2023年浙江省宁波市余姚实验学校中考数学模拟试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023年浙江省宁波市余姚实验学校中考数学模拟试卷（3月份）（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年浙江省宁波市余姚实验学校中考数学模拟试卷（3月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  的倒数是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列计算正确的是(    )A.  B.  C.  D. 3.  根据国家统计局发布的公报，年全国出生约万人，死亡约万人，自然增长率更接近数据“万”用科学记数法表示为(    )A.  B.  C.  D. 4.  若代数式有意义，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 5.  有张卡片，正面分别写着“冰墩墩”、“雪容融”、“琮琮”、“莲莲”、“辰辰”，其余都相同，正面朝下放置小军从中任取一张恰为杭州亚运会吉祥物的概率为(    )
注：“冰墩墩”是北京冬奥会的吉祥物，“雪容融”为北京冬残奥会吉祥物，“琮琮”、“莲莲”、“辰辰”都是杭州亚运会的吉祥物A.  B.  C.  D. 6.  我国古代数学家利用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是(    )
 A.  B.  C.  D. 7.  某同学对六个数据，，，，，进行统计分析，发现第三个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则下列统计量中不受影响的是(    )A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数8.  如图，中，，，点，分别是边，的中点，点在线段上，且，则的长为(    )A.
B.
C.
D. 9.  已知为实数，下列命题：
若，则；
若，则；
若，则或其中真命题的个数有(    )A. 个 B. 个 C. 个 D. 个10.  如图，四边形内接于于点，，设，，，则下列为定值的是(    )A.
B.
C.
D. 二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.  写出一个比小的整数______ ．12.  因式分解： ______ ．13.  如图，点是的直径延长线上一点，且，与相切于点，连结，则的度数为______ ．
 14.  “鸡兔同笼”是我国古代算术名著孙子算经中的第题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足问鸡兔各几何？”若设鸡有只，兔有只，则可以列出关于、的二元一次方程组为______ ．15.  已知一个直角三角形的两条直角边长分别为和，把它绕着其中一条直角边旋转一周，其余各边所成的面围成的几何体的表面积为______ ．16.  如图，点在的图象上，点，在的图象上在左边，直线经过原点，直线交轴于点，直线交轴于点则 ______ ；，，则 ______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
先化简，再求值：，其中．
解不等式组：．18.  本小题分
在如图所示的个小正方形组成的网格中，的三个顶点都在小正方形的顶点上仅用无刻度的直尺按要求完成下列作图．
在图网格中找格点，作射线，使得；
在图网格中找格点，作直线交于点，使得．
19.  本小题分
如图，建筑物垂直于地面，测角机器人先在处测得的仰角为，再向着前进米到处，测得的仰角为求建筑物的高度结果精确到米参考数据：，，
20.  本小题分
持续的新冠肺炎疫情让部分中小学生不得不在家通过网课学习为了检验这段时间学生在家学习的效果，也为了提醒学生加强自我学习管理，某校从全校名学生中随机抽取了名学生进行数学学科测试测试满分分，得分均为整数，并根据这人的测试成绩，制作了如下统计图表部分信息未给出． 成绩分频数人由图表中给出的信息回答下列问题：
频数表中， ______ ，并计算该组的频率．
将频数分布直方图补充完整．
如果分以上包括分为优秀，请估计全校名学生中成绩优秀的人数．
21.  本小题分
“味香园”葡萄基地是宁波市最大的葡萄生产基地，“味香园”葡萄以品种多，质量好而声名远播、某“味香园”农户准备将“巨峰”和“美人指”两种葡萄装箱销售，推出了两种方案：千克“巨峰”和千克“美人指”装一箱按批发价每箱元；千克“巨峰”和千克“美人指”装一箱按批发价每箱元．
求“巨峰”和“美人指”两种葡萄批发价每千克分别是多少元？
某经销商在“味香园”按批发价购入一批“巨峰”葡萄进行销售，经调查发现：当销售价为每千克元进行销售时，每天能卖出千克；销售单价每降价元，每天能多卖出千克求销售价定为每千克多少元时，每天的利润最大，最大利润是多少元？22.  本小题分
已知函数的部分对应值如表：    求常数的值，并填表．
画出相应函数的图象．
观察图象，写出函数的条性质．
23.  本小题分
定义：由一个三角形的三条中线围成的三角形称为原三角形的中线三角形．
问题：设中线三角形的面积为，原三角形的面积为求的值．

特例探索：
正三角形的边长为，则中线长为______ ，所以 ______ ．
如图，每个小正方形边长均为，点，，，，，，均在网格点上．
______ 的中线三角形填“是”或“不是”
______ ， ______ ，所以 ______ ．
一般情形：
如图，的三条中线分别是，，，将平移至，连结．
求证：是的中线三角形；
猜想的值，并说明理由．24.  本小题分
如图，直线与轴交于点，与轴交于点，以为直径的交于另一点，点在上分别过点，作直线的垂线段，垂足为，，连结．
求点，，的坐标．
当点在直线右侧时，
求证：；
求证：．
与的距离和是否为定值？若是，请直接写出定值；若不是，请直接写出取到最小值时直线的解析式．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：的倒数是．
故选：．
直接利用倒数的定义得出答案．
此题主要考查了倒数，正确掌握倒数的定义是解题关键．倒数定义：乘积是的两数互为倒数．
 2.【答案】 【解析】解：、，无法计算，故此选项错误；
B、，正确；
C、，无法计算，故此选项错误；
D、，故此选项错误．
故选：．
直接利用单项式乘以单项式以及同底数幂的除法运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．
此题主要考查了单项式乘以单项式以及同底数幂的除法运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 3.【答案】 【解析】解：万．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：要使代数式有意义，必须，
解得：，
故选：．
根据分式有意义的条件得出，再求出答案即可．
本题考查了分式有意义的条件，能熟记代数式中是解此题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：张卡片上有张为杭州亚运会吉祥物，
小军从中任取一张恰为杭州亚运会吉祥物的概率为．
故选：．
直接根据概率公式求解．
本题考查了概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
 6.【答案】 【解析】解：利用圆柱直径等于立方体边长，得出此时摆放，圆柱主视图是正方形，
得出圆柱以及立方体的摆放的主视图为两列，左边一个正方形，右边两个正方形，如图：

故选：．
根据主视图的定义，得出圆柱以及立方体的摆放即可得出主视图为个正方形组合体，进而得出答案即可．
此题主要考查了从不同方位观察几何体；掌握主视图是从几何体正面看得到的平面图形是解决本题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：由题意知，无论被污染的数字是之间的任何一个数，这组数据的众数均为，
故选：．
根据众数的定义求解即可．
此题主要考查了方差、平均数、众数、中位数，关键是掌握将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 8.【答案】 【解析】解：点，分别是边，的中点，
是的中位线，
，
．
，是的中点，，
，
，即．
故选：．
利用三角形中位线定理得到由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到所以由图中线段间的和差关系来求线段的长度即可．
本题考查了三角形的中位线定理的应用，解题的关键是了解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，题目比较好，难度适中．
 9.【答案】 【解析】解：，和的图象如图：

当时，三个函数的函数值都是，
交点坐标为，
根据对称性，和在第三象限的交点坐标为，
若，则；故正确；
若，则；故正确；
若，则或，故正确．
故选：．
先确定出，和的图象交点坐标为，再根据二次函数与不等式组的关系求解即可．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握二次函数与不等式组的关系，求出两交点的坐标并准确识图是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：，，
∽，
，
，，
，
，，
，
在中，，
．
故选：．
先根据圆周角定理得到，，则∽，利用相似比得，，再根据三角形面积公式得，，所以，然后利用勾股定理得到，从而可计算出．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．
 11.【答案】答案不唯一 【解析】解：比小的整数可以是、等．
故答案为：答案不唯一．
根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”可得答案．
本题考查了有理数大小比较，掌握两个负数大小比较方法是解答本题的关键．
 12.【答案】 【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 13.【答案】 【解析】解：连接，如图，
与相切于点，
，
，
，
，
在中，，
，
．
故答案为：．
连接，如图，先根据切线的性质得到，再利用余角的定义求出，然后根据圆周角定理得到的度数．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了解直角三角形和圆周角定理．
 14.【答案】 【解析】解：由题意可得，
，
故答案为：．
根据“鸡的数量兔的数量，鸡的脚的数量兔子的脚的数量”，可列出相应的方程组．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到等量关系，列出相应的方程组．
 15.【答案】或 【解析】解：由勾股定理得：斜边为，
分为两种情况：
当绕着长度为的直角边旋转一周时，其余各边所成的面围成的几何体的表面积为，
当绕着长度为的直角边旋转一周时，其余各边所成的面围成的几何体的表面积为，
所以把它绕着其中一条直角边旋转一周，其余各边所成的面围成的几何体的表面积为或．
故答案为：或．
根据勾股定理求出斜边长度，再分为两种情况：绕着长度为的直角边旋转，绕着长度为的直角边旋转，求出底面圆的面积和扇形的面积和即可．
本题考查了圆锥的计算，点、线、面、体等知识点，能够分类讨论是解此题的关键．
 16.【答案】  【解析】解：如图所示，作轴交轴于，轴交轴于，轴交轴于，轴交轴于，
设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
则，，，，，
轴，
轴，
，
，
，
轴，
，
∽，
：：，

轴，轴，
∽，
，
，轴，
∽，
，
，
直线经过原点，
，，
，，
由图象可知，，，
，，
，，
故答案为：；．
作轴交轴于，轴交轴于，轴交轴于，轴交轴于，再设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，从而可以表示出，，，，再根据三角形相似的判定定理得出∽，∽，∽，可分别表示出：，：，：，再由直线经过原点，可以表示出及的值，最后代入即可得到答案．
本题考查了反比例函数与几何，相似三角形的判定与性质，正比例函数的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，正比例函数的性质，添加适当的辅助线是解题的关键．
 17.【答案】解：原式
，
当时，
原式；
，
解不等式得，
解不等式得，
不等式组的解集为． 【解析】先展开，合并同类项后将的值代入计算即可；
解出每个不等式，再求公共解集即可．
本题考查整式化简求值和解一元一次不等式组，解题的关键是掌握整式相关运算法则和求不等式公共解集的方法．
 18.【答案】解：如下图：

作的平分线，平分线上的格点即为所求的点；
取格点，连接，
则，
，
点即为所求． 【解析】根据的一半是及网格线的特点作图；
根据相似三角形的性质作图．
本题考查了作图的应用和设计，掌握网格线的特点及相似三角形的性质是解题的关键．
 19.【答案】解：由题意得：，米，
设米，
在中，，
米，
米，
在中，，
，
解得：，
经检验：是原方程的根，
米，
建筑物的高度约为米． 【解析】根据题意可得：，米，设米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 20.【答案】 【解析】解：，
该组频率为，
故答案为：，；
补全图形如下：

人，
答：估计全校名学生中成绩优秀的人数为人．
根据各组人数之和等于总人数可得的值，继而可求得频率；
根据以上所求的值即可补全图形；
总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可．
本题考查频率分布直方图，样本估计总体等知识，解题的关键是掌握总体与个体的关系，学会用样本估计总体的思想解决问题．
 21.【答案】解：设“巨峰”葡萄的批发价每千克元，“美人指”葡萄的批发价每千克元，
根据题意得，
解得，
答：“巨峰”葡萄的批发价每千克元，“美人指”葡萄的批发价每千克元；
设销售价定为每千克元，每天的销售利润为元，
根据题意得：


，
，
当时，有最大值，最大值为，
答：销售价定为每千克元时，每天的利润最大，最大利润是元． 【解析】设“巨峰”葡萄的批发价每千克元，“美人指”葡萄的批发价每千克元，根据“千克“巨峰”和千克“美人指”装一箱按批发价每箱元；千克“巨峰”和千克“美人指”装一箱按批发价每箱元”列出方程组，解方程组即可；
设销售价定为每千克元，每天的销售利润为元，根据每天的利润每千克的利润每天的销售量列出函数解析式，并根据函数的性质求最值．
本题考查了二次函数的应用，二元一次方程组的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程．
 22.【答案】解将点代入函数表达式得，
解得，
，
当时，，
当时，，
当时，，
已知函数的部分对应值如表： 如图：

由图象可知：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；当时，有最小值为． 【解析】根据给出的已知点，先利用待定系数法确定表达式，再代入值求未知值即可；
描点、连线即可；
根据图象即可得出答案．
本题主要考查函数的图象，待定系数法，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．
 23.【答案】   是      【解析】解：等边三角形的边长为，
，
等边三角形的中线三角形的边长为，
，
．
故答案为：，；
解：如图，观察图象可知是中线三角形．
故答案为：是；
由题意，，，，
，
，
．
故答案为：，，；
证明：连接、、，如图，

，，
四边形是平行四边形，
，．
，，，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
是的中线三角形；
解：延长、交于点，如图，

即，
．
在和中，
，
≌，
，，
，
，
．
，，
，，
．
利用等边三角形的性质，中线三角形的定义解决问题即可；
根据中线三角形的定义判断即可；
求出，然后运用割补法就可求出是，从而可求出；
连接、、，如图，要证是的中线三角形，只需证，只需证四边形是平行四边形，只需证，，由于，只需证四边形是平行四边形即可；
延长、交于点，如图，证≌，从而可得，，即可得到，，由，，根据等高三角形的面积比等于底的比可得，，进而可得结论
本题属于三角形综合题，主要考查来了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等高三角形的面积比等于底的比、三角形中位线定理、平行线的传递性等知识，证到四边形是平行四边形是解决第小题的关键，借助于平行线和中点构造全等三角形是解决第小题的关键．
 24.【答案】解：对于，当时，，令，则，
即点、的坐标分别为：、，
则，则，，
则，
过点作轴于点，

则，同理可得：，
则点；

证明：是圆的半径，则，
，
，
，
，
∽，
；
过点作于点，
则，，
则，
，则，
；

解：随着点的变化，发生变化，不是定值，当点、重合时，存在取得最小值，
设交轴于点，此时和圆相切，则，
由知，为直角三角形，，
，
，，
，则，
即是直角三角形的中线，
则，即点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：． 【解析】，同理可得：，即可求解；
证明∽，即可求解；
由，，证明，进而求解；
随着点的变化，发生变化，不是定值，当点、重合时，存在取得最小值，进而求解．
本题是圆的综合题，主要考查了一次函数的性质、直角三角形中线定理、三角形相似等，有一定的综合性，难度适中．