不等关系,从而求出结果.【详解】(1)当时,由得或或解得或,所以不等式的解集为.(2)当时,,因为在区间上的值域,所以,当时,,即,所以,由,得到或,即或,由,得到,即,所以或.因为,显然,所以,所以或,解得,故的取值范围是
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