必刷卷02——2023年中考数学考前30天冲刺必刷卷（广州专用）

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2023年中考数学考前信息必刷卷02
数 学（广州专用）

2023年广州中考数学试卷结构和内容发生变化！2023年数学试卷共25题：10（选择题）+6（填空题）+9（解答题），根据2023年广州最新考试信息以及模拟考试可以发现：在知识结构方面，会增加几何问题难度（例如特殊平行四边形问题），大概率压轴类型是三角形和四边形的综合问题，实际应用题可能会增加分值；在试卷难度方面，难度中等以上，比去年的先持平增加。

通过对考试信息的梳理以及教学研究成果，预测：第8题压轴为平行四边形综合为考查性质；第22题将会重点考查函数的实际应用问题，难度中等；第24题和第25题极大可能分别会考查几何中的动点探究和二次函数综合问题，运算能力和分析能力要求比较高。
另外，在平时学习中要特别关注基础性（一般试卷的前1-8题直接考查基础知识，容易拿分）、综合性（选填15-16以及解答24-25的压轴题）、规律型（如本卷中的第16题的填空压轴结合当下热门材料问题来考查）和创新性（一般会以数学文化为背景或在新情景下命制对概念的理解以及问题的梳理），同时掌握整体思想、数形结合、特殊值等数学思想，这些思想会蕴含于每道试题之中。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。






一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．若a与b互为相反数，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据互为相反数的两个数和为0，即可得到答案．
【详解】解：∵a与b互为相反数，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查相反数，互为相反数的两数和为0．
2．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据等式的基本性质，二次根式的乘法运算，积的乘方和幂的乘方，负整数指数幂的意义逐项判断即可得出答案．
【详解】不能化简，故A错误，不符合题意；
当a、b都为负数时，不成立，故B错误，不符合题意；
，故C错误，不符合题意；
，故D正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查等式的基本性质，二次根式的乘法运算，积的乘方和幂的乘方，负整数指数幂，属于基础题型，较易．
3．下列判断正确的是（　　）
A．一组数据6，5，8，7，9的中位数是8
B．“三角形的内角和为180°”是必然事件
C．甲、乙两组学生身高的方差分别为s甲2＝1.6，s乙2＝0.8，则甲组学生的身高较整齐
D．神舟十三号卫星发射前的零件检查，应选择抽样调查
【答案】B
【分析】根据中位数，必然事件，方差的意义，抽样调查与普查逐项分析判断即可．
【详解】A. 一组数据6，5，8，7，9，重新排列为5，6，7，8，9，则中位数是7，故该选项不正确，不符合题意；
B. “三角形的内角和为180°”是必然事件，故该选项正确，符合题意；
C. 甲、乙两组学生身高的方差分别为s甲2＝1.6，s乙2＝0.8，则乙组学生的身高较整齐，故该选项不正确，不符合题意；
D. 神舟十三号卫星发射前的零件检查，这个调查很重要不可漏掉任何零件，应选择全面调查，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了中位数，必然事件，方差的意义，抽样调查与普查，三角形内角和为180°，掌握以上知识是解题的关键．
4．如图，将ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（    ）

A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】首先构造以∠A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解．
【详解】解：连接BD，如图所示：

根据网格特点可知，，
∴，
∵， ，
∴在Rt△ABD中，tanA＝＝，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键．
5．刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（    ）

A．1 B．3 C． D．
【答案】B
【分析】如图，过A作AC⊥OB于C，得到圆的内接正十二边形的圆心角为=30°，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】如图，过A作AC⊥OB于C，

∵圆的内接正十二边形的圆心角为=30°，
∵OA=1，
∴AC=OA=，
∴S△OAB=×1×=，
∴这个圆的内接正十二边形的面积为12×=3，
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
6．如图，把△ABC绕着点A顺时针转40°，得到△ADE，若点E恰好在边BC上，AB⊥DE于点F，则∠BAE的大小是（　　）

A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】B
【分析】由旋转40°可得△ABC≌△ADE，所以AE=AC，∠AED=∠ACE=∠AEC=70°，由AB⊥DE，可得∠AFE=90°，从而得出答案．
【详解】解：∵△ABC绕着点A顺时针转40°，得到△ADE，
∴∠EAC=40°为旋转角，△ABC≌△ADE，
∴AE=AC，
∴∠AED=∠ACE=∠AEC=70°；
∵AB⊥DE于点F，
∴∠AFE=90°，
∴∠BAE=20°；
故选：B．
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形，全等三角形的性质与应用，找准旋转角度，边角关系是解题的关键．
7．若满足＜x≤1的任意实数x，都能使不等式2x3﹣x2﹣mx＞2成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣1 B．m≥﹣5 C．m＜﹣4 D．m≤﹣4
【答案】D
【分析】根据题意可以得到关于m的不等式，再根据二次函数和反比例函数的性质可以去的m的取值范围．
【详解】解：∵2x3-x2-mx＞2，
∴2x2-x-m＞，
抛物线y=2x2-x-m的开口向上，对称轴为直线x=，
而双曲线y=分布在第一、三象限，
∵＜x≤1，2x2-x-m＞，
∴x=时，2×--m≥4，解得m≤-4，
x=1时，2-1-m＞2，解得m＜-1，
∴实数m的取值范围是m≤-4．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质、反比例函数的性质、不等式的性质，解答本题的关键是明确题意，求出相应的m的取值范围．
8．将反比例函数y＝的图象绕坐标原点O逆时针旋转30°，得到如图的新曲线A（﹣3，3），B（，）的直线相交于点C、D，则△OCD的面积为（　　）

A．3 B．8 C．2 D．
【答案】A
【分析】根据点A、B的坐标可求出OA、OB的长，以及OA、OB与x轴的夹角，进而可得到旋转前各个点的对应点的坐标，以及原直线的关系式，进而求出旋转前C′、D′的坐标，画出相应图形，结合反比例函数的图象，可求出面积
【详解】解：连接OA、OB，过点A、B，分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足为M、N，
∵点A（－3，3），B（，），
∵OM＝3，AM＝3，BN＝，ON＝，
∴OA＝＝6，OB＝＝3，
∵tan∠AOM＝＝，
∴∠AOM＝60°，
同理，∠BON＝30°，
因此，旋转前点A所对应的点A′（0，6），点B所对应的点B′（3，0），
设直线A′B′的关系式为y＝kx＋b，故有，，解得，k＝－2，b＝6，
∴直线A′B′的关系式为y＝－2x＋6，
由题意得，，解得，，
因此，点C、D在旋转前对应点的坐标为C′（1，4），D′（2，2），如图2所示，
过点C′、D′，分别作C′P⊥x轴，D′Q⊥x轴，垂足为P、Q，
则，C′P＝4，OP＝1，D′Q＝2，OQ＝2，
∴S△COD＝S△C′OD′＝S梯形C′PQD′＝（2＋4）×（2－1）＝3，
故选：A．

【点睛】考查反比例函数、一次函数的图象和性质，旋转的性质，求出直线AB在旋转前对应的函数关系式是解决问题的关键．
9．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（3，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（　　）

A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
【答案】A
【分析】根据抛物线开口方向得到a＞0,根据抛物线的对称轴得b＝2a＞0,则2a﹣b＝0,则可对②进行判断:根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0,则abc＜0,于是可对①进行判断,由于x＝2时,y＞0,则得到4a+2b+c＞0,则可对③进行判断,通过点（﹣5,y1）和点（3,y2）离对称轴的远近对④进行判断．
【详解】解:∵抛物线开口向上,
∴a＞0,
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1,
∴b＝2a＞0,则2a﹣b＝0,所以②正确;
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方,
∴c＜0,
∴abc＜0,所以①正确;
∵x＝2时,y＞0,
∴4a+2b+c＞0,所以③错误;
∵点（﹣5,y1）离对称轴的距离与点（3,y2）离对称轴的距离相等,
∴y1＝y2,所以④不正确．
故选A．
【点睛】本题主要考查二次函数图象性质,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数图象性质.
10．边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E在BD上，作EF⊥CE交AB于点F，连接CF交BD于H，则下列结论：①EF=EC；②；③；,④若BF=1，则，正确的是（    ）

A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【分析】①由“”可证，可得，，由四边形的内角和定理可证，可得；
②通过证明，可得；
③通过证明，可得，通过证明，可得，可得结论；
④通过证明，可得，即可求解．
【详解】如图，连接，

四边形是正方形，
，，
又，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
，故①正确；
，，
，
，
又，
，
，
，故②正确；
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，故③正确；
，，
，，
，
，
又，
，
，
，
，故④正确，
故选：．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．

二、 填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

11．方程的解为______．
【答案】
【分析】方程两边同乘以，然后求解方程即可．
【详解】解：
，
，
∴，
经检验：是原方程的解，
∴原方程的解为；
故答案为．
【点睛】本题主要考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
12．如图，广州塔与木棉树间的水平距离BD为600m，从塔尖A点测得树顶C点的俯角α为44°，测得树底D点俯角β为45°，则木棉树的高度CD是 _____．（精确到个位，参考数据：sin44°≈0.69，cos44°≈0.72，tan44°≈0.96）

【答案】24m
【分析】如图：过点C作CE⊥AB于E，则CE=BD=600m在Rt△ABD中， 求出AB，在Rt△AEC中，求出 AE，得到CD=BE=AB-AE即可求解；
【详解】解：如图：过点C作CE⊥AB于E，则

CE=BD=600m
在Rt△ABD中，
∠ADB=∠β=45°
∵tan45°=

∴AB=600
在Rt△AEC中，∠ACE=∠α=44°，
∵tan44°=
∴
∴AE=576m，
∴CD=BE=AB-AE=600-576=24m,
故答案为：24m．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，仰角，俯角的问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，是解答此题的关键．
13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，，，BE垂直平分CD，交CD于点E，若，则CE的长为______．

【答案】1
【分析】由题意易得，BD=BC，则有，然后可得△BDC是等边三角形，进而可得BD=DC=2，则问题可求解．
【详解】解：∵AD∥BC，，
∴，
∵，，
∴，
∵BE垂直平分CD，
∴BD=BC，
∴△BDC是等边三角形，
∴BD=DC=2，
∴；
故答案为1．
【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质、等边三角形的性质与判定及线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握含30度直角三角形的性质、等边三角形的性质与判定及线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．
14．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，且AB=AC=4，则图中阴影部分的面积为____________．

【答案】
【分析】连接，根据圆周角定理求出∠的度数，再由即可得出结论．
【详解】连接，如图，

∵AB是圆O的直径，AC为切线。AB=AC=4
∴∠
∴∠
∵
∴
∴
∴是等腰直角三角形
∴




故答案为：
【点睛】本题主要考查了扇形的面积计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
15．在菱形中，，，为菱形内部一点，且，连接，点为中点，连接，取中点，连接，则的最大值为_____．

【答案】
【分析】先根据题目条件中的中点可联想中位线的性质，构造中位线将和的长度先求出来，再利用三角形的三边关系判断，当时最大．
【详解】解∶如图所示∶连接交于点，连接，取的中点，连接和，

∵在菱形中，为中点，为中点，，
∴，
当、、、共线时，也为，
∵为中点、为中点，
∴
∵在菱形中，且，，
∴，，，
∴，
∴．
∴，
∴，
∵．
∴，
∴的最大值为．
故答案为∶．
【点睛】本题难点在于辅助线的添加，要根据菱形的性质和题目条件中的中点构造中位线，然后借助三角形的三边关系可判断出当、、三点共线时最大．
16．如图，在矩形中，平分，交于点，交于点，以，为边，作矩形，与相交于点．则下列结论：
①；
②若，，则＝；
③；
④当是的中点时，．
其中正确的结论是____________（填写所有正确结论的序号）．

【答案】
【分析】根据矩形的性质证明是等腰直角三角形，进而可以判断；②首先证明，证明，可得，可得四边形是正方形，所以，进而可以判断；③根据勾股定理可得，根据，，即可判断；④设，则，可得，所以，根据勾股定理可得所以得 ，进而可以判断．
【详解】解：在矩形中，，，
平分，
，
是等腰直角三角形，
，
；故正确；
，，
，
，
，
，
，，
，
在和中，

，
，
四边形是矩形，
四边形是正方形，
，
，
，
；故正确；
若，，，
，
，
，
，，
；故错误；
当是的中点时，
设，则，
，
，
，
，
，
，故正确．
综上所述：正确．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是得到．
三、解答题（本大题共9小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，在数轴上表示见解析
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集，最后在数轴上表示即可．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将解集表示在数轴上如下：

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟知确定解集的方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”是解题的关键．也考查了在数轴上表示不等式组的解集．
18．如图，点A，D，B，E在一条直线上，，．
求证：．

【答案】见详解
【分析】由题意易得，进而易证，然后问题可求证．
【详解】证明：∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
19．已知．
(1)化简T；
(2)若点（x，0）在二次函数y＝（x+1）（x+2）的图象上，求T的值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据分式运算，化简求解即可得出答案；
（2）将点代入二次函数表达式，可求出x，在带入原式即可求出T．
【详解】（1）解：


．
（2）解：∵点（x，0）在二次函数y＝（x+1）（x+2）的图象上，
∴0＝（x+1）（x+2），解得或，
由（1）中分母可知，故舍去，
把代入，；
故答案为：．
【点睛】本题考查分式的化简求值，二次函数的性质，仔细计算，注意分式有意义的条件．
20．五一节前，某商店拟用元的总价购进两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进1台．已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风扇共需费用元．
(1)求A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？
(2)销售时，该商店将A种品牌电风扇定价为元/台，B种品牌电风扇定价为元/台，为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？
【答案】(1)A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是元、元．
(2)采用购进A种品牌的电风扇7台，购进B种品牌的电风扇2台．

【分析】（1）设A种品牌电风扇每台进价x元，B种品牌电风扇每台进价y元，根据题意即可列出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y即可．
（2）设购进A品牌电风扇a台，B品牌电风扇b台，根据题意可列等式，由a和b都为整数即可求出a和b的值的几种可能，然后分别算出每一种情况的利润进行比较即可．
【详解】（1）设A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是x元、y元，
由题意得：，
解得：，
∴A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是元、元；
（2）设购进A种品牌的电风扇a台，购进B种品牌的电风扇b台，
由题意得：，
其正整数解为：
或或
当时，利润（元），
当时，利润（元），
当时，利润（元），
∵，
∴当时，利润最大，
答：为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用购进A种品牌的电风扇7台，购进B种品牌的电风扇2台．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意找出等量关系列出等式是解答本题的关键．
21．如图，已知，，．

(1)在边上求作点，连接，使（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在第（1）问图中，若，
求；
已知经过点的圆与相切于点，求扇形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)；π

【分析】（1）作的垂直平分线交于，交于，则，所以；
（2 ）过点作于，于，如图，则，，利用含角的直角三角形三边的关系得到，则，所以，再计算出，则，，然后在Rt中利用正切的定义计算出，然后根据三角形面积公式计算出；
先根据切线的性质得到，再证明为等边三角形得到，然后利用扇形的面积公式计算．
【详解】（1）解：如图，点为所作：

（2）解：过点作于，于，如图，

，
在Rt中，
，
，
，
，
，
，
在Rt中，
，
，
；
与相切于点，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
扇形的面积π．
【点睛】本题考查了作图—复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了圆周角定理、切线的性质和解直角三角形．
22．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，且满足AE＝CF，连接AF，BE相交于点P．

(1)求证：AF＝BE；
(2)若AE＝2，试求AP·AF的值；
(3)当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．
【答案】(1)见解析
(2)12
(3)

【分析】（1）证明，由全等三角形的性质可得到答案；
（2）利用勾股定理求得AF的长度，再用平行线分线段成比例定理或者三角形相似定理求得AP•AF的值，即可以得到答案．
（3）当点F靠近点C的时候点P的路径是一段弧，当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时为等腰三角形，继而求得半径和对应的圆心角的度数，求得答案．
【详解】（1）证明：为等边三角形，
，
又，
在和中，
，
，
；
（2）解：∠C＝∠APE＝60°，∠PAE＝∠CAF，
，
，
即，
；
（3）当AE＝CF时，由（1）知，
，
，
，
，
根据圆周角定理可知：点P的路径是一段弧，
如图1所示：

当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且∠ABP＝∠BAP＝30°，
∠AOB＝120°，
又AB＝6，
，
OA＝．
点P的路径是．
【点睛】本题考查等边三角形性质的综合应用，相似三角形的判定及性质的应用，弧长公式，解题关键是灵活运用条件和性质．
23．证明体验
（1）如图1，在中，点在边上，点在边上，，，与相交于点．求证：．
思考探究
（2）如图2，在（1）的条件下，过点作的平行线交于点，若，，求的长．
拓展延伸
（3）如图3，在四边形中，对角线与相交于点，，，，，求的长．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）根据等边对等角得出，进而根据三角形的外角的性质，等量代换即可得证；
（2）证明即可得出结论；
（3）过点作于点，证明，进而得出，解，，即可求解；
【详解】（1）证明：，
，
，，
；
（2）解：，
，
，
，


在中，
，
，
；
（3）解：过点作于点，如图所示，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
则，
在中，
，
，
，
在中，．
【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
24．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，过点C作⊙O 的切线，交AB的延长线于点P，联结PD．
（1）判断直线PD与⊙O的位置关系，并加以证明；
（2）联结CO并延长交⊙O于点F，联结FP交CD于点G，如果CF=10，cos∠APC=，求EG的长．

【答案】（1）PD与⊙相切于点，证明见解析；（2）
【分析】（1）连接OD，欲证PD是的切线，只需证明即可，通过全等三角形的对应角来证明该结论．
（2）作于点M ，先求得，从而求得，得出，然后证得，得出．
中，，设，，则OC=3，进而得出，从而求的，，通过得出，即可求得EG．
【详解】解：（1）联结
∵在⊙中，，于点，
∴．又∵，∴≌．
∴．
又∵切⊙于点，为⊙半径，
∴．
∴．∴．∴于点．
∴PD与⊙相切于点．
（2）作于点．
∵，于点，∴，．∴．
∵，∴Rt△OCE中，．
∵，∴．∴，．
又∵，，∴．
∵，，∴≌．∴，．
∵在Rt△OCE中，，设，∴．
∴，．∴．∴，．
又∵，∴∥．
∴∽．∴，即．
∴．

【点睛】本题考查切线的判定；全等三角形的判定和性质；相似三角形的判定与性质．
25．如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点（A点在点B的左侧），点B坐标是，抛物线与y轴交于点C，点P是抛物线的顶点，连接PC．

(1)抛物线的函数表达式，并直接写出顶点P的坐标；
(2)直线BC与抛物线的对称轴交于点D，点Q为直线BC上一动点；
①当的面积等于面积的2倍时，求点Q的坐标；
②在①的条件下，当点Q在x轴上方时，过点Q作直线L垂直于AQ，直接
交直线L于点F，点G在直线，且时，请直接写出GF的长．
【答案】(1)
(2)①或；②或

【分析】（1）待定系数法直求解即可；
（2）①先将三角形面积求出，然后根据Q为直线BC上一动点，即分类讨论，会出现两个答案；
②先根据线段的关系，求出点的坐标，然后构造相似三角形求出点的坐标，再求出解析式最后联立解析式求的坐标，最后联立解析式求解即可.
【详解】（1）由题意得，
，
∴，
∴
∴
（2）①如图1，
作于E，
∵，
∴直线，
∴，可设，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴或．
∴或

②如图2，
设
由得，
，
化简，得：
，
∴，
∴
作于H，
∵，
∴，
∴，
即：，
∴，
∴，
设直线QM是：，
∴，
∴，
∴，
由得，
∴
∴，
．

【点睛】此题考查二次函数压轴题，解题关键是在直线上的点需要分类讨论，两点之间的距离公式为．