河南省开封市通许县2023届高三三模文科数学试题A卷

文科数学A卷（副卷）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是得合题目要求的．

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（    ）

A． B． C． D．

3．已知是定义在上的奇函数，当时，则（    ）

A． B．0 C．1 D．2

4．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ）

A． B． C． D．

5．若实数，满足约束条件，则的最大值为（    ）

A．5 B．9 C．10 D．12

6．现有10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得4分，平局各得2分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的，则第二名选手的得分是（    ）

A．24 B．32 C．40 D．48

7．设甲：，乙：，则甲是乙的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

8．某三棱锥的三视图如图所示，已知它的体积为36，则图中的值为（    ）

A．2 B． C．3 D．

9．对于函数，下列说法正确的是（    ）

①为偶函数；

②的最小正周期为；

③在区间上先减后增；

④的图象关于对称．

A．①③ B．①④ C．③④ D．②④

10．已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（    ）

A．6 B．12 C． D．

11．已知函数，若，，，则，，大小关系为（    ）

A． B． C． D．

12．已知四面体的四个面均为直角三角形（如图所示），则该四面体中异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知向量，，若，则________．

14．在区间上随机抽取1个数，则事件“”发生的概率为________．

15．如图，在棱长为1的正方体中，点是线段上一动点（不与，重合），则下列命题中：

①平面平面；

②一定是锐角；

③；

④三棱锥的体积为定值．

其中是真命题的有________．

16．不与轴重合的直线过点，双曲线：上将在两点、关于对称，中点的横坐标为，若，则双曲线的离心率为________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考试都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（本小题满分12分）已知数列的首项，且满足．

（Ⅰ）证明：为等比数列；

（Ⅱ）已知为的前项和，求．

18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，是边长为的正三角形，，，，，，，分别是线段，的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求四棱锥的体积．

19．（本小题满分12分）2022年国际篮联女篮世界杯在澳大利亚悉尼落下帷幕，中国女篮团结一心、顽强拼搏获得亚军．这届世界杯，中国女篮为国人留下了许多精彩瞬间和美好回忆，尤其是半决赛绝杀东道主澳大利亚堪称经典一幕．为了了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某体育台随机抽取100名观众进行统计，得到如下列联表．

（Ⅰ）将列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱篮球运动与性别有关？

（Ⅱ）在不喜爱篮球运动的观众中，按性别分别用分层抽样的方式抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加一台访谈节目，求这2人至少有一位男性的概率．

附：，其中．

20．（本小题满分12分）已知直线与抛物线：交于，两点，且，，为垂足，点的坐标为．

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）若点是直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点，试证明直线恒过一定点，并求出该定点的坐标．

21．（本小题满分12分）已知函数，（，为常数）．

（Ⅰ）当时，求函数在上的最小值；

（Ⅱ）设，是函数的两个零点，证明：．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．（本小题满分10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是．

（Ⅰ）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线与曲线交于，两点，，求的值．

23．（本小题满分10分）已知，，函数的最小值为2．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求证：．

参考答案

文科数学A卷（副卷）

1．D  【解析】∵，，

∴．故选D．

2．D  【解析】复数对应的点的坐标为，则，故．故选D．

3．A  【解析】因为是定义在上的奇函数，当时，．所以．故选A．

4．B  【解析】由题意得，所以．故选B．

5．C  【解析】由题意画出可行域，如图所示，由图可知在点处取到最大值，

联立，可得，即，所以的最大值为10．故选C．

6．B  【解析】每个选手需要进行9场比赛，则全胜的选手得分，而最后五选手之间赛10场，至少共得分，所以第二名选手至少得分．又因为10名选手的得分各不相同，若第二名选手得分34（赢了8场平1场），则第一名选手得分36分（赢9场），这时，第一全赢，第一赢了第二一局，第二输了一局，所以矛盾．不可得34分．所以第二名选手得分是32分．故选B.

7．B  【解析】当时，

则．

所以，当时，

两边都除以，得，

即，当时，不能得出，

所以由甲不一定推出乙；当时，即，

两边都乘以，得，

所以，即，

所以由乙可推出甲．所以甲是乙的必要非充分条件．故选B．

8．C  【解析】根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为底面为等腰直角三角形边长为，一个侧面与底面垂直的三棱锥体．如图所示，所以，解得．故选C．

9．A  【解析】由辅助角公式可得：，

对于①．由题可知，为偶函数，①正确；

对于②，最小正周期，故②错误；

对于③，令，，在区间先减后增，复合函数同增异减易知，③正确；对于④，，所以关于点对称，④错误．故选A．

10．C  【解析】由椭圆，得，，．

设，，∴，在中，由余弦定理可得：，

可得，得，

故，故选C．

11．B  【解析】∵的定义域为，，∴为偶函数．∵，，

∴在上单调递减，∴，

∴函数在上单调递减，

又，，∴，

即，故选B．

12．C  【解析】根据已知条件可知，，，，，平面，所以四面体中平面，将四面体补成直三棱柱（如图），因为，所以（或其补角）为异面直线与所成角，在中，，，，所以，即异面直线与所成角的余弦值为，故选C．

13．13  【解析】∵，，，

又∵，∴，∴．

14．  【解析】由，得，即，∴在区间上随机抽取1个数，则事件“”发生的概率为．

15．①③④  【解析】对于①，∵平面，∴平面平面，故①正确：

对于②，若是上靠近的一个四等分点．

，此时，．

此时为钝角；故②错；

对于③，而，，所以，且，，

所以平面，平面，因此，故③正确；

对于④，由于，则平面，

因此的底面是确定的，高也是定值，其体积为定值，故④正确．故填①③④．

16．2  【解析】设，，，则，

两式相减得，

即．

即，所以，

因为是垂直平分线，有，

所以，即，

化简得，故．

17．（Ⅰ）证明：∵，变形为，

又．

∴为等比数列，首项为1，公比为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：，

∴，

当为奇数时，；

当为偶数时，．

∴

．

18．（Ⅰ）证明：如图，取中点，连，，

？？，平面．

同理，在梯形中，，平面，

∴平面平面，

又平面，∴平面；

（Ⅱ）如图，在梯形中，过作交于，

在中，得，，，

则．得，，

∴，

又，，

∴平面，

又平面，

∴平面平面，

连接，则易知，

又平面面，

∴可得平面，易知，

∴四棱锥的体积为：

．

19．解：（Ⅰ）由题意进行数据分析，得到列联表如下：

计算，

所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱篮球运动与性别有关；

（Ⅱ）不喜爱篮球运动的观众中，有男观众20人，女观众40人，按照分层抽样的方式抽取6人，有男观众2人，记为、，女观众4人，记为1、2、3、4，

从6人中抽取2人，有：，，，，，，，，，12，13，14，23，24，34，共15个，

记“所抽2人至少有一位男性”为事件，包含：，，，，，，，，，共9个．

所以．

20．解：（Ⅰ）设点的坐标为，点的坐标为，

因为，所以，

则直线的方程为，

联立方程组，消去，整理得，

所以有，．

又，得，

整理得，解得，

所以的方程为．

（Ⅱ）由，得，阿以，

设过点作抛物线的切线的切点为．

则相应的切线方程为，即．

设点，由切线经过点，得，

即，

设，，

则，是的两实数根，

可得，．

设是的中点，则相应，

则，

即，

又，

直线的方程为，即，

所以直线恒过定点．

21．（Ⅰ）解：令，解得，

则当时，，所以在递增；

当时，，所以在递减，

且，，

又，

所以函数在的最小值为1．

（Ⅱ）证明：不妨设，

由（Ⅰ）知，，，且，满足，

即，

由题意知，

又由（Ⅰ）可知在递减．

又，

故．而，

所以．

22．解：（Ⅰ）∵（为参数），

∴．

故曲线的普通方程为；

∵，即，

故直线的直角坐标方程为；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得曲线的普通方程为，

直线的参数方程为（为参数）．

将直线的参数方程代入曲线的普通方程并整理得，

设，对应的参数分别是，，则，，

故．

23．（Ⅰ）解：因为，，

所以，

当且仅当时等号成立，

所以的最小值为，

所以；

（Ⅱ）证明：要证，

即证，即证，

又，且，，

所以，

当且仅当，即，时等号成立，即得证．